Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc. Bài 22: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm trong 12 ngày[r]
(1)DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phần 1: Kiến thức cần nhớ
1 Điều kiện để thức có nghĩa A Có nghĩa A
2 Các công thức biến đổi thức a
2 A A
= {− A , AA , A ≥<00 b AB A B (A0;B0)
c
( 0; 0)
A A
A B
B B
d
2 ( 0)
A B A B B
e A B A B2 (A0;B0) A B A B2 (A0;B0) f
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
i
( 0)
A A B
B B
B
k
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
m
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
Phần 2: Một số ví dụ tập: Ví dụ 1: Cho M = −√a −a+6
3+√a a) Rút gọn M
b) Tìm a để |M|≥1
c) Tìm giá trị lớn M Giải
a) ĐK: a ≥ M = − a −√a+6
√a+3 =
(√a+3)(2−√a)
√a+3 =2−√a
Vậy với a ≥ M = - √a
b) Để
a ≤1 a ≥9
√a ≤1
√a≥3⇔¿ 2−√a ≥1
√a −2≥1⇔¿ |M|≥1⇔|2−√a|≥1⇔¿ Vậy
0≤ a ≤1 a ≥9 |M|≥1⇔¿
c) M = - √a ≤ Vậy Max M = ⇔a=0
Ví dụ 2: Cho biểu thức
M = (a −a −√2525a−1):(25− a
a+3√a−10− √a −5 2−√a−
√a+2
√a+5) a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M
Giải
(2)M = [ √a(√a −5)
(√a −5)(√a+5)−1]:[
25− a
(√a+5)(√a−2)+
√a −5 √a −2−
√a+2
√a+5] M = −5
√a+5 : [
25− a+a −25− a+4
(√a+5) (√a −2) ]
M = −5 √a+5.(
(√a+5) (√a −2)
4−a )= √a+2
Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 M = √a+2 b)Để M < ⇔
√a+2 < ⇔
5
√a+2−1<0⇔
5−√a −2 √a+2 <0
⇔3−√a<0 (Vì √a+2>0 ) ⇔√a>3⇔a>9
Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < c)Để M đạt giá trị lớn ⇔
√a+2 lớn ⇔√a+2 nhỏ ⇔√a =
Vậy với a = M đạt giá trị lớn Bài 3: Rút gọn biểu thức
P =
1
( 0; 0)
2 2
x x
x x
x x x
Bài 4: Cho biểu thức P = 15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1-√x −
2√x+3
√x+3
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị x cho P = 12 c) Chứng minh P≤ 32
Bài 5: Cho biểu thức
P = 3a+√9a−3 a+√a −2 −
√a+1
√a+2+
√a−2 1−√a a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức
M =
1
1
x x x x
x x
a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa Rút gọn M c) Với giá trị x M <
Bài 7: Cho biểu thức P = ( √a
√a−1− a −√a):(
1 √a+1+
2 a −1) a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P a = + √2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức
P = ( 4√x 2+√x+
8x 4− x):(
√x −1 x −2√x−
2 √x) a) Rút gọn P
b) Tính x để P = -1
c)T ìm m để với giá trị x >9 ta có m( √x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức
P = (√x+y +√xy
√x+√y):( x √xy+y+
y √xy+x−
x+y
√xy) a) Tìm x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P
(3)a) Rút gọn A
b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên Bài 11: Cho biểu thức
P =
1 x x x
+
1 x
x x
-
1 x x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <
3 với x với x 1.
Bài 12: Cho biểu thức P = (√x −x −12− √x+2
x+2√x+1).(
1− x √2 )
2
a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P
Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P = 2x
x+3√x+2+
5√x+1 x+4√x+3+
√x+10 x+5√x+6 Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 14: Cho biểu thức A = (xx −√x+11− x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) với x>0 vàx1 a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị x để A = Bài 15: Cho biểu thức
M = [√a+√b 1−√ab+
√a −√b
1+√ab ] : [1+
a+b+2 ab
1−ab ] a) Rút gọn M
b) Tính giá trị M với a = 2−√3 c) Tìm giá trị lớn M
Bài 16: Cho biểu thức P = x2−√x
x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1)
√x −1 a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN P
c) Tìm x để biểu thức Q = 2√x
P nhận giá trị số nguyên
Bài 17: Cho biểu thức P = (2x√x+x −√x
x√x −1 − x+√x
x −1 )⋅
x −1 2x+√x −1+
√x 2√x −1 a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN
Bài 18: Rút gọn biểu thức P = 3+√5
√10+√3+√5−
3−√5 √10+√3−√5 Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A = √4+√7−√4−√7
(4)c) C = √4+√15+√4−√15−2√3−√5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P = √x+24+7√2x −1+√x+4−3√2x −1 Với 12 ≤ x ≤
Bài21:Chobiểuthức
P = ( x −1 x+3√x −4−
√x+1
√x −1):
x+2√x+1 x −1 +1 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn P
Bài 22: Cho biểu thức
√x −1+
√x+1¿
2. x2−1
2 −√1− x
2
A=¿
a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Giải phương trình theo x A = -2 Bài 23: Cho biểu thức
A=(2√x+x x√x −1−
1 √x −1):(
√x+2 x+√x+1) a) Rút gọn A
b) Tính giá trị √A x=4+2√3 Bài 24: Cho biểu thức
A= √x+1 x√x+x+√x:
1 x2−
√x a) Rút gọn biểu thức A
b) Coi A hàm số biến x, vẽ đồ thị hàm số A Bài 25: Cho biểu thức
1 1 1
A= :
1- x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A x = 3
c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ
Bài 26: Cho biểu thức
M =
1
:
a a a a a
a
a a a a
a) Với giá trị a M xác định b) Rút gọn M
c) Với giá trị ngun a M có giá trị ngun Bài 27: Cho biểu thức
P =
1 1 1
1 1 1
a a
a a a a a
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh biểu thức P dương với a Bài 28:Cho biểu thức
A = (√a+1 √a−1−
√a −1
√a+1+4√a)(√a−
1 √a) a) Rút gọn A
(5)P =
3 4
a > ; a 4
2
a a a
a
a a
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P A = Bài 30: Cho biểu thức
P = 1+√1− x 1− x+√1− x+
1−√1+x
1+x+√1+x+
1 √1+x a) Rút gọn P
b) So sánh P với √2 Bài 31: Cho biểu thức
P = √x+1−
3 x√x+1+
2 x −√x+1 a) Rút gọn P
b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức
P = 2√a −9 a−5√a+6−
√a+3
√a−2−
2√a+1
3−√a a) Rút gọn P
b) a = ? P <
c) Với giá trị nguyên a P nguyên
CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Phần I : Kiến thức cần nhớ:
I Hàm số bậc :
1 Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ ) Tính chất :
+ Đồng biến a > + Nghịch biến a <
3 Đồ thị : Là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, cắt trục hồnh điểm có hồng độ -b⁄a Sự tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất:
