Chứng minh : Các tứ giác AHBN và AHCE nội tiếp được trong đường tròn.. Xác định vị trí của M trên BC để BHCM là hình bình hành.[r]
(1)Trường NN&BDVH Thăng Tiến – THĂNG LONG
HÌNH HỌC LỚP 9
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
(2)TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Cho ∆ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt H Hãy tìm chứng minh tứ giác nội tiếp có hình
Cho ∆ABC có ba đường cao AH, GI, CK cắt O a Chứng minh : Tứ giác AIOK tứ giác AIHB nội tiếp b Chứng minh : BI phân giác KIH
c Chứng minh : O tâm đường tròn nội tiếp ∆KIH d Chứng minh : A, B, C tâm đường trịn bàng tiếp ∆KIH Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H
a Chứng minh : Tứ giác BCEF nội tiếp b Chứng minh : ∆AEF đồng dạng ∆ABC Cho ∆MNP có ba đường cao MM’, NN’, PP’
a Chứng minh : Tứ giác MPM’P’ tứ giác MNM’N’ nội tiếp b Chứng minh : ∆M’NP’ đồng dạng ∆M’N’P
Cho ∆ABC có đường cao AH BI a Chứng minh : BAH BIH .
b Chứng minh : AB.IC = BC.IH
Cho xOy 90 Trên Ox lấy OA = 6cm, OB = 10cm Trên Oy lấy OD = 4cm, OC = 15cm Chứng minh:
a ∆OAD đồng dạng ∆OBC
b Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
Cho ∆OPQ có đường cao PI QK Chứng minh :
IK PQ
(3)Cho ∆ABC Lấy điểm DAB VÀ EAC cho AB.AD AC.AE .
Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn
Cho ∆ABCnội tiếp đường tròn (O) Từ Mcung nhỏ AB , kẻ
MH, MI, MK vng góc với đường thẳng AB, BC,CA H, I, K Chứng minh :
a Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp đường tròn b AMK BMI .
c AHK BHI .
d Ba điểm H, I, K thẳng hàng
10 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ Mcung nhỏ AB,
kẻ MH, MI, MK vng góc với đường thẳng AB, BC,CA H, I, K Chứng minh :
a Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp đường tròn b Ba điểm H, I, K thẳng hàng
11 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC Lấy M dây BC, kẻ đường thẳng vng góc với OM M, đường thẳng cắt AB K đường thẳng AC L
a Chứng minh : Tứ giác OMKB OMCL nội tiếp b Chứng minh : OKM OLM .
c Chứng minh : MK = ML
12 Từ điểm A (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC Lấy M thuộc dây BC, kẻ đường thẳng vng góc với OM M, đường thẳng cắt đường thẳng AB K đường thẳng AC L Chứng minh : MK = ML 13 Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy điểm M cung AB, kẻ MHAB H Từ điểm C cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy
(4)a Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc đường tròn A, H, C, E nằm đường tròn
b Chứng minh : Các ∆ODC, ∆OEC cân
c Chứng minh : O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DCE 14 Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy điểm M cung AB, kẻ MHAB H Từ điểm C cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy
cắt đường thẳng MH O AC cắt MH D MH cắt BC E
a Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc đường tròn A, H, C, E nằm đường tròn
b Chứng minh : O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆DCE 15 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác đỉnh B C cắt E, hai phân giác đỉnh B C cắt F Đặt số đo BAC .
a Chứng minh : Tứ giác BECF nội tiếp
b Chứng minh : BFC EBC ECB tính BFC theo .
c Gọi I trung điểm EF.Chứng minh BIC 2BFC .
d Chứng minh : Tứ giác ABCI nội tiếp
e Lấy M BC cho MIC AIB Chứng minh ∆ABI đồng
dạng ∆CMI
f Chứng minh : ∆BMI đồng dạng ∆ACI g Chứng minh : AB.CI AC.BI BC.AI
16 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác đỉnh B C cắt E, hai phân giác đỉnh B C cắt F Đặt số đo BAC .
a Tính số đo BFC theo .
b Gọi I trung điểm EF Chứng minh tứ giác ABCI nội tiếp
(5)17 Trong hình vng ABCD vẽ nửa đường trịn (O) đường kính AD cắt cung AC đường tròn ( D; DA ) Lấy điểm P cung
AC, PD cắt AD K Kẻ PH AB H PA cắt AD I.
a Chứng minh : DI phân giác PDA b Chứng minh : Tứ giác AHPK nội tiếp c Chứng minh : PH = PK
18 Trong hình vng ABCD vẽ nửa đường trịn (O) đường kính AD cắt cung AC đường tròn ( D; DA ) Lấy điểm P cung
AC, PD cắt AD K Kẻ PH AB H Chứng minh : PH = PK.
19 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm M cung nhỏ AC Kẻ MH AC H, MKBC K MIAB I.
Gọi E, F trung điểm AB, HK a Chứng minh AMI CMK .
b Chứng minh : Các tứ giác AHMI, HMCK nội tiếp c Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng
d Chứng minh : MB phân giác AMK e Chứng minh : Tứ giác BIMK nội tiếp
f Chứng minh : ∆ABM đồng dạng ∆HKM ∆BEM đồng dạng ∆KFM
g Chứng minh : Tứ giác IEFM nội tiếp suy EFM 90
20 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm M cung nhỏ AC Kẻ MH AC H, MKBC K MIAB I.
Gọi E, F trung điểm AB, HK
a Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng
b Chứng minh : ∆ ABM đồng dạng ∆HKM ∆BEM đồng dạng ∆KFM
(6)21 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm D cung nhỏ BC Trên BC lấy điểm N cho NDC ADB .
a Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND ∆ACD đồng dạng ∆BND
b Kẻ DHBC H, DIAB I DKAC K Chứng
minh:
AB CN
DI DH
AC BN
DK DH.
c Chứng minh :
BC AC AB
DHDK DI
22 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm D cung nhỏ BC Trên BC lấy điểm N cho NDC ADB .
a Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND ∆ACD đồng dạng ∆BND
b Kẻ DHBC H, DIAB I DKAC K Chứng
minh:
BC AC AB
DH DK DI
23 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P điểm cung nhỏ AB, BC,CA BP cắt AN I, MN cắt AB E, AN cắt BC D
a Chứng minh :PN AP BN ∆BNI cân.
b Chứng minh :MN phân giác ANB BP phân giác ABC
c Chứng minh : AE.BN EB.AN .
d Chứng minh : ∆BEI cân e Chứng minh : EI // BC f
AE AI
BE DI
AN AB
(7)24 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P điểm cung nhỏ AB, BC,CA BP cắt AN I, MN cắt AB E, AN cắt BC D
a Chứng minh : ∆BNI cân
b Chứng minh : AE.BN EB.AN .
c Chứng minh : EI // BC d Chứng minh :
AN AB
BN BD.
25 Cho B, C nằm tiếp tuyến xAy (O) (A (O)) A BC.
Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE Chứng minh BOC DAE .
26 Cho B, C nằm tiếp tuyến xAy (O) (A (O)) ABC Kẻ
hai tiếp tuyến BD, CE Chứng minh BOC DAE 180 0.
27 Cho ∆ABC cân A Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B C Từ M cung nhỏ BC kẻ MD, ME, MF vng góc với BC, CA, AB
a Chứng minh : Các tứ giác MDBF, MDCE nội tiếp
b Chứng minh : ∆FBM đồng dạng ∆DCM ∆DBM đồng dạng ∆ECM
c Chứng minh : MD2 ME.MF.
28 Cho điểm A (O; R) Vẽ hai cát tuyến AMN APQ (MN > PQ) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OA Hai dây AD, AF đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) B C Hai cát tuyến AMN APQ cắt đường tròn (O; OA) E H (E, H A)
a Chứng minh : B trung điểm AD C trung điểm AF
b Chứng minh : AD AF suy AD = AF.
(8)d So sánh OAE OAH
29 Cho điểm A (O; R) Vẽ hai cát tuyến AMN APQ (MN > PQ) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OA Hai dây AD, AF đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) B C Hai cát tuyến AMN APQ cắt đường tròn (O; OA) E H (E, H A)
a Chứng minh : AD = AF so sánh AE AH b Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp
c So sánh OAE OAH
30 ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Điểm M di động BC Vẽ đường tròn tâm ( I ) qua M tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm ( J ) qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn ( I ) cắt ( J ) điểm thứ hai N (NM).
a Chứng minh : N(O)
b Đường thẳng MN cắt (O) K (KN) Chứng minh :
MNC ACB .
c Chứng minh : AK // BC
d Chứng minh : Điểm K cố định M di động đoạn BC 31 ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm M di động cạnh BC Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn (I) (J) cắt điểm thứ hai N khác M
a Chứng minh điểm N (O)
b Đường thẳng MN cắt (O) K (K khác N) Chứng minh điểm K cố định M di động cạnh BC
32 Trên hai cạnh Ox Oy xOy 90 Lấy hai điểm A B cho OA = OB Tia Az quay quanh A cắt OB M Kẻ BHAz H
và cắt đường thẳng AO I
(9)b Kẻ OKBI K Chứng minh HO phân giác AHI và
OK = KH
c Chứng minh : K di động đường cố định
33 Trên hai cạnh Ox Oy xOy 90 Lấy hai điểm A B cho OA = OB Tia Az quay quanh A cắt OB M Kẻ BHAz H
và cắt đường thẳng AO I
a Có nhận xét tứ giác OMHI so sánh OM với OI b Kẻ OKBI K Chứng minh : OK = KH K di động
trên đường cố định Az quay quanh A cho MOB
34 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC).AD’ cắt BC E
a Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC ∆ABE đồng dạng ∆ADC
b AC cắt DD’ F Chứng minh : DAF BAD ' .
c Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B ∆ACE đồng dạng ∆BD’E
d So sánh EC.EB với ED’.EA
35 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC).AD’ cắt BC E
a Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC ∆ABE đồng dạng ∆ADC
b AC cắt DD’ E Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B a c So sánh EC.EB với ED’.EA
36 Cho đường tròn (O) dây AB Lấy điểm M tia đối tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC MD với (O) (C AB lớn) Phân giác của
(10)a Chứng minh : CD AF BC .
b Chứng minh : MC = ME
c Chứng minh : ∆ADM đồng dạng ∆DBM ∆CAM đồng dạng ∆BCM suy
EA DA
EB DB .
d Chứng minh : DE tia phân giác ADB
e Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định
f Chứng minh : MI tia phân giác CID
g Xác định vị trí điểm M AB để ∆MCD
37 Cho đường tròn (O) dây AB Lấy điểm M tia đối tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC MD với (O) (C AB lớn) Phân giác của
ACB cắt AB E.
a Chứng minh : MC = ME
b Chứng minh : DE tia phân giác ADB
c Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định
d Chứng minh : MI tia phân giác CID
e Xác định vị trí điểm M AB để ∆MCD
38 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Kẻ đường kính AD cùa (O) gọi M trung điểm BC
a ∆ABD ∆ACD tam giác gì? Tại sao?
b Chứng minh : BHCD hình bình hành H, M, D thẳng hàng
c Giả sử
R OM
2
Chứng minh : OMBC tính độ dài
đoạn AH
(11)39 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Kẻ đường kính AD cùa (O) gọi M trung điểm BC
a Chứng minh : BHCD hình bình hành H, M, D thẳng hàng
b Giả sử
R OM
2
Chứng minh : OMBC tính độ dài
đoạn AH
c Chứng minh H, G, O thẳng hàng GH = 2GO (G trọng tâm ∆ABC)
40 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M cung nhỏ BC điểm D MA cho MD = MB
a ∆BMD tam giác gì? Tại sao?
b Chứng minh : ABD CBM AD = MC.
c Chứng minh : MA = MB + MC
d Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn
41 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M cung nhỏ BC điểm D MA cho MD = MB
a ∆BMD tam giác gì? Tại sao? b Chứng minh : MA = MB + MC
c Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn
42 Cho ∆ABC vuông A có AH đường cao đường trịn tâm (O) đường kính AH cắt AB E AC F
a Chứng minh : AEHF hình chử nhật E, O, F thẳng hàng b Tiếp tuyến (O) E F cắt BC M N
Chứng minh ∆BEM ∆CNF tam giác cân c Chứng minh : M, N trung điểm HB HC d Chứng minh SMEFN 2SMON
(12)43 Cho ∆ABC vng A có AH đường cao đường trịn tâm (O) đường kính AH cắt AB E AC F
a Chứng minh : AEHF hình chử nhật E, O, F thẳng hàng b Tiếp tuyến (O) E F cắt BC M N
Chứng minh: M, N trung điểm HB HC c Chứng minh :∆MON vuông chu vi (MON) =1/2 chu vi
(ABC)
d Tính SMEFN biết AB = 8cm, AC = 19cm
44 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Lấy điểm M cung nhỏ BC N E điểm đối xứng M qua AB AC
a Xác định vị trí M BC để BHCM hình bình hành b Chứng minh ANB ACB AEC ABC .
c Chứng minh : Các tứ giác AHBN AHCE nội tiếp đường tròn
d Chứng minh : BAC BAN CAE .
e Chứng minh :N, H, E thẳng hàng
45 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Lấy điểm M cung nhỏ BC N E điểm đối xứng M qua AB AC
a Xác định vị trí M BC để BHCM hình bình hành b Chứng minh ANB ACB AEC ABC .
c Chứng minh : Các tứ giác AHBN AHCE nội tiếp đường tròn
(13)46 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường trịn (I; r) Tia phân giác góc BAC cắt cung BC D OI cắt (O) E F (I OE).
a BI cắt (O)tại K Chứng minh:KCD AK BD ∆BDI cân
b Chứng minh :IA.DB IE.IF IA.DB R 2 OI2.
c Kẻ đường kính DH (O) IM AB M Chứng minh
∆AMI đồng dạng ∆HBD d Chứng minh :
IM IA
ID DH R2 OI2 2Rr
47 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường tròn (I; r) Tia phân giác góc BAC cắt cung BC D
a Chứng minh: ∆BDI cân IA.DB R 2 OI2.
b Kẻ đường kính DH (O) IM AB M Chứng minh
∆AMI đồng dạng ∆HBD
c Chứng minh : R2 OI2 2Rr.
48 Cho điểm A đường trịn tâm O đường kính BC Đường thẳng vng góc với đoạn OC D (DOC) cắt đường tròn (O) I K (I và
A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC), cắt hai đường thẳng AB, AC E F CE cắt (O) J (J không trùng C) Tiếp tuyến A (O) cắt EF M
a Chứng minh : D trung điểm IK b Chứng minh : FA.FC = FE.FD
c Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng d Chứng minh : Các ∆MAF ∆MAE cân e M trung điểm EF
49 Cho điểm A đường trịn tâm O đường kính BC Đường thẳng vng góc với đoạn OC D (DOC) cắt đường tròn (O) I K (I và
A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC), cắt hai đường thẳng AB, AC E F CE cắt (O) J (J không trùng C) Tiếp tuyến A (O) cắt EF M
(14)b Chứng minh : FA.FC = FE.FD
c Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng d M trung điểm EF
50 Cho xOy 90 điểm A cố định Ox Lấy điểm M di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I
a Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp
b Giả sử OAM 30 0 OA = a Hãy tính độ dài cạnh và
đường chéo hình vng AMNP c Tính SAMNP SAOMI.
d Nếu OA = a điểm M di động Oy Gọi IE IF khoảng cách từ điểm I đến Ox Oy Chứng minh điểm I di động đường cố định
51 Cho xOy 90 điểm A cố định Ox OA = a M điểm di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I Kẻ PHOx H.
a Chứng minh : ∆OAM = ∆APH
b Chứng minh : Điểm P di động đường cố định c Gọi PK khoảng cách từ điểm P đến Oy Chứng minh điểm K cố định
d Gọi AG NL khoảng cách từ điểm A N đến OI Chứng tỏ NL = AG không đổi Chứng minh N di động đường cố định
52 Cho xOy 90 điểm A cố định Ox Lấy M điểm di động Oy Dựng hình vng AMNP nằm góc xOy có tâm I
a Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp
(15)