Tim hieu Vat li so cap

C¸ch ®­a ra kh¸i niÖm dßng ®iÖn dÞch nh­ thÕ nµy cã ­u ®iÓm lµ nhÊn m¹nh ®­îc sù liªn quan cña dßng ®iÖn dÞch víi ®iÖn tr­êng biÕn thiªn, nh­ng còng dÔ dÉn ®Õn hiÓu nhÇm dßng ®iÖn dÞch c[r]

tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cÊp

Các định luật bảo tồn tốn va chạm

Trong vật lý, va chạm hiểu trình tương tác khoảng thời gian ngắn vật theo nghĩa rộng từ này, không thiết vật phải tiếp xúc trực tiếp với Khi cách xa khoảng lớn vật tự Khi đến gần ngang qua nhau, vật tương tác với dẫn đến xẩy q trình khác nhau: vật chập lại với thành vật, tạo thành vật mới, đơn giản thay đổi hướng độ lớn vận tốc, Cũng xẩy va chạm đàn hồi va chạm không đàn hồi Trong va chạm đàn hồi vật sau tương tác bay xa mà khơng có thay đổi nội năng, cịn va chạm khơng đàn hồi tr ạng thái bên vật sau va chạm bị thay đổi

Trong thực tế, mức độ va chạm xẩy vật thường va chạm khơng đàn hồi vật bị nóng lên phần động chuyển thành nội Tuy nhiên vật lý khái niệm va chạm đàn hồi lại đóng vai trị quan trọng, đặc biệt thí nghiệm tượng nguyên tử

Dưới xét số toán cụ thể

Bài toán 1. Một proton bay ngang qua hạt nhân nguyên tố đang đứng yên bị lệch góc (với cos4/15), cịn giá trị vận tốc giảm 10% (xem hình vẽ) Hãy xác định số khối hạt nhân nguyên tố đó.

Giải: Tương tác hạt đàn hồi, động lượng động hệ bảo toàn:

, v M v m v

m1 2  (1)

2 Mv

mv

mv12  22  (2)

ở M v khối lượng vận tốc hạt nhân Từ định luật bảo toàn động lượng định lý hàm số cosin ta được:

 



(mv ) (mv ) 2m v v cos )

Mv

( 2 1 2

2

2 (3)

m v1

m

 v2

Từ (2) (3) tìm ®­ỵc sè khèi A: , k cos k k m M A 2  

0,9

v v k   Vậy proton tán xạ với hạt nhân liti

Bài toán 2. Hạt anpha  tán xạ đàn hồi hạt nhân hyđrơ (lúc đầu đứng n) Góc tán xạ cực đại bao nhiêu? biết khối lượng hydô nhỏ hạt  bốn lần.

Gi¶i: Chóng ta cã thể giải toán theo hai cách Cách thứ nhÊt:

Chúng ta hã y phân tích va chạm đàn hồi hệ quy chiếu phịng thí nghiệm (đứng yên) Kí hiệu: m1 khối lượng hạt , v vận tốc trước va chạm, m2 khối lượng nguyên tử hiđrô, v1

 vµ

v tương ứng vận tốc hạt  nguyên tử hiđrô sau va chạm Vì va chạm đàn hồi nên áp dụng định luật bảo toàn động lượng bảo toàn động :

 



mv cos m v cos v

m1 1 1 2 2

 

 m v sin

sin v

m1 1 2 2

2 v m v m v m 2 2 1

1  

Khử  v2 hệ thúc này, nhận phương trình bậc hai v v ) m m ( v cos v m v ) m m

( 1 2 12 1  1 1 2 

Nghiệm phương trình thực sinm2/m1 Góc  cực đại thoả mã n điều kiện ứng với dấu góc  cần tìm Vậy:

rad 25 , m m arcsin   

Chúng ta thấy tán xạ với góc lệch cực đại xẩy với điều kiện khối lượng hạt tới phải lớn khối lượng hạt đứng yên

C¸ch thø hai:

Nói chung, khảo sát tốn va chạm hệ khối tâm hạt va chạm dễ dàng Trong hệ vectơ động lượng tổng cộng hệ không vận tốc khối tâm hệ bằng:

2 1 m m v m V    

Trước va chạm động lượng hạt m1

  , m m v m m V v m p 2

1   



 



 động lượng hạt

2

m b»ng p

Với va chạm đàn hồi động lượng động hệ vật tương tác bảo toàn Vì kí hiệu động lượng hạt thứ sau va chạm p*

 , động lượng hạt thứ hai p*

Từ định luật bảo toàn lượng viết dạng:                2 * 2 m m p m m p

chóng ta t×m ®­ỵc pp*

Như vectơ động lượng (và véc tơ vận tốc) hạt quay góc mà giữ nguyên giá trị Góc quay phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể tương tác vị trí tương đối vật va chạm

Khi chun sang hƯ quy chiÕu phßng thÝ nghiƯm ta dïng quy t¾c céng vËn tèc.Theo quy tắc vận tốc hạt tới sau va chạm b»ng

* 1 V v

v 

,

ở v1*

 vận tốc hệ khối tâm Trên hình bên V vận tốc khối tâm của hệ, v vận tốc hạt tới trước va chạm Đại lượng

2 * m m v m v 

 xác định bán kính

vịng trịn mà vectơ v1kết thúc Từ hình vẽ suy trường hợp m1m2 góc vectơ vận tốc v v1 hạt tới trước sau va chạm vượt giá trị cực đại , ú v1

tiếp tuyến với đường tròn, tức lµ rad 25 , m m V v arcsin *

1   



Bài toán 3.Phản ứng hạt nhân nhân tạo Rutherford thực năm 1919 p

O He

N 17

14    phản ứng thu lượng Q = 1,13Mev Tính động năng ngưỡng cần truyền cho hạt  hệ phịng thí nghiệm để bắn phá vào hạt nhân bia nitơ đứng yên phản ứng xảy ra.

Giải: Trước giải tốn hã y tìm mối liên hệ động Ek *

k

E hệ chất điểm hệ phịng thí nghiệm hệ khối tâm Theo công thức cộng vận tốc chất điểm thứ i hệ ta có vi V vi*

  



 , V vận tốc khối tâm hệ Khi động hệ hệ phịng thí nghiệm bằng:

     ) v V ( m v m E * i i i i k     

  i 2i*  i i*

2

i V m v

2 v m

V

m    

Tæng mivi*

 = 0, vËn tèc khèi t©m hƯ khèi t©m phải không Như vậy:

* k k E MV

E   ë ®©y Mmi

Vậy động hệ hệ phịng thí nghiệm động hệ hệ khối tâm cộng với

2 MV2 .

Bây ta bắt tay vào việc giải Bài tốn Kí hiệu động lượng hạt  trước va chạm p0

 Động khối tâm hệ

ng N He He N He 2 E m m m ) m m ( p MV    

khơng thay đổi q trình phản ứng, động lượng hệ kín bảo tồn lượng khơng góp phần vào biến đổi hạ t nhân Như lượng ngưỡng phải thoả mã n điều kiện:

ng N He He ng E m m m Q E    Từ MeV 45 , Q m m m E N N He ng   

Như vậy, nhận thấy động hạt tới nhỏ hạt tạo thành sau phản ứng đứng yên hệ khối tâm

Bài tốn 4. Ngun tử hiđrơ trạng thái bản, đứng yên hấp thụ photon Kết quả là nguyên tử chuyển sang trạng thái kích thích bắt đầu chuyển động Hãy tính giá trị vận tốc v ngun tử hiđrơ Cho lượng kích thích nguyên tử hiđrô

J 10 63 ,

E12  18 Năng lượng nghỉ hiđrô mc21,49.1010J.

Gi¶i:

Cách 1: Từ định luật bảo toàn lượng: mv E hc 12  

và định luật bảo toàn động lượng: mv

h

sẽ tính vận tốc v (lo¹i nghiƯm v>c):

2 12 12 mc E c mc E 1 c

v 

         ,

ở sử dụng gần 122

2 12 mc E mc E

1   lượng kích thichE12 nhỏ nhiều so với lượng nghỉ

Cách 2: Sử dụng công thức tương đối tính cho định luật bảo tồn lượng và động lượng ta có:

2 2 c v mc hc mc   

 vµ

2 c v mv h   

Chia hÖ thøc thứ hai cho hệ thức thứ nhất, ta :

    / hc mc / hc c

v 2 Vì lượng

photon bị hấp thụ nhỏ nhiều lượng nghỉ nguyên tử nên cách gần ta có: 12 mc E c mc / hc c

v  

Bài toán 5. Một nguyên tử hiđrô trạng thái bay đến va chạm với nguyên tử hiđrô khác trạng thái đứng yên Động hiđrô tới nhỏ phải bằng để va chạm phát photon Năng lượng ion hoá nguyên tử hiđrô 13,6eV.

Giải: Đây tốn va chạm khơng đàn hồi Ngun tử hiđrơ tới truyền năng lượng lớn để ion hoá hai nguyên tử sau va chạm đứng yên hệ khối tâm Động khối tâm bằng:

2 E m p ) m m ( p ng p 1    ,

ở mp khối lượng proton, Eng lượng ngưỡng phản ứng Năng lượng ngưỡng không thay đổi Photon mang lượng nhỏ electron nguyên tử chuyển từ mức lên mức kích thích thứ Muốn nguyên tử phải hấp thụ lượng

2 E hR ) 1 ( hR

h12    ng ,

ở R số Rydberg Khi ion hố, electron chuyển từ mức lên mức vơ cùng, lượng ion hố Ei hR.Từ ta tìm

eV , 20 E Eng  i 

Bài toán 6. Một photon Rơnghen va chạm với electron đứng yên bị phản xạ theo hướng ngược lại Hãy tìm độ biến thiên bước sóng photon tán xạ.

Giải: Với lượng hàng ngàn electron -vơn ta phải tính đến hiệu ứng tương đối tính Định luật bảo tồn lượng động lượng có dạng:

2 2 c v mc hc mc hc     

 vµ

ở m khối lượng electron, 0  bước sóng photon trước sau tán xạ Từ hệ hai phương trình dễ dàng rút :

m 10 84 , mc

h

2 12

0



       

Như bước sóng photon tăng Kết hoàn toàn phù hợp số liệu thực nghiệm

Bµi tËp

1 Hạt nhân liti bị kích thích chùm proton bắn vào bia liti đứng yên Khi xẩy phản ứng

* 7Li p Li

p  

Tìm tỉ số lượng photon tới lượng kích thích liti để xuất photon tán xạ theo hướng ngược với photon tới

2 Một electron bay đến va chạm với nguyên tử hydrô trạng thái bản, đứng yên Tính lượng ngưỡng Eng electron tới để va chạm phát photon Năng lượng ion hố ngun tử hydrơ 13,6 eV

3 Photon Rơnghen va chạm với electron đứng n phản xạ theo hướng vng góc Hã y tim độ tăng bước sóng photon tán x

Phạm Tô (Sưu tầm giới thiệu) Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp

Chọn Hệ quy chiếu toán học

Trc hết, ta xét toán sau:

Khi bơi thuyền cầu A, người đãng trí để rơi mũ xuống sông, nhưng không để ý, nên tiếp tục chèo thuyền ngược theo dịng nước Sau 15 phút, phát mũ, chèo thuyền ngược lại, với nhịp độ cũ, t ìm lại được

chiếc mũ cầu B cách xa cầu A 1km Xác định tốc độ nước.

Hồn tồn khơng phải ngẫu nhiên mà chúng tơi mở đầu viết việc chọn hệ quy chiếu toán cổ trở thành kinh điển Nó minh hoạ cách trực quan cho một khẳng định nói việc khéo chọn hệ quy chiếu (H.Q.C) làm cho việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, nhiều tốn vật lý, ta giải nhẩm được.

