gaitichchodaihoc

Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng: a... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN g.[r]

1

Chương 1

Tích phân bội

1.1 Tích phân kép

1.1 Tính tích phân kép sau: a I=RR

D

(4x+ 2)dxdy, với D miền: 0≤x≤2; x2 ≤y≤2x.

b I=RR

D

y√xdxdy, với D miền: x≥0; y≥x2; y≤2−x2

c I=RR

D

ylnxdxdy, với D miền giới hạn bởi: xy= 1; y =√x; x=

d I=RR

D

xydxdy, với D nửa hình trịn: (x−2)2+y2 ≤1; y≥0.

e I=RR

D

x+y

x2+y2dxdy, với Dlà nửa hình trịn: (x−1)

2+y2 ≤1; y≥0.

f I=RR

D

xydxdy, với D miền giới hạn bởi: y =√2x−x2; y=√3x; y= 0.

g I=RR

D

(12−3x2−4y)dxdy với D miền giới hạn x

2

4 +y

2 = 1.

h I=RR

D

xy2dxdy, với D miền giới hạn bởi: x2 + (y−1)2 = 1; x2+y2 = 4y

i I=RR

D

dxdy

(x2+y2)2, với D miền giới hạn bởi: y =x; y =

√

3x; x2 +y2 = 4x; x2+

y2 = 8x.

1.2 Đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau: a I=

2

R

1

dx

√

2x−x2 R

2−x

f(x, y)dy

b I=

2

R

0

dx

√

2x

R

√

2x−x2

f(x, y)dy

c I=

e

R

1

dx

lnx

R

0

f(x, y)dy

d I=

2

R

0

dy

1

R

y

2

f(x, y)dx

2 CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI a x2 =y; x2 = 2y; y2 =x; y2 = 4x.

b y = 4x−x2; y= 2x2−5x

c x2+y2 = 2x; x2+y2 = 2y.

d x2+y2 = 2x; x2+y2 =

Cho mặt congS có phương trìnhz =f(x, y) hình chiếu củaS lên mặt phẳngOxy

làD:=chV /Oxy Khi đó, diện tích mặt S tính công thức ∆S =

Z Z

D

q

1 +f02 x +f

02

y dxdy

1.4 Tính diện tích phần mặt cong sau đậy:

a Phần mặt phẳng x2 +y3 +z4 = 1, bị chặn mặt phẳng tọa độ

b Phần Parabol Eliptic y= 2−x2−z2, mằn phía mặt trụ x2+z2 = 1.

c Phần mặt nón z =px2+y2, bị chặn mặt trụ x2+y2 = 2x.

d Phần mặt cầu x2+y2+z2 = 1, bị chặn phần mặt trụz2 = 2y.

1.2 Tích phân bội 3 1.5 Tính tích phân lớp sau:

a I=RRR

V

(x2+z2)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+z2 = 2y; y= 2.

b I=RRR

V

z2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi:x2+y2+z2 = 2; z =p

x2+y2.

c I=RRR

V

x2y2dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2+y2 = 1; z = 0; z =x2+y2 d I=RRR

V

ycos(x+z)dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: y = √x; y = 0; z = 0; x+z = π2

e I=RRR

V

x2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi:z = 2−x2−y2; z = 0; x2+y2 = 1.

f I=RRR

V

xzdxdydz,với V vật thể giới hạn bởi:x2+y2+z2 = 2; z =px2+y2,(x≤

0, y ≥0) g I=RRR

V

p

x2+y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi:x2+y2−z2 = 0; z = 1.

h I=RRR

V

xyzdxdydz,với V vật thể giới hạn bởi: x2+y2 = 2; y=x2; z = 0; z = 1.6 Đổi biến thích hợp để tính tích phân sau:

a I=

√

3

R

0

dx

√

3−x2 R

0

dy

√

4−x2−y2 R

(x2+y2)/3

dz b I=

1

R

−1

dx

√

1−x2 R

−√1−x2

dy

2

R

2(x2+y2) p

1.2 TÍCH PHÂN BỘI 3

c I=

1

R

0

dx

√

1−x2 R

0

dy

√

2−x2−y2 R

√

x2+y2

dz d I=

a

R

0

dx

√

a2−x2 R

0

dy

√

a2−x2−y2 R

0

zdz 1.7 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sau:

a z = 4−y2; z =y2+2; x=−1; x= 2.

b z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; y =

x2; y=x.

c z =x2+y2; y=x2; y= 1; z = 0.

d z =x2+y2;z =x2+y2+1;x2+y2 = 1.

e y =x2; y+z = 1; z =

f z = 4−x2; x2 +y2 = 4; z = 0.

4

Chương 2

Tích phân đường 2.1 Tích phân đường loại 1 2.1 Tính tích phân đường loại R2 sau:

a I=R

C

x3dl, với C là cungy = x

2 , (0≤x≤

√

3) b I=R

C

xydl, với C chu tuyến hình vng |x|+|y|= c I=R

C

y2dl, với C cung Cycloit: x=t−sint, y= 1−cost, (0≤t≤2π)

d I=R

C

x43 +y

dl, với C đường Astroit: x= cos3t, y= sin3t, (0≤t ≤2π).

e I=R

C

(y2−x2)dl, với C là cungx2+y2 =a2,(x≤0, y ≥0).

f I=R

C

xydl, với C đường gấp khúc nối O(0,0);A(1,3);B(2,4)

g I=R

C

(y−x)dl, với C cungx2+y2 = 4x,(y≥0).

h I=R

C

p

x2+y2dl, với C là cungx2+y2 = 2y,(y ≥1).

2.2 Tính tích phân đường loại R3 sau:

a I=R

C

(x2+y2+z2)dl,với C là đường x= cos3t, y= sin3t, z =t, (0≤t≤2π).

b I=R

C

xyzdl, với C phần giao tuyến mặt x2 +y2 +z2 = 4; x2 +y2 = 1, (x≥0, y ≥0, z ≥0)

c I=R

C

p

2y2+z2dl, vớiC là phần giao tuyến mặt:x2+y2+z2 = 2; y=x.

d I=R

C

(2z−px2+y2)dl, với C là đường xoắn ốc x=tcost, y =tsint, z =t, (0≤

2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2.2 Tích phân đường loại 2

2.3 Tính tích phân đường loại sau: a I=R

C

(2−y)dx+xdy, vớiC cung Cycloitx=t−sint, y= 1−cost, (t : 0→2π) b I=R

C

(x2 −2xy)dx+ (2xy+y2)dy, với C là chu tuyến dương miền giới hạn bởi

y=x2, y = 0, x= 1.

c I=R

C

ydx−(y+x2)dy, với C là phần cung y = 3x−x2, nằm phía trên Ox và theo

chiều ngược kim đồng hồ d I=R

C

(xy−1)dx+x2ydy, với C phần cungx= 1− y

2

4, lấy từA(1,0)đến B(0,2) e I=R

C

(x2+y2)dx+ (x2−y2)dy, vớiC là đường cong y= 1− |1−x|,với xtăng từ 0

đến f I=R

C

(x+y)dx−(x2+y2)dy, vớiC là nửa đường tròn x2+y2 = 1,đi từA(1,0)

đến B(−1,0) g I=R

C

xdy−ydx

p

1 +x2+y2, với C

4 đường trònx

2+y2 = 4,đi từ A(2,0)đến B(0,2).

h I=R

C

(x+y)dx−(x−y)dy

x2+y2 , với C đường tròn x

2 +y2 = 4, lấy ngược chiều kim

đồng hồ i I=H

C

x2ydx+x3dy, với C chu tuyến miền giới hạn bởiy=x2, x=y2

j I=H

C

(6y+x)dx+ (3y+ 2x)dy, với C đường tròn (x−2)2+ (y−3)2 = 4.

k I=R

C

(exsiny+ 5xy)dx+ (excosy−5)dy, vớiC nửa đường trònx2+y2 = 2x,

đi từ A(2,0) đến O(0,0) l I=H

C

(xy+x+y)dx+ (xy+x−y)dy, với C đường Elip x

2

a2 +

y2

b2 =

m I=R

C

(eysinx−x)dx+ (eycosx−1)dy, với C là

4 đường tròn x

2 +y2 = 2x, đi từ

O(0,0)đến A(1,1) n I=

(3,2)

R

(1,1)

xdx+ydy

x2+y2 , theo đường cong không qua gốc O

o I=

(3,0)

R

(−2,−1)

6 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG p I=

(1,0)

R

(0,−1)

xdy−ydx

(x−y)2 , theo đường cong không cắt đường thẳng y=x

2.4 Tìm tham số để tích phân sau khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân a I=R

C

(x+y)(xdy−ydx)

(x2+y2)n , vớin tham số C đường cong không qua gốc tọa

độ b I=R

C

(1−ax2)dy+ 2bxydx

(1−x2)2+y2 , với a, blà tham số vàC đường cong không qua

điểm (1,0)và (−1,0) c I=R

C

(x−y)dx+ (x+y)dy

(x2+y2)n , với n tham số C đường cong không qua gốc

7

Chương 3

Tích phân mặt

3.1 Tích phâm mặt loại 1

3.1 Tính tích phân sau: a I=RR

S

(3x+ 2y+z)ds, với S phần mặt phẳng x+ 2y+z = nằm miền

x≥0, y ≥0, z ≥0 b I=RR

S

zds, với S phần mặt Paraboloidz = 2−x2−y2 nằm miền z ≥0.

c I=RR

S

(x2+y2)ds, với S là nửa mặt cầu x2+y2+z2 = 1 nằm miền z ≥0.

d I=RR

S

xyds, với S 14 mặt cầu x2+y2+z2 = 1 nằm miền x≥0, y ≥0.

e I=RR

S

p

x2 +y2ds, vớiSlà phần mặt nónx2+y2−z2 = 0nằm miền0≤z ≤1.

f I=RR

S

xyzds, với S phần mặt trụ x2+y2 = bị cắt mặt y+z = 1, z = nằm miềnx≥0

g I=RR

S

xzds, với S phần mặt phẳng y+ 2z = nằm mặt trụ x2+y2 = 2y.

h I=RR

S

(xy+yz+zx)ds, với S phần mặt nón z = px2+y2 nằm mặt trụ

x2+y2 = 2x.

3.2 Tính diện tích phần mặt phẳng x+ 2y+ 2z = nằm mặt trụ y = x2

y= 2−x2.

3.3 Tính diện tích phần mặt cầu x2+y2+z2 = 2 nằm mặt nón z =p

x2 +y2.

3.4 Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn x2+y2 = 1, x+z = 1 và z = 0.

8 CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT 3.2 Tích phân mặt loại 2

3.6 Tính trực tiếp tích phân mặt loại sau a I=RR

S

xyzdxdy, vớiSlà mặt phía ngồi 14 mặt cầux2+y2+z2 = 4,(x≥0, y ≥0) b I=RR

S

xdydz, vớiS mặt phía (theo hướng Oz) nửa mặt cầux2+y2+z2 =

4,(z ≥0) c I=RR

S

zdxdy, với S phần mặt Paraboloid z =x2+y2 nằm miền 0≤z ≤1,

lấy phía ngồi d I=RR

S

y2dxdz, với S mặt phía phần mặt Paraboloid z = x2 +y2 nằm miền 0≤z ≤1

e I=RR

S

z2dydz+xdxdz−3zdxdy, vớiSlà mặt phía phần mặt trụ z = 4−y2

nằm miền 0≤x≤1, z ≥0 f I=RR

S

xdydz +ydxdz+zdxdy, với S mặt phía phần mặt trụ y = x2

nằm miền 0≤z ≤1, y ≤1 g I=RR

S

xydydz+yzdzdx+zxdxdy, vớiS mặt phía (theo hướng Oz) phần mặt phẳng y+z = nằm trụ x2+y2 =

3.7 Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính tích phân sau a I=RR

S

yzdydz+yxdxdz+y2dxdy, với S biên phía ngồi tứ diện x+y+z ≤

1, x≥0, y ≥0và z ≥0 b I=RR

S

xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S biên phía vật thể giới hạn

x2+y2 =z2,0≤z ≤1.

c I=RR

S

xzdydz+zydxdz+xydxdy, vớiSlà mặt phía ngồi phần mặt nónx2+y2 =

z2, nằm miền 0≤z ≤1 d I=RR

S

z2dxdy, với S là mặt phía ngồi ellipsoid x

4 +

y2

9 +

z2

16 = e I=RR

S

xdydz+ydxdz+zdxdy, vớiSlà mặt phía ngồi phần mặt cầux2+y2+z2 = 2z, nằm miền 0≤z ≤1

f I=RR

S

9

Chương 4

Phương trình vi phân 4.1 Giải phương trình vi phân cấp sau:

a tanydx−xlnxdy=

b x(1 +x2)y0−y(x2+ 1) + 2x= c xy0 =eyx +y+x

d y0−2ytanx+y2sin2x= e y0cosx=y

f y0−2y= sin 2x

g x(y0−sinyx) =y

h 3y+

x+ y

0 = y

2+ 4

√

x2+ 4x+ 13

i y0 = + cosx

j (x2 +y)dx+ (x−2y)dy = k x2y0+y2+xy+x2 =

l ydx−(x+y2siny)dy= 0

m x2y2y0+xy3 = n y0 =

2x+y

o 2ydx= (2y3−x)dy

p (y+ x22)dx+ (x−

3

y2)dy= q y0 =√2x+y−3

r y0 =p3

(4x−y+ 1)2

s y0+y =xe3x

t (x2−xy)dy+y2dx= 0

u y0 =y(y3cosx+ tanx) v y0 = x−y−1

x−y−2 w y0 = sin(y−x−1)

x (x+ 2y)dx−xdy=

4.2 Tìm nghiệm riêng phương trình sau với điều kiện ban đầu cho tương ứng: a x2(y3+ 5)dx+ (x3+ 5)y2dy = 0, thỏa mãn y(0) = 1.

b xy0 =ylnyx, thỏa mãn y(1) =

c 3dy+ (y+ 3y4) sinxdx = 0, thỏa mãn y(π2) =

d y0 =−3x−1 + 3y

2(x+y) , thỏa mãn y(0) = e (√xy−x)dy+ydx = 0, thỏa mãn y(1) =

10 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN g y0√1 +x2+y= arcsinx, thỏa mãny(0) = 0.

h 2ydx+ (2x−x3y)dy= 0, thỏa mãn y(12) =

4.3 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp sau: a (1−lnx)y00+ y

0

x − y

x2 = 0, biết phương trình có nghiệm riêng lày= lnx

b y00+y0tanx−cos2x= 0, biết phương trình có nghiệm riêng có dạng y=eαx.

c x2y00−xy0 +y= 0, biết phương trình có nghiệm riêng dạng đa thức d x2y00−2y=x2, biết PT tương ứng có nghiệm riêng là y=

x

e (2x+ 1)y00+ (2x−1)y0−2y =x2+x, biết PT tương ứng có nghiệm riêng dạng đa thức

4.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số sau: a y00−3y0+ 2y= 2x2−6

b y00+ 2y0−3y= 4ex

c y00−3y0 = 3x+

d y00+ 4y0+ 4y=e2x

e y00−6y0+ 10y= sin 2x

11

Chương 5

Lý thuyết chuỗi 5.1 Xét hội tụ chuỗi số sau:

a

∞

P

n=1

(n+ 1) sinπ

n b ∞ P n=1 p

n(n+ 2)

c

∞

P

n=1

2n+n

3n+ 1

d

∞

P

n=1

(2n+ 1)!!

n! e ∞ P n=1

n2+ 2

2n2+n

n f ∞ P n=1

n+

n+ 2n2 g ∞ P n=1 ln

n+

n+

h

∞

P

n=1

n3+n

en

i

∞

P

n=1

n−1 ln2n

j

∞

P

n=1

n2+n n2+ 1

n

k

∞

P

n=1

(2n+ 1)! 2n.n2

l ∞ P n=1 2n

1−

n n(n+1) m ∞ P n=1

(−1)n n! (2n)!!

n

∞

P

n=1

n2+ 2n

2n2+ 3

2 o ∞ P n=1

n−n2

n2+ 1

n p ∞ P n=1 n! n e n q ∞ P n=1 √

n+ 1−√n−1

n

r

∞

P

n=1

3n(n!)2

(2n)!

s

∞

P

n=1

(−1)ntan√1

n

5.2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: a

∞

P

n=1

n+√n

2n x

n. b ∞ P n=1

3n2+ 5n2−1

n

xn.

c

∞

P

n=1

n!

nnxn

d

∞

P

n=1

1

n32n(x+ 1)n

e

∞

P

n=1

3nx2n

2n+ f

∞

P

n=1

(−1)n−1

n2n (2x−3) n.

5.3 Tính tổng a

∞

P

n=1

x4n−3

4n−3 b

∞

P

n=1

(−1)n−1

(2n−1)3n−1

c

∞

P

n=1

n(n+ 1)xn−1.

d

∞

P

n=1