a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp được trong một đường tròn.. Sắp xếp mười số đó một cách tuỳ ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười tổng. Chứng mi[r]
(1)TUYỂN TẬP ĐỀ THI MƠN TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ
(Thi vào THPT, THPT chuyên, thi HSG)
ĐỀ SỐ 1 Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức
1 a
2 a
1 : a a
1 a
a K
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tính giá trị K a 32 2.
c) Tìm giá trị a cho K <
Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình:
334 y x
1 y mx
a) Giải hệ phương trình cho m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 3. (4 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F
a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM cắt EO tạo P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao?
c) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH
d) Cho AB = 2R gọi r bán kính nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng:
1 R
r
Bài 4. (2 điểm)
Người ta rót đầy nước vào ly hình nón cm3 Sau người ta rót
nước từ ly để chiều cao mực nước lại nửa Hãy tính thể tích lượng nước cịn lại ly?
ĐỀ SỐ 2 Bài 1. (2,5 điểm)
Cho biểu thức
x x x
1 x : x
8x x
x P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị x để P = -
c) Tìm m để với giá trị x > ta có m
x 3
P x1Bài 2. (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình:
(2)Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho 3AO
2 AI
Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AME ACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 4. (2 điểm)
Một hình chữ nhật ABCD có diện tích cm2, chu vi cm AB > AD Cho hình
chữ nhật quay quanh cạnh AB vòng ta hình gì? Hãy tính thể tích diện tích xung quanh hình tạo thành
ĐỀ SỐ 3 Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho biết A 93 B9 7 Hãy so sánh A + B A.B.
b) Tính giá trị biểu thức: 5 :
1
1 M
Bài 2. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x4 + 24x2 -25 = 0.
b) Giải hệ phương trình:
34 8y 9x
2 y 2x
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = với x ẩn số, m tham số. (1)
a) Giải phương trình (1) m = -1
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phương nghiệm lại
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn, góc A 450 Vẽ đường cao BD và
CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: HD = DC
c) Tính tỉ số: BC DE
d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE
Bài 5. (2 điểm)
Một hình trụ thạch cao tích 12 cm3 ngừi ta gọt để hình nón
có đáy đáy hình trụ chiều cao nửa chiều cao hình trụ Hãy tình thể tích hình nón
(3)a) Tìm tập xác định hàm số
b) Chứng minh f(a) = f(- a) với - 2 a 2.
c) Chứng minh y2 4.
Bài 2. ( điểm) Giải toán cách lập phương trình: Một tam giác có chiều cao
2
cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm cacnhj đáy tăng thêm dm diện tích giảm 14 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác.
Bài 3. ( điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đinh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn
b) Khi điểm D di động đường trịn BMD + BCD khơng đổi
c) DB.DC = DN.AC
Bài 4. ( điểm)
Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo O Một đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABCD) O Lấy điểm S d Nối SA, SB, SC, SD
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD)
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (SBD) c) Tính SO, biết AB = cm; ABD = 300, ASC = 600
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu x, y số dương x y y x
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức nào?
ĐỀ SỐ 5
Bài 1. ( điểm) Cho 2(1 x 2)
1 2)
x 2(1
1 A
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2. ( điểm)
a) Giải hệ phương trình
2 15 y x
5 2y 3x
b) Giải phương trình 2x2 2x
Bài 3. ( điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB CD; AD CE
a) Chứng minh BC// DE
b) Chứng minh từ giác CODE; APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP hình gì?
Bài 4. ( điểm)
(4)b) Tính diện tích tồn phần hình chóp
Bài 5. ( điểm)
Tính giá trị nhỏ biểu thức: P (x2005)2 (x2006)2
ĐỀ SỐ 6 Bài 1. ( điểm)
Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m Xác định (D) trường hợp
sau:
a) (D) qua điểm A(- 1; 2).
b) (D) cắt trục hoành điểm B có hồnh độ
Bài 2. ( điểm) Cho biểu thức x 2x
A 2
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Với giá trị x A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị
Bài 3. ( điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn (O) (O') cắt đường tròn (O') (O) theo thừ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh:
a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng b) BQD = APB
c) Từ giác APBQ nội tiếp
Bài 4. ( điểm)
Cho tam giác ABC vng B Vẽ nửa đường thẳng AS vng góc với mặt phẳng (ABC) Kẻ AM vng góc với SB
a) Chứng minh AM vng góc với mặt phẳng (SBC)
b) Tính thể tích hình chóp SABC, biết AC = 2a; SA = h ACB = 300
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > thoả mãn z y x
2z y x
1 z
2y x
1 z
y 2x
1
.
ĐỀ SỐ 7 Bài 1. ( điểm) Tìm x biết: x 12 18 x 8 27.
Bài 2. ( điểm) Cho phương trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0. (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại
Bài 3. ( điểm)
Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/giờ đến sớm giờ, giảm vận tộc km/giờ đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định
(5)Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD song song với AC Nối BK cắt AC I
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD cho BD// AC b) Chứng minh: IC2 = IK.IB.
c) Cho góc BAC 600 Chứng minh cát tuyến AKD qua O.
