[r]
(1)dethivn.com
1/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007 Mơn: TỐN, khối D
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1,00 điểm) Ta có y 2x 2
x x
= = −
+ +
• Tập xác định: D = \{ 1}\ −
• Sự biến thiên: y ' 2 0, x D (x 1)
= > ∀ ∈
+
0,25 Bảng biến thiên
0,25
• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 1, tiệm cận ngang y = 0,25
•Đồ thị:
0,25
2 Tìm tọa độđiểm M … (1,00 điểm) Vì M∈( )C nên
0
2x
M x ;
x
⎛ ⎞ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ Phương trình tiếp tuyến (C) M là:
( )( )
( ) ( )
2
0
0 2
0 0 0
2x 2x
y y ' x x x y x
x x 1 x 1
= − + ⇔ = + + + +
( ) ( 2)
2
0 2
0 2x A x ;0 , B 0;
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⇒ −
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
0,25
Từ giả thiết ta có:
( )
2
2
0
2x
x x +1 − =
2 0 0 2x x 2x x
⎡ + + =
⇔ ⎢
− − =
⎢⎣
0
1 x
2 x
⎡ = −
⎢ ⇔
⎢ = ⎣
0,50 y
x −∞ −1 +∞
y ' + +
+∞
−∞
2
y
O x
2
1
(2)dethivn.com
2/4 Với x0
2
= − ta có M 1; 2
⎛− − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Với x0 =1 ta có M 1;1( )
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán là: M 1; 2
⎛− − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ M 1;1( )
0,25
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) Phương trình cho tương đương với
1 sin x cos x cos x
6
π
⎛ ⎞
+ + = ⇔ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
0,50
( )
x k2 , x k2 k
2
π π
⇔ = + π = − + π ∈Z 0,50
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (1,00 điểm) Đặt x u, y v u( 2, v )
x y
+ = + = ≥ ≥ Hệđã cho trở thành:
( )
3
u v u v 5
uv m u v u v 15m 10
+ =
⎧ ⎧ + =
⎪ ⇔
⎨ ⎨ = −
+ − + = − ⎩
⎪⎩
0,25
u, v
⇔ nghiệm phương trình: t2− + =5t m (1)
Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có hai nghiệm
1
t t , t t= = thoả mãn: t1 ≥2, t2 ≥2 (t1, t2 không thiết phân biệt)
Xét hàm số f t( )= − +t2 5t với t ≥2: Bảng biến thiên f t( ):
0,50
Từ bảng biến thiên hàm số suy hệđã cho có nghiệm
m
4≤ ≤ m 22≥
0,25
III 2,00
1 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm)
Tọa độ trọng tâm: G 0; 2; ( ) 0,25 Ta có: OAJJJG=(1; 4; ,OB) JJJG= −( 1; 2; 4)
Vectơ phương d là: nG =(12; 6;6− ) (=6 2; 1;1 − ) 0,50 Phương trình đường thẳng d: x y z
2 1
− −
= =
−
0,25 2 Tìm tọa độđiểm M (1,00 điểm)
Vì M∈ ∆ ⇒M t; t; 2t( − − + ) 0,25 t −∞ −2 5 / +∞
( )
f ' t − − 0 + ( )
f t 22
+∞
7 /
2
(3)dethivn.com
3/4
( ) ( )
( 2) (( ) (2 ) (2 )2)
2 2
MA MB t t 2t t t 2t
⇒ + = + − + − + − + + − + −
=12t2−48t 76 12 t 2+ = ( − )2+28
2
MA +MB nhỏ ⇔ =t
0,50
Khi M 1;0; (− ) 0,25
IV 2,00
1 Tính tích phân (1,00 điểm) Đặt
4
2 2ln x x
u ln x,dv x dx du dx, v
x
= = ⇒ = = Ta có:
e e e
4
2 3
1
1
x e
I ln x x ln xdx x ln xdx
4
= − ∫ = − ∫
0,50
Đặt
4
3 dx x
u ln x,dv x dx du , v
x
= = ⇒ = = Ta có:
e e
e e 4
3
1
1 1
x e 3e
x ln xdx ln x x dx x
4 4 16 16
+ = − = − =
∫ ∫
Vậy
4 5e
I
32
− =
0,50
2 Chứng minh bất đẳng thức (1,00 điểm) Bất đẳng thức cho tương đương với
( a) (b b)a ln 4( a) (ln 4b)
1 4
a b
+ +
+ ≤ + ⇔ ≤ 0,50
Xét hàm ( ) ( ) x ln f x
x
+
= với x 0.> Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
x x x x
2 x
4 ln 4 ln
f ' x
x
− + +
= <
+ ⇒ f(x) nghịch biến khoảng (0;+∞)
Do f(x) nghịch biến (0;+∞) a b 0≥ > nên f a( ) ( )≤f b ta có điều phải chứng minh
0,50
V.a 2,00
1 Tìm hệ số x5 (1,00 điểm)
Hệ số x5 khai triển x 2x( − )5 ( )−2 C 45
Hệ số x5 khai triển của x 3x2( + )10 3 10
3 C 0,50
Hệ số x5 khai triển x 2x( − )5+x 3x2( + )10 ( )4 3
5 10
2 C C 3320
− + = 0,50
2 Tìm m để có điểm P cho tam giác PAB (1,00 điểm)
(C) có tâm I 1; 2( − ) bán kính R 3.= Ta có: PAB∆ nên
IP 2IA 2R 6= = = ⇔ P thuộc đường tròn ( )C ' tâm I, bán kính R ' 6.= 0,50
Trên d có điểm P thỏa mãn yêu cầu toán d
(4)dethivn.com
4/4
V.b 2,00
1 Giải phương trình logarit (1,00 điểm)
Điều kiện: 4.2x − >3 0.Phương trình cho tương đương với:
( x x ) ( x )2
2
log +15.2 +27 =log 4.2 −3 ⇔5 2( )x 2−13.2x− =6 0,50
⇔
x x
2
5
⎡ = −
⎢ ⎢
= ⎢⎣
Do 2x >0 nên 2x =3
2 x log
⇔ = (thỏa mãn điều kiện)
0,50
2 Chứng minh ∆SCDvng tính khoảng cách từ H đến (SCD) (1,00 điểm) Gọi I trung điểm AD Ta có: IA = ID = IC = a ⇒CD⊥AC Mặt khác,
CD SA⊥ Suy CD SC⊥ nên tam giác SCD vuông C
0,50
Trong tam giác vuông SAB ta có: SH SA22 2SA2 2 2a2 2
SB = SB =SA +AB =2a +a =
Gọi d1 d l2 ần lượt khoảng cách từ B H đến mặt phẳng (SCD)
2
2
1
d SH 2
d d d =SB = ⇒3 = Ta có: B.SCD BCD
1
SCD SCD
3V SA.S
d
S S
= =
2 BCD
1
S AB.BC a
2
= =
2 2 2
SCD
1
S SC.CD SA AB BC IC ID
2
= = + + + =a2 2.
Suy d1 a
=
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là: d2 2d1 a
3
= =
0,50
Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đ−ợc đủ điểm phần nh− đáp án quy định.
-Hết - S
A
B C
D