Thực vậy, đề tìm vận tốc dịng nước toán trên, ta cầ n phải biết thời gian trơi của mũ hai cầu (vì vận tốc mũ vận tốc dòng nước) Ta chuyển sang xét H.Q.C gắn với mũ Trong H.Q.C nước đứng yên vận tốc thuyền theo hai hướng Điều có nghĩa thời gian thuyền quay trở lại tới gặp mũ bằng thời gian lúc thuyền xa mũ, tức 15 phút Do thời gian tính từ mũ tới khi tìm thấy 30 phút Vậy vận tốc dịng nước ( vận tốc trơi mũ) là: 1km : 0,5h= 2km/h.

Lưu ý chuyển từ H.Q.C sang H.Q.C khác nhiều đại lượng vật lý mô tả chuyển động học vật , vận tốc, gia tốc , thay đổi Khi đại lượng tương ứng hai H.Q.C tuân theo quy tắc cộng sau :

2 12 v v

v   , a1 a12a2

Trong đó v1(a1) vận tốc (gia tốc) vật H.Q.C thứ nhất; v2(a2)là vận tốc (gia tốc) của vật H.Q.C thứ hai, còn v12(a12) vận tốc (gia tốc) H.Q.C thứ hai H.Q.C. thứ Tất nhiên, ta xét chuyển động tịnh tiến H.Q.C nhau.

Bây xét số toán cụ thể, mà trước hết số tốn động học Phải nói khn khổ động học tất H.Q.C (dù đứng yên, chuyển động đều, có gia tốc, quay ) bình đẳng với nhau, việc chọn H.Q.C mi ễn là thuận tiện hợp lẽ nhất.

Bài tốn Cho vận tốc dịng nước là u vận tốc thuyền nước đứng yên là vtd Hỏi người chèo thuyền phải chèo theo hướng để thuyền bị trơi theo dịng nước nh ất?

Giải: Dễ thấy rằng, ta xét hai H.Q.C hợp lý Yêu cầu đảm bảo cho thuyền bị trơi theo dịng nước có liên quan tới H.Q.C gắn với bờ sơng, cụ thể góc tạo vận tốc v của

thuyền (đối với bờ) lập với đường vng góc với bờ bé Trong H.Q.C gắn liền với dòng nước, người ta cho độ lớn vận tốc vtdcủa thuyền địi hỏi tìm hướng vận tốc này, chẳng

hạn góc  tạo vận tốc đường vng góc với bờ Do điều kiện tốn khơng nói tương quan u và vtd, nên ta phải xét hai khả năng:

a) vtd> u Trong trường hợp ta có thề đảm bảo chèo cho thuyền theo hướng vuụng gúc

với bờ (tức thuyền không bị trôi theo dòng) Theo quy tắc cộng vận tốc:

u v v td  

Từ hình biểu diễn phương trình trên, ta nhận được:

td

v u /

sin

b) vtd< u Phương trình biểu diễn quy tắc cộng vận tốc, biểu diễn hình Khi

thay đổi hướng chèo vectơ vtdvẽ nên nửa vịng trịn Góc cực tiểu vectơ v và

đường vng góc với bờ tương đương với điều kiện vectơ tiếp xúc với vịng trịn Từ đây suy ra:

u vtd/ sin

Như vậy, khi vtd> u thì sinu /vtd, cịn khi vtd< u thì sinvtd /u Trường hợp vtd= u xin

dành cho bạn đọc tập nhỏ.

H×nh H×nh 2

Khi xét rơi tự số vật, việc chọn H.Q.C gắn với số vật đó cũng tỏ thuận tiện Trong H.Q.C chuyển động vật thẳng nhau (tất nhiên bỏ qua sức cản khơng khí) Cách làm thường gọi "phương pháp bá tước Munhausen" (bạn có hiểu khơng?) Ta sử dụng phương pháp bài toán sau:

v u td

v v



Bài toán 2.Từ hai điểm độ cao h mặt đất cách khoảng l, người ta đồng

thời ném hai đá: hướng lên theo phương thẳng đứng với vận tốc v1và theo

phương nằm ngang với vận tốc v2 Hỏi q trình hai hịn đá chuyển động, khoảng cách

ngắn chúng bao nhiêu? Biết vận tốc ban đầu hai đá nằm trong mặt phẳng thẳng đứng.

Giải: Ta chọn H.Q.C gắn với đá thứ Khi chuyển động hịn đá thứ hai thẳng đều (a2 a12 a1  gg0) với vận tốc:

1 v

v vtd   

Khoảng cách nhỏ hai đá dễ dàng tìm từ hình 3: 2

1 sin

v v

lv l

d

 

 

Chú ý: Hai đá đạt tới khoảng cách ngắn sau thời gian: 2

2

2 cos cos

v v

lv v

v l v

l t

td 

  

  

Để kết có nghĩa cần phải đảm bảo thời điểm hịn đá thứ phải chưa rơi xuống đất, tức phải thoả mãn điều kiện:

g h v

v

lv

2 2

2  

H×nh 3

Có thể bạn nảy câu hỏi: khoảng cách ngắn hai hịn đá mà ta tìm trong H.Q.C gắn với hịn đá bay liệu khác với kết mà ta tìm H.Q.C gắn với mặt đất không? Không, Khoảng cách hai điểm chuyển động thuộc số đại lượng gọi là bất biến,tức đại lượng mà giá trị chúng không thay đổi khi ta chuyển từ H.Q.C sang H.Q.C khác Trong học cổ điển, khoảng thời gian hai sự kiện, kích thước vật , định hướng chúng khơng gian ví dụ các đại lượng bất biến.

Bây chuyển sang toán động lực học. ở phạm vi "cho phép" các H.Q.C bị thu hẹp lại đáng kể Vì quy tắc làm việc với H.Q.C phi qn tính vượt ra ngồi khn khổ chương trình vật lý trường phổ thông, nên buộc phải giớ i hạn sử dụng H.Q.C quán tính Trong H.Q.C thuộc loại này, ta sử dụng các định luật Newton, định luật bảo tồn lượng động lượng bình thường.

l

d

1 v  

v 

2 v 

Bài tốn 3.Một xe nhỏ có khối lượng M chiều dài l đứng t rên mặt phẳng nằm ngang trơn nhẵn Trên xe có hai người khối lượng là m1và m2ngồi hai đầu Hỏi xe dịch chuyển đoạn bao nhiêu, hai người đổi chỗ cho nhau?

Giải: Một mặt quan tâm tới dịch chuyển xe mặt đất; mặt khác, chúng ta lại biết dịch chuyển cuối hai người đất mà xe. Vậy làm đây?

Ta xem chuyển động tất vật - hai người xe- chuyển sang H.Q.C. có vận tốc vận tốc vt xe, thời điểm Đối với H.Q.C vận tốc ban đầu

của ba vật - vt Đối với hệ kín "xe + người" ta viết định luật bảo tồn độ ng

lượng: 2 1 )

(m m M v m v m

vt    td  td



Nhân hai vế phương trình với t, ta tìm mối liên hệ độ dịch chuyển tương

øng: 2 1 )

(m m M s m s m

st    td  td

Rõ ràng mối liên hệ độ dịch chuyển toàn phần sau t oàn thời gian chuyển động Chú ý rằng s1td l và s2td l, ta được:

M m m m m l M m m l m l m st         1 2 1

Bài toán dễ dàng giải H.Q.C gắn với khối tâm hệ (xin dành cho bạn như tập).

Ta nh li rng toạ độ vận tốc khối tâm tính theo công thức:

n n n kt m m m x m x m x m x        2 1 n n n kt m m m v m v m v m v        2 1    

Từ đẳng thức thứ hai ta thấy hệ vật kín, vận tốc khối tâm khơng đổi (vì tử số chính động lượng tồn phần hệ, mà hệ k ín động lượng bảo toàn) Bởi vậy, H.Q.C gắn với khối tâm hệ kín H.Q.C quán tính Cũng dễ dàng thấy động lượng toàn phần hệ vật H.Q.C tâm qn tính khơng Ta sử dụng H.Q.C để giải toán sau:

Bài toán 4.Trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang có hai vật chuyển động nối với một

sợi dây khơng giãn có chiều dài l Tại thời điểm đó, vật có khối lượng m1đứng yên và

vật có khối lượng m2có vận tốc v hướng vng góc với sợi dây (hình 4a) Tìm sức căng dây

tại thời điểm đó.

Giải: Khối tâm hệ nằm sợi dây cách vật thứ khoảng R1 m2l/(m1m2) và chuyển động mặt phẳng nằm ngang với vận tốc:

Bây ta chọn H.Q.C khối tâm hệ đứng yên Trong H.Q.C hai vật chuyển động tròn xung quanh khối tâm đứng yên (hình 4b) vận tốc vật thứ có độ lớn đúng V.

H×n h 4

Theo định luật II Newton, lực căng dây tác dụng lên vật thứ bằng:

1 R V m F 

Thay biÓu thức R1 V vào, cuối ta tìm ®­ỵc:

l m m V m m F )

( 1 2

2



 

Trong nhiều trường hợp chuyển sang H.Q.C gắn liền với khối tâm, vi ệc giải toán trở nên đơn giản nhiều tới mức ban đầu người ta thường chuyển tất liệu toán sang H.Q.C này, sau nhận kết lại chuyển H.Q.C xuất phát Đề thấy rõ điều ta hãy xét hai tốn sau va chạm đàn hồi t uyệt đối hai cầu.

Bài toán Hai cầu có khối lượng m1và m2 chuyển động với vận tốc v1và v2tới va chạm

trực diện với Giả sử va chạm tuyệt đối đ àn hồi Xác định vận tốc hai cầu sau va chạm.

Giải: Như nói trên, H.Q.C gắn với khối tâm hệ, động lượng toàn phần hệ bằng không, trước sau va chạm Dễ dàng đoán hai định luật bảo toàn động năng động lượng thoả mãn ta cần đổi hướng hai vận tốc thành ngược lại Ta hãy viết công thức tương ứng:

 Vận tốc ban đầu hai cầu H.Q.C khối tâm bằng: 2 2 2 1 1 ) ( m m v v m m m v m v m v V v u          Tương tự: 1 2 ) ( m m v v m u   

 VËn tèc cuèi hai cầu H.Q.C khối tâm bằng:

, ,

1 u ; u u

u  

      m1 R1 m2 m2 m1 V V v1td 

Suy vận tốc cuối hai cầu mặt đất là: 2 2 2 1 2 1 ) ( ) ( ' ' m m v m v m m m m v m v m m m v v m V u v              Tương tự: 1 2 2 ) ( ' m m v m v m m v     .

Để làm ví dụ cuối cùng, xét tốn c hạm đàn hồi khơng xun tâm.

Bài tốn 6. Quả cầu có khối lượng m1bay với vận tốc v1tới đập vào cầu thứ hai đứng yên có

khối lượng m2(m2<m1) Hỏi sau va chạm cầu thứ bị lệch phương chuyển động một góc tối đa bao nhiêu? Coi cầu nhẵn va chạm tuyệt i n hi.

Giải: Trong H.Q.C gắn với khối tâm hệ, hai cầu tiến lại gần víi vËn tèc:

2 1 2 2 1 1 m m v m m m v m v m v V v u                1 m m v m u     

§ång thêi, m1u1 m2u2.