Cho hai hàm số : y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’ (d) cắt (d’) + Nếu a = a’; b ≠ b’ (d) // (d’) + Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’) + Nếu a.a’ = -1 (d) (d’) II Hàm số y = ax2 (a≠0) Tính chất :
+ Với a > : - Hàm số đồng biến x > - Hàm số nghịch biến x < + Với a < : - Hàm số đồng biến x <
- Hàm số nghịch biến x >
2 Đồ thị : Là đường cong (Parabol) nhận trục tung trục đối xứng, tiếp xúc với trục hồnh gốc toạ độ
+ Nằm phía trục hồnh a > + Nằm phía trục hoành a <
3 Sự tương giao đồ thị hàm số bậc y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P):
+Nếu (d) cắt (P) hai điểm phân biệt a’x2 = ax+b có hai
nghiệm phân biệt
+ Nếu (d) Tiếp xúc (P) a’x2 = ax + b có nghiệm kép
+ Nếu (d) (P) khơng có điểm chung a’x2 = ax+b vô
nghiệm
III Các tốn lập phương trình đường thẳng:
1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước qua điểm M (x0; y0):
Cách giải:
(6)- Thay a = k toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình
đường thẳng để tìm b
Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng qua M (2;-3) song song với đường thẳng y = 4x
-Giải-Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b ,
song song với đường thẳng y = 4x a = Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b b = -11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = 4x – 11 2.Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A B vào phương trình đường thẳng :
{y1=ax1+b y2=ax2+b
+ Giải hệ phương trình tìm a b Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thảng qua A (2; 1) B(-3; - 4)
-
Giải-Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b
Đi qua A (2; 1) nên : = a.2 + b (1) Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2) – 2a = 3a –
5a = a =
Thay a = vào (1) b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = x -1
3.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải :
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Theo a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình: a’x2 = kx + b có nghiệm kép
Δ = (*) Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + tiếp xúc với parabol y = -x2
- Giải –
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + a = Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :
-x2 = 2x + b có nghiệm kép
x2 + 2x +b = có nghiệm kép
Δ’ = – b ; Δ = – b = b = Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = 2x +
4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(x0; y0) tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x0; y0) nên y0 = a.x0 + b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :
a’x2 = ax + b có nghiệm kép
Δ = (2) Giải hệ hai phương trình (1) (2) tìm a, b phương trình đường thẳng cần lập
(7)-Giải-
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b Đi qua M (-1; 2) nên ta có: = -a + b (1) Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :
2x2 = ax + b có nghiệm kép
2x2 – ax – b = có nghiệm kép
Δ = a2 + 8b Δ = a2 + 8b = (2)
Từ (1) (2) ta có hệ: -a + b = (1) a2 + 8b = (2)
Từ (1) b = + a (*) thay vào (2) ta : a2 + 8a + 16 =
(a + 4)2 =
a = -4 Thay a = -4 vào (*) ta b = -2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = -4x – Phần II :Các tập hàm số :
Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) CMR hàm số nghịch biến (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với m
b) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số qua (1; 5) Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trường hợp
b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + cắt (P) hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ c) Tuỳ theo m, xác định số giao điểm (P) với
đường thẳn (d) có phương trình: y = mx –
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) qua A(0; -2)
Bài 4: Cho parabol y = 12 x2 (P)
a)Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 3) B(2; 6) b)Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với (P)
Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = (d)
a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 hai điểm
phân biệt
b) CMR đường thẳng cho qua điểm cố định với m
Bài 6: Cho parabol y = 12 x2 (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm với m = -2 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P)
qua A (2; -1)
Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)
a) Tìm giá trị m n để đường thẳng (d) qua hai điểm A (-1; 2) B (3; -4)
b) Xác định m n để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - √2 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ + √2
Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(-2; 8)
b) Tìm giá trị a để đường thẳng y = -x + tiếp xúc với (P)
Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + (P)
a) Viết phương trình đường thẳng qua A (2; 1) có hệ số góc k
b) CMR đường thẳng vừa lập cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị k
Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) đường thẳng y = mx -1 d)
(8)Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1
a) Hàm số cho đồng biến hay nghịch biến? sao? b) Chứng tỏ đồ thị hàm số cho qua
điểm cố đinh với giá trị m
c) Biết điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m vẽ đồ thị hàm số ứng với m vừa tìm Bài 12: Cho hàm số y = 12 x2 y = 2x – 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị
Bài 13: Cho hàm số y = -2x2 (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung điểm (0; -4), cắt trục hoành điểm (2; 0) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) Bài 14: Cho hàm số y = 12 x2 (P)
a) Với giá trị m đường thẳng y = -x + m cắt (P) hai điểm phân biệt
b) Xác định toạ độ giao điểm trường hợp m = 32 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P)
qua A (1; -4) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 15: Cho hàm số y = 2x2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị x để 2x2 -3x + < -x + 17
Phần III Lời giải – Hướng dẫn – đáp số Bài 1: hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) Vì m2 – 6m + 12 = (m - 3)2 + > với m
Vậy hàm số đồng biến với m
b) Đồ thị hàm số qua (1; 5) nên ta có: = m2 – 6m + 12
m2 – 6m + = m
=3−√2 m=3+√2
⇒¿ Vậy với mm==33−+√√22
¿
thì đồ thị hàm số qua (1; 5)
Bài 2: hàm số y = ax2 (P)
a)Đồ thị hàm số qua (-4; 8) nên ta có: = (-4)2.a ⇔8=16a⇒a=1
2 Vậy với a=1
2 (P) qua (-4; 8)
b)Đường thẳng y = 2x + cắt (P) hai điểm phân biệt
phương trình : ax2 = 2x + có hai nghiệm phân biệt
ax2 – 2x -3 =0
Δ'=1+3a>0⇒a>−1
3 Vậy với a>−1
3 đường thẳng y = 2x + cắt (P) hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)
a) Học sinh tự vẽ
b)Giả sử điểm M(x; y) cách hai trục toạ độ ⇒|x|=|y|
Vậy tập hợp điểm cách hai trục toạ độ thuộc đồ thị hàm số
y = 2x2 phải nghiệm hệ:
{y=2x2
|x|=|y|
{y=2x2 y=x
{y=2x2 y=− x
⇔¿
(9)Giải hệ (I) ta có 2x2 = x
x(2x - 1) = x=0 x=1
2 ⇒¿ Giải hệ (II) ta có: 2x2 = -x
x(2x + 1) =
x=0 x=−1
2 ⇒¿ Với x = thay vào (P) ta y =
Với x = 12 thay vào (P) ta y = 12 Với x = - 12 thay vào (P) ta y = 12
Vậy điểm cách hai trục toạ độ (0; 0), ( 12 ; 12 ), (-1
2 ; )
c) số giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: 2x2 = mx – 1
Δ=m2−8
+ Δ > mm<>−2 2√√22 ¿
⇒ cắt
+ Δ = m = ±2√❑ ⇒ Tiép xúc
+ Δ < −2√2<m<2√2 ⇒ khơng giao d)Lập hai phương trình : y = 4x – y = -4x -2
CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A Hệ phương trình bậc ẩn:
Phần I : Kiến thức cần nhớ
Dạng tổng quát : {axa ' x+by=c +b ' y=c ' Số nghiệm hệ:
+ Nếu a'a ≠ b
b '⇔ Hệ có nghiệm + Nếu a'a= b
b '≠ c
c '⇔ Hệ vô nghiệm + Nếu a'a= b
b '= c
c '⇔ Hệ có vơ số nghiệm Các phương pháp giải hệ phương trình:
1 Phương pháp thế:
- Từ phương trình hệ biểu thị ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn
- Thay biểu thức x vào phương trình cịn lại để tìm y - Thay y vừa tìm vào biểu thức x để tìm x KL : Nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :
a) {2xx+3y=6 +y=3
(1) (2)
Từ phương trình (2) ta có: x = – y (*) Thay x = – y vào phương trình (1) ta :
2(3 - y) + 3y =
6 – 2y + 3y = ⇒ y =
(10)Vậy nghiệm hệ là: {xy=3 =0 b) {42x −x+5yy==53 (1)
(2)
Từ phương trình (1) ta có : y = – 2x (*) Thay y = – 2x vào phương trình (2) ta :
4x – (5 – 2x) = 4x -25 + 10x =
14x = 28 ⇒x=2
Thay x = vào (*) ta : y = – 2.2 ⇒y=1
Vậy nghiệm hệ : {xy=2 =1
2 Phương pháp cộng :
- Biến đổi hệ số ẩn cho có giá trị tuyệt đối
- Cộng trừ vế hệ để khử ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào phương trình hệ để tìm ẩn cịn lại KL : nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau : a) {− xx++23yy==14−9 (1) ¿¿(2) ¿ Cộng vế hệ ta : 5y = ⇒y=1 Thay y = vào phương trình (1) ta :
x + 2.1 = 14 ⇒x=12
Vậy nghiệm hệ (x; y) = (12; 1) b) {−53xx+4y=11
+4y=3 (1) (2)
Trừ vế hệ ta : -8x = ⇒x=−1
Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = ⇔ 4y = ⇒y=2
Vậy nghiệm hệ phương trình : {xy=−1 =2
3 Chú ý :
Với hệ phương trình {axa ' x+by=c
+b ' y=c '
+Nếu a = a’ b = b’ ta nên sử dụng phép cộng vế +Nếu a = -a’ b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ
+Nếu hệ số a; a’; b; b’ -1 ta nên dùng phương pháp
+ Nếu hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 khơng có giá trị tuyệt đối ta tìm BCNN (a;a’) BCNN (b; b’)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau : a) {43xx −+32yy==−121 (1)
(2)
Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với ta :
{8x+6y=−2
9x −6y=36
Cộng vế hệ ta : 17x = 34 ⇒x=2
Thay x = vào phương trình (1) ta : 4.2 + 3y = -1
⇒3y=−9⇒y=−3
Vậy nghiệm hệ phương trình : {yx=2 =−3 b) {53x −x −24yy==−−46 ((12))
Nhân phương trình (2) với ta :
{5x −4y=−6
6x −4y=−8
Trừ vế hệ ta : -x = ⇒x=−2
Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được: 5.(-2) – 4y = -6
(11)Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (-2; -1) Phần II : Một số tập
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a) {23xx − y+3y=8
=1 b) {
7x −5y=17
6x+5y=−4 c) {12x+7y=−5
9x −5y=−14
Chú ý : Với tập dạng tìm điều kiện tham số để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện α ta làm sau:
+ Coi tham số số biết
+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số
+ Giải phương trình (Bất phương trình) biểu thức chứa tham số
Ví dụ: Cho hệ phương trình:
{ x −2y=0
mx−3y=2 (1) (2) a) Giải hệ với m = -2
b) Tìm m để hệ có nghiệm dương Giải -a) Với m = -2 ta có hệ : {−x −2x −23y=y0
=2 (1) (3) Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:
-2.2y – 3y = ⇒y=−2
7 thay vào (*) ⇒x=− Vậy nghiệm hệ : {
x=−4
7 y=−2
7
b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: m.2y – 3y = ⇔y(2m−3)=2⇒y=
2m−3 Thay vào (*) ta : x=
2m −3 Để hệ có nghiệm {xy>>00⇔{
4 2m−3>0
2 2m−3>0
⇒ 2m – >
⇒ m > 32
Vậy với m > 32 hệ phương trình có nghiệm dương Bài 2: Cho hệ phương trình
{2x+3y=a
5x − y=1
a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải hệ với a
c) Tìm a để hệ có nghiệm dương Bài 3: Cho hệ phương trình
{4x −3y=6 −5x+ay=8
a) Giải hệ phương trình với a =
b) Tìm giá trị a để hệ co nghiệm âm Bài 4: Cho hệ phương trình
{mx− y=2
3x+my=5
Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1; y = √3−1 Bài 5:Cho hệ phương trình
{3x+(m−1)y=12 (m−1)x+12y=24
(12)b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x < y Bài 6: Cho hệ phương trình
{(a+1)x − y=3
ax+y=a
a) Giải hệ với a =
b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm x + y > Bài 7: Cho hệ phương trình
{2x+(m−4)y=16 (4−m)x −50y=80
a) Giải biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm x +y >1 Bài : Cho hệ phương trình
{mx+my=−3
(1− m)x+y=0 a) Giải hệ với m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm âm Bài 9: Cho hệ phương trình
{ (a+b)x+(a − b)y=1 (2a −b)x+(2a+b)y+2 a) Giải hệ với a = b =
b) Tìm tất cặp giá trị nguyên a b để hệ có nghiệm ngun
Bài 10: Cho hệ phương trình:
{ax+y=3a −1 x+ay=a+1
a) Giải biện luận hệ phương trình
b) Tìm giá trị nguyên cho nghiệm hệ có gia strị nguyên
Bài 11: Cho hệ phương trình:
{2x+ay=b+4
ax+by=8+9a
Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 3; y = -1
Baif 12: Cho hệ phương trình
{2x+by=−4
bx−ay=−5
Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 1; y = -2
B.Phương trình bậc hai ẩn số:
Phần I: kiến thức cần nhớ
I.Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ )
Trong x ẩn, a, b, c hệ số
Ví dụ: phương trình sau, phương trình phương trình bậc hai ẩn số:
a) x3 + 3x + = 0 b) x2 – = 0
c) 2x2 – 3x + = 0 d) x – = 0
Đáp án : Phương trình : b, c phương trình bậc hai
II Công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn:
a) Cơng thức nghiệm:
Với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4.a.c
+ Δ < phương trình vơ nghiệm
+ Δ = Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = − b
2a + Δ > phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1=− b+√Δ
2a x1=
− b −√Δ 2a b)Cơng thức nghiệm thu gọn:
Với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
(13)Δ’ = b’2 – a.c
+ Δ’ < phương trình vơ nghiệm
+ Δ’ = Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = -b’/a
+ Δ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1=− b '+√Δ'
a x1=
− b ' −√Δ' a Ví dụ : Giải phương trình sau:
a) 3x2 – 2x + = 0
Δ = (-2)2 – 4.3.1 = – 12 = -8 ; Δ < 0
Phương trình vô nghiệm b) 4x2 -12x + = 0
Δ = (-12)2 -4.4.9 = 144 – 144 = 0
Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 12
8 = c) -2x2 +5x + = 0
Δ = 52 – (-2) = 25 + 24 = 49;
√Δ=7
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−5+7
−4 =−
2 x2= −5−7
−4 =3
II Hệ thức vi ét – Áp dụng:
a) Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai
nghiệm x1, x2 Thì: x1 + x2 = − ba
x1.x2 = c
a
b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0)
+ Nếu a + b + c = th ì x1 = 1; x2 = ca
+ Nếu a – b + c = th ì x1 = -1; x2 = − ca
+ Nếu có hai số x1, x2 cho
x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0)
Th ì x1, x2 nghiệm c phư ơng tr ình : X2 – SX + P =
Ví dụ : a) Tìm hai số biết tổng chúng 17 tích chúng 72
Giải
-Gọi x1, x2 hai số cần tìm Ta có: x1 + x2 = 17
x1 x2 = 72
Vậy x1, x2 phải nghiệm phương trình : X2 – 17X + 72 =
Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1
x1 = (17+ 1) : = 9; x2 = (17 - 1) : =
Vậy hai số cần tìm
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm -3 - Giải –
Ta có : x1 + x2 = -3 + =
X1 x2 = -3 = -21
Vì 42 – (-21) ≥
Vậy x1 , x2 nghiệm phương trình : x2 – 4x – 21 =
IV CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Bài tập số nghiệm phương trùnh bậc hai:
Với phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4.a.c
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ > (Δ’ > 0) + Phương trình có nghiệm kép Δ = (Δ’ = 0) + Phương trình vơ nghiệm Δ < (Δ’< 0)
Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm a ≠a=00; Δ;b ≠=00
(14)Ví dụ 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x2 -3mx + m2 – = b) 2x2 + 4x – m =
- Giải -
a) Ta có : Δ = (-3m)2 – 4.( m2 – 1) = 9m2 – 4m2 +4
Δ = 5m2 + > với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m
Δ = 16 + 8m > m > -2
Vậy với m > - phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2 : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm kép
a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = b) 15x2 – 90x + m =
-Giải-a) ĐK để phương trình :
(m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = phương trình bậc hai
thì : m+ ≠ m ≠ -7 Ta có:
Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7) (7m - 15)
= m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105
Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = (m2 + 2m - 3)
Δ’ = (m2 + 2m - 3) =
m = m = -3 (thoả mãn)
Vậy với m = m= - phương trình có nghiệm kép b) Ta có :
Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m
Δ’ = 2025 – 15m =
m = 135
Vậy với m = 135 phương trình có nghiệm kép
Ví dụ 3: : Tìm giá trị m để phương trình sau vơ nghiệm
a) 3x2 – 2x + m = b) x2 + mx + =
-Giải-a) 3x2 – 2x + m = 0
Để phương trình vơ nghiệm Δ<0
Ta có : Δ'=1−3m ; Δ'<0⇔1−3m<0⇒m>1
3 Vậy với m > 13 phương trình vơ nghiệm b) x2 + mx + = 0
Để phương trình vơ nghiệm Δ<0
Ta có: Δ=m2−4 3=m2−12
Δ<0⇔m2<12⇒−√12<m<√12
Vậy với - √12<m<√12 phương trình vơ nghiệm Ví dụ 4: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm nhất: (m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – = 0
-Giải-Phương trình có nghiệm { a=0 b ≠0
{Δ'a≠=00 ¿
{m −4=0
m −2≠0⇔m=4 m−4≠0
¿
m−2¿2−(m −4).(m −1)=0 ¿
¿ ¿
(∗)
Giải phương trình (*) ta : m2 -4m + – m2 + 5m -4 = 0
⇒m=0
(15)2.Bài tập dấu nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu:
{
Δ≥0 c a>0
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu
dương : { Δ≥0
c a>0 −b
a>0
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu âm:
{
Δ≥0 c a>0 − b
a <0
d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c <
Ví dụ : Xác định giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm dấu:
a) x2 – 3x + m – = b) x2 – 2mx + = -Giải-a)x2 – 3x + m – = 0
Để phương trình có hai nghiệm dấu :
{
Δ≥0 c a>0
⇔{9−4m+4≥0 m−1>0 ⇔{
m≤13 m>1
Vậy với < m 134 phương trình có hai nghiệm dấu
b)Để phương trình có hai nghiệm dấu:
m≥√3 m ≤−√3 {Δ' ≥c
a>0
⇔{m2−3≥0 3>0 ⇔¿
3.Bài tập: dạng thành lập hệ thức đối xứng nghiệm
Cho phương trình : : ax2 + bx + c =
Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm phương trình bậc hai thường gặp :
a) x12 + x22 b) x13 + x23 c)
1 x1+
1
x2 v v Cách giải:
Bước1: Nêu tổng tích hai nghiệm {
x1+x2=−b a x1.x2=c
a Bước 2:Biến đổi hệ thức đối xứng sau :
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2
x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
x1+ x2=
x1+x2 x1.x2
Bước 3: Thay tổng tích hai nghiệm vào biểu thức đối xứng Ví dụ : Cho phương trình x2 + mx + = 0
Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Hãy tính:
(16)-Giải-
Theo vi et ta có : x1 + x2 = m ; x1.x2 =
a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 -
b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
= m3 – 3.m
Phần II : Một số tập
Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu: a) x2 – 2x + m =
b) x2 – 2mx + 2m – =
Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a) 2x2 – 6x + m – = 0
b)(3 – 2m )x2 + (m - 1)x – = 0
Bài 3: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương:
2x2 – mx + 2m – = 0
Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình nhận x = nghiệm
Bài : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + =
nhận x = nghiệm tìm nghiệm cịn lại? Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = 0
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Khi
xác định dấu nghiệm
Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) CMR phương trình có nghiệm với m
c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để
x12+x22 =
Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0
a) CMR phương trình ln có nghiệm Tìm nghiệm b) Với x1, x2 hai nghiệm phương trình, tìm m để
x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm
x1, x2 thoả mãn điều kiện sau đây:
a) x12 + x22 = b) x12 – x22 = 12
Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm
nghiệm cịn lại
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 =
4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c =
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm
+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et : {
x1+x2=−b a x1.x2=c
a
(1) (2) + Bước 3: Nêu hệ thức toán (3)
+ Bước : giải hệ gồm phương trình sau thay vào phương trình cịn lại để tìm m
Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + = 0
Xác định giá trị m để nghiệm x1 , x2 phương trình thoả
mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13
(17)-Giải-Hệ phương trình có nghiệm
m+5¿2−4 (6− m)≥0 ¿
⇔m2+10m+25−24+4m≥0 ¿
⇔m2+14m+1≥0 ¿
¿ Δ≥0⇔¿ Vậy với m≤ −m≥−77−+√√4848
¿
phương trình có nghiệm (*) Theo vi et ta có : x1 + x2 = m + (1)
x1.x2 = – m (2)
Theo : 2x1 + 3x2 = 13 (3)
Giải hệ phương trình {2xx1+x2=m+5 1+3x2=13
(1) (3) Nhân phương trình (1) với ta
{2x21+x2x2=2m+10 1+3x2=13
Trừ vế hệ ta : x2 = – 2m thay vào phương trình (1)
ta : x1 + – 2m = m + x1 = 3m +
Thay x1 = 3m + x2 = – 2m vào phương trình (2) ta
(3m + 2) (3 – 2m) = – m 9m – 6m2 + – 4m = – m
6m2 – 6m =
m=0 m=1
⇒¿
thoả mãn ĐK (*)
Vậy với m = m = phương trình có hai nghiệm thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13
Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = 0
Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 =
Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn
hệ thức 3x1 – 4x2 = 11
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
c) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả
mãn x1 = 2x2
a) x2 + 6x + k = b) x2 + kx + = 0
Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = 0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức
3x1 + 2x2 =20
Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = 0
a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 =
c) Tìm hệ thức nghiệm độc lạp với m
Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = 0
a)Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b)Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn -3 < x1 < x2 <
d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm
5.Bài tập dạng tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
Cho phương trình : ax2 + bx + c =
Cách giải:
(18)+ Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 = − ba ), x1.x2 = ca theo tham
số m
+ Bước 3: Dùng quy tắc công để khử m
+ Bước : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta hệ thức cần tìm
Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – = 0
Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m
-Giải-Phương trình có nghiệm : Δ' ≥0
Ta có : m−1¿2−(m2−1)=−2m+2≥0⇔m ≤1 Δ'=¿
Áp dụng vi et ta có : {S=2(m −1) P=m2−1
(1) (2) Từ (1) ta có : m = S2+1⇔m=S+2
2 thay vào (2)ta :
P =
S+2¿2 ¿ S+2¿2−4
¿ ¿
S2 + 4S – 4P = 0
Vậy hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m (x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) – 4x1.x2 =
6.Bài tập dạng so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kì:
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( Δ≥0 ) Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*)
+Với tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm > α ⇒{(x1− α)+(x2− α)>0
(x1− α).(x2− α)>0
Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
+ Với tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α ⇒{((xx1− α)+(x2− α)<0
1− α).(x2− α)>0 Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
+ Với tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm , nghiệm > α nghiệm < α
⇒(x1−α).(x2− α)>0 Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m
Hoặc sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai: * Nếu a.f(α)<0⇒x1<α<x2
Ví dụ 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm lớn
x2 - 2mx + = (1)
-Giải-Để phương trình có nghiệm Δ' ≥0 Ta có : Δ'=m2−8≥0
m≥2√2 m≤ −2√2
⇔¿ ⇒ Vậy với m≤ −m≥22√√22
¿
phương trình có nghiệm Theo vi et ta có: x1 + x2 = 2m
x1 x2 =
Để phương trình có hai nghiệm lớn
{((xx1−2)+(x2−2)>0
1−2).(x2−2)>0
{x (x1+x2)−4>0
1.x2−2(x1+x2)+4>0 ⇒{ 2m−4>0
8−4m+4>0⇔{ m>2 m<3
(19)Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + = 0
a)Giải phương trình với m = -1
b)Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = 0
a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b)Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trinh Tìm m cho
( 2x1 – x2 ) ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
nhất
c) Tìm hệ thức liện hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17
b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ
c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: x2 + ax + bc = 0
x2 + bx + ca = 0
Trong bc ca
Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình (1)
x2, x3 nghiệm phương trình (2)
Hãy viết phương trình bậc hai có nghiệm x1, x3
Bài 22: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ
3x2 – 4x + 2.(m - 1) = 0
Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm lớn 3, nghiệm cịn lại nhỏ
Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – = 0
a)CMR phương trình có nghiệm với giá trị m
b)Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – = 0
a)CMR phương trình ln có nghiệm với m
b)Tìm biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m
c)Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phương
trình thoả mãn hệ thức xx1
+x2
x1
=−5
2 Phần III : Hướng dẫn đáp số:
Bài 1: : Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu: a)x2 – 2x + m = 0
b)x2 – 2mx + 2m – = 0
-G-a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu:
{
Δ'>0 c a>0
⇔{1− m>0 m>0 ⇔{
m<1 m>0
Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu:
{
Δ'>0 c a>0
⇔{m2−2m+3>0 2m−3>0 ⇔{
∀m m>3
2
(20)Bài 2:
a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c <
2.(2m - 8)< m <
Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c <
(3 – 2m) (-3) < – 2m > m < 32
Vậy với m < 32 phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài 3: Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương:
2x2 – mx + 2m – = 0
-G-Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
{
Δ>0
c a>0 − b
a >0 ⇔{
m2−4 (2m−8)>0
2m−8
2 >0 m
2>0 ⇔{m
2
−16m+64>0 m−4>0
m>0
⇔{m∀>m4 m>0
Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt dương Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – = 0
a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ '>0
Ta có :
Δ'=4m2−3m2−2m+1=m2−2m+1 ¿
m −1¿2>0⇔m ≠1 Δ'=¿
Mậy với m≠1 phương trình có hai nghiệm phân biệt b)Phương trình nhận x = nghiệm nên ta có :
+ 8m +3m2 +2m - =
3m2 + 10m + = 0
m1=−3 m2=−1
3 ⇒¿
Vậy với m = -3 m = −31 phương trình nhận x = nghiệm
Bài 5:
Đáp số : m = PT nhận x1 = nghiệm nghiệm
lại x2 =
Bài 6:
a) Ta có : m−1¿2+4>0
Δ'=m2−2m+5=¿ với ∀m Vậy phương trình có nghiệm với m
b) Vì Δ'>0⇒ phương trình có hai nghiệm dấu
2m – > m>5
2
Theo vi et ta có x1 + x2 = 2m
Vì m>5
2 nên 2m > Vậy với m>5
2 phương trình có hai nghiệm dấu dương Bài 7:
Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0
a) Với m = -2
x1=2 x2=−4
⇒¿ b)Ta có : m−1¿
2≥0 m+1¿2−4m=¿
Δ'=¿
(21)Vậy PT có nghiệm với m c) Theo vi et ta có : x1 + x2 = 2m +
x1.x2 = 4m
Để x12 + x22 = x1+x2¿
2−2x
1.x2=4 ¿
(2m + 2)2 – 2.4m = 4
m2 + 2m +1 – 2m = 1
m =
Vậy với m = phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 =
CHUYÊN ĐỀ IV
GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phần I Các bước giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình :
+ Bước 1: Lập phương trình (Hệ phương trình) - Chọn ẩn xác định ĐK cho ẩn (nếu có)
(Thơng thường tốn hỏi ta chọn làm ẩn)
- Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết ( Dựa vào mối quan hệ đại lượng để biểu thị)
-Tìm mối liên quan số liệu để lập phương trình (Chú ý đến tình tốn – giả thiết- để lập phương trình) + Bước 2: Giải phương trình (Hệ phương trình)
+ Bước 3: Chọn kết thích hợp – Trả lời
Chú ý : Trong tốn thơng thường liên quan đến
đại lượng Một đại lượng biết, đại lượng chưa biết mà toán yêu cầu tim, đại lượng chưa biết có liên quan đến tình tốn
Mối quan hệ đại lượng: + Quãng đường = vận tốc x Thời gian
+ Chuyển động có dịng nước : Vx = Vthực - Vn
Vngược = Vthực - Vn
+ Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian = Năng suất x số người
+ Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V ) + Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả
+ Tốn có nội dung hình học:
- Chu vi hình chữ nhật có cạnh a, b : C = (a +b).2 - Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b
…………
+ Toán làm chung, làm riêng: -Coi tồn cơng việc (đv)
- Giả sử cơng nhân A hồn thành công việc x ⇒ công nhân A làm 1x công việc - Công nhân B hồn thành cơng việc y
⇒ công nhân B làm 1y công việc -Cả hai người làm t hồn thành công việc
⇒ hai người làm 1t cơng việc ⇒ Ta có phương trình : 1x+1
y= t
Phần II Một số tốn 1.Tốn chuyển động:
Ví dụ 1: Một ôtô quãng đường 80 km Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h đích sớm dự định 32h Tính vận tốc dự định ơtơ?
-Giải-Phân tích tốn:
(22)- Đại lượng chưa biết có liên quan: Thời gian
- Tình tốn để lập phương trình: Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h đích sớm 32h
Bước : Lập phương trình + Chọn ẩn đặt ĐK cho ẩn:
Gọi vận tốc dự định ôtô x km / h (x > 0)
+ Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết: Thời gian dự định : 80x h
Xe tăng thêm vận tốc 20 km / h : x + 20 (km/h) Thời gian thực tế xe : 80x
+20h
+ Mối liên quan số liệu ta lập phương trình:
Xe đích sớm dự định 32h Ta có phương trình: 80
x − 80
x+20=
2
⇔80 (x+20)−80 x=2 x.(x+20)
⇔x2+20x −2400=0
Δ'=100+2400=2500;⇒√Δ'=50
⇒ x1=−10+50=40 x2=−10−50=−60 x1 = 40 (thoả mãn) ; x2 = -60 (loại)
Vậy vận tốc dự định ôtô 40 km / h
Bài 1: Một người từ A đến B cách 160 km Lúc đầu xe máy, sau ơtơ Biết vận tốc ơtơ lớn vận tốc xe máy 20 km / h thời gian ôtô nhiều xe máy 15 phút, quãng đường ôtô 53 quãng đường xe máy Tính vận tốc ơtơ? Bài 2: Một bè nứa trôi tự ca nô đồng thời rời bến A xuôi B , quãng đường AB dài 96 km Ca nô đến B lại quay A hết
tất 14 h Trên đường gặp bè nứa ca nơ cịn cách A 24 km Tìm vận tốc ring ca nơ vận tốc dịng nước?
Bài 3: Hai ơtơ khởi hành lúc từ hai địa điểm cách 165 km, ngược chiều nhau, sau 30 phút gặp Tính vận tốc xe biết thời gian xe I chạy hết quãng đường AB nhiều thời gian xe II chạy quãng đường 33 phút Bài 4: Hai địa điểm A B cách 150 km Xe I khởi hành từ A đến B , sau 40 phút xe II khởi hành từ B Avới vận tốc nhỏ vận tốc xe I 10 km / h Biết hai xe gặp xe I qng đường gấp đơi xe II Tính vận tốc xe, biết vận tốc chúng không nhỏ 30 km / h
Bài 5:Hai địa điểm A,B cách 360 km Cùng lúc, xe tải khởi hàn từ A B xe chạy từ B A Sau gặp xe tải chạy tiếp đến B xe chạy 12 phút tới B Tính vận tốc xe?
2.Toán quan hệ số:
Bài 6: Tìm số gồm hai chữ số, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại
Bài 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số
Bài 8: Một lớp học có hai loại học sinh giỏi Nếu có học sinh giỏi chuyển 61 số học sinh cịn lại học sinh giỏi Nếu có học sinh chuyển 15 số học sinh cịn lại học sinh giỏi Tính số học sinh lớp
(23)bình II sang cho đầy bình I lượng nước cịn lại bình II 15 thể tích Tính thể tích bình
Bài 10: Một tuyến đường sắt có số ga, ga có loại vé đến ga cịn lại Biết tất có 210 loại vé Hỏi tuyến đường có ga?
3.Toán suất:
Bài 11: Theo kế hoạch, xí nghiệp phải làm 400 dụng cụ thời gian định Do làm tăng thêm 20 dụng cụ nên thời gian hồn thành cơng việc giảm Tình thời gian xí nghiệp phải làm số dụng cụ theo kế hoạch
Bài 12: Trong thời gian nhau, đội I phải đào 810m3
đất, đội II phải đào 900m3 đất kết đội I hoàn thành trước
thời hạn ngày, đội II hoàn thành trước ngày Tính số đất đội đào ngày, biét ngày đội II đào nhiều đội I 4m3.
Bài 13: Một người thợ hoàn thành xong 30 chi tiết máy Nếu anh cố gắng làm thêm chi tiết máy anh rút ngắn thời gian lao động dược Hỏi anh làm chi tiết máy?
Bài 14: Một tổ thợ nhận xây thầu 576m2 tường nhà.Khi bắt tay vào
làm có người vắng, số có mặt phải làm tăng thêm 16m2
mỗi người Hỏi tổ có người?
Bài 15: Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Khi làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 0,7 Tính số xe đội lúc đầu?
4.Tốn có nội dung hình học:
Bài 16: : Một vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 20 m, Diện tích khu vườn 3500 m2 Tính chiều dai hàng rào
xung quanh khu vườn, biết người ta chừa 1m để làm cổng vào
Bài 17: Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2 Tính độ
dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên 2m giảm chiều dài 5m ruộng tăng thêm 5m2
Bài 18: Một ruộng có tổng chiều dài chiều rộng 28m Nếu tăng chiều dài lên gấp đơi chiều rộng lên gấp diện tích ruộng 1152m2 Tính diện tích ruộng cho
ban đầu?
Bài 19: Một tam giác có chiều cao 34 cạnh đáy Nếu tăng chiều cao thêm dm giảm cạnh đáy dm diện tíchcủa tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác.
Bài 20: Tính hai cạnh góc vng tam giác vng có chu vi 12m tổng bình phương hai cạnh góc vng 25 m
5.Tốn làm chung làm riêng cơng việc:
Bài 21: Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong cơng việc Hỏi đội làm phải làm xong công việc?
Bài 22: Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm 12 ngày Họ làm chung với ngày đội I điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật nên đội II làm xong công việc ngày rưỡi Hỏi đội làm bao mhiêu ngày xong công việc?
(24)Bài 24: Hai người làm chung công việc dự định 12 xong Họ làm với người thứ nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm Do tăng suất gấp đôi nên người thứ hai làm xong công việc 20 phút Hỏi người làm với suất dự định phải xong cơng việc?
Bài 25: Hai vịi nước chảy vào bể đầy bể 12 phút, vòi I chảy vài II chảy 30 phút đầy 32 bể Hỏi vịi chảy đầy bể?
Phần 3: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Bài 3: Rút gọn biểu thức
P =
1
( 0; 0)
2 2
x x
x x
x x x
P = (√x+1)
−(√x −1)2−4(√x+1)
2(x −1)
P = x+2√x+1− x+2√x −1−4√x −4 2(x −1) =
−4 2(x −1) P = x −−21 ( với x ≥0; x ≠1 )
Bài 4: Cho biểu thức P = 15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1-√x −
2√x+3
√x+3
a) Đk : x 0; x ≠1
P= 15√x −11−(3√x −2) (√x+3)−(2√x+3) (√x −1) (√x −1)(√x+3)
P = 15√x −11−3x −9√x+2√x+6−2x+2√x −3√x+3 (√x −1) (√x+3)
P = −5x+7√x −2
(√x −1) (√x+3)=
(√x −1)(2−5√x) (√x −1) (√x+3) =
2−5√x √x+3 Vậy P = 2−5√x
√x+3 Với x ≥0; x ≠1 b)Tìm giá trị x cho P = 12 Với x ≥0; x ≠1 Để P = 12 ⇔2−5√x
√x+3 =
1 ⇔4−10√x=√x+3
⇔11√x=1⇔x=
121 c) Chứng minh P ≤ 32
Để P ≤ 32 ⇔ 2−5√x √x+3
2 Ta có : 2−5√x
√x+3 =
−5√x −15+17
√x+3 =−5+
17 √x+3 Vì x ⇒√x+3≥3⇒−5+17
√x+3≤ −5+
17 =
2 Vậy P ≤ 32 (đpcm)
Bài 5: Cho biểu thức P = 3a+√9a−3
a+√a −2 −
√a+1
√a+2+
(25)P = 3a+3√a−3−(√a+1) (√a −1)−(√a−2)(√a+1) (√a+2) (√a −1)
P = a−3√a+2
(√a−1)(√a+2)=
(√a−1) (√a−2) (√a −1) (√a+2)=
√a−2 √a+2 Vậy với a ≥0;a ≠1 P = √a −2
√a+2 b) P = √a −2
√a+2 = -
4 √a+2 Để P Z⇒
√a+2∈Z⇒4⋮√a+2
√a+2 = ⇒a=4
√a+2 = -4 (loại)
⇒ √a+2 = ⇒a=0
√a+2 = -2 (loại)
√a+2 = -1 (loại)
√a+2 = ⇒√a=−1 (loại) Vậy Với a = a = P Z Bài 6: Cho biểu thức
M =
1
1
x x x x
x x
a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; b) Rút gọn M c) Với giá trị x M <
-G-a) Với x ≥0; x ≠1 M có nghĩa b) M = √x −1
¿2 ¿ ¿ ¿
Vậy với x ≥0; x ≠1 M = √x −1 c)Với x ≥0; x ≠1 để M < ⇔2√x −1<1
⇔x<1
Bài 7: Cho biểu thức P = ( √a
√a−1− a −√a):(
1 √a+1+
2 a −1) a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P a = + √2 c) T ìm giá trị a cho P <
-G-a)Đk: a>0; a≠1
P = ( a −1 √a(√a−1)):(
√a −1+2
a−1 ) = √ a+1
√a : √a −1 = a−1
√a
Vậy với a>0; a≠1 P = a−1
√a b)Khi a = + √2⇒√a=√2+1
P = a−1 √a =
3+2√2−1 √2+1 =
2(1+√2)
√2+1 =2 Vậy với a = + √2 P =
c) Để P < ⇔a −1
√a ≺0⇒a −1<0⇒a<1 Vậy với < a < P<
Bài 8: Cho biểu thức P = ( 4√x
2+√x+ 8x
4− x):(
√x −1 x −2√x−
2 √x) a) Rút gọn P
b) Tính x để P = -1
c)Tìm m để với giá trị x >9 ta có m( √x - 3)P > x +
(26)
ĐK: x>0;x ≠4 P = 4x
√x −3 b)Để P = -1 ⇔ 4x
√x −3=−1⇔4x+√x −3=0 (với x )
⇔(√x+1)(4√x −3)=0
⇔√x=3
4⇒x= 16
9 Vậy với x = 169 P = -1
c)Với x > để m( √x - 3)P > x + ⇔m.(√x −3) 4x
√x −3>x+1 ⇔4 mx>x+1⇔4 mx− x>1
⇔x>
4m −1=9⇒1=36m−9 ⇒36m=10⇒m=
18 Vậy với m=
18 m( √x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức
P = (√x+y +√xy
√x+√y):( x √xy+y+
y √xy+x−
x+y
√xy) a) Tìm x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị P với x = 3, y = - √3
-Giải-a) Để P có nghĩa
¿ ¿
¿ x>0 y>0 ¿
⇔{
√x ≥0 √y ≥0 √xy+y ≠0
√xy+x ≠0
√xy>0
⇔
¿ Vậy với x > 0; y > P có nghĩa b)P = ¿¿ √x+√y(√x+√y)
√x+√y ¿ : (
x√x+y√y √xy(√x+√y)−
x+y
√xy) P= ( √x+√y ): (x −√xy+y − x − y
√xy ) = ( √x+√y ) : (-1) Vậy P = - ( √x+√y )
c)Với x = ⇒√x=√3 ; y = -2 √3 ⇒√y=√3−1 Thay vào ta P = - √3
Bài 11: Cho biểu thức
P =
1 x x x
+
1 x
x x
-
1 x x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <
3 với x với x 1.
-GIẢI- a) ĐK : x ≥0; x ≠1
P = x+2
(√x −1)(x+√x+1)+
√x+1 x+√x+1−
√x+1 (√x+1)(√x −1) P = (x+2)+(x −1)−(x+√x+1)
(√x −1)(x+√x+1) =
√x x+√x+1 Vậy P = √x
(27)
⇔x+√x+1>3√x ⇔1
3> √x x+√x+1 Hay P < 13
Bài 12: Cho biểu thức P = (√x −x −12− √x+2
x+2√x+1).(
1− x √2 )
2
a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P
-GIẢI-a)ĐK : x ≠1
P = √x(1−√x) b)Với < x < ⇒{1−√x>0
√x>0 ⇒ √x(1−√x) hay P > c) Ta có P = -x + √x −
1 2¿
2
+1
4≤
1
√x⇔P=−(x −√x)=−¿
Vậy Max P = 14⇔x=1
4
Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P = 2x
x+3√x+2+
5√x+1 x+4√x+3+
√x+10 x+5√x+6 Không phụ thuộc vào biến số x
-Giải-ĐK : x>0
Ta có P = 2x
(√x+1)(√x+2)+
5√x+1 (√x+1)(√x+3)+
√x+10 (√x+2)(√x+3)
P = 2x√x+12x+22√x+12 (√x+1)(√x+2)(√x+3)=
(√x+1)(2x+10√x+12) (√x+1)(√x+2)(√x+3) P = (√x+2)(√x+3)
(√x+2)(√x+3) =2
Vậy với x > P không phụ thuộc vai biến Bài 14: Cho biểu thức
A = (xx −√x+11− x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) với x>0 vàx1 a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị x để A = -Giải-a) với x>0 vàx1;
A = (
x −√x+1− x+1
√x −1 ):( x √x −1)
¿2−√x
x
Vậy với x>0 vàx1 A = 2−√x x b) Để A = ⇔
2−√x x =3 ⇔3x+√x −2=0
⇔(√x+1)(3√x −2) =0 ⇒x=4