Chuyen de tu giac noi tiep

Chứng minh : Các tứ giác AHBN và AHCE nội tiếp được trong đường tròn.. Xác định vị trí của M trên BC  để BHCM là hình bình hành.[r]

Trường NN&BDVH Thăng Tiến – THĂNG LONG

HÌNH HỌC LỚP 9 TỨ GIÁC NỘI TIẾP

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Cho ∆ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt H Hãy tìm chứng minh tứ giác nội tiếp có hình

Cho ∆ABC có ba đường cao AH, GI, CK cắt O a Chứng minh : Tứ giác AIOK tứ giác AIHB nội tiếp b Chứng minh : BI phân giác KIH

c Chứng minh : O tâm đường tròn nội tiếp ∆KIH d Chứng minh : A, B, C tâm đường trịn bàng tiếp ∆KIH Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H

a Chứng minh : Tứ giác BCEF nội tiếp b Chứng minh : ∆AEF đồng dạng ∆ABC Cho ∆MNP có ba đường cao MM’, NN’, PP’

a Chứng minh : Tứ giác MPM’P’ tứ giác MNM’N’ nội tiếp b Chứng minh : ∆M’NP’ đồng dạng ∆M’N’P

Cho ∆ABC có đường cao AH BI a Chứng minh : BAH BIH  .

b Chứng minh : AB.IC = BC.IH

Cho xOy 90  Trên Ox lấy OA = 6cm, OB = 10cm Trên Oy lấy OD = 4cm, OC = 15cm Chứng minh:

a ∆OAD đồng dạng ∆OBC

b Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

Cho ∆OPQ có đường cao PI QK Chứng minh :

IK PQ

Cho ∆ABC Lấy điểm DAB VÀ EAC cho AB.AD AC.AE .

Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

Cho ∆ABCnội tiếp đường tròn (O) Từ Mcung nhỏ AB , kẻ

MH, MI, MK vng góc với đường thẳng AB, BC,CA H, I, K Chứng minh :

a Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp đường tròn b AMK BMI  .

c AHK BHI  .

d Ba điểm H, I, K thẳng hàng

10 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ Mcung nhỏ AB,

kẻ MH, MI, MK vng góc với đường thẳng AB, BC,CA H, I, K Chứng minh :

a Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp đường tròn b Ba điểm H, I, K thẳng hàng

11 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC Lấy M dây BC, kẻ đường thẳng vng góc với OM M, đường thẳng cắt AB K đường thẳng AC L

a Chứng minh : Tứ giác OMKB OMCL nội tiếp b Chứng minh : OKM OLM  .

c Chứng minh : MK = ML

12 Từ điểm A (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC Lấy M thuộc dây BC, kẻ đường thẳng vng góc với OM M, đường thẳng cắt đường thẳng AB K đường thẳng AC L Chứng minh : MK = ML 13 Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy điểm M cung AB, kẻ MHAB H Từ điểm C cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy

a Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc đường tròn A, H, C, E nằm đường tròn

b Chứng minh : Các ∆ODC, ∆OEC cân

c Chứng minh : O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DCE 14 Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy điểm M cung AB, kẻ MHAB H Từ điểm C cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy

cắt đường thẳng MH O AC cắt MH D MH cắt BC E

a Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc đường tròn A, H, C, E nằm đường tròn

b Chứng minh : O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆DCE 15 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác đỉnh B C cắt E, hai phân giác đỉnh B C cắt F Đặt số đo BAC .

a Chứng minh : Tứ giác BECF nội tiếp

b Chứng minh : BFC EBC ECB   tính BFC theo .

c Gọi I trung điểm EF.Chứng minh BIC 2BFC   .

d Chứng minh : Tứ giác ABCI nội tiếp

e Lấy M BC cho MIC AIB  Chứng minh ∆ABI đồng

dạng ∆CMI

f Chứng minh : ∆BMI đồng dạng ∆ACI g Chứng minh : AB.CI AC.BI BC.AI 

16 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác đỉnh B C cắt E, hai phân giác đỉnh B C cắt F Đặt số đo BAC .

a Tính số đo BFC theo .

