Chuong2doc

Trong phÇn tríc ta ®· th¶o luËn vÒ kh¸i niÖm ®é mËt hoµn thiÖn vµ ®Æt mèi quan t©m vµo mét trêng hîp ®Æc biÖt, khi mét kho¸ chØ ®îc dïng cho mét lÇn m·.. Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn X biÓu th[r]

Ch¬ng 2

Lý thuyÕt shannon

Năm 1949, Claude shannon công bố báo có nhan đề " Lý thuyết thơng tin hệ mật" tạp chí " The Bell System Technical Journal" Bài báo có ảnh hởng lớn đến việc nghiên cứu khoa học mật mã Trong chơng ta thảo luận vài ý tởng lý thuyết Shannan

2.1 độ mật hoàn thiện

Có hai quan điểm độ an tồn hệ mật Độ an tồn tính tốn:

Đo độ liên quan đến nỗ lực tính toán cần thiết để phá hệ mật Một hệ mật an tồn mặt tính tốn có thuật tốn tốt để phá cần N phép toán, N số lớn Vấn đề chỗ, khơng có hệ mật thực tế biết đợc chứng tỏ an toàn theo định nghĩa Trên thực tế, ngời ta gọi hệ mật "an toàn mặt tính tốn" có phơng pháp tốt phá hệ nhng yêu cầu thời gian lớn đến mức không chấp nhận đợc.(Điều tất nhiên khác với việc chứng minh độ an toàn)

Một quan điểm chứng minh độ an toàn tính tốn quy độ an tồn hệ mật toán đợc nghiên cứu kỹ tốn đợc coi khó Ví dụ, ta chứng minh khẳng định có dạng " Một hệ mật cho an toàn khơng thể phân tích thừa số số ngun n cho trớc" Các hệ mật loại gọi " an toàn chứng minh đợc" Tuy nhiên cần phải hiểu rằng, quan điểm cung cấp chứng minh độ an tồn có liên quan đế tốn khác khơng phải chứng minh hồn chỉnh ọ an tồn ( Tình hình tơng tự nh việc chứng minh tốn NP đầy đủ: Có thể chứng tỏ tốn cho chí khó nh tốn NP đầy đủ khác , song khơng phải chứng minh hồn chỉnh độ khó tính toỏn ca bi toỏn)

Độ an toàn không điều kiÖn.

Độ đo liện quan đến độ an tồn hệ mật khơng có hạn chế đợc đặt khối lợng tính tốn mà Oscar đợc phép thực Một hệ mật đợc gọi an tồn khơng điều kiện khơng thể bị phá chí với khả tính tốn không hạn chế

Khi thảo luận độ an toàn mật, ta phải kiểu công đợc xem xét Trong chơng cho thấy rằng, không hệ mật hệ mã dịch vòng, mã thay mã Vigenère đợc coi an tồn mặt tính tốn với phơng pháp công với mã ( Với khối l-ợng mã thích hợp)

Rõ ràng độ an tồn khơng điều kiện hệ mật đợc nghiên cứu theo quan điểm độ phức tạp tính tốn thời gian tính tốn cho phép khơng hạn chế lý thuyết xác suất tảng thích hợp để nghiên cứu độ an tồn khơng điều kiện Tuy nhiên ta cần số kiến thức sơ đẳng xác suất; định nghĩa đợc nêu dới

Định nghĩa 2.1.

Gi s X v Y biến ngẫu nhiên Kí hiệu xác suất để X nhận giá trị x p(x) để Y nhận giá trị y p(y) Xác suất đồng thời p(x,y) xác suất để X nhận giá trị x Y nhận giá trị y Xác suất có điều kiện p(x  y) là xác suất để X nhận giá trị với điều kiện Y nhận giá trị y Các biến ngẫu nhiên X Y đợc gọi độc lập p(x,y) = p(x) p(y) với giá trị x X và y Y

Quan hệ xác suất đồng thời xác suất có điều kiện đợc biểu thị theo cơng thức:

p(x,y) = p(x  y) p(y) §ỉi chỗ x y ta có :

p(x,y) = p(y  x) p(x)

Từ hai biểu thức ta rút kết sau:(đợc gọi nh lý Bayes)

Định lý 2.1: (Định lý Bayes).

Nếu p(y) thì:

Hệ 2.2.

X Y biến độc lập khi: p(x  y) = p(x) với x,y

Trong phần ta giả sử rằng, khoá cụ thể dùng cho mã Giả sử có phân bố xác suất khơng gian rõ P Kí hiệu xác suất tiên nghiệm để rõ xuất pP (x) Cũng giả sử rằng, khóa K đợc

chọn ( Alice Bob ) theo phân bố xác suất xác định ( Thơng thờng khố đợc chọn ngẫu nhiên, tất khoá đồng khả năng, nhiên khơng phải điều bắt buộc) Kí hiệu xác suất để khóa K đợc chọn pK(K) Cần nhớ khóa đợc chọn trớc Alice biết

bản rõ Bởi giả định khoá K rõ x kiện độclập

Hai phân bố xác suất P K tạo phân bố xác suất C Thật vậy, dễ dàng tính đợc xác suất pP(y) với y mã đợc gửi

Với khoá K  K, ta xác định:

C(K) = { eK (x) : x P }

ở C(K) biểu thị tập mã K khóa Khi với y  C, ta có :

pC (y) =  pK(K) pP(dK (y))

{K:yC(K)}

p(x  y) =

Nhận thấy rằng, với y  C x  P, tính đợc xác suất có điều kiện pC(y  x).(Tức xác suất để y mã với điều kiện rõ x):

pC (y  x ) =  pK(K)

{K:x= dK(y)}

Bây ta tính đợc xác suất có điều kiện pP (x  y ) ( tức xác

suất để x rõ với điều kiện y mã) cách dùng định lý Bayes Ta thu đợc công thức sau:

Các phép tính thực đợc biết đợc phân bố xác suất

Sau trình bày ví dụ đơn giản để minh hoạ việc tính tốn phân bố xác suất

VÝ dơ 2.1.