Bài 5. ( điểm)
Biết a, b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh a b 2 b
a2
ĐỀ SỐ 8
Bài 1. ( điểm) Cho biểu thức
xy y x x xy
y y
xy x : y x
xy y x P
a) Với giá trị x y biểu thức có nghĩa? b) Rút gọn P
c) Tìm số trị biểu thức với x = 3; y = +
Bài 2. ( điểm)
a) Cho hàm số y = ax + b
Tính a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2; - 1) cắt trục hoành điểm có hồnh độ 3/2
b) Viết cơng thức hàm số, biết đồ thị song song với đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -
Bài 3. ( điểm) Giải toán cách lập phương trình:
Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh phải điều dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn loại xe dược huy động
Bài 4. ( điểm)
Cho tam giác ABC cân A, có góc A nhọn Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN vng góc với AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM EN cắt F
a) Tìm tứ giác nội tiếp đường trịn Giải thích sao? Xác định tâm đường trịn
b) Chứng minh EB tia phân giác góc AEF
c) Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước hình lập phương tích lớn
ĐỀ SỐ 9 Bài 1. ( điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 đường thẳng (D) có phương trình y = 2x + 3.
Từ suy nghiệm phương trình x2 - 2x - = (có giải thích).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (D) tiếp xúc với (P)
(6)Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi
Bài 3. ( điểm)
Tìm m cho hệ phương trình hai ẩn x, y:
nx y
x y y
m
ì + =
ïï
íï + = ïỵ
có nghiệm với giá trị n
Bài 4. ( điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn Dựng hình vng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C Gọi F giao điểm AE nửa đường tròn tâm (O) K giao điểm CF ED
a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm đường trịn b) BKC tam giác ? Vì ?
c) Tìm quỹ tích điểm E A di động nửa đường tròn (O)/
Bài 5. ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc
Đẳng thức xảy ?
ĐỀ SỐ 10(1)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
2 x
x x : x x
1 x x x
1 x
A 2
3
3
, với x 2;1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A cho x 62 .
c) Tính giá trị x để A =
Bài 2. (2 điểm)
Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 120 km, 45 phút Tính vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h
Bài 3. (2 điểm) Giải bất phương trình sau: a) + 4x(x + 3) > + 4x(x + 5)
b) x x
15 2x 4x x
2
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C, có BC =
AB Trên cạnh BC lấy điểm E (E B, C), từ
B kẻ đường thẳng d vng góc với AE, gọi giao điểm d với AE, AC kéo dài I, K
a) Tính độ lớn góc CIK
b) Chứng minh KA.KC = KB.KI
c) Gọi H giao điểm đường trịn đường kính AK với cạnh AB, chứng minh H, E, K thẳng hàng
(7)ĐỀ SỐ 11(2)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
x 2003 x
x
1 4x x x
1 x x
1 x
K 2
2
a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức K
c) Với nhừng giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 2. (2 điểm)
Cho hàm số y = x + m (D) Tìm giá trị m để đường thẳng (D): a) Đi qua điểm A(1; 2003);
b) Song song với đường thẳng x - y + = 0; c) Tiếp xúc với parabol
2
x y
Bài 3. (3 điểm)
a) Giải toán cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật
b) Chứng minh bất đẳng thức:
2003 2002
2002 2003 2003
2002
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
a) Chứng minh CDEF từ giác nội tiếp
b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại ?
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB,
ADC Chứng minh r2 = r
12 + r22
ĐỀ SỐ 12(3)
Bài 1. (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 4x 49
.
b) Giải hệ phương trình:
12 3y 2x
4 y x y
x
c) Giải bất phương trình:
4 x
1 x
2
Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức x 2x
2
có giá trị lớn nhất.
(8)b) Rút gọn biểu thức:
, b
b a a : b a a
b a a b a a
b a a
P 2
2
2 2
2 2
với a > b>
Bài 3. (2 điểm)
Nếu hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 bể đầy Sau hai vịi chảy người ta khố vịi I, cịn vịi II tiếp tục chảy Do tăng cơng suất vịi II lên gấp đơi, nên vòi II chảy đầy phần lại bể giở rưỡi Hỏi vòi chảy với cơng suất bình thường đầy bể ?
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AE CD cắt H (H trực tâm tam giác ABC)
a) Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I đoạn thẳng BH b) Gọi K trung điểm cạnh AC Chứng minh KD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE
ĐỀ SỐ 13(4)
Bài 1. (2 điểm) Cho hệ phương trình:
2 y ax
1 ay x
(1) a) Giải hệ phương trình (1) a =
b) Với giá trị a hệ (1) có nghiệm
Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức
1 x : x
1 x x
x
x x
2 x
A
với x > x
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Chứng minh rằng: < A <
Bài 3. (2 điểm) Cho phương trình (m - 1)x2 + 2mx2 + m - = 0. (*)
a) Giải phương trình (*) m =
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biết
Bài 4. (3 điểm)
Từ điểm M nằm đường trịn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến AM, MB (A, B tiếp điểm) đường thẳng qua M cắt đường tròn C D Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng OM, MD, OI
a) Chứng minh rằng: R2 = OE.OM = OI.OK.
b) Chứng minh điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn
c) Khi cung CAD nhỏ cung CBD, chứng minh góc DEC hai lần góc DBC
Bài 5. (1 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 14
z y x
2 zx
yz xy
3
2
2
(9)ĐỀ SỐ 14(5)
Bài 1. (2 điểm) Cho hám số y = f(x) =
2
x
a) Hãy tính f(2), f(- 3), f(- 3), f(
) b) Các điểm A(1;
3
), B( 2; 3), C(- 2; - 6), D( ;
) có thuộc đồ thị hàm số khơng?
