Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) cắt (C) tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.[r]
(1)I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)dddddddddddddddddddd
Câu I (2.0 điểm)
Cho hàm số y x4 2(m 1)x m2 m là tham số thực 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 0.
Lời giải
Cho hàm số 2
2( 1)
yx m x m
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m0
Với m0 ta hàm số yx42x2 1) Tập xác định : D
2) Sự biến thiên :
Đạo hàm y/ 4x34x; /
0
1
x y
x
/
0
y ( 1; 0) (1;) nên hàm số đồng biến ( 1; 0) (1;)
/
0
y ( ; 1) (0;1) nên hàm số nghịch biến ( ; 1) (0;1)
Hàm số đạt cực tiểu x 1 x1; giá trị cực tiểu điểm
bằng 1
Hàm số đạt cực đại x0 x1; giá trị cực đại điểm Giới hạn : lim
xy xlimy
Bảng biến thiên :
3) Đồ thị :
LỜI GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2012
Mơn: TỐN –Khối: A
x / y y
1
1
0
y
(2)2. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
Lời giải Ta có y/ 4x34(m1)x ; /
2
0
1
x y
x m
Hàm số có cực trị điều kiện cần /
0
y có nghiệm phân biệt Điều xảy m 1 m Khi y/ 4 (x x m1)(x m1)
đổi dấu qua điểm x0,x m1,x m1 nên hàm số có cực trị
điểm
Với m 1 đồ thị hàm số có điểm cực trị :
2
(0; ), ( 1; 1), ( 1; 1)
A m B m m C m m
Ta có 2
( 1) ( 1)
AB AC m m BC24(m1) Do tam giác ABC vng vng A
2 1
2 ( 1)
1
m m
AB BC m m
m m
So với điều kiện m 1, m cần tìm m0
Câu (2.0 điểm) Giải phương trình: 3 cos 2x sin 2x 2 cosx 1
Lời giải Câu
1) Giải phương trình sin 2x cos 2x 2cos x 1
Phương trình 2 sin xcos x 2cos x 2cos x 0
2cos x sin x cos x cos x 2sin(x )
cos x x k
2
sin x
x k2 , x k2
3
Câu Giải hệ phương trình:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
,( , ) 1
2
x x x y y y
x y
x y x y
(3)Giải hệ phương trình
3
2
x 3x 9x 22 y 3y 9y
x y x y
Ta có hệ cho tương đương với:
3
2
(x 1) 12(x 1) (y 1) 12(y 1)
1
x y
2
Đặt a x 1,b y 1 ta hệ:
3
2
a 12a b 12b
1
a b
2 Từ 2 2
1
1 a a a
1 2 2 2 4
a b
1
2
1 b b b
2 2
Xét hàm số f(t) t 312t, ta có f(t) hàm liên tục
2
f '(t) t 4 0, với t2
Nên từ 3
a 12a b 12b ta có a b
Do đó, hệ cho 2
a b
1 a b
1 2
a a 2
Vậy nghiệm hệ cho là: x; y 3; , 1; 2 2
Câu (1.0 điểm)
Tính tích phân: 3
2 1
1 ln( 1) . x
I x
x d
Lời giải Tính tích phân
2
1 ln(x 1)
I dx x Đặt dx u ln(1 x) du
1 x dx dv v x x Suy
3 3
1 1
1 ln(1 x) dx ln 1
I ln dx
x x(1 x) x x
2 ln x ln
ln ln ln
3 x
(4)Câu (1.0 điểm)
Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác cạnh a. Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC
Lời giải Lời giải
Do SH ABC nên HClà hình chiếu SC mặt phẳng ABC , suy SCH góc SC mặt phẳng ABC Hay
0
60
SCH gt
Ta có
3
a AH
Trong tam giác AHC có
2 2
2 cos
HC AH AC AH AC HAC
2
2
2
2
3
a a a
a a
0
7
tan 60
3
a
HC SH HC a
2
3
ABC
a
S
Thể tích khối chóp S ABC
3
1
3 ABC 12
a
V SH S dvtt Từ A kẻ đường thẳng song song với BC kí hiệu
,
P mp SA d SA BC, d B P,
Kẻ HI ,I HK SI K, SI ta có HK P d H P, HK
Dễ thấy
3
a
HI AE ( E trung điểm BC)
Trong tam giác SHI ta có 2 12 12 32 32 242
7
a HK
HK HS HI a a a
Mặt khác ta lại có , , 42
2
,
d B P AB a
d B P HK AH
d H P
E A
B
C S
(5)Toám lại , 42
a d SA BC
Câu Cho số thực x y z, , thỏa mãn x y z 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
| | | | | | 2 2 2
3x y 3y z 3z x 6 6 6
P x y z
Lời giải Cách
Trước hết ta có BĐT : 3t t, t
Áp dụng vào tốn ta có
2 2
3
P x y y z z x x y z
Lại có
2 2
x y y z z x x y y z
z x x y y z z x y z x y z x z x x y y z Tiếp tực áp dụng BĐT a b a b thu
2 2 2 2
2[ ]
x y y z z x x y y z z x x y z
Suy P
Đẳng thức xảy x y z
