DeDA thi chon HSGToan 9

Vẽ AP và BS vuông góc với CD... Hướng dẫn chấm.[r]

ĐỀ THI HSG KHỐI 9 MƠN: TỐN THỜI GIAN: 150 PHÚT

ĐIỂM

Lời phê giám khảo

……… ……… Lời phê giám khảo

……… ………

Chữ kí giám thị

……… ……… Chữ kí giám thị

……… ……… ĐỀ

Bài (4 điểm)

Thu gọn biểu thức

a)A 35 48 10 7 4

1 1

)

1 2 120 121

b B   

  

Bài (4 điểm)

a) Chứng minh rằng:

2

2

3

3 

 



   



b c a b c

a

, dấu xảy nào?

b) Chứng minh rằng: a2 b2 1abab, dấu xảy a, b bao nhiêu? Bài (4 điểm)

a) Giải phương trình: √x+2+2√x+1+√x+2−2√x+1 b) Giải hệ phương trình :

¿

|x+2|+|y −3|=8 |x+2|−5y=1

¿{ ¿

Bài (3 điểm) CMR: n ❑4 - n ❑2 ⋮ 12 với ∀ n N

Hướng dẫn chấm

Bài Đáp án Biểu điểm

Bài a)

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

5 48 10

5 48 10 2.2 3 5 48 10 2.2 3 5 48 10

5 48 10 5 28 10

5 5 2.5 3

5 5

5 5 25 5

A   

    

    

   

   

  

   

  

      

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

b) 1

1 2 120 121

B   

  

Ta có:

1

2

1



  

 

1

3

2



  

 

………

1 121 120

121 120 121 120

120 121



  

 

Cộng vế theo vế, ta được:

1 1

1 2 120 121

121 11 10

B   

  

    

1,0

0,5 0,5 Bài

a)

Chứng minh rằng:

2

2

3

3 

 



   



b c a b c

a

, dấu xảy nào?

Giải Ta xét hiệu

2

2

3

3 

 



   



b c a b c

a

=9      

1 2

 

  

 b b c c a

a

Vậy

2

2

3

3 

 



   



b c a b c

a

Dấu xảy a = b =c

0,5

b) Chứng minh rằng: a2 b2 1abab, dấu xảy a, b bao nhiêu?

Giải Ta có:

b a ab b

a2  1    2(a2 b2 1 2(abab)

1

2

2 2

2

        

 a ab b a a b b

0 ) ( ) ( )

( 2

     

 a b a b Bất đẳng thức cuối đúng.

Vậy a2 b2 1abab Dấu xảy a=b=1

0,5 0,5 0,5 0,5 Bài

a)

a) Giải phương trình: √x+2+2√x+1+√x+2−2√x+1 (1)

Giải ĐKXĐ: x1

 

 

2

2

2

(1) 2 2

2 2 2 2 2

2 2 4( 1) 2 4 4

2 (2)

x x x x

x x x x x x x x

x x x

x x x x

x x

        

               

      

      

  

TH1: Nếu   1 x 0 thì

(2) 2x 2x0 Phương trình có vơ số nghiệm thỏa   1 x 0 TH2: Nếu x0 thì

 2  2x2x 0 4x 0 x0 (nhận)

Vậy phương trình có vơ số nghiệm thỏa   1 x

0,5

0,5 0,5 0,5 b)

Giải hệ phương trình :

¿

|x+2|+|y −3|=8

|x+2|−5y=1 ¿{

¿

3 (1)

2 (2)

y y

x y

   

  

  

 

Giải phương trình y 5 y7 TH1: Nếu y3thì

5 10

3 y  y  y  y

(loại) TH2: Nếu y3 thì

3 4

y y y y

        (nhận)

Với y1 thay vào phương trình (2), ta được:

2 5.1

x    x 

0,5 0,5 0,5

TH1: Nếu x2 thì

2

x   x (nhận) TH2: Nếu x 2 thì

2

x x

     (nhận)

Vậy (4;1) (-8;1) hai nghiệm hệ phương trình Bài CMR: n ❑4 - n ❑2 ⋮ 12 với ∀ n N

Giải

Ta có: n ❑4 - n ❑2 = ( n – 1).n.n(n+1)

Nhận xét : 12 = 3.4 (3,4) =1

-Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho ( n- 1).n ⋮

n(n+ 1) ⋮

⇒ n ❑4 - n ❑2 ⋮ ( )

Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số bội ( n – 1).n.(n + 1) ⋮ (2 )

Từ (1) (2) suy n ❑4 - n ❑2 ⋮ 12 ∀ n N

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB dây cung CD Vẽ AP

và BS vuông góc với CD Chứng minh OP = OS > R

Giải

- Vẽ hình, ghi GT, KL

Chứng minh:

Vẽ OHDC, HDC AP  DC, BS  DC  OH // AP, AP // BS.

Tứ giác APSB hình thang (AP // BS) mà OA = OB = R

HP = HS

HP = HS, OH  PS  O thuộc đường trung trực PS 

OP = OS

AP // BS  PAB SBA 180   PAB 90  0 SBA 90  0.

Khơng tính tổng qt , giả sử PAB 90 

Xét PAO có PAO 90   PAO góc lớn

góc tam giác PAO  PAO >OPA  OP > OA, OA = R

Do OP = OS > R

0,5