b Gọi I trung điểm EF Chứng minh tứ giác ABCI nội tiếp

17 Trong hình vng ABCD vẽ nửa đường trịn (O) đường kính AD cắt cung AC đường tròn ( D; DA ) Lấy điểm P cung



AC, PD cắt AD K Kẻ PH AB H PA cắt AD I.

a Chứng minh : DI phân giác PDA b Chứng minh : Tứ giác AHPK nội tiếp c Chứng minh : PH = PK

18 Trong hình vng ABCD vẽ nửa đường trịn (O) đường kính AD cắt cung AC đường tròn ( D; DA ) Lấy điểm P cung



AC, PD cắt AD K Kẻ PH AB H Chứng minh : PH = PK.

19 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm M cung nhỏ AC Kẻ MH AC H, MKBC K MIAB I.

Gọi E, F trung điểm AB, HK a Chứng minh AMI CMK  .

b Chứng minh : Các tứ giác AHMI, HMCK nội tiếp c Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng

d Chứng minh : MB phân giác AMK e Chứng minh : Tứ giác BIMK nội tiếp

f Chứng minh : ∆ABM đồng dạng ∆HKM ∆BEM đồng dạng ∆KFM

g Chứng minh : Tứ giác IEFM nội tiếp suy EFM 90 

20 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm M cung nhỏ AC Kẻ MH AC H, MKBC K MIAB I.

Gọi E, F trung điểm AB, HK

a Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng

b Chứng minh : ∆ ABM đồng dạng ∆HKM ∆BEM đồng dạng ∆KFM

21 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm D cung nhỏ BC Trên BC lấy điểm N cho NDC ADB .

a Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND ∆ACD đồng dạng ∆BND

b Kẻ DHBC H, DIAB I DKAC K Chứng

minh:

AB CN

DI DH

AC BN

DK DH.

c Chứng minh :

BC AC AB

DHDK DI

22 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm D cung nhỏ BC Trên BC lấy điểm N cho NDC ADB .

a Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND ∆ACD đồng dạng ∆BND

b Kẻ DHBC H, DIAB I DKAC K Chứng

minh:

BC AC AB

DH DK DI

23 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P điểm cung nhỏ AB, BC,CA   BP cắt AN I, MN cắt AB E, AN cắt BC D

a Chứng minh :PN AP BN   ∆BNI cân.

b Chứng minh :MN phân giác ANB BP phân giác ABC

c Chứng minh : AE.BN EB.AN .

d Chứng minh : ∆BEI cân e Chứng minh : EI // BC f

AE AI

BE DI

AN AB

24 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P điểm cung nhỏ AB, BC,CA   BP cắt AN I, MN cắt AB E, AN cắt BC D

a Chứng minh : ∆BNI cân

b Chứng minh : AE.BN EB.AN .

c Chứng minh : EI // BC d Chứng minh :

AN AB

BN BD.

25 Cho B, C nằm tiếp tuyến xAy (O) (A (O)) A BC.

Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE Chứng minh BOC DAE  .

26 Cho B, C nằm tiếp tuyến xAy (O) (A (O)) ABC Kẻ

hai tiếp tuyến BD, CE Chứng minh BOC DAE 180   0.

27 Cho ∆ABC cân A Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B C Từ M cung nhỏ BC kẻ MD, ME, MF vng góc với BC, CA, AB

a Chứng minh : Các tứ giác MDBF, MDCE nội tiếp

b Chứng minh : ∆FBM đồng dạng ∆DCM ∆DBM đồng dạng ∆ECM

c Chứng minh : MD2 ME.MF.