Vậy minP
Cách
Là > e |x - y|, |y - z|, |z - x| Vậy nên
P e|x - y| + e|y - z| + e|z - x| - 2
6(x y z )
Theo bt cảm sinh số e ta có eu 1 + u u
Do vậy:
P + |x - y| + + |y - z| +1 + |z - x| - 6(x2y2z2) Lại thấy theo bđt trị tuyệt đối thì:
|y – z| + | z – x| = |y – z| + |x –z| |y – z + x – z| = 3| x + y| (bởi –z = x + y)
(6)= 3(3(x + y)2 + (x –y)2) 3|x + y| + |x – y| Do P
Khi x = y = z = P = Vậy GTNN P
II PHẦN RIÊNG (3.0
điểm)ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
iA Theo chương trình Chuẩni
Câu 7.a (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN=2ND Giả sử 11 1;
2 2
M đường thẳng AN : 2x y 3 0 Tìm tọa độ điểm A
Lời giải
Đặt cạnh AB=a ta tính được:
2
2 2 10
9
a a
AN DA DN a ,
2
2 2
4
a a
AM AB BM a
2
2
4
a a a
NM CN CM Ta có:
2 2 2
cos
2
AN AM NM NAM
AN AM
Gọi k hệ số góc phương trình đường thẳng AM:
Ta có:
3
tan 1 1
1
3
k k
NAM
k k
Trường hợp k 3ta có phương trình đường thẳng AM là: 3x y 170
Tọa độ A nghiệm hệ phương trình:
3 17
2
x y x
x y y
Trường hợp k 3ta có phương trình đường thẳng AM là: x3y 4
(7)3
2
x y x
x y y
Vậy tốn có hai nghiệm :A(4;5) A(1; 1)
Câu 8a Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d điểm I 0; 0; 3 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A,B cho tam giác IAB vuông I
Lời giải
Gọi Hlà hình chiếu tâm I xuống đường thẳng d Suy H( 1 t; ; 2t t)
Ta có : IH ( t t; ; 1 t) vec to phương ud (1;2;1)
Mà · ( )·1 ·2 ( )·1
d
IH d IH u t t t t Vậy
2 ; ; 3
H
Lại có : 2; ; 3
IH
nên
2 3
IH
Vì tam giác IAB cân I nên vng cân I , tam giác IHA vng cân H
Suy : 2
3
RIA IH Vậy phương trình mặt cầu
2 2
( ) : ( 3)
S x y z
Câu 9.a (1.0 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 5 n 1 3
n n
C C Tìm số hạng
của x5 khai triển nhị thức Newton 2 1 , 0 14
n
nx
x
x
Lời giải
Ta có:
1 1 2 7, /
5 5. 3 28 0
4, 6
n
n n
n t m
n n n
C C n n n
(8)Với n7 ta có:
7
2 7
7 14
7
0
1 1 1
1 2 .
14 2 2
n k k
k
k k k k
k k
nx x x
C C x
x x x
Số hạng chứa
x 14 3 k 5 k 3
Số hạng chứa
x khai triển là: 73 5
35 .2
16
C x x
iB Theo chương trình Nâng caoi
Câu 7.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) :C x y 8 Viết phương trình tắc elip (E) biết (E) cắt (C) bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng
Lời giải
Câu 7b
Gọi ABCD hình vng có đỉnh giao điểm của (E) (C).Gọi
độ dài trục bé của (E) 2b 0 b 4
Khi đó, PT tắc của (E) là:
2
2 1
16
x y
b
Tọa độ giao điểm của (E) (C) thỏa mãn hệ:
2
2 2 2
2 2
2
16 128
16 16 16
8 8 16 b x
b x y b b
x y b
y b
Gọi
2 2
2 2
16 128 8 4 32 8
; , ;
16 16 4 16
b b b b
A B
b b b b
Do OAOB nên
2
2
2
16 128 8 16
. 0 0 24 128
16 16 3
b b
OA OB b b
b b
Vậy PT tắc của (E) là:
(9)Câu 8.b Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0, 0, 2) đường
thẳng : 1 2
2 1 1
x y z
d mặt phẳng ( ) :P x y 2z 5 0 điểm (1; 1; 2)
A Viết phương trình đường thẳng cắt d (P) M N sao cho A trung điểm đoạn MN
Lời giải
Gọi M (d) M(-1 + 2t; t ; 2+t) Do A trung điểm MN:
2 2
M N A
M N A
M N A
x x x
y y y
z z z
2 ( )
2 2
2 (2 )
N A M
N A M
N A M
x x x t t
y y y t t
z z z t t
Vậy: N(3 -2t; -2-t; – t)
Do (P) – 2t + (-2 – t) -2(2 – t) + =
3 – 2t – – t – + 2t + =
-t + =
t =
Vậy N(-1, - 4, 0)
Đường thẳng cần dựng qua A(1, -1, 2); N(-1, -4, 0)
1
x
=
3
y
= 2
z
Câu 9.b (1.0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 1 z i
i
z Tính môđun
số phức w 1 z z2
Lời giải
Là 5 z i 2 i 1 z có:
6
5z 2z 2 i
(10)6
5z 2z 2 i
Dẫn đến
1 6
3 7
z i
Do
2
1 6 1 6 13 36 10
1
3 7 3 7 9 49 7
w i i i
Để mà có được:
2
13 36 10 101438
| |
9 49 7 441