De thi DHSP1 nam 20112012

Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS. 3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC.[r]

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề thức đề thi tuyn sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011 Môn thi: Toán học

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian lµm bµi :150

Câu 1 Cho a=1 2√√2+

1 8−

√2

1.Chứng minh 4a2+√2a−√2=0

Tính giá trị biểu thức S=a2+√a4+a+1 Câu 2

1.Giải hệ phương trình ¿ x2

+y2+2 xy

x+y=1

√x+y=x2− y

¿{

¿

2 Cho số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : a3b

+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0

Chứng minh 1-ab bình phương số hưũ tỷ

Câu Tìm tất số nguyên tố p có dạng p=a2+b2+c2 với a, b, c số nguyên dương cho a4+b4+c4 chia hết cho p

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt S đường thẳng BC OS cắt M

1.Chứng minh ABAE=BS ME

2 Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N giao điểm AM EF ,P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC

Câu 5 Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu ( viên bi có màu) ,trong có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng ( màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn cịn khơng ?

-HÕt -Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích thêm

Họ tên thÝ sinh sè b¸o danh

2

1 1 2 8 2 1 2 8 2 1 1

a 2 2a (*)

2 8 8 4 2 8 4

8 2 2 2 2 1 1 8 2 1

2a 4a 2

16 4 4

  

      

   

     

a)

2 8 1

xÐt 4a 2a ( ) ( )

4 4

 

        

b) theo c©u a) ta cã

2

2 2(1 a) (1 a)

4a 2a a a a a

4

 

          

2

4 a 6a (a 3)

a a

8

  

    

Theo (*) th× a>0

2

2 2

2

(a 3) a 4a 2a

a a a a a

8 2

(4a 2a 2)

2

   

        

  

 

C©u 2:

1

¿ x2+y2+2 xy

x+y=1

√x+y=x2− y

¿{

¿

®k: 

x y

x y

   

2

3 2

a bab 2a b 2a2b 0   ab(ab) 2(ab) 0; (a   b 0)

2 2

2 2

1 2(a b) 2(a b) a b 2ab 2a 2b a b

ab ab

(a b) (a b) (a b) a b

             

        

     

C©u 3:

2 2 2 4 2 2 2

2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

gi ¶ sư a b c p 3(do a,b,c )

xÐt p (a b c ) (a b c ) 2(a b b c c a )

do p p vµ (a b c ) p vµ p (a b b c c a ) p

xÐt (a b b c c a ) c p (a b b c c a ) (a c b c c ) a b c

(ab c )(ab c ) p

p a



    

        

     

          

  





  





2 2 2 2

0

2

b c 2ab c ab c ab c ab c k chia hÕt cho p (ab c ) p

a b c ab c

a b c

p 3(do p lµ sè nguyª n tè)

p 3c

 

             



    

  

 

 





C©u 5:

Tổng số viên bi màu đỏ, xanh tím bốc đợc 178-45=133 (viên)

Vì 133:3=44 d 1(số bi bốc đợc ln ngun dơng), nên số bi bốc đợc ba màu đỏ, xanh tím phải 44+1=45 (viên)

a)

 

 

  

0

0

BEC BFC 90 BCEF nội tiếp đ ờng tròn tâm M đ êng kÝnh BC ME=MB (1)

BEA=BMS 90

xét ABE BSM có ABE BSM đồng dạng (g.g)

BAE SBM( s®BC)

2

AB AE AB BS

(2)

BS BM AE BM

AB BS

tõ (1),(2)

AE ME

  





 

 

  



   

 

   

b)

BCEF néi tiÕp   

0

ME MC MCE cân M MEA 180 2C A B ABS (3)

        

L¹i cã

AB BS

(4)

AE ME

Từ (3), (4) suy AEM ABS đồng dạng (c.g.c). c)

   

 

 

AM AE

(5)

AEM ABS đồng dạng AS AB

MAE SAB NAE BAP

NAE BAP

xét ANE APB có ANE APB đồng dạng (g.g)

AEN ABP (do BCEF ntiÕp)

AN AE

(6)

AP AB

AN AM

tõ (5), (6) PN // SM PN // OS PN BC

AP AS mµ OS BC



 

 

   





 



 

 

 

     

 

 