Bài 2. (2,5 điểm) Giải phưng trình:
a)
1 x
1 x
1
b) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4) Bài 3. (1 điểm) Cho phương trình 2x2 - 5x + = 0.
Tính x1 x2 x2 x1 (với x1 x2 hai nghiệm phương trình) Bài 4. (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đường
trịn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F
Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đường thẳng
CE đường thẳng DF cắt I a) Chứng minh IA vng góc với CD
b) Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF
Bài 5. (1 điểm) Tìm số nguyên m để m2 m23 số hữu tỉ.
ĐỀ SỐ 15 Bài 1. ( điểm) Xét biểu thức:
2
2 x x x
2 x
x x
P
a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lớn P
Bài 2. ( điểm)
Giải hệ phương trình:
5xy 3y 4x
xy x y
Bài 3. ( điểm)
Cho nửa tròn (O; R) Hai đường kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC AE cắt CO F, DE cắt AB M
a) CEF EMB tam giác ?
b) Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp đường trịn Tìm tâm đường trịn
(10)c) Chứng minh đường thẳng OE, BF, CHỉNG MINH đồng quy
Bài 4. ( điểm)
Phân tích thừa số: a4 - 5a3 + 10a + 4.
Áp dụng giải phương trình: x 5x x
2
ĐỀ SỐ 16(6)
Bài 1. (4 điểm) Cho phương trình: (2m - 1)x2 - 2mx + = 0.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (- 1; 0) b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
1 x x12 22 Bài 2. (5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau đây:
a) 7 x x x2 12x38
b)
7 xy y x
8 y x y x
2
2
c)
1 y x
1 y x
Bài 3. (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh: c
a c
c
b c
abb) Cho x 1, y Chứng minh:
xy
2 y
1 x
1
2
Bài 4. (3 điểm)
Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn
Bài 5. (2 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng di động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ
Bài 6. (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) (d'), đường thẳng (d) cắt (O) C cắt (O') D, đường thẳng (d') cắt (O) M cắt (O') N cho AB phân giác góc MAD Chứng minh CD = MN
ĐỀ SỐ 17(7)
Bài 1. ( điểm) Rút gọn biểu thức:
10
5
3 10
5 A
(11)Bài 2. ( điểm)
Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai x2 - x - = 0.Chứng minh biểu
thức P = a + b + a3 + b3; Q = a2 + b2 a4 + b4; R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 số nguyên
và chia hết cho
Bài 3. ( điểm) Cho hệ phương trình (x y ẩn số):
m y 4xy 4x
1 xy 2x
2
2
(1) a) Giải hệ phương trình (1) với m =
b) Tìm m cho hệ phương trình (1) có nghiệm
Bài 4. ( điểm)
Cho hai vịng trịn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi điểm T Hai vòng tròn nằm
trong vòng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến chung T
(C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt vòng tròn (C1) điểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm
thứ hai B PN cắt vòng tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ hai C
a) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng quy
Bài 5. ( điểm)
Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác, có diện tích Tính diện tích ngũ giác
ĐỀ SỐ 18(I8)
Bài 1. (5 điểm) Cho a, b, c số dương 1/ Cho ;B ab
b a
A
, chứng minh: a) A B
b)
A B
Ab a B
2
với a b
2/ Rút gọn biểu thức: abc2 acbc abc acbc . Bài 2. (4 điểm)
Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x: a1x2 + b1x + c1 = a2x2 + b2x + c2 = có nghiệm
chung Chứng minh rằng: (a1c2 - a2c1)2 = (a1b1 - a2b1)(b1c2 - b2c1)
Bài 3. (3 điểm)
Với giá trị m nghiệm phương trình x2 - 8x + 4m = gấp
đơi nghiệm phương trình x2 + x - 4m = 0.
Bài 4. (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, dây AB cố định, C điểm chuyển động cung nhỏ AB Gọi M trung điểm dây BC, từ M vẽ MN vng góc với tia AC (N AC)
a) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định b) Tìm tập hợp điểm M
Bài 5. (4 điểm)
Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC D E
a) Gọi O' tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE, tính OO'
(12)b) Các đường phân giác góc B góc C cắt đường thẳng DE M N Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp
c) Chứng minh: AB
EN AC DM BC MN
ĐỀ SỐ 19(9)
Bài 1. (7 điểm) Rút gọn:
a) 2 3 2 A
b)
3 2 24 3 2 3 B
c) 2003
1 2002 1 1 1 1
C 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: x2 9x202 3x10
Bài 3. (3 điểm)
a) Với x, y không âm; tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2004,5 x 3y xy x
P
b) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2x x x
f(x)
Bài 4. (8 điểm)
Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trực tâm đoạn thẳng EA AF
1) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA 2) Hai đường kính AB CD có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ
3) Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 DF
CE BF BE 3
4) Nếu tam giác vng BEF có hình vng BMKN nội tiếp (KEF; MBE N BF) cho cạnh hình vng tỉ lệ với bán kính đường trịn nội tiếp tam giác BEF theo tỉ số
2 2
góc tam giác BEF ?
ĐỀ SỐ 20(10)
Bài 1. (4 điểm) Cho biểu thức:
x 16 x x x x x A
Rút gọn tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Bài 2. (4 điểm) Rút gọn biểu thức: a) 4 4
(13)b) 62 3 2 12 18 128
Bài 3. (4 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m -1)x + 2m2 - 3m + = 0.
a) Chứng minh phương trình có nghiệm m
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình, chứng minh:
9 x x x
x1 2 1 2
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính AH Đường trịn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh tứ giác ADHE hình nhật điểm D, O, E thẳng hàng
b) Các tiếp tuyến đường tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tương ứng M N Chừng minh M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC
c) Cho AB = 8cm; AC = 19cm Tính diện tích tứ giác MDEN ?