Do kết va chạm không xuyên tâm, vận tốc qủa cầu giữ nguyên độ lớn cũ và vẫn hướng ngược nhau:

2 1 2

1 u , u' u ; m u' m u' '

u     

Hình Hình 6 Tuy nhiên, vect¬ vËn tèc cuèi u'1



của cầu thứ quay góc  vectơ vận tốc ban đầu Tuỳ thuộc vào vị trí tương đối hai qu ả cầu thời điểm va chạm mà mà góc này thay đổi từ (hai cầu tiếp xúc với nhau) đến 180 độ ( va chạm trực diện). Các vị trí vectơ u'1



nằm vịng trịn bán kính u1(hình 60) Vận tốc cuối cùng của cầu thứ mặt đất bằng: v'1u'1V Góc tạo véctơ v'1và Vđạt cực đại vectơ v'1

là tiếp tuyến với vòng tròn Từ ta tính góc max cần tìm:

1 2 ` 1 ` max : sin m m m m v m m m v m V u      

hay arcsin( )

1 max m m   .    ' u m2 

m1 

1

u u2

Bµi tËp

1)Tại thời điểm vật bắt đầu rơi tự do, người ta ném đá nhằm vào vật Hỏi vận tốc

ban đầu đá ( kể độ lớn góc nghiêng so với phương nằm ngang) phải bằng bao nhiêu, trước rơi vật độ cao h cách người ném mặt đất khoảng l? 2) Một vật nhỏ treo sợi dây dài l Hỏi điểm treo dây phải dịch chuyển theo phương nằm ngang để vật nặng quay vòng trọn vẹn?

3) Một tường nhẵn, đàn hồi chuyển động với vận tốc v Một cầu đàn hồi bay tới theo phương vng góc tường với vận tốc V Tìm vận tốc cầu sau va chạm với bức tường.

4) Dưới tác dụng lực hấp dẫn, hai chuyển động theo qũy đạo tròn, tại mọi thời điểm chúng cách khoảng l khơng đổi Tìm chu kỳ quay đơi này, nếu khối lượng M.

Phạm Nam Long (Sưu tầm giới thiệu)

CHUYÊNĐỀ/TRAO ĐỔI

CÁC PHÂN TỬ PHI TUYẾN TRONG MẠCH ĐIỆN

Nguyễn Xuân Quang

Những khó khăn lớn thí sinh kỳ thi học sinh giỏi tập

về điện có mặt phần tử phi tuyến Đó phần tử có đường đặc trưng vôn -ampe, tức đồ thị mô tả phụ thuộc điện áp U hai đầu phần tử v cường độ dịngđiện I qua nó- khơng phải đường thẳng qua gốc toạ độ

Một ví dụ điển hình phần tử phi tuyến phần tử thường gặp tập

là điôtlý tưởng Khi người ta đặt điện áp ngược với độ lớn lên phần tử khơng có dịng điện qua điơt ta nói điơt bị đóng Trong trường hợp điện trở điơt vơ cùng– tình tương đương với ngắt mạch Trong trường

hợp điện áp đặt vào thuận, điện trở điơt khơng khơng có ảnh hưởng gìđến

dịngđiện qua

Một loại phần tử phi tuyến khác điện trở phụ thuộc v cường độ dòngđiện qua

nó Ví dụ, dây tóc bóng đ èn điện: theo tăng cường độ dòngđiện qua dây mà nhiệt độ điện trở tăng lên Một phần tử phi tuyến

dụng cụ xảy phóng điện, ví dụ đèn chứa đầy khí, đèn tiratron linh kiện vơ tuyến khác

Ngồi ra, phần tử phi tuyến là: cuộn dây có lõi sắt (do tượng từ trễ), tụ điện có

xecnhec (hiệu ứng áp điện), v.v

Để giải tốn có phần tử phi tuyến người ta thường dùng phương pháp sau: phương pháp đồ thị, phương pháp số, phương pháp biểu diễn gần hàm giải tích

Dưới xét số mạch điện cụ thể có chứa phần tử phi tuyến

điện tăng tuyến tính theo hiệu điện (h.đ.t.) Khi mắc phần tử vào nguồn điện có

suất điện động không đổi v điện trở r = 25 cường độ dóng điện qua I1 =

2mA, mắc với nguồn điện qua tải có điện trở R = r thì dịng qua I2 = 1mA Hãy xác định suất điện động nguồn điện.

Giải:

Dựa vào đường đặc trưng vơn-ampe ta thấy dịngđiện I chạy qua phần tử phi tuyến phụ

thuộc vào h.đ.t U hai đầu phần tử: < U <U0 I = 0; U > U0 I = (U– U0) với =I/U = const

Khi mắc phân tử phi tuyến vào nguồn điện có s.đ.đ E điện trở r, cường độ dòng

điện mạch I1, ta có:

0

1 U

I r I

E   

 (1)

Khi mắc phần tử vào nguồn điện qua tải có điện trở R = r dịngđiện

mạch I2, ta có:

0 2

2 U

I R I r I

E    

 (2)

Từ (1) (2) suy ra:

0

1 r U

I I

I I

E 

  Thay số ta được: E = 150V

Ví dụ 2. Cho mạch điện hình 2, X phần tử phi tuyến m cường độ dịngđiện đi qua phụ thuộc h.đ.t hai đầu phần tử theo công thức:

X

X U

I  với = 0,25A/V3 Hãy tính cơng suất toả X, dịng qua điện kế G bằngkhông Biết R1= 2, R2=4

và R3=1.

I, mA

Giải:

Gọi U h.đ.t hai đầu mạch điện, U2 h.đ.t hai đầu điện trở R2, ta có:

2 2 R R UR U  

Khi điện kế G số h.đ.t hai đầu phần tử phi tuyến X h.đ.t hai đầu R2: UX = U2 Ta có :

U1=U3 =

2 1 R R UR 

Cường độ dòngđiện chạy qua X :

3 1 3 ) (R R R

UR R U IX    Theo : IX U3X nên ta có :

 3

2 3 1 )

( R R

R U R R R UR    

Từ rút :

3 2 1( )

R R R R R U  

 (1)

Công suất toả X :

4 2 X X R           R R U U U I

PX X   (2)

Từ (1) (2) ta được:

2 1        R R R PX 

Thay số ta PX= 1W

Vi dụ Trong mạch điện hình 3, tụ điện có điện dung C = 100F tích điện đến U0

= 5V nối điện trở R = 100 qua điôt D Đường đặc trưng vơn-ampe điơt như

hình vẽ Ở thời điểm ban đầu, khố K mở Sau đóng K Xác định c ường độ dịngđiện trong

Giải:

Ngay sau đóng khố, h.đ.t t ụ chưa thay đổi độ lớn dấu Giả thiết

rằng dòngđiện ban đầu I0 mạch lớn 10mA Định luật Ơm mạch kín thời

điểm có dạng:

R I U U  d  0

trong Ud h.đ.t hai đầu điơt (Ud = 1V) Thay số vào ta được:

mA R

U U

I d 40

0 

 

Vì giá trị nhận dòngđiện lớn 10mA, nên giả thiết

Sau đóng khố, tụ điện phóng điện, cịn dịngđiện mạch giảm Khi dòng giảm

tới giá trị I1 = 10mA, áp dụng định luật Ơm ta tìmđược h.đ.t UC hai tụ:

V R I U

UC  d  1 2

Từ thời điểm đóng khố tụ phóng hết điện, điơt p73 hai chế độ: dòngđiện

trong mạch biến thiên từ I0 = 40mA đến I1 = 10mA dòng điện giảm từ I1 = 10mA đến

Trong chế độ thứ nhất, h.đ.t điôt không đổi Ud = 1V, cònđ.đ.t tụ giảm từ U0

= 5V đến UC = 2V Trong thời gian đó, điện lượng chạy qua điơt là:

C U

U C

q C

0 ) 3.10

(   



và nhiệt lượng toả điôt là:

J qU

Q1  d 3.104

Trong chế độ thứ hai, điôt hoạt động nh điện trở Rd = Ud/I1 = 100 Sau kết thúc chế độ thứ nhất, h.đ.t tụ UC = 2V lượng lại điện trường tụ là:

J CU

W C

2

10 2



 

Vìđiện trở Rd điơt điện trở R, n ên lượng toả điôt R

Do đó, nhiệt lượng toả điôt chế độ thứ hai bằng:

J W

Q

2 10

2



 

Vậy nhiệt lượng toả sau đóng khố bằng:

10

4

2

1 Q j

Q

Qd    

a) Sau kể từ ngắt khố K, dịngđiện cuộn cảm đạt giá trị cực đại, biết

giá trị 2I0

b) Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc c ường độ dòngđiện qua cuộn cảm vào thời gian

(lấy t = lúc ngắt khoá K)

Giải:

a)Trong thời gian , dòng qua cuộn cảm tăng tuyến tính theo thời gian, nên ta có E = LI0/ (1) Lúc t = 0, dòngđiện cuộn cảm I0, điện tích tụ điện q0 = EC, hiệu điện U A B dương, nên điơt Đ đóng, m ạch bắt đầu xảy dao động Khi dòngđiện

trong cuộn cảm cực đại, thìđiện tích tụ điện Áp dụng định luật bảo to àn lượng, ta có:

2

2

0

0 (2 )

2

1

1

1

1

I L C E LI

C q

LI    

Suy ra: 3LI02 E2C (2)

Từ (1) (2), ta được: LC  3 (3) Mặt khác,

'' '

Lq Li

dt di L C

q

L L  



trong iL dịngđiện qua cuộn cảm Từ ph ương trình suy ra:

1 '' q

LC q

Như biết, phương trình có nghiệm là:

q = Q0sin(t +) với  1/ LC

và iL = -q’ =- Q0cos(t +) với Q0 = 2I0 Khi t = 0,

q = EC = Q0sin = 2I0(sin)/ iL = I0 = -2I0cos

Suy ra: = 2/3 Do biểu thức dòngđiện qua cuộn cảm là: iL = - Q0cos(t +2/3) = Q0cos(t -/3)

LC t

3

   

 (4)

Từ (3) (4), ta được:  



814 ,

3  

t

Vậy sau thời gian 1,814, kể từ ngắt khoá K, dịngđiện cuộn cảm đạt cực đại

b)+ Khi  

3

0t , iL = 2I0cos(t -/3)

+ Khi  

3 

t , thìđiện tích q tụ v U = 0, điôt Đ bắt đầu mở Kể từ thời điểm dòngđiện không đổi, qua cuộn cảm điôt Đ

Đồ thị biểu diễn phụ thuộc iL vào t, xin dành cho bạn đọc tự vẽ Bài tập

1 Cho mạch điện Ví dụ 2, phụ thuộc c ường độ dòng

điện IX vào hiệu điện UX có dạng IX aUX2 điện trở R1= R3 = 2, R2 = 4 Với giá trị số a, công suất toả X PX = 1W trường hợp cầu cân (tức điện kế số 0)

ĐS:

2

/ 125 , ) / (

1

V A R

R R P a

X

 

2 Cho mạch điện hình vẽ, khố K đóng th ời gian , sau ngắt Tại thời điểm ngắt K cường độ đòngđiện qua cuộn dây I0 Hỏi qua thời gian sau ngắt K cường độ dòng điện qua cuộn dây đạt giá trị cực đại 2I0? Dựng đồ thị biểudiễn phụ thuộc c ường độ dòngđiện cuộn dây theo thời gian, bắt đầu

từ thời điểm đóng khố K Bỏ qua điện trở mạch điện cho

ĐS: *

3





t

* Bạn đọc tự vẽ đồ thị

Mạch dao động

Trong báo đề cập tới số toán thú vị phần tử mạch dao động (MDĐ) nhằm đào sâu nâng cao kiến thức cung cấp sách giáo khoa vật lý lớp 12 Như biết mạch dao động thường gồm cuộn cảm, tụ điện đơi có điện trở mắc nối tiếp với Bài toán MDĐ xác định phụ thuộc thời gian dòng điện mạch hiệu điện phần tử với điều kiện ban đầu cho trước

Các trình diễn MDĐ, biết, mô tả phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (giống phương trình vi phân mơ tả dao động điều hoà) với nghiệm tổng quát chứa hai số chưa biết Hai số xác định từ điều kiện ban đầu Điều giải thích để tìm nghi ệm ta cần phải biết cường độ dòng điện ban đầu hiệu điện ban đầu, ví dụ hai tụ điện, chẳng hạn

Tuy nhiên, toán MDĐ người ta thường khơng u cầu tìm nghiệm tổng quát, mà yêu cầu tìm tham số cụ thể đó, chẳng hạ n giá trị cực đại cường độ dòng điện hay hiệu điện cực đại hai đầu tụ điện Để giải tập loại này, người ta thường dùng định luật bảo toàn lượng suy luận vật lý chung Chẳng hạn, dòng điện MDĐ cực đại, suất điện động (s.đ.đ) cảm ứng cuộn dây không điện trở mạch khơng h.đ.t tụ điện không Hoặc h.đ.t tụ đạt cực đại dịng điện mạch không

Bây xét tốn cụ thể Để việc trình bày hệ thống toán đơn giản xét sách giáo khoa

Ví dụ 1. Trong mạch dao động LC (H.1), thời điểm ban đầu khoá K mở tụ C nạp điện đến h.đ.t U0 Tìm phụ thuộc h.đ.t tụ cườn g độ dòng điện mạch vào thời gian sau đóng khố K.

