DAP AN TOAN KHOI A A1 20112012

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa.[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn : TOÁN - Khối : A A1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 4 2( m1)x2m ( )2 ,với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m =

b) Tìm m để đồ thị hàm sớ (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin2x+cos2x=2cosx-1

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   



 (x, y  R).

Câu (1,0 điểm) Tính tích phân

2

1 ln(x 1)

I dx

x

 



Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khới chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng SA và BC theo a

Câu (1,0 điểm) : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P3x y 3y z 3z x  6x26y26z2

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử

11 ; 2 M 

 và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

1

x y z

 

và điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I

Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn Cn3



 Tìm sớ hạng chứa x5 trong

khai triển nhị thức Niu-tơn

1 14

n nx

x

 



 

  , x ≠ 0. B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Viết

phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn và (E) cắt (C) bớn điểm tạo thành bớn đỉnh hình vng

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

2 1

x y z

 

, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = và điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình đường thẳng  cắt d và

(P) M và N cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa

5( ) z i

i z



 

GỢI Ý BÀI GIẢI MÔN TOÁN KHỐI A; A1 ( 2011-2012)

Câu 1

a tự làm b

 

3

2

' 4

' 4( 1)

0

4 ( 1)

( 1) (*)

y x m x

y x m x

x x x m

x m

  

    

 

 

       

   

Để (1) có cực trị pt (*) có nghiệm phân biệt khác 0 m 1 Khi pt (*) có nghiệm phân biệt x1 m1 và x2  m1

Gọi A(0;m2); (B m1; 2 m 1); (C  m1; 2 m1) là điểm cực trị Ta có ABC cân A

 MPN vuông M ,suy MN2MP2 NP2

3

(m 1) ( m 1) 1 m

        

Câu 2

Giải phương trình sin 2x cos 2x 2 cos x 1 .

2 sin x cos x cos x cos x

   

 

2 cos x sin x cos x cos x sin(x )

  

        

 

cos x x k

2

sin x

x k2 , x k2

6

3

 

    

 

      

   

 

       

 

Câu 3

Giải hệ pt:

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   

 

   

      

   

3 2

2

2 2

2

2

3 22

1

3 22

1

2

1

3 22

2

1

x y x y x y

hpt

x y x y

x y x y xy x y x y

x y x y

x y x y xy x y x y

x y x y

       

  

   

 

         

  

   

 

    

            



    

 

    

 

Đặt

u x y v xy

   

Khi hpt trở thành

   

2

1

3 22

2

1

2 2

u u v u u

u u v

    

      

   



    



   

 

Rút v từ (2) thay vào (1) ta 6u2 2u3 45u82 0  u2 Với

3

4 u  v

Ta tìm    

   

     

   

3 1

x; y ; v x; y = ;

2 2

Câu 4

Tính tích phân

 

3

2

1 ln x I

x

 



Đặt

 

2

1 ln

1

1 1

u x du dx

x

dv dx v

x x



  

  

  



 



  

 



 

 

3 1

3

1

1

1 ln

1

2 1 2 27

= ln = ln ln = ln

3 3 3

dx

I x

x x x

x dx

x x x

      



 

       

 

 

 

Câu 5

- Ta có (· ( )) ·

0

SC, ABC =SCA=60

.Gọi I là trung điểm AC Khi ta có

3

7 21

3

3 12

3

SABC a

IH IB

a a a

CH SH V

a CI 

 

 

     



 

 

- Dựng Iz//HS Chọn hệ trục Ixyz ( hình vẽ)

Khi ,

3 21

;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; ;0;

2 2

a a a a a

A  B  c  S 

   

       

Từ , ta có

 ,  , 42

8 ,

SA BC AB a d SA BC

SA BC

 

 

 

 

 

                                         

 

I

S

H B

C A

z

x

Câu 6

Dễ dàng ta cm 3t ³ + " ³1 t t, 0, từ áp dụng vào bài toán ta có:

( 2 2)

3

P³ + -x y + -y z + -z x- x +y +z

Mặc khác :( ) ( ) ( )

2 2

x y- + -y z + -z x = -x y + -y z

( )2 ( ) ( ) ( )

z x x y y z z x y z x y z x z x x y y z

+ - + - - + - + - - + - + - - +

-Hơn áp dụng BĐT a + ³b a b+ ta có

( )2 ( )2 ( )2 ( 2) ( 2 2 2)

2[ ]

x y- + -y z + -z x ³ x y- + -y z + -z x = x +y +z Suy P³ 3 minP=3.

Câu 7a

Đặt AB a a , 0

Ta có:

2

2

2

2 2 2

1 1

. .

2 2 3 6

1 1

. .

2 2 2 4

1 1 2

. .

2 2 3 3

6 4 3 3

ADN

ABM

CMN

AMN ABCD ADN ABM CMN

a a

S AD DN a

a a

S AB BM a

a a

S CM CN a

S S S S S

a a a a

a

  

  

  

    

    

Hơn ,

2

2 2 10

9

a a

AN  AD DN  a  

và   ,

2 d M AN 

Nên từ  

1

,

2 AMN

S  AN d M AN 

 ,  3 5 2 2 15 2

2 10 4

AMN

S a

d M AN a

AN



    

Và

2

2 2 15 10

4

a AM  AB BM  a  

Lấy A AN ,giải

15 10 AM 

(1; 1) A(4;5)

A v

 

Câu 8a

Gọi H là hình chiếu vng góc I lên d Khi , IAB vng I nên AB=2IH

2 2 4

IA IB BA IH

    ( tam giác IAB vng cân I)

 

2 2 2 , ,

3 d

d MI u R IA IH d I d

u

 

 

     

                           



( Trong M(-1;0;2)d)

 2

2

: x

3

ptmc y z

    

Câu 9a Với điều kiện n³ 3 Ta có:

D N C

M B A

I

   

1 1 2 7

5 5. 3 28 0

4 ( )

6 n

n n

n

n n n

C C n n n

n loai

    

        

 

 Với n7 ta có:

 

7

2 7

7 14

7

0

1 1 1

1

14 2 2



 

 

        

     

       

 

       

n k k

k

k k k k

k k

nx x x

C C x

x x x

Số hạng chứa x5 14 3 k  5 k 3 Số hạng chứa x5 khai triển là:

3 5

35 .2

16



C x  x

Câu 7b

Ta có nhận xét , đường trịn và Elip nhận gớc O làm tâm đới xứng

Do gs đỉnh hình vng

 ; ;  ; ;  ; ;  ; 

A a a B a a C a a D a a  Vì A C a: 2a2  8 a2 2

2;2 A



Pt (E) có dạng

2

2 16

x y b

 

( 2a=8  a=4)

Hơn

   

2

2

4 16

: :

16

16 16

3 x y

A E b ptct E

b

       

Câu 8b

Vì M là giao điểm  và d nên ta có M( ; ;2  t t t). Vì Alà trung điểm MN nen suy N(3 ; 2 t   t; 2 t) N là giao điểm  và ( )P nên ta có

N P  2 t 2 t 2  t  5 t2

Từ ta có M(3;2;4), ( 1; 4;0)N   Suy MN ( 4; 6; 4)  2(2;3; 2)



3

3

2

:x y z

ptdt   

   

Câu 9b

Đặt z=x+yi Ta có

     

5

2 2 1

5 2 1

5 5 5 2 2 2

5 2 2

5 5 2 1

3 2 1

7 6 1

z i

i

x yi i i x yi

x yi i x yi xi y i

x x y

y x y

x y x

x y y



 



 

   



      

        

  

  

    



  

 

   

  

 

2

1 2 2 3 13

z i z i w i w

® = + ® = ® = + ® =

A B