Bài 5. (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, vẽ tia Ax vng góc với AD, cắt BC E; tia Ay vng góc với AB cắt CD F Chứng minh EF qua O
ĐỀ SỐ 21(11)
Bài 1. ( điểm) Rút gọn biểu thức: A x-2-2 x-3 x1 x 3, với x 4. Bài 2. ( điểm)
a) Chứng minh rằng: b a b
a2
với a, b
b) Cho tam giác ABC, gọi M điểm nằm bên tam giác Các đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F Tìm giá trị nhỏ biểu thức
MF CM ME
BM MD
AM
P
Bài 3. ( điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = - 3xy + 8y2.
Bài 4. ( điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đường tròn cắt M Gọi P giao điểm hai đường thẳng AD BC
a) Chứng minh PN vng góc với AB b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng
Bài 5. ( điểm)
Cho hình vng có độ dài m, hình vuong đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính
1
m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn
ĐỀ SỐ 22(12)
Bài 1. ( điểm)
(14)Tìm số có chữ số Biết ta xố chữ số cuối số bậc ba số ban đầu
Bài 2. ( điểm) Chứng minh rằng:
ab ac ad bc bd cd
8 d c b
a
với a, b, c, d R
Bài 3. ( điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x 2; x4 x 3.
b) Chứng minh giá trị biểu thức: x x
10 x
x x
1 x x x
2x M
(với x 0)
không phụ thuộc vào biến số x
Bài 4. ( điểm)
Cho tam giác AHC có ba góc nhọn, đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB vng góc với AH; hai trung tuyến AM BK tam giác ABC cắt I, hai trung trực đoạn thẳng AC BC cắt O
a) Chứng minh ABH MKO
b) Chứng minh:
2 IB
IH IA
IM IK IO
3 3
3 3
ĐỀ SỐ 23(13)
A PHẦN BẮT BUỘC:
Bài 1. (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau đây:
a) 2x 3 5 2x 3x2 12x14 b)
7 y x
4 y x
Bài 2. (4 điểm)
a) Cho xy = x > y Chứng minh: x y 2 y
x2
b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn a + b + c = Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Bài 3. (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AI Gọi E trung điểm AB K trung điểm OI Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn
Bài 4. (4 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM
B PHẦN CHỌN.Học sinh chọn hai sau đây:
Bài 5a.(4 điểm)
a) Xác định m để phương trình 2x2 + 2mx + m2 - = có hai nghiệm.
b) Gọi hai nghiệm x1, x2, tìm giá trị lớn biểu thức: A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4
Bài 5b (4 điểm)
(15)Cho biểu thức:
6 x x
x x
2 x x
3 x : x
x x P
(x 0, x 9, x 4)
a) Thu gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị x để P =
ĐỀ SỐ 24(14)
Bài 1. (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
14 z y x
1 zx yz xy
6 z y x
2 2
b) Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 4x y
8x2 2
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ
Bài 2. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi M trung điểm cạnh BC, H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh BC Tính độ dài AK diện tích tam giác ABC, biết OM = HK = 4KM
1
AM = 30 cm
Bài 3. (3,5 điểm)
a) Tìm m phương trình (m + 1)x
2 - 3mx + 4m = có nghiệm dương.
b) Giải phương trình: x2 3x1
x3
x2 1ĐỀ SỐ 25(15)
Bài 1. (3,5 điểm)
a) Giải phương trình:
x x x
3 x
x x
3 x
2 2
2
b) Chứng minh: ab
2 b
1 a
1
2
2
với a 1, b 1. Bài 2. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I trung điểm BC, M điểm đoạn CI (M khác C I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D Tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI M cắt đường thẳng BD, DC P Q
Chứng minh DM.IA = MP.IB tính tỉ số MQ MP
Bài 3. (3 điểm)
a) Giải phương trình: x13 x8 x3 1
b) Tìm số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz - 1)
(16)ĐỀ SỐ 26(16)
Bài 1. (6 điểm)
1) Chứng minh rằng: 48 A
số nguyên
2) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho
2
2 a cba
1 n abc
với n số nguyên lớn
Bài 2. (6 điểm)
1) Giải phương trình: x3 2x2 2x 2
2) Cho parabol (P):
2
x y
đường thẳng (d): 2x y
a) Vẽ (P) (d) hệ trục toạ độ Oxy
b) Gọi A, B giao điểm (P) (d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn
c) Tìm điểm N trên trục hồnh cho NA + NB ngắn
Bài 3. (8 điểm)
1) Cho đường tròn tâm O dây cung BC không qua tâm O Một điểm A chuyển động đường tròn (A khác B, C) Gọi M trung điểm AC, H chân đường vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng minh H nằm đường tròn cố định
2) Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') với R' > R, cắt hai điểm A, B Tia OA cắt đường tròn (O') C tia O'A cắt đường tròn (O) D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC BE
ĐỀ SỐ 27(17)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: a2 16 a
4 a a a a A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên lớn (aZ; a > 8) để A có giá trị nguyên
Bài 2. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x 4x x 4x
5
2
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình: (d1):
4; x y
(d2): y = 2; (d3): y = (k + 1)x + k
Tìm k ba đường thẳng cho đồng quy
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai x: (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = với m - (1)
a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1, x2 nghiệm (1), tìm m để x1x2 > x1 = 2x2
16() Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Bình Thuận, năm học 2003 - 2004
(17)Bài 4. (3,5 điểm)
Từ điểm A nằm đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường trịn (O) (M khác B, C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q
a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tỉ số FE
PQ
không đổi M di chuyển đường tròn
ĐỀ SỐ 28(18)
Bài 1. ( điểm)
1) Giải phương trình: 8 x 5 x 5.