28 Cho điểm A (O; R) Vẽ hai cát tuyến AMN APQ (MN > PQ) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OA Hai dây AD, AF đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) B C Hai cát tuyến AMN APQ cắt đường tròn (O; OA) E H (E, H A)

a Chứng minh : B trung điểm AD C trung điểm AF

b Chứng minh : AD AF  suy AD = AF.

d So sánh OAE OAH

29 Cho điểm A (O; R) Vẽ hai cát tuyến AMN APQ (MN > PQ) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OA Hai dây AD, AF đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) B C Hai cát tuyến AMN APQ cắt đường tròn (O; OA) E H (E, H A)

a Chứng minh : AD = AF so sánh AE AH b Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp

c So sánh OAE OAH

30 ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Điểm M di động BC Vẽ đường tròn tâm ( I ) qua M tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm ( J ) qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn ( I ) cắt ( J ) điểm thứ hai N (NM).

a Chứng minh : N(O)

b Đường thẳng MN cắt (O) K (KN) Chứng minh :

 

MNC ACB .

c Chứng minh : AK // BC

d Chứng minh : Điểm K cố định M di động đoạn BC 31 ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm M di động cạnh BC Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn (I) (J) cắt điểm thứ hai N khác M

a Chứng minh điểm N (O)

b Đường thẳng MN cắt (O) K (K khác N) Chứng minh điểm K cố định M di động cạnh BC

32 Trên hai cạnh Ox Oy xOy 90  Lấy hai điểm A B cho OA = OB Tia Az quay quanh A cắt OB M Kẻ BHAz H

và cắt đường thẳng AO I

b Kẻ OKBI K Chứng minh HO phân giác AHI và

OK = KH

c Chứng minh : K di động đường cố định

33 Trên hai cạnh Ox Oy xOy 90  Lấy hai điểm A B cho OA = OB Tia Az quay quanh A cắt OB M Kẻ BHAz H

và cắt đường thẳng AO I

a Có nhận xét tứ giác OMHI so sánh OM với OI b Kẻ OKBI K Chứng minh : OK = KH K di động

trên đường cố định Az quay quanh A cho MOB

34 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC).AD’ cắt BC E

a Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC ∆ABE đồng dạng ∆ADC

b AC cắt DD’ F Chứng minh : DAF BAD '  .

c Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B ∆ACE đồng dạng ∆BD’E

d So sánh EC.EB với ED’.EA

35 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC).AD’ cắt BC E

a Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC ∆ABE đồng dạng ∆ADC

b AC cắt DD’ E Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B a c So sánh EC.EB với ED’.EA

36 Cho đường tròn (O) dây AB Lấy điểm M tia đối tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC MD với (O) (C AB lớn) Phân giác của



a Chứng minh : CD AF BC   .

b Chứng minh : MC = ME

c Chứng minh : ∆ADM đồng dạng ∆DBM ∆CAM đồng dạng ∆BCM suy

EA DA

EB DB .

d Chứng minh : DE tia phân giác ADB

e Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định

f Chứng minh : MI tia phân giác CID

g Xác định vị trí điểm M AB để ∆MCD

37 Cho đường tròn (O) dây AB Lấy điểm M tia đối tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC MD với (O) (C AB lớn) Phân giác của



ACB cắt AB E.

a Chứng minh : MC = ME

b Chứng minh : DE tia phân giác ADB

c Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định

d Chứng minh : MI tia phân giác CID

e Xác định vị trí điểm M AB để ∆MCD

38 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Kẻ đường kính AD cùa (O) gọi M trung điểm BC

a ∆ABD ∆ACD tam giác gì? Tại sao?

b Chứng minh : BHCD hình bình hành H, M, D thẳng hàng

c Giả sử

R OM

2



Chứng minh : OMBC tính độ dài

đoạn AH

39 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Kẻ đường kính AD cùa (O) gọi M trung điểm BC

a Chứng minh : BHCD hình bình hành H, M, D thẳng hàng

b Giả sử

R OM

2



Chứng minh : OMBC tính độ dài

đoạn AH

c Chứng minh H, G, O thẳng hàng GH = 2GO (G trọng tâm ∆ABC)

40 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M cung nhỏ BC điểm D MA cho MD = MB

a ∆BMD tam giác gì? Tại sao?

b Chứng minh : ABD CBM  AD = MC.

c Chứng minh : MA = MB + MC

d Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn

41 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M cung nhỏ BC điểm D MA cho MD = MB

a ∆BMD tam giác gì? Tại sao? b Chứng minh : MA = MB + MC

c Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn

42 Cho ∆ABC vuông A có AH đường cao đường trịn tâm (O) đường kính AH cắt AB E AC F

a Chứng minh : AEHF hình chử nhật E, O, F thẳng hàng b Tiếp tuyến (O) E F cắt BC M N