Gi¶ sư P = {a,b} víi pP(a) = 1/4, pP(b) = 3/4 Cho K = { K1, K2, K3}

víi pK(K1) = 1/2, pK(K2) = pK(K3) = 1/4 Giả sử C = {1,2,3,4} hµm m·

đợc xác định eK1(a) = 1, eK2(b) = 2, eK2(a) = 2, eK2(b) = 3, eK3(a) = 3, eK3(a)

= Hệ mật đợc biểu thị ma trận mã hoá sau: a b

K1

K2

K3

Tính phân bố xác suất pC ta cã:

pC (1) = 1/8

pC (2) = 3/8 + 1/16 = 7/16

pC (3) = 3/16 + 1/16 = 1/4

pC (4) = 3/16

Bây ta phân bố xác suất có điều kiện rõ với điều kiện biết mã Ta có :

pP(a | 1) = pP(b | 1) = pP(a | 2) = 1/7 pP(b | 2) = 6/7

pP(a | 3) = 1/4 pP(b | 3) = 3/4 pP(a | 4) = pP(b | 4) =

Bây ta có đủ điều kiện để xác định khái niệm độ mật hoàn thiện Một cách khơng hình thức, độ mật hồn thiện có nghiã Oscar với mã tay thu đợc thơng tin rõ ý tởng đợc làm xác cách phát biểu theo thuật ngữ phân bố xác suất nh ngha trờn nh sau:

Định nghĩa 2.2.

pP(y  x ) =

pP (x) =  pK(K) {K:x= dK(y)}

 pK(K) pP(dK

(y))

Một hệ mật có độ mật hồn thiện pP(x | y) = pP(x) với x  P ,

y  C Tức xác suất hậu nghệm để rõ x với điều kiện đả thu đ ợc bản mã y đồng với xác suất tiên nghiệm để rõ x.

Trong ví dụ 2.1 có mã thoả mãn tính chất độ mật hồn thiện, mã khác khơng có tính chất

Sau chứng tỏ rằng, MDV có độ mật hồn thiện Về mặt trực giác, điều dờng nh hiển nhiên Với mã dịch vòng, biết phần tử mã y  Z26, phần tử rõ x Z26

cũng mã đả giải y tuỳ thuộc vào giá trị khoá Định lý sau cho khẳng định hình thức hố đợc chứng minh theo phõn b xỏc sut

Định lý 2.3.

Gi sử 26 khố MDV có xác suất nh bằng1/26 đó MDV có độ mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ.

Chøng minh: Ta cã P = C = K = Z26 vµ víi  K  25, quy tắc mà hoá eKlà

eK(x) =x +K mod 26 (x 26) Trớc tiên tính phân bố PC Gi¶ sư y  Z26,

đó:

pC (y) =  pK(K) pP(dK (y))

K Z26

=  1/26 pP(y -K)

K Z26

= 1/26 pP(y -K)

K Z26

Xét thấy với y cố định, giá trị y -K mod 26 tạo thành hốn vị

Z26 vµ pP phân bố xác suất Bởi ta có:

pP(y -K) = pP(y)

K Z26 y Z26

= Do pC (y) = 1/26

víi bÊt kú y Z26

TiÕp theo ta cã:

pC (y|x) = pK(y -x mod 26)

= 1/26

Vơi x,y với cặp x,y, khóa K (khoá đảm bảo eK(x) = y )

là khoá K = y-x mod 26 Bây sử dụng định lý Bayes, ta dễ dàng tính:

pP(x) pC (y|x)

pC (y)

pP(x) (1/26) (1/26)

= pP(x)

pP(x|y) =

Bởi vậy, MDV có độ mật hồn thiện

Nh vậy, mã dịch vịng hệ mật khơng phá đợc miễn dùng khoá ngẫu nhiên để mã hoá ký tự rõ

Sau ngiên cứu độ mật hoàn thiện trờng hợp chung Trớc tiên thấy rằng,(sử dụng định lý Bayes) điều kiện để pP (x | y) = pP (x) với

xP , yP tơng đơng với pC (y | x) = pC (y) với xP , yP

Giả sử pC (y)  với yC (pC (y) = mã khơng đợc

dùng loại khỏi C ) Cố định giá trị xP Với mỗi yC ta có pC (y | x) = pC (y)  Bởi vậy, với yC phải có một

khoá K cho eK(x) = y Điều dẫn đến K   C  Trong hệ mật

bất kỳ ta phải có C   P  quy tắc mã hoá đơn ánh Trong trờng hợp giới hạn, K  =  C  =  P , ta cú nh lý sau (Theo Shannon)

Định lý 2.4

Giả sử (P,C, K, E, D) hệ mật , K  =  C  =  P  Khi đó, hệ mật có độ mật hồn thiện khoá K đợc dùng với xác suất nh 1/K  , x P,mỗi y C có khoá K sao cho eK(x) = y.

Chøng minh

Giả sử hệ mật cho có độ mật hồn thiện Nh thấy trên, với x P y C , phải có khoá K cho eK(x) = y Bởi ta có

bất đẳng thức:

 C  = {eK(x) :K C } K 

Tuy nhiên, ta giả sử C = K  Bëi vËy ta ph¶i cã:

{eK(x) :K C } =  K 

Tức khơng tồn hai khố K1 K2 khác để eK1(x) =

eK2(x) = y Nh ta chứng tỏ đợc rằng, với x P y C có đúng

một khố K để eK(x)=y

Ký hiệu n =  K  Giả sử P = { xi:  i  n } cố định giá trị y

C Ta cã thĨ ký hiƯu c¸c kho¸ K1,K2, .,Kn cho eKi (xi ) = yi,  i  n

Sử dụng định lý Bayes ta có:

pC(y| xi) pP (xi)

pC (y)

pK(K1) (pP

(xi)) pC (y)

pP(xi|y) =

Xét điều kiện độ mật hoàn thiện pP(xi|y) = pP (xi) Điều kiện kéo theo

pK(Ki) = pC (y) với  i  n Tức khoá đợc dùng với xác suất nh

(chính pC(y)) Tuy nhiên số khoá K  nªn ta cã pK(K) =1/ K 

với K K

Ngc li, gi s hai điều giả định thảo mãn Khi dễ dàng thấy đợc hệ mật có độ mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ ( tơng tự nh chớng minh định lý 2.3) Các chi tiết dành cho bạn đọc xem xét

Mật mã khoá sử dụng lần Vernam (One-Time-Pad:OTP) ví dụ quen thuộc hệ mật có độ mật hồn thiện Gillbert Verman lần mơ tả hệ mật vào năm 1917 Hệ OTP dùng để mã giải mã tự động tin điện báo Điều thú vị nhiều năm OTP đợc coi hệ mật bị phá nhng chớng minh Shannon xây dựng đợc khái niệm độ mật hoàn thiện 30 nm sau ú

Mô tả hệ mật dùng lần nêu hình 2.1

S dng định lý 2.4, dễ dàng thấy OTP có độ mật hoàn thiện Hệ thống hấp dẫn dễ thực mã giải mã

Vernam đăng ký phát minh với hy vọng có ứng dụng thơng mại rộng rãi Đáng tiếc có nhỡng nhợc điểm quan trọng hệ mật an tồn khơng điều kiện, chẳng hạn nh OTP Điều kiện K

   P  có nghĩa lợng khóa (cần đợc thơng báo cách bí mật) lớn nh rõ Ví dụ , trờng hợp hệ OTP, ta cần n bit khoá để mã hoá n bit rõ Vấn đề khơng quan trọng dùng khoá để mã hoá tin khác nhau; nhiên, độ an toàn hệ mật an tồn khơng điều kiện lại phụ thuộc vào thực tế khoá đ ợc dùng cho lần mã Ví dụ OTP khơng thể đứng vững trớc công với rõ biết ta tính đợc K băngf phép loại trừ xâu bít x eK(x) Bởi vậy, cần phải tạo khóa thơng báo

kênh bảo mật tin trớc gửi Điều nàytạo khó khăn cho vấn đề quản lý khố gây hạn chế cho việc sử dụng rộng rãi OTP Tuy nhiên OTP đợc áp dụng lĩnh vực quân ngoại giao, lĩnh vực độ an tồn khơng điều kiện có tầm quan trọng ln

Hình 2.1 Hệ mật sử dụng khoá lần (OTP)

Giả sử n số nguyên vµ P = C = K = (Z2)n Víi K (Z2)n , ta x¸c

định eK(x) tổng véc tơ theo modulo K x (hay tơng ng vi phộp

hoặc loại trừ hai dÃy bit t¬ng øng) Nh vËy, nÕu x = (x1, , xn ) vµ K =

(K1, , Kn ) th×:

eK(x) = (x1 + K1, , xn + Kn) mod

Phép mã hoá đồng với phép giải mã Nếu y = (y1, , yn ) thì:

Lịch sử phát triển mật mã học trình cố gắng tạo hệ mật dùng khố để tạo xâu mã tơng đối dài (tức dung khố để mã nhiều tin) nhng chí cịn đợc độ an tồn tính tốn Chuẩn mã liệu (DES) hệ mật thuộc loại (ta nghiên cứu vấn đề chơng 2)

2.2 ENTROPI

Trong phần trớc ta thảo luận khái niệm độ mật hoàn thiện đặt mối quan tâm vào trờng hợp đặc biệt, khoá đợc dùng cho lần mã Bây ta xét điều xẩy có nhiều rõ đợc mã khố cách mà thám mã thực có kết phép cơng chỉ với mã thời gian đủ lớn

Công cụ nghiên cứu toán khái niệm entropi Đây khái niệm lý thuyết thơng tin Shannon đu vào năm 1948 Có thể coi entropi đại lợng đo thông tin hay cịn gọi độ bất định Nó đợc tính nh hàm phân bố xác suất

Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Thông tin thu nhận đợc kiện xảy tuân theo phân bố p(X) gì? Tơng tự, kiện cịn cha xảy độ bất định kết quả? Đại lợng đợc gọi entropi X đợc kí hiệu H(X)

Các ý tởng nh trìu tợng, ta xét ví dụ cụ thể Giả sử biến ngẫu nhiên X biểu thị phép tung đồng xu Phân bố xác suất là: p(mặt xấp) = p(mặt ngữa) = 1/2 Có thể nói rằng, thơng tin (hay entropi) phép tung đồng xu bit ta mã hoá mặt xấp mặt ngữa Tơng tự entropi n phép tung đồng tiền mã hố xâu bít có độ dài n

XÐt mét vÝ dơ phøc t¹p chút Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X có giá trị x1, x2, x3 với xác suất tơng ứng 1/2, 1/4, 1/4

Cách mà hiệu biến cố mà hoá x1 0, mà x2 lµ 10

và mã x3 11 Khi số bít trung bình phép mã hố là:

1/2  +1/4  + 1/4 = 3/2

Các ví dụ cho thấy rằng, biến cố xảy với xác st 2-n cã thĨ

mã hố đợc xâu bít có độ dài n Tổng qt hơn, coi rằng, biến cố xảy với xác suất p mã hố xâu bít có độ dài xấp xỉ -log2 p Nếu cho trớc phân bố xác suất tuỳ ý p1, p2, ., pn biến

ngẫu nhiên X, độ đo thơng tin trọng số trung bình lợng -log2pi Điều dẫn tới định nghĩa hình thức hoỏ sau

Định nghĩa 2.3

Gi s X biến ngẫu nhiên lấy giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Khi entropy phân bố xác suất đợc định nghĩa lợng:

H(X) = -  pi log2 pi i=1

NÕu c¸c giá trị X xi ,1 i  n th× ta cã: n

H(X) = -  p(X=xi )log2 p(X= xi) i=1

NhËn xÐt

Nhận thấy rằng, log2 pi không xác định pi =0 Bởi

entropy đợc định nghĩa tổng tơng ứng tất xác suất khác Vì limx0xlog2x = nên thực tế khơng có trở ngại cho pi = với

giá trị i Tuy nhiên ta tuân theo giả định tính entropy phân bố xác suất pi , tổng đợc lấy số i cho pi0 Ta

cũng thấy việc chọn số logarit tuỳ ý; số không thiết phải Một số khác làm thay đổi giá trị entropy số

Chó ý r»ng, nÕu pi = 1/n víi  i  n th× H(X) = log2n Cịng dƠ dµng

thấy H(X)  H(X) = pi = với giá trị i

vµ pj = víi mäi j  i

Xét entropy thành phần khác hệ mật Ta coi khố biến ngẫu nhiên K nhận giá trị tuân theo phân bố xác suất pK tính đợc H(K) Tơng tự ta tính entropy

H(P) H(C) theo phân bố xác suất tơng ứng mà rõ Ví dụ 2.1: (tiÕp)

Ta cã: H(P) = -1/4log21/4 - 3/4log23/4

= -1/4(-2) - 3/4(log23-2)

=2 - 3/4log23

0,81

bằng tính toán tơng tự, ta có H(K) = 1,5 vµ H(C) 1,85

2.2.1 M· huffman vµ entropy

Trong phần ta thảo luận sơ qua quan hệ entropy mã Huffman Vì kết phần khơng liên quan đến ứng dụng mật mã entropy nên ta bỏ qua mà khơng làm tính liên tục Tuy nhiên hệ dùng để nghiên cứu sâu khái niệm entropy

ở đa entropy bối cảnh mã hoá biến cố ngẫu nhiên xảy theo phân bố xác suất định Trớc tiên ta xác hố thêm ý tởng Cũng nh trên, coi X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hữu hạn p(X) phân bố xác suất tơng ứng

Mét phÐp m· hoá X ánh xạ bất kỳ: f:X {0,1}*

trong {0,1}* kí hiệu tập tất xâu hữu hạn số Với một

danh sách hữu hạn (hoặc xâu) biến cè x1, x2, , xn, ta cã thĨ më

trong kí hiệu phép ghép Khi coi f ánh xạ: f:X*{0,1}*

Bây giả sử xâu x1 xn đợc tạo từ nguồn không nhớ cho

xi xảy tuân theo phân bố xác suất X Điều nghĩa xác suất

của xâu x1 xn đợc tính p(x1)   p(xn) (Để ý xâu

này không thiết phải gồm giá trị phân biệt nguồn khơng nhớ) Ta coi dãy n phép tung đồng xu ví dụ

Bây giả sử ta chuẩn bị dùng ánh xạ f để mã hoá xâu Điều quan trọng giải mã đợc theo cách Bởi phép mã f thiết phải đơn ánh

VÝ dơ 2.2

Gi¶ sư X = {a,b,c,d} , xÐt phÐp m· ho¸ sau: f(a) = f(b) = 10 f(c) = 100 f(d) = 1000 g(a) = g(b) = 10 g(c) = 110 g(d) = 111 h(a) = h(b) = 01 h(c) = 10 h(d) = 11

Có thể thấy rằng, f g phép mã đơn ánh, cịn h khơng phải đơn ánh Một phép mã hố dùng f đợc giải mã cách bắt đầu điểm cuối giải mã ngợc trở lại: Mỗi lần gặp số ta biết vị trí kết thúc phần tử thời

Phép mã dùng g đợc giải mã cách bắt đầu điểm đầu xử lý liên tiếp Tại thời điểm mà có dãy kí tự mã a ,b,c d giải mã cắt khỏi dãy Ví dụ, với xâu10101110, ta giải mã 10 b, 10 b, đến 111 d cuối a Bởi xâu giải mã bbda

Để thấy h đơn ánh, cần xét ví dụ sau: h(ac) = h(bc) = 010

Theo quan điểm dễ dàng giải mã, phép mã g tốt f Sở dĩ nh dùng g việc giải mã đợc làm liên tiếp từ đầu đến cuối khơng cần phải có nhớ Tính chất cho phép giải mã liên tiếp đơn giản g đợc gọi tính chất tiền tố độclập ( phép mã g đợc gọi có tiền tố độc lập không tồn phần tử x,y  X xâu z {0,1}* cho

g(x) = g(y) z)

Thảo luận khơng liên hệ đến entropy Tuy nhiên khơng có đáng ngạc nhiên entropy lại có liên quan đến tính hiệu phép mã Ta đo tính hiệu phép mã f nh làm trên: độ dài trung bình trọng số ( đợc kí hiệu l (f) ) phép mã phần tử X Bởi ta có định nghĩa sau:

p(x)∨f(x)∨¿

l(f)=∑

x∈X

Bây nhiệm vụ chủ yếu ta phải tìm phép mã hố đơn ánh cho tối thiểu hoá đợc l(f) Thuật toán Huffman thuật toán tiếng thực đợc mục đích Hơn nữa, phép mã f tạo thuật tốn Huffman phép mã có tiền tố độc lập

H(X)  l(f)  H(X) +1

Nh vậy, giá trị entropy cho ta đánh giá xác độ dài trung bình phép mã đơn ánh tối u

Ta không chứng minh kết nêu mà đa mơ tả ngắn gọn hình thức hoá thuật toán Huffman Thuật toán Huffman bắt đầu với phân bố xác suất tập X mã phần tử ban đầu trống Trong bớc lặp, phần tử có xác suất thấp đợc kết hợp thành phần tử có xác suất tổng hai xác suất Trong phần tử, phần tử có xác suất nhỏ đợc gán giá trị "0", phần tử có giá trị lớn đợc gán giá trị "1" Khi lại phần tử mã x  X đợc cấu trúc dãy phần tử ngợc từ phần tử cuối tới phần tử ban đầu x

Ta minh hoạ thuật toán qua vÝ dô sau VÝ dô 2.3

Giả sử X = {a,b,c,d,e} có phân bố xác suất: p(a) = 0,05; p(b) = 0,10; p(c) = 0,12; p(d) = 0,13 p(e) = 0,60 Thuật toán Huffman đợc thực nh bảng sau:

A b c d e

0,05 0,10 0,12 0,13 0,60

0

0,15 0,12 0,13 0,60

0

0,15 0,25 0.60

0

0,40 0,60

0

1,0 Điều dẫn đến phép mã hoá sau:

x f(x)

a 000

c 010

d 011

e Bởi độ dài trung bình phép mã hố là:

l(f) = 0,05  + 0,10  + 0,12  + 0,13  + 0,60  = 1,8 So sánh giá trị với entropy:

H(X) = 0,2161 + 0,3322 + 0,3671 + 0,3842 + 0,4422 = 1,7402

2.3. C¸c tÝnh chÊt cđa entropi

Trong phần chứng minh số kết quan trọng liên quan đến entropi Trớc tiên ta phát biểu bất đẳng thức Jensen Đây kết hữu ích Bất đẳng thức Jensen có liên quan đến hàm lồi có nh ngha nh sau

Định nghĩa 2.4.

f(x+y

2 )≥

f(x)+f(y)

2 Mét hµm cã giá trị thực f lồi khoảng I

nÕu:

víi mäi x,y I f lµ hµm låi thực khoảng I nếu: f(x+y

2 )>

f(x)+f(y)

2 víi mäi x,y  I,x  y.

Sau ta phát biểu mà không chứng minh bất đẳng thức Jensen

Định lý 2.5.(Bất ng thc Jensen).

Giả sử h hàm lồi thực liên tục khoảng l,

∑

i=1

n

ai=1 và >0,1  i  n Khi đó:

∑

i=1

n

aif(xi)≤ f(∑

i=1

n

aixi) trong xi I,1  i  n Ngồi du "=" ch

xảy x1= = xn.

Bây ta đa số kết entropi Trong định lý sau sử dụng khẳng định: hàm log2x hàm lồi thực khoảng

(0, ) (Điều dễ dàng thấy đợc từ tính tốn sơ cấp đạo hàm cấp hàm logarith l õm trờn khong (0, ))

Định lý 2.6.

Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất p1, p2, , pn,

trong pi >0,1  i  n Khi H(X)  log2n Dờu "=" xảy khi

Chøng minh:

áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có: H(X)=−∑

i=1

n

pilog2pi=∑

i=1

n

pilog2(1/pi) log2∑

i=1

n

(piì1/pi)

= log2n

Ngoài ra, dấu "=" xảy pi = 1/n, i n Định lý 2.7.

H(X,Y)  H(X) +H(Y)

Đẳng thức (dấu "=") xảy X Y biến cố độc lập

Chøng minh

Giả sử X nhận giá trị xi,1 i m;Y nhận giá trị yj,1 j

n KÝ hiÖu: pi = p(X= xi),  i  m vµ qj = p(Y = yj ), 1 j  n KÝ

hiÖu ri j = p(X = xi ,Y = yj ),  i  m, j n (Đây phân bố xác

suất hợp)

Nhận thấy pi=

j=1

n

rij (1  i  m) vµ qj=∑

i=1

m

rij

(1  j  n) Ta cã qjlog2qj

∑

i=1

m

pilog2pi+∑

j=1

n

¿

H(X)+H(Y)=−¿

rijlog2qj

∑

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2pi+∑ j=1

n

∑

i=1

m

¿ ¿−¿

¿−∑

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2piqj

H(X , Y)=−∑

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2rij Mặt khác H(X , Y) H(X) H(Y)=

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2(1/rij)+∑

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2piqj Kết hợp lại ta thu đợc kết sau:

¿∑

i=1

m

∑

j=1

n

rijlog2(piqj/rij)

¿log2∑

i=1

m

∑

j=1

n

piqj

log21

(ở áp dụng bất đẳng thức Jensen biết rjj tạo nên

một phân bố xác suất )

Khi ng thc xảy ra, thấy phải có số c cho pjj / rjj = c với i,j Sử dụng đẳng thức sau:

∑

j=1

n

∑

i=1

m

rij=∑

j=1

n

∑

i=1

m

Điều dẫn đến c=1 Bởi đâửng thức (dấu "=") xảy rjj = pjqj, nghĩa là:

p(X = xj, Y = yj ) = p(X = xj )p(Y = yj )

với  i  m,  j  n Điều có nghĩa X Y độc lập Tiếp theo ta a khỏi nim entropi cú iu kin

Định nghÜa 2.5.

Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi với giá trị xác định bất kỳ y Y, ta có phân bố xác suất có điều kiện p(X|y) Rõ ràng là :

H(X∨y)=−∑

x

p(x∨y)log2p(x∨y) Ta định nghĩa entropi có điều

kiện H(X|Y) trung bình trọng số (ứng với xác suất p(y) của entropi H(X|y) giá trị y H(X|y) đợc tính bằng:

H(X∨Y)=−∑

y

❑∑

x

p(y)p(x∨y)log2p(x∨y) Entropi có điều kiện đo

lợng thông tin trung bình X Y mang lại

Sau õy hai kết trực tiếp ( Bạn đọc có th t chng minh)

Định lý 2.8.

H(X,Y) = H(Y) + H(X | Y)

HƯ qu¶ 2.9.

H(X |Y)  H(X)

Dấu xảy X Y độc lập.

2.4. Các khoá giả khoảng nhất

Trong phần áp dụng kết entropi cho hệ mật Trớc tiên quan hệ entropi thành phần hệ mật Entropi có điều kiện H(K|C) đợc gọi độ bất định khố Nó cho ta biết lợng thơng tin v khoỏ thu c t bn mó

Định lý 2.10.

Giả sử(P, C, K, E, D) hệ mật Khi đó: H(K|C) = H(K) + H(P) - H(C) Chứng minh:

Tríc tiªn ta thÊy r»ng H(K,P,C) = H(C | K,P) + H(K,P) Do y = eK(x)

nên khoá rõ xác định mã Điều có nghĩa H(C| K,C) = Bởi H(K,P,C) = H(K,P) Nhng K P độc lập nên H(K,P) = H(K) + H(P) Vì thế:

H(K,P,C) + H(K,P) = H(K) + H(P)

Tơng khố mã xác định rõ (tức x = dK(y)) nên ta có

H(P | K,C) = vµ bëi vËy H(K,P,C) = H(K,P) B©y giê ta sÏ tÝnh nh sau: H(K | C) = H(K,C) - H(C)

Đây nội dung định lý

Ta quay lại ví dụ 2.1 để minh hoạ kết Ví dụ 2.1 (tiếp)

Ta tính đợc H(P)  0,81, H(K) = 1,5 H(C) 1,85 Theo định lý 2.10 ta có H(K | C)  1,5 + 0,85 - 1,85  0,46 Có thể kiểm tra lại kết cách áp dụng định nghĩa entropi có điều kiện nh sau Trớc tiên cần phải tính xác suất xuất p(Kj | j),  i  3,  j  Để thực

điều áp dụng định lý Bayes nhận đợc kết nh sau: P(K1 | 1) = p(K2 | 1) = p(K3 | 1) =

` P(K1 | 2) = 6/7 p(K2 | 2) = 1/7 p(K3 | 2) =

P(K1 | 3) = p(K2 | 3) = 3/4 p(K3 | 3) = 1/4

P(K1 | 4) = p(K2 | 4) = p(K3 | 4) =

B©y giê ta tÝnh:

H(K | C) = 1/8  +7/16  0,59 + 1/4  0,81 + 3/16  = 0,46 Giá trị giá trị đợc tính theo định lý 2.10

Giả sử (P, C, K, E, D ) hệ mật đợc sử dụng Một xâu rõ x1x2 xn đợc mã hoá khoá để tạo mã y1y2 yn Nhớ lại

rằng, mục đích thám mã phải xác định đợc khoá Ta xem xét phơng pháp công với mã coi Oscar có khả tính tốn vơ hạn Ta giả sử Oscar biết rõ văn theo ngôn ngữ tự nhiên (chẳng hạn văn tiếng Anh) Nói chung Oscar có khả rút số khoá định ( khoá hay khố chấp nhận đợc) nhng có khố đúng, khố cịn lại (các khố khơng đúng) đợc gọi khố giả

Ví dụ, giả sử Oscar thu đợc xâu mã WNAJW mã phơng pháp mã dịch vịng Dễ dàng thấy rằng, có hai xâu rõ có ý nghĩa river arena tơng ứng với khoá F( = 5) W( = 22) Trong hai khố có khố đúng, khố cịn lại khố giả (Trên thực tế, việc tìm mã MDV có độ dài giải mã có nghĩa khơng phải q khó khăn, bạn đọc tìm nhiều ví dụ khác) Mục đích ta phải tìm giới hạn cho số trung bình khố giả Trớc tiên, phải xác định giá trị theo entropi (cho kí tự) ngơn ngữ tự nhiên L ( kí hiệu HL ) HL lợng thơng tin trung bình kí tự xâu có nghĩa

cđa b¶n râ (Chó ý r»ng, mét xâu ngẫu nhiên kí tự bảng chữ sÏ cã entropi trªn mét kÝ tù b»ng log2 26  4,76) Ta cã thĨ lÊy H(P) lµ xÊp xØ bậc

nhất cho HL Trong trờng hợp L Anh ngữ, sử dụng phân bố xác suất

bảng 1.1, ta tính đợc H(P)  4,19

Dĩ nhiên kí tự liên tiếp ngơn ngữ không độc lập với tơng quan kí tự liên tiếp làm giảm entropi Ví dụ, Anh ngữ, chữ Q kéo theo sau chữ U Để làm xấp xỉ bậc hai, tính entropi phân bố xác suất tất đôi chia cho Một cách tông quát, ta định nghĩa Pn biến ngẫu nhiên có phân b xỏc sut ca

Định nghĩa 2.6

Giả sử L ngôn ngữ tự nhiên Entropi L đợc xác định lợng sau:

HL=lim

n → ∞

H(Pn)

n

Độ d L là: RL =l - (HL / log2 | P | )

NhËn xÐt: HL đo entropi kí tự ngôn ngữ L Một ngôn ngữ ngẫu

nhiờn s cú entropi l log2 |P | Bởi đại lợng RL đo phần "kí tự vợt trội"

phÇn d

Trong trờng hợp Anh ngữ, dựa bảng chứa số lớn đôi tần số, ta tính đợc H(P2) Ước lợng theo cách này, ta tính đợc

H(P2) 3,90 Cø tiÕp tơc nh cách lập bảng ba v.v ta thu

đ-ợc ớc lợng cho HL Trên thùc tÕ, b»ng nhiỊu thùc nghiƯm kh¸c nhau, ta cã

thể tới kết sau 1,0 HL 1,5 Tức lợng thông tin trung bình

tiếng Anh vào khoảng bít tới 1,5 bít kí tự!

Gi s ly 1,25 l giỏ trị ớc lợng giá trị HL Khi độ d vào

khoảng 0,75 Tức tiếng Anh có độ d vào khoảng 75%! (Điều khơng có nghĩa loại bỏ tuỳ ý kíb tự văn tiếng Anh mà có khả đọc đợc Nó có nghĩa tìm đợc phép mã Huffman cho n với n đủ lớn, phép mã nén văn tiếng Anh xuống 1/4 độ dài gốc)

Với phân bố xác suất cho K Pn Có thể xác định phân bố

xác suất Cn là tập n mã (Ta làm điều trờng

hợp n =1) Ta xác định Pn biến ngẫu nhiên biểu diễn n rõ

T-ơng tự Cn biến ngẫu nhiên biểu thị bé n cđa b¶n m·.

Với y  Cn, định nghĩa:

K(y) = { K  K:  x  Pn, p

Pn(x)  0, eK(x) =y}

sn=∑p(y)(¿K(y)∨−1)

¿∑ p(y)∨K(y)∨−∑p(y)

¿∑ p(y)∨K(y)∨−1

H(K∨Cn)=∑p(y)H(K∨y)

p(y)log2∨K(y)∨¿

p(y)∨K(y)∨¿ ∑¿log2∑¿=log2(sn+1)

nghÜa lµ K(y) lµ

tập khoá K cho y mã xâu rõ độ dài n có nghĩa, tức tập khố "có thể" với y mã cho Nếu y dãy quan sát đ-ợc mã số khố giả | K(y) | -1 có khố khố số khố Số trung bình khố giả (trên tất xâu mã độ dài n) đợc kí hiệu sn đợc tính nh sau:

Từ định lý 2.10 ta có:

H(K| Cn) =H(K) + H(Pn) - H(Cn).

Cã thĨ dïng íc lỵng sau:

H(Pn)  nH

L =n(1 - RL)log2| P |

H(Cn )  nlog

2| C |

Khi | P | = | C | thì:

H(K| Cn)  H(K) - nR

Llog2 | P | (2.1)

TiÕp theo xÐt quan hƯ cđa lỵng H(K | Cn) với số khoá giả s

n Ta có:

ở ta áp dụng bất đâửng thức Jensen (định lý 2.5) với f(x) = log2x Bởi

ta có bất đẳng thức sau:

H(K∨Cn)≤log2(sn+1) Kết hợp hai bất đẳng thức (2.1) (2.2), ta có :

log2(sn+1)≥ H(K)−nRLlog2∨P∨¿

Trong trờng hợp khoá đợc chọn đồng xác suất (Khi H(K) có giá trị lớn nht) ta cú kt qu sau

Định lý 2.11

Giả sử (P, C, K, E, D ) hệ mật | C | = | P | khoá đợc chọn đồng xác suất Giả sử RL độ d ngôn ngữ gốc Khi với xâu

bản mã độ dài n cho trớc ( n số đủ lớn), số trung bình khố giả sn thoả

mãn bất đẳng thức nh sau:

(¿∨P∨nRL)

¿K¿/¿ ¿

sn≥¿

Lỵng |K| / |P|nRL-1 tiÕn tíi theo hàm mũ n tăng

Ước lợng không xác với giá trị n nhỏ Đó H(Pn)/ n

không phải íc lỵng tèt cho HL nÕu n nhá

Ta đa khái niệm

Định nghĩa 2.7.

Khoảng hệ mật đợc định nghĩa giá trị n mà ứng với giá trị này, số khố giả trung bình (kí hiệu giá trị n0).

Điều có nghĩa n0 độ dài trung bình cần thiết mã để thám mã

có thể tính tốn khố cách với thời gian đủ lớn.

Nếu đặt sn =0 định lý 2.11 giải theo n ta nhận đợc ớc lợng

cho kho¶ng nhÊt:

n0 log2|K| / RL log2 |P|

VÝ dơ víi MTT, ta cã |P| = 26 vµ |K| =26 ! NÕu lÊy RL =0,75 th× ta

nhận đợc ớc lợng cho khoảng bằng:

n0  88,4/ (0,75 4,7)  25

Điều có nghĩa thơng thờng mã thám có đợc xâu mã với độ dài tối thiểu 25, nhận đợc giải mã

2.5 C¸c hƯ mËt m tÝch ·

Mét ph¸t minh kh¸c Shannon đa báo năm 1949 ý tởng kết hợp hệ mật cách tạo tích chúng ý tởng

cã tÇm quan träng to lín viƯc thiÕt kế hệ mật ( chẳng hạn chuẩn m· d÷ liƯu -DES )

Để đơn giản, phần hạn chế xét hệ mật C=P: hệ mật loại đợc gọi tự đồng cấu Giả sử S1= (P, P, K1, E1, D1) S2=

(P, P, K2, E2, D2) hai hệ mật tự đồng cấu có khơng gian mã

rõ Khi đó, tích S1 S2 (kí hiệu S1 S2) đợc xác định hệ mật sau:

(P, P, K1 K2, E, D)

e(K1, K2)(x)=eK2(eK1(x)) d(K1, K2)(y)=dK1(dK2(y))

e(K1, K2)(x)=d(K1, K2)(eK2(eK1(x)))

¿

dK2(eK2(eK1(x)))

¿dK

1(¿¿dK1(eK1(x)))

¿

d(K1, K2)¿

Khố hệ mật tích có dạng K = (K1,K2) K1  K1 K2 K2 Các

quy tắc mã giải mã hệ mật tích đợc xác định nh sau: Với K = (K1,K2), ta có quy tắc mã EK xác định theo cơng thức:

vµ quy tắc giải mÃ:

Nghĩa trớc tiên ta mà hoá x eK1 mà lại kết eK2 Quá

trình giải mà tơng tự nhng thực theo thứ tự ngợc lại:

Ta bit rằng, hệ mật có phân bố xác suất ứng với khơng gian khố chúng Bởi vậy, cần phải xác định phân bố xác suất cho khơng gian khố K hệ mật tích Hiển nhiên ta viết:

pK(K1,K2)= pK1(K1)  pK2=(K2)

Nói cách khác, ta chọn K1 có phân bố pK1 chọn cách độc lập K2

cã ph©n bè pK2(K2)

Sau ví dụ đơn giản để minh hoạ khái niệm hệ mật tích Giả sử định nghĩa hệ mật mã nhân nh hỡnh 2.2 sau

Hình 2.2 MÃ nhân

Cho M hệ mã nhân ( Với khoá đợc chọn đồng xác suất) S MDV ( với khố chọn đồng xác suất) Khi dễ dàng thấy MS hệ mã Affine ( với khoá đợc chọn đồng xác suất) Tuy nhiên việc chớng tỏ S M hệ mã Affine khó chút ( với khóa đồng xác suất)

Ta chứng minh khẳng định Một khố dịch vịng phần tử K Z26 quy tắc giải mã tơng ứng eK(x) = x + K mod 26 Cịn khố

Giö sö P = C = Z26 giả sử:

K = {a Z26: UCLN(a,26) = 1}

Với a  K, ta xác định: ea(x) = ax mod 26

vµ da(y) = a-1y mod 26

hÖ mà nhân phần tử a Z26 cho UCLN(a,26) = Quy tắc mà tơng ứng

là ea(x) = a mod 26 Bëi vËy, mét kho¸ m· tÝch M  S cã d¹ng (a,K),

trong

e(a,K)(x) =a x + K mod 26

Đây định nghĩa khố hệ mã Affine Hơn nữa, xác suất khoá hệ mã Affine là:1/312 = 1/12  1/26 Đó tích xác suất tơng ứng khoá a K Bởi M S hệ mã A ffine

Bây ta xét S M Một khoá hệ mã có dạng (K ,a) đó:

e(K,a)(x) = a(x+K) = a x + aK mod 26

Nh khố (K,a) mã tích SM đồng với khoá (a, aK) hệ mã Affine Vấn đề lại phải chứng tỏ khoá mã Affine xuất với xác suất 1/312 nh mã tích SM Nhận thấy rằng, aK = K1 K = a-1K1, ( nhớ lại UCLN(a,26) =1, a có

phần tử nghịch đảo) Nói cách khác, khố (a, K1) hệ mã Affine tơng đơng

víi kho¸ (a-1K

1,a) cña m· tÝch SM Bëi vËy, ta có song ánh hai

khụng gian khoỏ Vì khố đồng xác suất nên thấy SM thực mã Affine

Ta chứng minh M S = S  M Bởi vậy, hai hệ mật giao hốn Tuy nhiên khơng phải cặp hệ mật giao hốn; tìm ta đợc cặp phản ví dụ, Mặt khác ta thấy phép tích ln kết hợp:

(S1 S2)  S3 = S1 (S2  S3)

Nếu lấy tích hệ mật tự đồng cấu với ta thu đợc hệ mật SS (kí hiệu S2) Nếu lấy tích n lần hệ mật kết Sn Ta gọi Sn

lµ hƯ mËt lỈp

Một hệ mật S đợc gọi luỹ đẳng S2 = S Có nhiều hệ mật đã

nghiên cứu chơng mật luỹ đẳng Chẳng hạn hệ MDV, MTT, Affine, Hill, Vigenère hoán vị luỹ đẳng Hiển nhiên hệ mật S luỹ đẳng khơng nên sử dụng hệ mâth tích S2 u cầu lợng khố

cực lớn mà khơng có độ bảo mật cao

Nếu hệ mật khơng phải luỹ đẳng có khả làm tăng độ mật cách lặp nhiều lần ý tởng đợc dùng chuẩn mã liệu (DES) Trong DES dùng 16 phép lặp, tất nhiên hệ mật ban đầu phải hệ mật không luỹ đẳng Một phơng pháp xây dựng hệ mật khơng luỹ đẳng đơn giản lấy tích hai hệ mật đơn giản khác

NhËn xÐt:

Có thể dễ dàng chứng tỏ rằng, hai hệ mật S1 S2 luỹ đẳng

giao hốn S1 S2 luỹ đẳng Điều rút từ phép toán đại

sè sau:

(S1 S2) (S1 S2) = S1 (S2 S1)  S2

=S1  (S1 S2)  S2

=(S1  S1)  (S2  S2)

= S1 S2

Bởi vậy, S1 S2 luỹ đẳng ta muốn S1  S2 khơng

luỹ đẳng điều kiện cần S1 S2 khơng giao hốn

Rất may mắn nhiều hệ mật đơn giản thoả mãn điều kiện Kỹ thuật th-ờng đợc sử dụng thực tế lấy tích hệ mã kiểu thay hệ mã kiểu hoán vị Trong chơng sau ta xét thể cụ thể k thut ny

2.5. Các giải.

Khỏi niệm độ mật hoàn thiện việc sử dụng kỹ thuật entropi hệ mật lần Shannon đa [SH49] Các hệ mật tích đợc thảo luận báo Khái niệm entropi Shannon đa [SH48] Các sách nhập môn tốt entropi, mã Huffman vấn đề có liên quan có tài liệu Welsh [WE88] Goldie, Pinch [GP91] Các kết phần 2.4 đợc lấy theo Beauchemin Brassard [BB88], tác giả tổng quát hoá kết ban đầu Shannon

Bµi tËp

2.1 Cho n số ngun dơng Một hình vng Latin cấp n (L) bảng n  n số nguyên 1, , n cho số n số nguyên xuất lần hàng cột L Ví dụ hình vng Latin cấp có dạng:

1

3

2

Với hình vng Latin L cấp n, ta xác định hệ mã tơng ứng Giả sử P = C = K = { 1, , n} Với  i  n, quy tắc mã hoá ei đợc

xác định ei(j) = L(i,j) Do hàng L cho quy tắc mã hố)

Hãy chứng minh rằng, hệ mật hình vng Latin có độ mật hồn thiện

2.2 Hãy chứng tỏ mã Affine có độ mật hồn thiện

2.3 Giả sử hệ mật đạt đợc độ mật hoàn thiện với phân bố xác suất p0

đó rõ Hãy chứng tỏ độ mật hồn thiện cịn đợc phân bố xác suất rõ

2.4 Hãy chứng tỏ hệ mật có độ mật hoàn thiên |K| = |C| = |P| mã đồng xác suất.

2.5 Giả sử X tập có lực lợng n, 2k  n  2k+1 p(x) =1/n với

mäi x X

a/ Hãy tìm phép mã hố có tiền tố độc lập X (kí hiệu f) cho l(f) = k+2 - 2k+1/n

Chỉ dẫn: Hãy mã hoá 2k+1-n phần tử X xâu có độ dài k và

b/ H·y minh ho¹ cÊu tróc bạn n = Tính l(f) H(X) tr-ờng hợp

2.6 Gi s X = {a,b,c,d,e} có phân bố xác suất nh sau: p(a) = 0,32, p(b) = 0,23 p(c) = 0,20, p(d) = 0,15, p(e) = 0,10 Hãy dùng thuật tốn Huffman để tìm phép mã hố tối u có tiền tố độc lập X So sánh độ dài phép mã với H(X)

2.7 Hãy chứng tỏ H(X,Y) = H(Y) +H(X|Y) Sau chứng minh bổ đề H(X|Y)  H(X), đẳng thức xảy X Y độc lập

2.8 Chứng minh rằng, hệ mật có độ mật hồn thiện H(P| C) = H(P)

2.9 Chứng minh hệ mật H(K|C) H(P C) ( mặt trực giác, kết nói với mã cho trớc, độ bất định thám mã khố lớn độ bất định thám mã rõ)

2.10 Xét hệ mật trơng P = {a,b,c}, K = {K1,K2,K3} C = {1,2,3,4}

Gi¶ sư ma trËn m· ho¸ nh sau:

a B c

K1

K2

K3

Giả sử khoá đợc chọn đồng xác suất phần bố xác suất rõ pP(a) = 1/2, pP(b) = 1/3, pP(c) = 1/6 Hãy tính H(P), H(C), H(K), H(K|C)

vµ H(P|C)

2.11 H·y tÝnh H(K|C) vµ H(K|P,C) cđa hƯ m· Affine

2.12 Xét hệ mã Vigenère có độ dài từ khoá m Hãy chứng tỏ khoảng 1/RL, RL độ d ngôn ngữ xét (kết đợc

hiểu nh sau: Nếu n0 số kí tự cần mã hố độ dài rõ n0/m

mỗi phần tử rõ gồm m kí t Bëi vËy, kho¶ng nhÊt 1/RL øng víi

mét b¶n râ gåm m/RL kÝ tù)

2.13 Hãy rằng, khoảng hệ mã Hill ( với ma trận mã hoá mm) nhỏ m/RL ( ý số kí tự mơt rõ có độ dài

lµ m2/R

L)

2.14 MTT khơng gian rõ ( có kích thớc n) có |K| = n! Cơng thức Stirling cho ớc lợng sau n:

n/e¿n

n 2n

a/ Dùng công thức Stirling, đa khoảng ớc lợng cho khoảng MTT

b/ Cho m 1 số nguyên MTT m hệ mã thay không gian rõ ( mã) chứa tất 26m m Hãy đánh giá

kho¶ng nhÊt cña MTT bé m nÕu RL = 0,75

2.15 Hãy chứng minh MDV luỹ đẳng

2.16 Giả sử S1 MDV ( với khố đồng xác suất) S2 MDV

các khoá đợc chọn theo phân bố xác suất pK ( khơng đồng xác

st) H·y chøng tá r»ng S1S2 = S1

2.17 Giả sử S1 S2 hệ mã Vigenère có độ dài từ khoá tơng ứng m1

và m2 m1  m2

b/ Ta thử tổng quát hoá kết giả định S2S1 = S3, S3

là hệ mã Vigenère có độ dài từ khố BCNN(m1,m2) ( BCNN - bội chung

nhỏ nhất) Hãy chứng tỏ giả định không

ChØ dÉn: Nếu m1 mod m2 số khoá hƯ m· tÝch S1S nhá h¬n