2) Giải hệ phương trình:
17 xy y y x x
8 y x
Bài 2. ( điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
Chứng minh phương trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vô nghiệm.
Bài 3. ( điểm)
Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phương.
Bài 4. ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: zx yz
1 xy
1 P
trong x, y, z số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2
Bài 5. ( điểm)
Cho hình vng ABCD, M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B) N thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho MAN = MAB + NAD
1) BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn
2) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định M N thay đổi
3) Kí hiệu diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2
Chứng minh tỉ số
S S
không đổi M N thay đổi
ĐỀ SỐ 29(19)
Bài 1. ( điểm)
1) Giải phương trình: x2 3x2 x3 x 2 x2 2x
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y =
Bài 2. ( điểm)
Giải hệ phương trình:
3y x y x
1 xy y x
3
2
Bài 3. ( điểm)
(18)Cho mười số nguyên dương 1, 2, 3, …, 10 Sắp xếp mười số cách tuỳ ý thành hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta mười tổng Chứng minh rằng: mười tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống
Bài 4. ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c 16c b
c a
9b a
c b
4a P
trong a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
Bài 5. ( điểm)
Đường tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm A', B', C'
1) Gọi giao điểm đường tròn (C) với đoạn IA, IB, IC M, N, P Chứng minh đường thẳng A'M, B'N, C'P đồng quy
2) Kéo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D (khác A) Chứng minh ID 2r
IB.IC
, r bán kính đường tròn (C)
ĐỀ SỐ 30(20)
Bài 1. ( điểm) Chứng minh đẳng thức:
1
3 1
2
2 1
2
Bài 2. ( điểm) Giải phương trình: x x x3
Bài 3. ( điểm) Giải hệ phương trình:
4y x z
1 4x z y
1 4z y x
Bài 4. ( điểm) Tìm tất số có chữ số abcde ab Bài 5. ( điểm)
Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB theo thứ tự D, E F Đường thẳng vng góc với OC O cắt hai cạnh CA CB I vad J Một điểm P chuyển động cung nhỏ DE không chứa điểm F, tiếp tuyến P (O) cắt hai cạnh CA, CB M N Chứng minh :
a) MON = (không đổi), định theo góc tam giác ABC
b) Ba tam giác IMO, OMN, JON đồng dạng với Từ suy ra: IM.JN = OI2 = OJ2.
(*)
c) Đảo lại, M N hai điểm theo thứ tự lấy hai đoạn thẳng CE CD thảo mãn hệ thức (*) MN tiếp xúc với đường trịn (O)
ĐỀ SỐ 31(21)
Bài 1. ( điểm)
(19)Chứng minh số: x0 2 2 6 2 nghiệm phương trình
x4 - 16x2 + 32 = 0.
Bài 2. ( điểm)
Cho x > 0, y > thoả mãn x + y Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức:
y x 2y 3x
P Bài 3. ( điểm)
Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiện n cho cach viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống nhau.
Bài 4. ( điểm)
Cho tam giác ABC M, N trung điểm đoạn CA, CB tương ứng
1) I điểm đường thẳng MN (I M, I N) Chứng minh rằng: ba tam
giác IBC, ICA, IAB có tam giác mà diện tích tổng diện tích hai tam giác lại
2) Trường hợp I giao điểm tai NM với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng
minh rằng: IC
AB IB CA IA BC
Bài 5. ( điểm)
Cho số tự nhiên n > n + số nguyên dương a1, a2, …, an + thoả mãn điều kiện
1 a1 < a2 < … < an + 2 3n Chứng minh rằng: Luôn tồn hai số ai, aj (1 j < i n + 2)
sao cho n < - aj < 2n
ĐỀ SỐ 32(22)
Bài 1. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + x - = Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Gọi x1 nghiệm âm phương trình
Hãy tính giá trị biểu thức: P x 10x1 13 x1
1
Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức Px 5 x
3 x
2xTìm giá trị nhỏ lớn P x
Bài 3. (2 điểm)
a) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho: a2 + b2 + c2 = 2007.
b) Chứng minh không tồn số hữu tỉ x, y, z cho: x2 + y2 + z2 +x + 3y + 5z + = 0
Bài 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đường tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đường thửng BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N
a) Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE đường tròn (O) tiếp xúc với
Bài 5. (2 điểm)
(20)Có n điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng, đoạn tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng; khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có cạnh màu
a) Chứng minh không tồn đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm b) Hãy cho biết có nhiều điểm thoả mãn đầu ?
ĐỀ SỐ 33(23)
Bài 1. (1,5 điểm) Cho hai số dương a b Xét tập hợp T số có dạng: T = {ax + by, x > 0, y > x + y = 1} Chứng minh rằng: số a b
2ab
ab thuộc tập hợp T. Bài 2. (2 điểm)
Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình tam giác song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy
Bài 3. (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
85 y
x y x
45 y
x y x
2
2
2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số a c , c b , b
a
số nguyên dương
Bài 4. (1 điểm) Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho:
7
g7 f
Bài 5. (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố.