Chứng minh ∆BEM ∆CNF tam giác cân c Chứng minh : M, N trung điểm HB HC d Chứng minh SMEFN 2SMON

43 Cho ∆ABC vng A có AH đường cao đường trịn tâm (O) đường kính AH cắt AB E AC F

a Chứng minh : AEHF hình chử nhật E, O, F thẳng hàng b Tiếp tuyến (O) E F cắt BC M N

Chứng minh: M, N trung điểm HB HC c Chứng minh :∆MON vuông chu vi (MON) =1/2 chu vi

(ABC)

d Tính SMEFN biết AB = 8cm, AC = 19cm

44 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Lấy điểm M cung nhỏ BC N E điểm đối xứng M qua AB AC

a Xác định vị trí M BC để BHCM hình bình hành b Chứng minh ANB ACB  AEC ABC  .

c Chứng minh : Các tứ giác AHBN AHCE nội tiếp đường tròn

d Chứng minh : BAC BAN CAE   .

e Chứng minh :N, H, E thẳng hàng

45 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Lấy điểm M cung nhỏ BC N E điểm đối xứng M qua AB AC

a Xác định vị trí M BC để BHCM hình bình hành b Chứng minh ANB ACB  AEC ABC  .

c Chứng minh : Các tứ giác AHBN AHCE nội tiếp đường tròn

46 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường trịn (I; r) Tia phân giác góc BAC cắt cung BC D OI cắt (O) E F (I OE).

a BI cắt (O)tại K Chứng minh:KCD AK BD   ∆BDI cân

b Chứng minh :IA.DB IE.IF IA.DB R 2 OI2.

c Kẻ đường kính DH (O) IM AB M Chứng minh

∆AMI đồng dạng ∆HBD d Chứng minh :

IM IA

ID DH R2 OI2 2Rr

 

47 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường tròn (I; r) Tia phân giác góc BAC cắt cung BC D

a Chứng minh: ∆BDI cân IA.DB R 2 OI2.

b Kẻ đường kính DH (O) IM AB M Chứng minh

∆AMI đồng dạng ∆HBD

c Chứng minh : R2 OI2 2Rr.

48 Cho điểm A đường trịn tâm O đường kính BC Đường thẳng vng góc với đoạn OC D (DOC) cắt đường tròn (O) I K (I và

A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC), cắt hai đường thẳng AB, AC E F CE cắt (O) J (J không trùng C) Tiếp tuyến A (O) cắt EF M

a Chứng minh : D trung điểm IK b Chứng minh : FA.FC = FE.FD

c Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng d Chứng minh : Các ∆MAF ∆MAE cân e M trung điểm EF

49 Cho điểm A đường trịn tâm O đường kính BC Đường thẳng vng góc với đoạn OC D (DOC) cắt đường tròn (O) I K (I và

A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC), cắt hai đường thẳng AB, AC E F CE cắt (O) J (J không trùng C) Tiếp tuyến A (O) cắt EF M

b Chứng minh : FA.FC = FE.FD

c Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng d M trung điểm EF

50 Cho xOy 90 điểm A cố định Ox Lấy điểm M di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I

a Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp

b Giả sử OAM 30  0 OA = a Hãy tính độ dài cạnh và

đường chéo hình vng AMNP c Tính SAMNP SAOMI.

d Nếu OA = a điểm M di động Oy Gọi IE IF khoảng cách từ điểm I đến Ox Oy Chứng minh điểm I di động đường cố định

51 Cho xOy 90 điểm A cố định Ox OA = a M điểm di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I Kẻ PHOx H.

a Chứng minh : ∆OAM = ∆APH

b Chứng minh : Điểm P di động đường cố định c Gọi PK khoảng cách từ điểm P đến Oy Chứng minh điểm K cố định

d Gọi AG NL khoảng cách từ điểm A N đến OI Chứng tỏ NL = AG không đổi Chứng minh N di động đường cố định

52 Cho xOy 90  điểm A cố định Ox Lấy M điểm di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I

a Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp