Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường[r]
(1)Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3 3mx + 22 (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2 Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: cot2 x2 sin2 x(2 ) cos x Giải phương trình:
3
x
x x
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
2
3
3
x
dx x x
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, SA = a,
SB = a , BAD = 60 mp(SAB) vng góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích tứ diện NSDC tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Câu V: (1,0 điểm) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 3
x y z
P x y z
y z x
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC M(3,2), trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G(2 2,
3 3) I(1,-2) Xác
định tọa độ đỉnh C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
d , điểm A (1,4,2) mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – = Viết phương trình đường thẳng qua A,
nằm mp(P) biết khoảng cách d
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z , z1 thỏa mãn i.z1 0,5 z = i.z2 Tìm giá trị nhỏ z1z2
-Hết -
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên:……… SBD:……… TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN
KHỐI A,B
(2)TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MƠN: TỐN KHỐI A, B
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
m = y = x3 3x + 22 a) TXĐ: R
b) Sự biến thiên:
*) Giới hạn: lim ; lim
xy xy 0,25
*) Chiều biến thiên:
2 x =
x =
y' = 3x 6x ; y' =
Hàm số đồng biến khoảng (-; 0) (2; + ), hàm số nghịch biến (0; 2) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu x = 2, yCT= -
0,25
BBT x - + f’(x) + - +
f(x) +
- -2 0,25 I-1
(1điểm )
c) Đồ thị:
5
2
-2
-4
O
y
x
0,25
3
y = x 3mx + 2 y' = 3x2 6mx ; x =
x = 2m
y' =
Đồ thị hàm số có điểm cực trị y’ = có nghiệm phân biệt m 0,25 I-2
(1điểm )
Với m đồ thị hàm số (1) có tọa độ điểm cực trị là: A(0; 2) B(2m;-4m3+2)
Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị A, B là:
3
x y
= 2m x + y =
2m - 4m
(3)AB cắt Ox C 12;0 m
, cắt Oy A(0; 2)
Đường thẳng qua điểm cực trị tạo với trục tọa độ tam giác OAC vuông O ta có: SOAC= OA.OC = 2.1 12 = 12
2 m m 0,25
Yêu cầu toán thỏa mãn 12 = m
m = ±2
(thỏa mãn m 0)
Vậy m
2
= ± 0,25
Điều kiện : x k
Phương trình tương đương: 3cosx( sin
cos
2 x x
) = 2(cosx - 2sin2x) 0,25
(cosx - 2sin2x)(3cosx – 2sin2x) = cos cos 2 cos cos 2 x x x x 0,25
co s ( )
2 c o s
2
c o s ( )
1 c o s
2
x lo a i
x
x lo a i x 0,25 II-1 (1 im)
Kết hợp với đ/k suy pt cã nghiÖm: x = 2
4 k
& x = 2
3 k
0,25
2 1
3 ( 1) ( 1)
3 3
x
x x x x , x 7
Đặt
1
( 1) ( 0)
u x
v x v
ta có hệ phương trình: 2 3 u v v u 0,25
2 2
2
2
( )[3( ) 1]
3 3( )
3
3 6
u v u v
u v u v u v
u v
v u u v
u v u v
3( ) u v u v 0,25 2 73 (lo¹i) 6
3 6 73
6
u
u v u v
u v u u
u 2
1 69
3( ) 3 6
17
3 3 0 69
(lo¹i)
3 6
v u u
u v
u v
u u u
0,25 II-2 (1 điểm)
+ Với 73 73
6 6
(4)+ Với 69 69 69
6 6
u x
1 1
2 2
2
1 1
3 3
(3 1)
3
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
0,25
1
1
2
1
3
3
26 3
27
I x dx x 0,25
1
1
2 2 2
2
1
1
3
3
1 16
9 (9 1) (9 1)
18 27 27
I x x dx x d x x 0,25
III (1 điểm)
Vậy 26 16
27
I 0,25
Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,
SB = 3, tam giác ASB vuông S suy
2
AB
SM a tam giác SAM Gọi H trung điểm AM
SHAB Mặt khác (SAB)(ABCD) nên suy SH (ABCD)
N
M B
A S
C
D H
Q K
0,25
2
1 1
3 3 2 4
NSDC SNDC DNC BDC
a a a
V V SH S SH S 0,25
Gọi Q điểm thuộc đoạn AD cho AD = AQ MQ//ND nên
(SM DN, )(SM QM, ) Gọi K trung điểm MQ suy HK//AD nên HKMQ Mà SH(ABCD), HKMK suy SKMQ suy (SM DN, )(SM QM, )SMK
0,25 IV
(1 điểm)
Trong tam giác vuông SMK:
1 1
3
2 4
os
4
MQ DN a
MK c SMK
SM a a a
0,25
V (1 điểm)
ĐỈt x = a2,yb z2, c2 Do xy z 3suy a2b2c23
Ta cần tìm giá trị nhỏ
3 3
2 2
3 3
a b c
P
b c a
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có:
3
3
2
3
3
16 64
2 3
a a b a a
b b
(1)
3
3
2
3
3
16 64
2 3
b b c c c
c c
(2)
3
3
2
3
3
16 64
2 3
c c a c c
a a
(3)
(5)Cộng theo vế ta được:
2 2
2 2
16
a b c
P a b c (4) 0,25
Vì a2+b2+c2=3
Từ (4)
2
P
giá trị nhỏ
2
P a = b = c =1 x = y = z =
0,25
7 (2;4), ;
3
IM GM
Gọi A(xA; yA) Có AG2GM
A(-4; -2)
0,25
Đường thẳng BC qua M nhận vec tơ IM
làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = x + 2y - = 0,25
Gọi C(x; y) Có C BC x + 2y - =
Mặt khác IC = IA (x1)2(y2)2 25(x1)2(y2)225 0,25
VI- (1 điểm)
Tọa độ C nghiệm hệ phương trình:
2
2
( 1) ( 2) 25
x y
x y
Giải hệ phương trình ta tìm
1
x y
3
x y
Vậy có điểm C thỏa mãn C(5; 1) C(1; 3)
0,25
Gọi (Q) mặt phẳng qua d cách A(1,4,2) khoảng
(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = (1) Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)
0,25
2 2 ( ,( )) 2 2 2
2 2
(1 1) (4 1) (2 1)
2 3 (5 ) 12( )
12 13 11 10 (3)
A Q
a b c
d b c a b c
a b c
a b c bc
Thay (2) vào (3) có 7a28ab b 0 Chọn b = a = -1 a =
7
0,25
Với b = , a = -1 (Q) có phương trình: x – y – z – =
Đường thẳng qua A song song với giao tuyến (P) (Q) có VTCP
1 1 1
, , 4(1, 2, 1)
1 3 5
u
nên có phương trình:
1
1
x y z
0,25 VI-2
(1 điểm)
Với b = , a =
7
(Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 =
Đường thẳng qua A song song với giao tuyến (P) (Q) có VTCP
( 8,11,17)
u nên có phương trình:
8 11 17
x y z
0,25
Đặt z1x1iy x y1( ,1 1R)
Khi điểm M( ,x y1 1) biểu diễn z1,
2
1 1 1
i.z 0, 5 i.x y 0,5x (y ) 0, 25
Suy tập hợp điểm M biểu diễn z1 đường trịn (C1) tâm O1(0, 2) bán kính
R1=0,5
0,25 VII
(1 điểm)
2 1
z iz y x i Suy N (- y1 , x1) biểu diễn z2
(6)Ta cần tìm M thuộc (C1) để z1z2 MN nhỏ Để ý OM x y( ,1 1)ON(y x1, )1
OM = ON nên MN = OM 0,25
MN đạt giá trị nhỏ OM nhỏ Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) M1(0,
2
) M2(0,
1
2
) Dễ thấy MN nhỏ 2
M trùng
M1(0, 2
) tức 1 ( 1)
z i