Bài (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b = có hai nghiệm x
1 x2 (x1 x2), đặt
2
n n n
x x
x x u
(n số tự nhiên)
Tìm giá trị a, b cho un + 1.un + - un.un + = (- 1)n với số tự nhiên n, từ suy
un + un + = un +
ĐỀ SỐ 34(24)
Bài 1. ( điểm) Giải phương trình: x x x x
6x
Bài 2. ( điểm) Chứng minh rằng:
1
20032 1
chia hết cho 1001x 2003.
Bài 3. ( điểm) Biết phương trình x2 - 3x + = có nghiệm x = a.
Hãy tìm giá trị bZ để phương trình x16 - b.x8 + = có nghiệm x = a
Bài 4. ( điểm)
(21)Trong tập cặp số thực (x, y) thoả mãn điều kiện x y 0, y y x x
2
2
tìm cặp số có tổng x + 2y lớn
Bài 5. ( điểm)
Từ điểm P ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE, PF tới đường tròn (E, F hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua P, cắt đường tròn hai điểm A, B (A nằm P B) cắt EF Q
a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh: QB QA PB PA
(1)
b) Đẳng thức (1) có cịn khơng, cát tuyến không qua điểm O? Hãy chứng minh điều
ĐỀ SỐ 35(25)
Bài 1. (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
8 7y 2x
1 y 4x
2) Cho biểu thức 2
4
2 x 2xy y
y x
y y x A
với x y, y
Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A 27 x
2003
7 17
y
Bài 2. (2,5 điểm)
1) Chứng tỏ phương trình x2 - 4x + = có hai nghiệm phân biệt x
1, x2 Lập phương
trình bậc hai có nghiệm x12 x22
2) Tìm m để phương trình x2 - 2mx + 2m - = có hai nghiệm dấu Khi hai
nghiệm có dầu âm hay dấu dương ?
Bài 3. (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đường tiép tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
1) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành;
2) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đường tròn; 3) Chứng minh BP = BA
Bài 4. (2 điểm)
1) Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca 6.
2) Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC (M B, M C); vẽ MD vng góc
với AB ME vng góc với AC (D AB; E AC) Xác định vị trí điểm M để diện
tích tam giác MDE lớn
ĐỀ SỐ 36(26)
Bài 1. (2,5 điểm) Giải phương trình sau:
(22)1 2x 2x 2)
2 x
3 x
1 1)
Bài 2. (2,5 điểm) Cho phương trình x2 - 5mx - 4m = có hai nghiệm phân biệt x
1 x2
1) Chứng minh rằng: x12 + 5mx2 - 4m >
2) Xác định giá trị m để biểu thức:
2
2
2
2
m
12 5mx x
12m 5mx
x
m
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,0 điểm) Tìm giá trị m để phương trình:
x2 + x + m - = x2 + (m - 2)x + = có nghiệm chung.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đường tròn, từ M kẻ MH vng góc với AB (HAB), Gọi E F hình chiếu vng góc H MA
MB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt dây AB D
1) Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn
2) Chứng minh BH AD BD AH MB
MA
2
ĐỀ SỐ 37(27)
Bài 1. (2 điểm)
a) Cho x x x
x x x x
x x M
2
Rút gọn M với x
b) Giải phương trình: x13 x 13 5x Bài 2. (2,5 điểm)
a) Cho x, y thảo mãn:
0 2y y x x
0 4y 2y x
2 2
2
Tính Q = x2 + y2.
b) Tính giá trị nhỏ biểu thức:
2
v v u
1 u
A
với u + v = u > 0; v >
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác có số đo đường cao số ngun, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác
Bài 4. (2 điểm)
Cho tam giác ABC vng A, có góc B 200, vẽ phân giác BI, vẽ góc ACH
bằng 300 phía tam giác Tính góc CHI.
Bài 5. (1 điểm)
(23)Có hay không 2003 điểm mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù ?
ĐỀ SỐ 38(28)
Bài 1. (1 điểm) Chứng minh có giá trị khơng phụ thuộc vào x: x x x A
Bài 2. (2 điểm) Với số nguyên dương n, đặt Pn = 1.2.3…n (tích số tự nhiên liên tiếp
từ đến n) Chứng minh rằng:
1) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 + … + n.Pn = Pn +
2) P
1 n P P P n
Bài 3. (2 điểm) Tìm số nguyên dương n cho: x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phương
Bài 4. (3 điểm)
Xét phương trình ẩn x: (2x2 - 4x + a + 5)(x2 - 2x + a)(x - 1 - a - 1) = 0.
1) Giải phương trình ứng với a = -
2) Tìm tất giá trị tham số a để phương trình cho có nghiệm phân biệt
Bài 5. (3 điểm)
Qua điểm M tuỳ ý cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ đường thẳng song song với hai đường chéo AC BD Các đường thẳng song song cắt hai cạnh BC AD E F Đoạn EF cắt AC BD I J tương ứng
1) Chứng minh H trung điểm đoạn IJ H trung điểm đoạn EF 2) Trong trường hợp AB = 2CD, vị trí điểm M AB cho EJ = JI = IF
ĐỀ SỐ 39(29)
Bài 1. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức:
. 2008 2006.2007 2004.2005 2003.2008 31.2004 2013 2003 P Bài 2. (2 điểm) Cho ba số x1, x2, x3 khác 0, thoả mãn điều kiện:
b x x x x x x x x x a x x x 1 3 2
Xét dấu tích a.b
Bài 3. (2 điểm)
Giải phương trình:
ax2 bxc
cx2 bxa
0, a, b, c số nguyên đãcho (a,c 0), biết
2
1
x nghiệm phương trình này. Bài 4. (2 điểm)
Cho a, b, c ba số dương khác đơi Tìm giá trị lớn biểu thức:
c a
c b
c y c x c a b c b b y b x b c a b a a y a x a P (24)trong x, y hai số dương thay đổi ln có tổng
Bài 5. (2 điểm)
Cho A điểm cố định đường trịn (C) tâm O, bán kính Giả sử m đỉnh góc vng tam giác vuông ABM với cạnh huyền AB dây cung đường tròn (C)
1) Chứng minh rằng: OM
2) Hãy nói rõ cách dựng đỉnh góc vng tam giác vng ABM có cạnh huyền AB dây đường tròn (C) OM = 2.
ĐỀ SỐ 40(30)
Bài 1. (2 điểm)
a) Thu gọn biểu thức sau: P
b) Tính giá trị biểu thức x2 - 2y2 = xy y
Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình sau:
a) 23 x2 53 x 3; b) 3
1 x x x3
Bài 3. (2 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên a b thoả mãn: b a b a
b) Cho hai số dương a, b a + b = Tìm giá trị nhỏ tổng: b a P
Bài 4. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình:
0 2y 2x y x
0 3y x
2
Gọi (x1; y1) (x2; y2) hai nghiệm hệ phương trình Hãy tính giá trị biểu
thức: M = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
Bài 5. (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O dây AB đường trịn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường tròn cắt C D điểm đường trịn có đường kính OC (D khác A B) CD cắt cung AB đường tròn (O) E (E nằm C D) Chứng minh:
a) BED = DAE
b) DE2 = DA DB.
ĐỀ SỐ 41(31)
Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức:
. x1 x x
x 2x x x
x x P
2
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị nhỏ P
3) Tìm x để biểu thức P x Q
nhận giá trị số nguyên
Bài 2. (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d) qua điểm
I(0; - 1) có hệ số góc k
(25)1) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh rằng: Với giá trị k, đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B
2) Gọi hoành độ điểm A B x1 x2, chứng minh x1 - x2
3) Chứng minh OAB vuông
Bài 3. (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường trịn (O) đường kính AB nửa đường trịn (O') đường kính AO Trên (O') lấy điểm M (khác A O), tia OM cắt (O) C, gọi D giao điểm thứ hai CA với (O')
1) Chứng minh ADM cân
2) Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E, xác định vị trí tương đối đường thẳng EA (O) (O')
3) Đường thẳng AM cắt OD H, đường tròn ngoại tiếp COH cắt (O) điểm thứ hai
là N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng
4) Tại vị trí M cho ME//AB, tính độ dài đoạn thẳng OM theo a
ĐỀ SỐ 42(32)
Bài 1. (1,5 điểm)
Cho hai số tự nhiên a b, chứng minh a2 + b2 chia hết cho a b cùng
chia hết cho
Bài 2. (2 điểm) Cho phương trình: x m
x
1 2
1) Giải phương trình với m = 15
2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài 3. (2 điểm)
Cho x, y số nguyên dương thoả mãn: x + y = 2003
Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x).
Bài 4. (3 điểm)
Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) điểm A cung lớn BC (A không trùng với B, C điểm cung) Gọi H hình chiếu A BC, E F hình chiếu B C đường kính.AA'
1) Chứng minh HE vng góc với AC 2) Chứng minh HEF đồng dạng với ABC
3) Khi A di chuyển, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định
Bài 5. (1,5 điểm)
Lấy điểm miền tứ giác để với bốn đỉnh ta điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh lấy từ điểm cho có diện tích khơng vượt 10
1
Tổng quát hoá toán cho n - giác lồi với n điểm nằm miền đa giác
ĐỀ SỐ 43(33)
(26)Bài 1. (2 điểm)
Giải phương trình:
x5 x2
1 x2 7x10
3 Bài 2. (2 điểm)Giải hệ phương trình:
7 6xy y
5 y 3x 2x
2
2
Bài 3. (2 điểm)
Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy.
Bài 4. (2 điểm)
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R (R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R
1) Tính độ dài đoạn MN theo R
2) Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R
3) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M, N thay đổi thoả mãn giả thiết toán
Bài 5. (2 điểm)
Biết x, y,z số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 3.
ĐỀ SỐ 44(34)
Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình: x4 + 2mx2 + = 0
Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn
x12 + x24 + x34 + x44 = 32
Bài 2. (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
0 y x y x
0 y 5x y xy 2x
2
2
Bài 3. (2 điểm)
Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4. (2 điểm)
Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Đường tròn tâm O' bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài cạnh AB, AC tương ứng điểm P, M, N
1) Chứng minh rằng: BP = CD
2) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK//AB, BI//AC Chứng minh tứ giác BICE BKCF hình bình hành
3) Gọi (S) đường tròn qua điểm I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với đường thẳng BC, BI, CK
Bài 5. (2 điểm)
Số thực x thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + (3 - x)2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + (3 - x)4 + 6x2(3 - x)2.
(27)ĐỀ SỐ 45(35)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức 3x 4x 1 x 2x P(x) 2
2
1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x); 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <
Bài 2. (2 điểm)
1) Cho phương trình:
0.2 x
6m 3m x 2m
x2
(1) a) Giải phương trình 3;
2 m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 16
2) Giải phương trình: 2x 2 x
2x
Bài 3. (2 điểm)
1) Cho x, y hai số thực thoả mãn x2 + 4y2 = Chứng minh rằng: 2 ;
5 y x
2) Cho phân số n n A
2
Hỏi có số tự nhiên thoả mãn n 2004
cho A phân số chưa tối giản
Bài 4. (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P
hai đường tròn tiếp xúc với (O1) A, tiếp xúc với (O2) B Tiếp tuyến đường tròn (O1)
tại P cắt (O2) điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD R Hãy
Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm A, B, Q, R thuộc đường tròn; 2) Tam giác BPR cân;
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB
Bài 5. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có BC < CA < AB Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiệp tam giác ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE
ĐỀ SỐ 46(36)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
x
x
x 2x
1 x x
x x
x x
x x x 2x M
a) Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau rút gọn M
b) Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M ?
Bài 2. (2 điểm)
(28)a) Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = - 5x2 - y2 - 4xy + 2x.
Bài 3. (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
1 y x
y x 3xy 6x
2
2
Bài 4. (2 điểm)
Cho đường tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn (O), (A khác B, C) Tia phân giác góc ACB cắt đường tròn (O) điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) điểm K khác điểm B
a) Chứng minh tam giác KAC cân
b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định, từ xác định vị trí A để độ dài đoạn AI lớn
c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn AB đường tròn (O)
Bài 5. (1 điểm)
Hãy tìm cặp số (x; y) cho y nhỏ thoả mãn: x2 + 5y2 + 2y - 3xy - = 0.
ĐỀ SỐ 47(37)
Bài 1. ( điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: P = x3 + y3 -3(x + y) + 2004.
Biết rằng: x3 32 3 3 2;y31712 31712 .
2) Rút gọn biểu thức sau:
2005 2001
1
13
1
5
1 P
Bài 2. ( điểm) Giải phương trình sau: 1) x2 x2004 2004
2) x3 2x2 3x
.
Bài 3. ( điểm)
Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a, b, c ha, hb, hc tương ứng độ dài
cạnh đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2)(h
a2 + hb2 + hc2) 36 Dấu đẳng thức xảy nào?
Bài 4. ( điểm)
Cho tam giác ABC có góc A 360, AC = b, AB = c (với b > c) Đường kính EF của
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M Gọi I J chân đường vuông góc hạ từ E xuống đường thẳng AB AC Gọi H K chân đường vng góc hạ từ F xuống đường thẳng AB AC
1) Chứng minh tứ giác AIEJ CMJE nội tiếp
2) Chứng minh I, J, M thẳng hàng IJ vng góc với HK
3) Tính độ dài cạnh BC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c 4) Tính IH + JK theo b, c
ĐỀ SỐ 48(38)
Bài 1. ( điểm)
(29)a) Tìm giá trị tham số m để tập nghiệm phương trình sau có phần tử:
12 7x x
6 7m 2m x 2m x
2
2
2
b) Giải hệ phương trình:
16 771 z
1 y
1 x
1 z y x
4 51 z y x z y x
2 2 2
Bài 2. ( điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x - y + 2004, số thức x y thoả mãn hệ thức: 16 36
y x2
Bài 3. ( điểm)
Chứng minh tồn số tự nhiên a, b, c nghiệm phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz thoả mãn điều kiện: min{a; b; c} > 24.
Bài 4. ( điểm)
Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh rằng: MN qua trung điểm PQ MN//CD
Bài 5. ( điểm)
Cho đường thẳng xy điểm A cố định nằm đường thẳng Điểm M chuyển động xy Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I cho AI.AM = k2, k số
dương cho trước k nhỏ khoảng cách từ A đến đường thẳng xy Dựng hình vng AIJK Tìm tập hợp điểm I tập hợp điểm K
ĐỀ SỐ 49(39)
Bài 1. ( điểm)
1) Giải phương trình: x1 x1 1x2 1 2) Tìm nghiệm nguyên hệ:
8 y x y x
7 2x 2y xy x 2y
3
2
Bài 2. ( điểm)
Cho số thức dương a b thoả mãn:
b a b a b
a100 100 101 101 102 102
Hãy tìm giá trị biểu thức: P = a2004 + b2004.
Bài 3. ( điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn phần Hãy tính diện tích phần
Bài 4. ( điểm)
(30)đường thẳng MH NH với đường thẳng CD DA Chứng minh đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn
Bài 5. ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
x y
1 x y
4 x y y x
Q 16 16 2
2 10 10
ĐỀ SỐ 50(40)
Bài 1. ( điểm)
Giải phương trình: x3 x 12 Bài 2. ( điểm)
Giải hệ phương trình:
3 y x y x
5 y x y x
2
2
Bài 3. ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
x 1
y 1
y x y x P2 3
x, y số thức lớn
Bài 4. ( điểm)
Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng
1) Tìm tất vị trí điểm M cho MAB = MBC = MCD = MDA
2) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số CN
OB
có giá trị không đổi M di chuyển đường chéo AC
3) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường tròn (S1) (S2) có đường
kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S1) (S2) tiếp xúc với (S2) P
Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
Bài 5. ( điểm)
Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2, …, xn, … xác định công thức
n
1 n
xn
Hỏi 200 số {x0, x1, x2, …, x199} có số khác ?
(Cho biết 1,41 < 2 < 1,42).