Ngay sau đóng khố K, h.đ.t tụ u(0) = U0, cường độ dòng điện mạch i(0) =

0 Giả sử thời điểm tùy ý sau K đóng, dịng điện chạy mạch từ tích điện dương tụ điện Theo định luật Ohm (Ơm) ta có :

u Li'

V× iCu', ta cã:

0 '' u 

LC u

Đây phương trình vi phân quen thuộc mơ tả dao động điều hoà mà biết Nghiệm tổng quát phương trình có dạng:

t B t A

t

u() cos0  sin0

trong 0 1/ LC- tần số dao động riêng MDĐ, A B la hai số tìm từ

điều kiện ban đầu Đặt điều kiện ban đấu thứ n hấtu(0) = U0 vào nghiệm trên, ta tìm A = U0 Cịn từ điều kiện thứ hai i(0) = - Cu' = 0, ta đượcB = 0 Kết ta được:

t U

t

u() 0cos0 vµ i(t)U0C0sin0tU0C0cos(0t/2)

So sánh hai biểu thức ta thấy h.đ.t tụ cư ờng độ dòng điện mạch dao động điều hồ với tần số góc, dao động dòng điện sớm pha /2 so với h.đ.t Ví dụ 2. Tại thời điểm t = người ta mắc nguồn điện chiều có s.đ.đ. E điện trở trong nhỏ không đáng kể vào mạch LC (H.2) Xác định phụ thuộc h.đ.t uC tụ vào thời gian.

Xét thời điểm tuỳ ý sau đóng khố Giả sử dịng điện chạy mạch từ cực dương nguồn Theo định luật Ohm:

C u Li

'

E

Mặt khác, i = q' = '

C

Cu Lấy đạo hàm hai vế ta được: i' = CuC'' Thay biểu thức i' vào

phương trình định luật Ơm ta được:

E 2

0 '

'  

C C u

u

trong 0 1/ LC- tần số dao động riêng mạch Phương trình vi phân khác với

phương trình ví dụ trước có vế phải số khác khơng Để giải phương trình cần đổi biến : X = uC- E , Thay vào phương trình vi phân ta được:

0 ''

0 

 X

X 

Nghiệm phương trình biết:

t B t A

t

X() cos0  sin0

Để xác định A B ta dùng điều kiện ban đầu: t = uC = hay X = -E, i = CuC' = 0, thay vào nghiệm vừa tìm trên, ta có: A = -E B = Kết ta được:

X(t) = -E cos0t hay uC(t) = E (1- cos0t)

Sự biến thiên theo thời gian h.đ.t tụ theo quy luật điều hồ khác với Ví dụ chỗ mức mà mức uC= E (xem H.3)

Ví dụ 3. Trong mạch dao động LC hình 4, khố K ngắt, điện tích tụ thứ nhất có điện dung C1 q0, cịn tụ thứ hai có điện dung C2 khơng tích điện Hỏi sau khi khố K đóng điện tích tụ C2 đạt giá trị cực đại? Bỏ qua điện trở mạc h.

Ta xét thời điểm tùy ý sau khố K đóng Giả sử thời điểm đó, điện tích tụ thứ q1, tụ thứ hai q2 mạch có dịng điện i (H 5) Vì ta quan tâm

tới giá trị q2max , nên ta tìm biểu thức q2(t) Theo định luật Ohm ta có:

1 2 '

C q C

q

Li  



V× '

q

i q1 + q2 = q0, nên phương trình ta đưa phương trình q2:

1 2

2 ''

LC q q C LC

C C

q  

Giống ví dụ 2, ta đưa vào biÕn míi:

2

2

C C

C q q X

  

ta lại nhận phương trình mơ tả dao động điều hoà:

0 '' 02X 

X 

trong

2

2

C LC

C C 



 - tần số dao động riêng mạch Nghiệm phương trì nh là:

t B t A

t

X() cos0  sin0 Hình

Dùng điều kiện ban đầu: t = q2 = hay X(0) =

2

2

C C

C q



 vµ i = hay X' = 0, ta tìm được: A =

2

2

C C

C q



 vµ B = Cuối cùng, trở lại biến q2 ta được: ) cos ( )

( 0

2

2

2 t

C C

C q t

q  

 

Từ biểu thức ta thấy q2lần đạt giá trị cực đại sau thời gian t1=/0, sau

giá trị cực đại lặp lại với chu kỳ T = 2/0 Trong trường hợp tổng quát, thời điểm

để q2 đạt giá trị cực đại viết dạng:

) (

n

tn  

 

với n = 0, , , 3, Giá trị cực đại q2max =

2

2

C C

C q



Ví dụ 4.Trong mạch điện hình 6, thời điểm ban đầu khố K ngắt tụ C khơng nạp điện Sau cho khố K đóng thời gian lại ngắt Hã y xác định dòng điện qua cuộn cảm thời điểm ngắt khoá K, sau ngắt h.đ.t tụ đạt cực đại 2E với Elà s.đ.đ nguồn chiều Bỏ qua điện trở cuộn dây Điện trở nguồn nhỏ tới mức thời gian nạp điện cho tụ nhỏ nhiều so với thời gi an đóng khố K.

Ngay đóng khố K tụ nạp điện nhanh tới h.đ.t s.đ.đ nguồn cuộn cảm cường độ dòng điện tăng chậm từ giá trị Tại thời điểm ngắt khoá K, h.đ.t tụ

Evà qua cuộn cảm có dịng điện mà ta ký hiệu I0 Đó điều kiện ban đầu đối

víi m¹ch LC cđa chóng ta

Xét thời điểm tuỳ ý sau ngắt khố K, giả sử cường độ dịng điện mạch i, có chiều từ tích điện dương tụ điện h.đ.t tụ uC Theo định luật Ohm

ta cã:

C u Li'

Nh­ng v× i = '

C

Cu , ta cã:

0

2 '

'  

C C u

u 

với0 1/ LC Nghiệm phương trình có dạng: uC(t) Acos(0t) Dạng

của nghiệm tương đương với dạng mà ta chọn trên, có điều hai số A B A  Dùng điều kiện ban đầu uC(0) = E i = I0, ta được: E =

A=

2

0

        



C I

2

E ,

0

 

C I tg

E



Vì A biên độ dao động h.đ.t.trên tụ nên giá trị cực đại h.đ.t Do đó,

2

0

        



C I

2

E = 2E ,từ ta tính được:

L C C

I0  3E 0 E

Cũng ba ví dụ trước, giải toán sử dụng nghiệm tổng qt cho đầy đủ thơng tin mạch Bây đưa cách giải đơn giản xuất phát từ suy luận vật lý chung định luật bảo toàn lượng Theo định luật bảo tồn lượng lượng mạch t = thời điểm h.đ.t tụ đạt cực đại dòng mạch phải nhau:

2 2

2

2

0 CE CE

LI

 

Từ suy ra:

L C I0 E

Ví dụ 4. Trong mạch điện hình 7, tụ có điện dung C nạp điện tới h.đ.t. nào đó, cịn khố K ngắt Sau đóng khố K, mạch diễn dao động tự do, trong biên độ dịng điện cuộn cảm L2 I0 Khi dòng điện cuộn cảm L1 đạt giá trị cực đại người ta rút nhanh lõ i sắt (trong thời gian ngắn so với chu kỳ dao động) khiến cho độ tự cảm giảm k lần Tìm h.đ.t cực đại tụ điện sau lõi sắt đã được rút ra.

Ta xét thời điểm tùy ý sau đóng khoá K trước rút lõi sắt Ký hiệu h.đ.t ban đầu tụ U0 h.đ.t thời điểm tùy ý u Giả sử dòng điện qua cuộn L1 i1

và qua cuộn L2 i2 (xem H 8) Theo định luật Ohm cho mạch vòng chứa tụ điện cuộn

c¶m L1:

u i

L2 2'  (1)

và cho mạch vòng chứa hai cuộn cảm:

' 1 ' 2i Li

L  hay (L1i1L2i2)' 0

Từ suy ra: L1i1L2i2 const Nhưng dịng điện ban đầu qua hai cuộn cảm

bằng 0, nên const biểu thức 0, tức L1i1 L2i2 Theo định luật Ohm cho mạch

rÏ: 2 i L L L i i

i    (2)

Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: L2i2'' u'và lưu ý i = -Cu', ta có:

1 ''

2  i

C i L

Thay biĨu thøc (2) cđa i vµo ta ®­ỵc:

0 2 ' '    i L CL L L i

Nghiệm tổng qt phương trình có dạng:

t B t A t

i 0 0

2() cos  sin

trong 2 L CL L L  

 Vì i2 (0) = suy A = Để tìm B lưu ý biên độ dịng điện

trong cn L2 b»ng I0 nªn B = I0 KÕt qu¶ ta cã:

t I

t

i2() 0sin0 vµ I t

L L t

i 0 0

1

1() sin

Trong thời gian rút lõi sắt khỏi cuộn cảm thứ nhất, từ thông qua hai cuộn cảm coi khơng đổi Điều dẫn tới chỗ dịn g điện cuộn thứ hai giữ nguyên, tức * 0 I

i  ,

còn cường độ dòng điện cuộn thứ xác định từ điều kiện * 1 i k L I

L  :

0 * I L kL i 

Để xác định h.đ.t cực đại tụ ta s dụng định luật bảo toàn lượng Năng lượng từ lưu trữ hai cuộn dây sau rút lõi sắt là:

2 ) (

)

(1* 2 2* i L i

L

Wt  

2 ) ( 2 2

1 I L I

L kL k L



 (1 )

2 1 2 L kL I L  

Khi h.đ.t tụ đạt cực đại, dòng mạc h 0, tức dịng điện qua hai cuộn liên hệ với hệ thức:

0 * * * *

1 i 

i

Dùng hệ thức liên hệ dòng mà ta nhận ( L1i1L2i2 const) cho i1**

* *

i , ta được:

0 * * 2 * *

1i L i 

k L

2

m C

CU

W 

trong Um h.đ.t cực đại tụ Theo định luật bảo toàn lượng, WL = WC, hay

) (

2 1

2

0

L kL I

L



2

m

CU

Từ ta tìm được:

1 2

) (

CL kL L L I

Um  

BµI TËP

1 Trong mạch LC hình 9, khố K ngắt điện tích tụ C 1 bằng q tụ C2 (với C2 = 4C1) chưa nạp điện Hã y xác định cường độ dòng điện cực đại trong mạch sau K đóng Bỏ qua điện trở mạch.

2 Trong sơ đồ hình 10, thời điểm ban đầu khố K ngắt, tụ điện C khơng tích điện. Đóng khố K thời gian, sau lại ngắt Hã y xác định cường độ dòng điện i0 qua cuộn cảm L thời điểm ngắt khoá K, sau ngắt K cường độ dòng điện cực đại mạch LC 2i0 Coi điện trở mạch nhỏ không đáng kể, s.đ.đ ngu ồn làE.

3 MDĐ gồm cuộn cảm L hai tụ điện mắc song song có điện dung C1 C2 (H.11).

Trong mạch diễn dao động tự do, biên độ dao động điện tích tụ q0.

Bªn tơ víi ®iƯn dung C2 cã mét tÊm ®iƯn m«i víi h»ng số ện môi chiếm toàn bộ

khụng gian tụ Khi điện tích tụ đạt cực đại người ta rút nhanh điện môi khỏi tụ (trong thời gian nhỏ so với chu kỳ dao động) Tính biên độ dao động dịng in

trong mạch.

Hình

Những vấn đề nâng cao

Nguyªn lý fermat

Vào khoảng năm 1660, nhà toán học người Pháp P Fermat đưa nguyên lý quang hình học mà gọi nguyên lý Fermat Theo nguyên lý này, tất đường nối hai điểm với nhau, ánh sáng theo đường t hời gian Từ nguyên lý rút tất định luật khác quang hình học Thực vậy, mơi trường đồng tính ánh sáng cần phải truyền theo đường thẳng, đường thẳng khoảng cách ngắn hai điểm, thời gian ánh sáng truyền theo đường thẳng nhỏ Nếu ánh sáng đến mặt phân cách hai mơi trường (có chiết suất khác nhau, hay có vận tốc truyền ánh sáng khác nhau) chúng tuân theo định luật phản xạ khúc xạ ánh sáng, mà ta suy trực tiếp từ nguyên lý Fermat

Một cách phát biểu chặt chẽ hơn, nguyên lý Fermat thực tế trường hợp riêng nguyên lý tổng quát sử dụng rộng rã i vật lý lý thuyết đại, có tên nguyên lý tác dụng tối thiểu Theo nguyên lý này, ánh sáng truyền từ điểm đến điểm khác theo đường có thời gian truyền đạt cực trị, nghĩa cực tiểu, cực đại so với tất đường khác

Dưới xem xét số ví dụ cụ thể để minh hoạ cho nguyờn lý Fermat

Phản xạ ánh sáng

Vớ dụ 1.Xét phản xạ ánh sáng từ gương phẳng (H 1; D chắn không cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A tới B).

a) Chứng minh rằng: Khi thoả mãn định luật phản xạ ∠ ACD = =  =∠DCB đường truyền của ánh sáng ngắn số tất quỹ đạo khả dĩ, tức theo đường ACB.

b) Hãy rút định luật phản xạ ánh sáng từ nguyên lý cho ánh sáng phản xạ từ gương phẳng truyền theo đường ngắn nhất.

Hình Giải

a) V thờm ng ph (hình 2): phần kéo dài đường vng góc AM ta lấy đọan MA' = AM, nối A' với C E VìACM =A'CM (vì hai tam giác vng có hai cạnh góc vng nh au) nên

∠ACM =∠A'CM Tương tự, ACM = BCM', nên ∠ACM =∠BCM', suy ∠A'CM =∠BCM' Điều có nghĩa A'CB đường thẳng, tức đường ngắn Mặt khác A'C = AC AE = A'E ,

AEB ACB l

l 

b Giả sử E điểm tuỳ ý nằm đoạn MM' (hình 3) Khi chiều dài đoạn AEB cực tiểu thoả mã n định luật phản xạ, tức là∠AEK =∠BEK Thật vậy, từ hình 3, ta có:

 

 AE EB

AEB l l

l x2h2  (dx)2h2

Điều kiện có cực tiểu: Hình

0 

dx dlAEB

hay

    2 2 )

(d x h

h x dx

d

0 )

( 2

2

2 

    

 

 

BE AE l

x d l

x h x d

x d h

x x

mµ: sin

AE

l

x vµ 

sin  

BE

l x

d , suy sin = sin hay =  Đây định luật phản xạ.

Việc cực trị cực tiểu dễ dàng chứng minh cách lấy đạo hàm cấp hai

VÝ dô 2

đạo có độ dài cực trị (hình 4; chắn D chắn ánh sáng truyền trực tiếp từ A tới

B).H·y

khảo sát đặc điểm cực trị này. Hỡnh

Giải:

Từ hình ta cã:

  sin cos

2R R

l l

lAEB  AE  EB  

có nghĩa độ dài hàm số góc  Điều kiện hàm đạt cực trị là: 

d dlAEB

= hay:

2 cos2 sin2 sincos0

 R R R

d d

Từ suy ra:

sin = cos hay = 450

Điều có nghĩa điểm E ứng với quỹ đạo thực tia sáng nằm cung AEB, tức E trùng với C, đồng thời = 

Bây ta xét đặc điểm cực trị Lấy đạo hàm cấp hai độ dài lAEB theo góc lấy tại = 450 , ta được:

0

45 45

2

) sin cos (

2 



 

 



 

 R

d l

d AEB =

 cos45 sin45  2

2  0  

 R R

Dấu âm đạo hàm bậc hai chứng tỏ có cực đại, nghĩa ánh sáng chọn đường dài số quỹ đạo khả dĩ:

lACB > lAEB

VÝ dô 3

Chứng minh phản xạ mặt gương elipxoit lõm, ánh sáng tuân theo định lụât phản xạ  =  từ tiêu điểm A đến tiêu điểm B elip (hình 5; điểm C chọn tuỳ ý ; CN - vng góc với tiếp tuyến elip điểm phản xạ; D không cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A đến B) Điều kiện cực trị có trường hợp khơng?

Gi¶i:

Dựng tiếp tuyến điểm E elip Từ A hạ đường vng góc v ới tiếp tuyến lấy điểm A' đối xứng với A qua tiếp tuyến vừa dựng: LA' = LA (hình 6) Nối E với A' Dễ dàng thấy  ALE = A'LE (2 tam giác vng có cạnh góc vng nhau) Từ suy  =' A'E = AE Khi đó:

a l

lA'EB  AEB 2

víi a bán trục lớn elíp Đường gấp khúc AEB nối A B qua tiếp điểm E ®­êng ng¾n nhÊt, tøc

B AE AEB l

l  ' , đường A'EB ngắn nhất, tức đường thẳng Suy ' =  (đối đỉnh),

do' =, ta cã

 =  vµ =

hay gãc tíi b»ng góc phản xạ

Hình

Xut phỏt t tính chất elip: r1 + r2 = AE + EB = 2a = const, điều cho tất điểm elip hay:

const l

lAEB  ACB 

nghĩa trường hợp ny khụng tn ti cc tr

Khúc xạ ánh s¸ng

VÝ dơ 4

a) Chứng minh thời gian truyền ánh sáng qua mặt phân cách hai môi trường từ điểm A (nằm trong môi trường có vận tốc truyền ánh sáng v1) đến điểm B (trong mơi trường có vận tốc truyền ánh

sáng v2) cực tiểu theo quỹ đạo ACB thoả mãn định luật khúc xạ :

sin

sin = vv12 = const

Gi¶i:

Hình Hình a) Dựng đường trịn bán kính tuỳ ý (hình 8), đường kính MN phân chia hai mơi trường: phía mơi trường chiết quang hơn, phía môi trường chiết quan g (v1 > v2) Đánh dấu hai điểm A B, sau kẻ hai đường gấp khúc ACB AC’B Đường ACB qua tâm C với góc tới góc khúc xạ là và thoả mã n định luật khúc xạ:

sin

sin =

v1

v2 = const

Ta cần chứng minh thời gian ánh sáng truyền theo đường ACB nhỏ theo đường AC’B Chúng xin dành chứng minh cho bạn đọc

b) Giả sử C điểm di động dọc theo mặt phẳng phân cách hai môi trường, thời gian ánh sáng từ A đến B qua C thay đổi ( hìn h 9) Từ hình vẽ ta có:

H×nh

2 v

CB v

AC t

t

tACB  AC  CB   =

1 2

v h x 

+

2 2 ) (

v h x

d 

Từ điều kiện cần để có cực trị: dx = 0, ta đượcdt

0 h x) (d v

x d h

x v

x

2 2

2

  

 



hay

2 1 v l

x d l v

x  

Mµ xl

1 = sin vµ d - x

l2 = sin, suy

 



A

B (v1)

(v2)

sin

sin = vv12 (®.p.c.m.)

Lấy đạo hàm cấp hai, ta dễ dàng thấy đạo hàm dương, tức cực trị trường hợp cực tiểu

VÝ Dô 5

Giả sử B ảnh thực điểm A chùm sáng khúc xạ bề mặt bán cầu KCL (hình 10) Chứng minh thời gian ánh sáng truyền hai điểm A B cố định theo hai đường ACB AC’B như nhau Xem các và nhỏ.

Giải:

Hình 10 Hình 11

Ký hiệuCAC' =,CBC' =, AC' = s vµ C'B = s' (H.11) Ta cã:

2 B AC'

v s' v

s v

B C' v AC'

t    

vµ

  cos

cos

1

ACB v

B C' v

AC' v

CB v AC

t    

 

 

 v2(1 δ 2/2)

s' /2)

2

γ

(1 v

s

)

2

δ

(1 v

s' )

2

γ

(1  

1 v

s

ở ta dùng công thức gần cos 1sin2 12/2, ta xét tia

gần trục, nghĩa góc,,, nhỏ Nếu bỏ qua số hạng bậc giữ lại số hạng bậc nhất, ta được:

tACB =

1 v

s + v

s' = t

VÝ Dô 6

Chứng minh thời gian ánh sáng truyền qua mặt bán cầu KCL ngăn cách hai mơi trường (hình 12) từ điểm A đến điểm B nằm sau ảnh thực F điểm A cực đại ánh sáng truyền theo đường ACB thoả mãn định luật khúc xạ sinsin = v1

v2 = const

Hình 12

GIảI:

Trong mơi trường đồng tính ánh sáng truyền theo đường thẳng, quỹ đạo gồm đoạn thẳng Bên cạnh quỹ đạo thực ACFB, ta dựng quỹ đạo A C'B lân cận (hình 13) Cả hai quỹ đạo xuất phát từ A kết thúc B Ta phải chứng minh thời gian truyền ánh sáng dọc theo quỹ đạo thực

lín nhÊt, tøc

B AC ACB t

t  '

Dựng cung trịn nhỏ, tâm F, bán kính FB, cắt đường AOF B’(H.13) Dựng cung tròn lớn tâm C’ bán kính C’B’, cắt C’B đường kéo dài D (nằm điểm B) Vì F ảnh thật A nên tACF = tAC’F (xem Ví dụ 5) Mặt khác,

do FB = FB’ mơi trường đồng tính nên tFB = tFB’ Hơn nữa, C’D = C’B’ mơi trường đồng tính nên ta có tAC’D = tAC’B’ Cuối cùng, B nằm phía D nên tAC'B < tAC'D Suy ra:

' ACB ACB t

t 

Vế trái bất đẳng thức thời gian quỹ đạo Bây ta chứng minh vế phải thời gian ánh sáng truyền theo quỹ đạo thực Thật

ACB ACFB FB ACF FB F AC B

AC t t t t t t

t ' '  '  '    

Do đó:

ACB B AC t

t '  (®.p.c.m.)

H×nh 13

Tóm lại, thấy khúc xạ phản xạ ánh sáng, điều quan trọng tính dừng (tức đạo hàm bậc khơng) Thời gian truyền cực tiểu (nếu điểm B gần ảnh thực F A), cực đại (nếu điểm B xa điểm F hơn) , không cực tiểu mà không cực đại (B trùng với F)

Văn Huyên (sưu tầm giới thiệu) Chuyên đề/Trao đổi

Nhiệt động lực học chu trình

Trong báo khảo sát chu trình thực lượng khí lý tưởng (chất cơng tác) Đồng thời, chuyển từ trạng thái cân sang trạng thái cân khác, khối khí thực trình chuẩn tĩnh, cuối trở trạng thái ban đầu

Cơ cấu diễn chu trình biểu diễn giản đồ pVtheo chiều kim đồng hồ gọi máy nhiệt Vì thay đổi nội chu trình (vì nội hàm trạng thái), nên tổng đại số nhiệt lượng cung cấp cho chất công tác công mà chất công tác thực chu trình Nếu ký hiệu Q1 nhiệt lượng tổng cộng cung cấp cho chất công tác Q2là nhiệt lượng tổng cộng toả ra, ta thấy công thực chất công tác bằng:

2 Q

Q

A 

Hiệu sinh công máy nhiệt đặc trưng hiệu suất:

1

2 1

1

Q Q Q

Q Q Q

A    



Vì trường hợp máy nhiệtQ1 >Q2nên <

Nếu chu trình diễn theo chiều ngược lại, tức trường hợp máy làm lạnh dịng nhiệt đổi chiều: chỗ trước toả nhiệt lại nhận nhiệt ngược lại Do đó, trường hợp này, chất công tác không sinh công hiệu nhiệt lượng nhận vào nhiệt lượng toả ra, mà nhận cơng từ vật bên ngồi, cịn nhiệt lấy từ vật bên ngồi có nhiệt độ nhỏ (nguồn lạnh) truyền cho vật bên ngồi khác có nhiệt độ cao (nguồn nóng)

B©y giê chóng ta h· y xÐt mét sè vÝ dơ thĨ

Ví dụ 1. Trên giản đồ pV khối lượng khí lý tưởng đó, gồm hai trình đẳng nhiệt cắt hai trình đẳng áp điểm 1, 2, 3, (xem hình vẽ) Hãy xác định tỷ số nhiệt độ T3/T1 chất khí trạng thái , biết tỷ số thể tích V3/V1 =

 Cho thể tích khí trạng thái b»ng nhau.

Giải: Xét hai đoạn đẳng áp với phương trình có dạng T/V = const Nghĩa ta có:

2 1

V T V T

 vµ

4 3

V T V T

 (1)

Nhưng T2 = T3; T1= T4 (do trình 2-3 4-1 đẳng nhiệt) V2 =V4 (theo giả thiết), ta có:

2 4 3

V T V T V

T   (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

1

V V T T

 vµ

2 3

V V T T



Nhân hai phương trình với nhau, ta được:



       

1

1

V V T

Từ suy ra:  

1

T T

Ví dụ 2. Trên hình vẽ cho chu trình thực n mol khí lý tưởng, gồm trình đẳng áp hai trình có áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V Trong q trình đẳng áp 1-2, khí thực cơng A nhiệt độ tăng lần Nhiệt độ 1 và Các điểm nằm đường thẳng qua gốc toạ độ Hãy xác định nhiệt độ khí điểm cơng mà khối khí thực hin

trong chu trình trên .

Gii: Cụng khí thực q trình đẳng áp -2 bằng: )

( 2 1 V V p

A 

V×

1 1V nRT

p p2V2 nRT2 4nRT1 nên

1 3nRT

A

Suy ra:

nR A T

3

Công mà khí thực chu trình tìm cách tính diện tích tam giác 123 bằng:

) )(

(

1

1 p V V

p

Act   

Từ phương trình trạng thái ta tìm được:

1

1

3 p

A p

nRT

V   vµ

1

1

3 4

p A p

nRT

V  

Do : 

  

 

 

1

2 p

p A Act

Vì điểm nằm đường thẳng qua gốc toạ độ nên:

2 3

V V p p



Mặt khác, từ phương trình trạng thái ta có:

3

1

3 p

A p

nRT

V   vµ

1

3

Từ suy ra:

3 1

4 p

p p p

 hay

2 1 

p p

Vậy công mà khối khí thực chu trình là:

4

A Act 

Ví dụ 3.Một mol khí hêli thực chu trình hình vẽ gồm trình: đoạn nhiệt 1-2, đẳng áp 2-3 đẳng tích 3-1 Trong trình đoạn nhiệt hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu khí làT Biết q trình đẳng áp, khí toả nhiệt lượng bằng Q Hãy xác định cơng A khối khí thực chu trình trên.

Gi¶i:

Trong trình đoạn nhiệt 1-2, T1 nhiệt độ cực đại, T2 nhiệt độ cực tiểu, viết:

T T T1 2 

Trong trình đẳng áp 2-3, áp dụng nguyên lý I nhiệt động lực học, ta có: )

( )

(T3 T2 p2 V3 V2 C

Q V   

 (1)

với CV= 3R/2 Từ (1) phương trình trạng th trạng thái 3, ta có:

R Q R C

Q T

T

V

2

2   

Trên đoạn đẳng tích 3-1, khí khơng thực cơng, cịn độ tăng nội khí nhiệt lượng mà khí nhận được:

   

 2 

3 1

3 C (T T ) C T T T T

Q  V   V   

) (

R Q T CV  



VËy c«ng mà khối khí thực sau chu trình là:

Q T R Q Q A

5 2

3

3    

Ví dụ 4.Một khối khí hêli xilanh có pittơng di chuyển Người ta đốt nóng khối khí điều kiện áp suất khơng đổi, đưa khí từ trạng thái tới trạng thái 2. Cơng mà khí thực q trình A1-2 Sau đó, khí bị nén theo q trình 2-3, trong áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V Đồng thời khối khí nhận công A2-3(A2-3 > 0) Cuối nén đoạn nhiệt trạng thái ban đầu Hãy xác định cơng A31 mà khí thực q trình này.

Gi¶i:

Trong q trình đẳng áp 1-2, cơng khối khí thực là: )

( )

( 2 1 2 1

1

1 p V V nRT T

A  (1)

Trong trình 2-3, công chất khí nhận vào có trị số bằng:

2 ) ( 3 2 2 3 V p V p V p V p V V p p

A       

Vì giản đồ pV hai điểm nằm đường thẳng qua gốc toạ độ, nên ta có:

3 V V p

p  hay

0 2

3V p V 

p Do đó: ) ( 3 2 T T nR V p V p

A     (2)

Trong trình đoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội khối khí cơng mà khối khí nhận được: ) ( 3 1

3 nR T T

A   (3)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

nR A A T

T

3

2    



Thay biĨu thøc trªn vào (3), ta được: ) ( ) ( 3 1

3  nRT T  A A

A

Gi¶i:

Trong đề cho hiệu suất chu trình, nên trước hết ta phải tìm hiểu xem trình nhận nhiệt trình toả nhiệt Trong trình đẳng nhiệt -2, khí thực cơng A (thể tích tăng), nội khơng đổi, nên q trình toả nhiệt lượng mà ta ký hiệu Q1 (Q1=A) Trong q trình đẳng tích 2-3, thể tích không đổi, áp suất giảm Điều xảy nhiệt độ khí giảm trường hợp khí toả nhiệt lượng Q2 Trong q trình đoạn nhiệt 3-1, khí khơng nhận khơng toả nhiệt thể tích giảm nên khí nhận cơng nhiệt độ tăng Do đó, khí có nhiệt độ nhỏ Tmim, cịn nhiệt độ lớn Tmax khối khí đạt trình đẳng nhiệt -2 Do đó:

T T

Tmax  min 

Theo định nghĩa, hiệu suất chu trình bằng:

1

2

1 1

Q Q Q

Q

Q   





Mà nói Q1 = A Mặt khác, trình 2-3, nhiệt lượng toả độ tăng nội năng:

T nR T

T nR

Q    

2 (

2

min) max

Thay Q1 Q2 vào công thức tính hiệu suất, ta ®­ỵc:

A T nR

2

1 





Suy ra: ) (



   nR T

A

Gi¶i:

Xét chu trình 1-2-4-1 Trong q trình 1-2, khí nhận nhiệt lượng mà ta ký hiệu Q1 Trong trinh 2-4, khí toả nhiệt lượng Q2 Trong q trình đẳng tích 4-1, khí nhận nhiệt lượng Q3 Cơng khí thực chu trình A1 Theo định nghĩa hiệu suất:

3

1

Q Q

A

Mặt khác,

3

2 1

Q Q

Q

  

 , suy ra:

) )(

1

( 1 1 3

2 Q Q

Q   

Xét chu trình 2-3-4-2, trình 2-3 3-4, khí toả nhiệt Khí nhận nhiệt trình 4-2 lượng nhiệt nhận vào hiển nhiên Q2 Vậy hiệu suất chu trình bằng:

2 2

Q A





trong A2 cơng khí thực chu trình Dùng biểu thức Q2 nhận ta viết:

) )(

1

( 1 1 3

2

Q Q A

 



 

HiƯu st cđa chu tr×nh 1-2-3-4-1 b»ng:

3

2

Q Q

A A

  

Rút A1 A2 từ biểu thức 1và2, thay vào biểu thức trên, ta được:

2

3   

   

Bµi tËp

3 nằm đường thẳng qua gốc toạ độ Hã y xác định nhiệt độ khí trạng thái cơng mà khí thực chu trình

§S: A Q

nR Q T

3 ,

2

1  

2 Một khối khí hêli xilanh pittông di chuyển Người ta nén khí theo q trình đoạn nhiệt đưa từ trạng thái tới trạng thái (xem hình vẽ) Trong q trình đó, khối khí nhận cơng A12 (A12> 0) Sau khí giã n đẳng nhiệt từ tới Và cuối cùng, khí nén từ theo q trình áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V Hã y xác định cơng A23 mà khí thực trình giã n nở đẳng nhiệt 2-3, chu trình 1-2-3-1 khí thực cơng A

§S: 23 12

3

A A

A  

Quang Nhµn (sưu tầm giới thiệu)

chuyờn -trao i

Hiện tượng tự cảm mạch điện

LI



 (1)

Hệ số tỷ lệL gọi độ tự cảm hệ số tự cảm mạch Độ tự cảm phụ thuộc vào kích thước, hình dạng mạch vào độ từ thẩm môi trường xung quanh

Độ tự cảm vật dẫn nối mạch điện thường nhỏ (người ta gọi độ tự cảm ký sinh) Các phần tử đặc biệt với độ từ cảm lớn gọi cuộn cảm có lõi Về nguyên tắc cuộn cảm số lớn vòng dây dẫn cách ly xung quanh lõi hình t rụ hay hình xuyến

Độ tự cảmL cuộn cảm có dịng điện I chạy qua liên hệ với lượng WM từ

trường dịng theo cơng thức sau

2

2 LI

WM  (2)

Tương đương với tượng học ta xem lượng từ trường động dòng điện xét, nghĩa

2

2 mv

WK  , (3)

trong đóm khối lượng vàv tốc độ vật Từ tương đương (2) (3) ta thấy độ từ cảm L đóng vai trị khối lượng (qn tính), cịn cường độ dịng I đóng vai trị vận tốc Như vậy, hiểu độ tự cảm xác định qn tính dịng điện

Bây ta xét số tốn cụ thể có liên quan đến độ tự cảm

Bài toán 1.Trong sơ đồ điện mà tham số trình bầy Hình 1, thời điểm ban đầu khóa K1và K2 để mở Sau đóng khố thứ (K1), hiệu điện (h.đ.t.) trên

tụ điện đạt giá trị U0 E/2 đóng khố thứ hai (K2) Hãy xác định h.đ.t cuộn cảm sau khi

đóng khố thứ h.đ.t tụ điện chế độ thiết lập Bỏ qua điện trở nguồn

H×nh

Gi¶i:

Trước hết ta xét xem điều xảy phần bên trái sơ đồ sau đóng khố K1? Ngay sau đóng khố thứ nhất,h.đ.t.trên tụ điện cịn khơng, mạch có dịng điện

1

0 / R

I E ,

kết rút từ định luật Ohm mạch kín Sau h.đ.t.trên tụ điện tăng dòng điện mạch giảm Tại thời điểm h.đ.t.trên tụ điện đạt giá trị U0điện áp điện trở R1

b»ng

2

0

E E 

 U

U

(đầu làdương, đầu làâm) Tại thời điểm ta đóng khố thứ Khi xuất mạch kín có chứa cuộn cảmL Ngay sau đóng khố thứ 2, dịng điện q ua điện trở R2, cuộn cảm nguồn (phía

phải sơ đồ) khơng, cịn điện áp điện trở R1giữ khơng đổi Việc khơng có dịng điện

tạo vịng dây s.đ.đ cảm ứng mà theo định luật Lenz hướng ngược với dòng điện khống chế tăng dần Theo định luật Ohm, phần bên phải sơ đồ, ta có phương trình:

1 U UL 



E

Từ tìm đượch.đ.t.trên cuộn cảm sau đóng khố thứ hai:

E E

2

1



 U

UL

Đối với chế độ thiết lập phần bên phải sơ đồ có dịng điện khơng đổi (hướng theo chiều kim đồng hồ)

2

1 R

R I

E ,

và điện trë R1sÏ thiÕt lËp hiƯu ®iƯn thÕ

2

1

1

R R

R IR

U tl

 

 E

(đầu làdương, đầu làâm) Theo định luật Ohm, mạch bên trái ta viết

tl c U

U  1



E

Do ta nhận đượch.đ.t.thiết lập tụ điện

 

2

2 1

2

R R

R R U

Uc tl

   

E E

Bài toán 2. Trong sơ đồ biểu diễn Hình 2, cuộn cảm L1 và L2 nối với qua

một điôt lý tưởng D Tại thời điểm ban đầu k hố K mở, cịn tụ điện với điện dung C tích điện đến h.đ.t. U0 Sau đóng khố thời gian, h.đ.t tụ điện trở nên khơng Hãy tìm dịng điện

chạy qua cuộn cảm L1 thời điểm Sau tụ điện đ ược tích điện lại đến h.đ.t cực đại đó. Xác định h.đ.t cực đại đó.

H×nh

Gi¶i:

Sau đóng khố K ta có mạch dao động bao gồm tụ điện với điện dung C cuộn cảm

với độ tự cảm L1 Tụ điện bắt đầu tích điện, h.đ.t. trở nên khơng lượng ban

đầu tụ điện chuyển hoàn toàn sang lượ ng từ trường cuộn cảm Nếu thời điểm dòng điện chạy qua cuộn cảm IL ta viết

2

2

0 L IL

CU

Từ ta nhận dòng điện phải tìm

1

L C U

Đó dịng điện cực đại chạy qua cuộn cảm L1, sau bắt đầu giảm, phần tích

điện cho tụ, phần chạy qua cuộn cảm L2 Giả sử thời điểm dịng điện I1 chạy qua

cuộn cảm ứng thứ dòng điện I2 chạy qua cuộn cảm ứng thứ hai Khi theo định luật Ohm

đối với mạch chứa hai cuộn cảm ta viết:

2

1  

dt dI L dt dI L

Nghiệm phương trình có dạng

A I L I

L1 1 2 2 

với A số Ta tìm A từ điều kiện ban đầu Tại thời điểm dòng điện chạ y qua cuộn cảm L1 đạt giá trị cực đại U0 C/ L1 , dịng điện qua cuộn L2 khơng,

đó

C L U

A 0 1

Khi nghiệm có dạng

C L I

L I

L1 1 2 2 U0 1

Khih.đ.t. tụ điện đạt giá trị cực đại, dòng qua tụ điện khơng, cịn dịng chung qua hai cuộn cảm ta ký hiệu I12 Sử dụng mối liên hệ ta viết

L1L2I12 U0 L1C,

khi 1 12 L L C L U I  

Giả sửh.đ.t. cực đại tụ điện Um Vì mạch khơng có mát lượng toả nhiệt

nên thời điểm ta sử dụng định luật bảo toàn lượng Năng lượng toàn phần mạch điện CU02/2 Tại thời điểm tụ điện tích điện lại h.đ.t. đạt giá trị cực đại, phần

năng lượng tập trung tụ điện bằng:

2

2

m c CU

W ,

phần lại tập trung cuộn cảm:

2 12 2 L L CU L I L L WL    

Theo định luât bảo toàn lượng ta có

2 2 2 2 L L CU L CU CU m   

Từ ta nhận

2 L L L U Um  

Bài tốn 3. Khi khố K đóng (Hình 3) tụ điện với điện dung C20F tích điện đến h.đ.t. V

U0 12 , s.đ.đ nguồn (ăcqui) E5V, độ tự cảm cuộn dây L2H, D điôt lý

H×nh

Gi¶i:

Do mạch có cuộn cảm nên sau đ óng khố K dịng điện khơng, sau dịng điện tăng dần, thời điểm đó, đạt cực đại Khi dòng điện mạch cực đại s.đ.đ cảm ứng cuộn cảm không, theo định luật Ohm mạch kín h.đ.t tụ điện trường hợp phải s.đ.đ nguồn Ta ký hiệu h.đ.t U1(U1E)và tìm giá

trị dòng điện cực đại Để làm điều ta sử dụng định luật bảo tồn lượng Trong thời gian thiết lập dòng điện cực đại, điện lượng chạy qua mạch bằng:

 0 1

1

0 CU CU U

CU

q    



Để dịch chuyển điện lượng ngược với s.đ.đ nguồn, phải thực công:

U0 U1 C

q

A E E 

Sự có mặt dòng điện cực đại Imtrong cuộn cảm dẫn đến xuất lượng từ trường

2

m L LI

W 

Hiệu lượng tụ điện trạng thái đầu trạng thái cuối tổng công thự c lượng cuộn cảm:

 

1

1

0

2

1

1

m L C U U LI

W A CU

CU     E  

Từ ta tìm

A

L C U

Im  0E 0,022

Bây ta trả lời câu hỏi giá trị h.đ.t thiết lập trê n tụ điện Sau đạt giá trị cực đại, dòng điện mạch giảm cuối khơng Do dịng điện khơng thể chạy theo chiều ngược lại (do điôt cản trở) nên trạng thái dừng thiết lập: Dịng điện khơng, cịn tụ điện h.đ.t có giá trị khơng đổi ký hiệu UK Ta tìm h.đ.t theo định luật bảo

toàn lượng Trong suốt thời gian từ lúc đóng khố K đến lúc thiết lập trạng thái dừng, biến đổi lượng tụ điện dùng để m dịch chuyển toàn điện lượng chạy ngược với s.đ.đ nguồn điện:

 K

K C U U

CU

CU02   0

2

1

E

Sau số biến đổi đơn giản, phương trình có dạng

U0UKU02EUK0

Phương trình có hai nghiệm Nghiệm thứ nhất: UK U0 ứng với trạng thái ban đầu sau

đóng khố K Nghiệm thứ hai bằng:

V U

UK 2E 0 2 ,

Bài toán 4. Mắc nối tiếp tụ điện (điện dung C) chưa tích điện với nguồn điện (s.đ.đ. E) một cuộn cảm (độ tự cảm L) Trong mạch xuất d ao động dòng Tại thời điểm dòng trở nên bằng không, ta ngắt tụ điện khỏi sơ đồ lại nối vào với đầu vào đầu đảo ngược lại Hỏi dòng điện cực đại chạy mạch sau việc làm ? Bỏ qua điện trở nguồn

Hình

Giải:

Ngay sau nối tụ điện lần thứ vào mạch dòng điện mạch khơng Sau dịng điện tăng, đạt giá trị cực đại, sau bắt đầu giảm qua khoảng thời gian   LC (bán chu

kỳ dao động dòng) lại trở nên khơng Giả sử thời điểm h.đ.t tụ điện Ux Do

khơng có mát lượng mạch, ta s dụng định luật bảo toàn lượng thời điểm ban đầu thời điểm dòng điện mạch lại trở nên không Trong thời gian 

điện lượng chạy qua nguồn qCUx, nguồn thực công:

E

E x

x

x q CU

A  

Tồn cơng dùng làm tăng lượng tụ điện:

2

2

x x

CU

CU E

Phương trình có hai nghiệm:

E

2 ;

0 2

1x  U x 

U

Nghiệm thứ ứng với trạng thái ban đầu trạng thái thời điểm bội số nguyên lần chu kỳT 2 LC Nghiệm thø hai x¶y sau mét thêi gian b»ng nưa chu kỳ c ộng với số nguyên lần

chu kú

Ta hã y xét trường hợp thứ Tại trạng thái ban đầu dòng điện mạch khơng, tụ điện khơng tích điện Sự đổi cực tụ điện trường hợp không đóng vai trị Khi dịng điện mạch đạt giá trị cực đại, s.đ.đ cảm ứng không, h.đ.t tụ điện rõ ràng s.đ.đ E

của nguồn Ta ký hiệu dòng điện mạch thời điểm Im1 Theo định luật bảo tồn

lượng, cơng nguồn thực thời gian thiết lập dòng cực đại tổng lượng tụ điện lượng chứa cuộn cảm:

2

2

2

1

m

LI C

CE E

Từ ta nhận

L C Im1E

Bây ta xét trường hợp thứ hai Tại trạng thái ban đầu sau mắc lại tụ điện dòng điện mạch khơng, cịn h.đ.t tụ điện 2E, bên trái có dấu âm, cịn bên p hải

định luật Ohm mạch kín h.đ.t tụ điện s.đ.đ E nguồn, trái tụ điện “dương”, phải “âm” Như vậy, độ biến thiên điện tích tụ điện

U U  CE E  CE

C

q K  H  (2 ) 3



Năng lượng ban đầu hệ

2

2 2

2

E

C CU

WH  H  ,

còn lượng cuối

2 2

2 2

2

1

1

1

m m

K

K CU LI C LI

W    E  ,

trong Im2 dòng điện cực đại mạch Theo định luật bảo tồn lượng, cơng nguồn để

dịch chuyển điện tích q ứng với biến đổi lượng hệ

H K W

W

q  

 E ,

hay lµ

2

2

2 2

2

1

3CE  CE LIm CE

Từ ta nhận ®­ỵc

L C Im2 3E

Bài tốn 5. Trong mạch dao động mơ tả Hình xuất dao động tự khoá K đóng Tại thời điểm h.đ.t tụ điện với điện dung C1 đạt giá trị cực đại U0, ta mở khoá K Hãy xác

định giá trị dòng điện mạch, h.đ.t tụ điện với điện dung C1 khơng với điều

kiƯn C2 C1.

Hình

Giải:

Khi h.đ.t tụ điện với điện dung C1 đạt giá trị cực đại, dòng điện mạch khơng,

và ta ngắt mạch mà khơng có vấn đề Ngay sau mở khố K điện tích bên phải tụ điện với điện dung C1 q1C1U0, điện tích trái tụ điện với điện

dung C2 khơng Nhưng tổng điện tích hai tụ điện giữ không đổi C1U0

Tại thời điểm h.đ.t tụ điện thứ không, toàn điện tích q1 tËp trung ë tơ ®iƯn thø

hai Ta ký hiệu dòng điện mạch thời điểm IK Theo định luật bảo tồn lượng

năng lượng ban đầu chứa tụ điện với đ iện dung C1 tổng lượng tụ điện với điện

dung C2 lượng chứa cuộn cảm với dòng IK :

2

2

1

2 2

1 K

LI C q U

C   ,

2

1

1 2

0 2

0

1 K

LI U C C U

C  

Từ ta nhận

L C

C C C U IK

2





Bài tốn 6. Trong sơ đồ Hình thời điểm ban đầu khoá K mở Cuộn cảm với độ tự cảm L có điện trở r Hãy xác định điện lượng chạy qua dây nối AB sau khố K đóng ? Bỏ qua điện trở trong nguồn điện trở đoạn dây nối Các tham số mạch điện hình vẽ

H×nh H×nh

Gi¶i:

Giả sử thời điểm dòng điện chạy qua phần mạch biểu diễn Hình Tại thời điểm có dịng điện IR chạy qua điện trở R Điều rút từ

định luật Ohm mạch ABDC Dòng chạy qua dây nối AB In, dòng chạy qua cuộn cảm IL,

còn dòng chạy qua điện trở r Ir Đối với điểm nút A B ta viết định luật bảo tồn điện

tÝch:

R L n I I

I  

vµ

n R r I I

I  

Đối với mạch ABNM ta viết định luật Ohm

 r L

L r I I

dt dI

L   ,

hoặc sử dụng biểu thức dòng điện, ta có n

L rI

dt dI

L 2

Ta viết lại phương trình dạng

rdq dt

rI

LdIL n

và lấy tích phân

  n

L

I

L Q

dI r L dq

0

0

Ngay sau đóng khố dịng điện qua cuộn cảm khơng Vì giới hạn tích phân vế phải phương trình khơng Bây ta tìm giới hạn

n

L

I , nghĩa dịng điện

thiÕt lËp qua cn c¶m Râ rµng nã b»ng

r R I

n

L  E

Sau lấy tích phân ta nhận tổng điện lượng chạy qua dây nối AB:

) (

2 r R r

L r

LI

Q Ln

 

 E

Bài toán 7. Để trì dao động khơng tắt dần mạch với độ tắt dần nhỏ (Hình 8) người ta tăng nhanh độ tự cảm cuộn dây (so với c hu kỳ dao động mạch) đại lượng nhỏ

)

( L L

L  

 lần dòng mạch không, sau thời gian phần tư chu kỳ dao động người ta lại chuyển nhanh trạng thái ban đầu Hãy xác định L, nếu L0,15H,

F

C 1,5.107 , R20.

Hình

Giải:

Nu s biến đổi độ tự cảm cuộn cảm xuất thời gian ngắ n (so với chu kỳ dao động dịng điện mạch), từ thơng  qua cuộn cảm bảo toàn Sự tăng độ tự cảm dịng điện khơng mạch khơng dẫn đến thay đổi dịng điện dịng giữ không Năng lượng mạch bảo tồn Sau 1/4 chu kỳ dịng điện mạch đạt giá trị cực đại Ta ký hiệu đại lượng Im Ta biểu diễn lượng từ trường cuộn cảm qua từ thông

) ( LI

 :

L WL

2

2 1



Do const nên với biến đổi nhỏ độ tự cảm ta viết biến đổi lượng cuộn cảm

dưới dạng

2

2

2

2 I L

L L

WL     m



Như vậy, rõ ràng việc giảm độ tự cảm dẫn đến tăng lượng từ trường Sự nhảy bậc lượng mạch xẩy theo khoảng thời gian nửa chu kỳ dao động, nghĩa

LC T





2

Giữa hai lần nhảy liên tiếp lượng mạch dao động giảm nhiệt điện trở Ta viết mát sau thời gian T/2 dạng:

LC R I

WR m2 

2 

Để trì dao động khơng tắt dần cần phải cho lượng đưa vào mạch phải lớn mát toả nhiệt đó:

R L W

W 

 ,

hay

2

2

2 L I R LC

Im m 

Từ ta nhận ®­ỵc

H LC

R

L 9,4.103

 

Bµi tËp

1 Trong mạch điện, với tham số biểu diễn Hình 9, thời điểm ban đầu khố K1 K2đều mở Trước hết ta đóng khố K1 Khi dòng điện qua cuộn cảm ứng đạt giá trị I0, ta đóng khố K2 Hã y xác định h.đ.t cuộn cảm sau đóng khố K2và h.đ.t tụ điện chế độ thiết lập Bỏ qua điện trở nguồn

H×nh

2 Trong sơ đồ biểu diễn Hình 10 cuộn cảm làm chất siêu dẫn với độ tự cảm L1và L2được mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C Tại thời điểm ban đầu khố K1và K2 mở, cịn tụ điện tích điện đến h.đ.t U0 Trước hết ta đóng khố K1, cịn sau h.đ.t tụ điện khơng ta đóng tiếp khố K2 Một khoảng thời gian sau đóng khố K2tụ điện tích điện lại đến giá trị cực đại Um Hã y tìm dịng điện qua cuộn cảm ứng trước đóng khố K2và h.đ.t Um

H×nh 10

3 Trong sơ đồ (Hình 11) khố K mở h.đ.t tụ điện với điện dung C 5E, E

H×nh 11

4 Khi khố K mở mạch (Hình 12) xuất dao động khơng tắ t dần Tại thời điểm dòng điện mạch cực đại I0, ta đóng khố K Hã y xác định h.đ.t cực đại tụ điện sau đóng khố Các tham số sơ đồ cho Hình 12

H×nh 12

Nguyễn Văn Hùng (sưu tầm giới thiệu)

Chuyờn đề

Một số toán nước Các toán liên quan nước chủ yếu gặp hai loại

Trong loại thứ nhất, với chất khí khác, nước tham gia vào trình khí khác nhau, q trình chất khí xem khí lý tưởng Phương trình trạng thái khí lý tưởng, kể hỗn hợp khí, viết dạng p = nkT, p áp suất, T nhiệt độ tuyệt đối, k số Boltzmann, n mật độ hạt (số nguyên tử hay phân tử đơn vị thể tích) Trong phương trình khơng có mặt tính chất riêng khí khối lượng n guyên tử hay phân tử, kích thước chúng v.v áp suất riêng phần nước ph hỗn hợp khí xác định cơng thức ph = nhkT, nh mật độ phân tử nước

3

1 p

Tuy nhiên nước cịn có đặc tính riêng, khơng giống v ới khí khác Đặc tính thể rõ rệt ta khảo sát trình biến đổi đẳng nhiệt lượng nước nhiệt độ T giảm thể tích mật độ tăng lên, đến mật độ

bh

n xác định (ứng với trạng thái ởtrên giản đồ) tiếp tục giảm thể tích mật độ khí

khơng tăng lên áp suất khơng tăng Đó trạng thái bã o hoà nước Tương tác phần tử nước trạng thái lớn đến mức mà giảm thể tích khối nước dẫn đến phân tử kết lại với nhau, nước bắt đầu chuyển sang trạng thái lỏng hay nói cách khác bắt đầu trình ngưng tụ Quá trình ngưng tụ xảy nhiệt độ khơng đổi mà có nghĩa với áp suất không đổi - áp suất bã o hoà Chúng ta nhận thấy giảm thể tích từ V2 đếnV3 (xem giản đồ) lượng nước mnngưng tụ thành nước thoả mã n phương trình sau:

0

2 )

( RT

M m V V

p n

b   ,

ở M khối lượng mol nước Phương trình sử dụng trong số toán

Chúng ta cần nhớ áp suất bã o hoà phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Thí dụ ở00C (T = 273K) áp suất 4mmHg, ở 200C (293K) lớn gấp lần tức bằng

20mmHg, cịn ở1000C (373K) đạt đến 760mmHg (1at) Như nhiệt độ thay đổi

từ 273K đến 373K áp suất bã o hoà tăng 190 lần Trong toán đây, giá trị áp suất bã o hoà 373K (1000C) 1at hay 760mmHg coi biết.

Loại toán thứ hai liên quan đến tham gia nước cá c trình toả nhiệt thu nhiệt Khi chưa bã o hoà nước tham gia vào trình khí lý tưởng ngun tử Khi nội x mol nước U x.3kT, nhiệt dung

phân tử đẳng tích Cv = 3R Cịn nước trở nên bã o hồ xảy quá trình ngưng tụ hay trình nước bay tốn phức tạp Đặc biệt nhiệt lượng cần cung cấp để làm nước hoá hay nhiệt lượng toả nước ngưng tụ phụ thuộc vào điều kiện xảy trình n ày

Theo nguyên lý thứ nhiệt động lực học, nhiệt hoá riêng r UA, đây

U độ biến thiên nội hệ nước - nước, A công nước chống lại các ngoại lực Thường trình toả nhiệt ngưng tụ hay thu nh iệt hố nhiệt độ áp suất giữ không đổi (các bảng số liệu nhiệt hoá cho điều kiện thế) Độ biến thiên nội chủ yếu liên quan đến thay đổi tương tác phân tử vật chất trạng thái lỏng k hí Cơng A tính nhờ phương trình trạng thái Thí dụ để làm bay m = 1g nước nhiệt độ T = 373K áp suất bã o hoà pbh = 105Pa cần cung cấp nhiệt lượng r = 2260J/g Công nước chống lại ngoại lực, để trì áp suất khơng đổi, A pbh(VCV0), V0 thể tích ban đầu mà 1g nước nhiệt độ 1000C chiếm (tức 1cm3), V

c lµ thĨ tÝch

cuối mà thể tích 1g nước 1000C chiếm Dựa vào phương trình trạng thái ta thấy khối lượng riêng nước nhiệt độ phòng (khoảng 300K) nhỏ hàng ngàn lần khối lượng riêng nước (1g/cm3), vậy:

170J

RT M

m V p

Như phần đóng góp cơng chống lại áp suất bên ngồi vào nhiệt lượng hố khơng đáng kể (8%) Tuy nhiên có tốn phải tín h đến cơng

Dưới số ví dụ hai loại toán

Bài toán 1 Về mùa hè, trước có giơng, khối lượng riêng khơng khí ẩm (khối lượng nước khơng khí 1cm3) bằng  = 1140g/m3, áp suất

p=100kPa nhiệt độ t = 300C Hãy tìm tỉ số áp suất riêng phần nước trong

khơng khí áp suất riêng phần khơng khí khơ Cho khối lượng mol khơng khí là Mk = 29g/mol nước 18 g/mol Hằng số khí lý tưởng R=8,31J/(mol.K).

Giải :áp suất khơng khí ẩm tổng áp suất riêng phần khơng khí khơ nước:

h k p

p

p  (1)

Khối lượng riêng khơng khí ẩm bằng

h k 



  , (2)

ở klà khối lượng riêng khơng khí khơ, h khối lượng riêng nước

Theo phương trình trạng thái:

RT M p h h h 

 (3) vµ RT M p k k k   (4)

Thay (3) (4) vào (1) (2) giải :

h k h k k k M M RT M pM M     /( )  , h k h k h h M M M RT M pM      /( )

Từ phương trình trạng thái (3) (4) tìm được:

k h h k k h M M p p    37 1 ) /( ) /(       RT pM RT pM h k

Nếu dùng bảng tra cứu thấy nước điều kiện toán trạng thái gần bã o hồ

Bài tốn 2 Trong buồng tắm hơi, nhiệt đ ộ t1 = 1000C độ ẩm tương đối khơng

khí a1 = 50% Sau nhiệt độ khơng khí giảm đến t2 = 970C ngưng tụ độ

ẩm tương đối khơng khí a2 = 45% Hỏi lượng nước tách ra khỏi khơng khí ẩm thể tích buồng h V = 30m3? Biết áp suất bão hoà

ở nhiệt độ t2 nhỏ hn nhit t1 l 80mmHg.

Giải:áp suất bà o hoà ởt1 = 1000C p

1h = 105Pa =760 mmHg, ởt2 = 970C làp2h

= 680 mmHg Từ phương trình trạng thái suy khối lượng nước bu ồng hai nhiệt độ t1 t2 tương ứng bằng:

% 100 1 1 RT VM p a

m  h h vµ

% 100 2 2 RT VM p a

m  h h

kg T

p a T

p a R

VM m

m

m h h h 1,6

% 100

2

2

1

1 

  

 

 

  

Bài tốn 3 Xét thí nghiệm sau Trong xilanh có nước giữ phía dưới pittơng gắn với lị xo Khối lượng nước M = 1g Nhiệt độ xilanh được trì khơng đổi 1000C Khi cho phần khối lượng m = 7g thoát ra

khỏi xilanh pittơng bắt đầu chuyển động Sau trạng thái cân xác lập thì thể tích pittông nửa lúc đầu Hỏi lúc bắt đầu thí nghiệm khối lượng và thể tích nước xilanh bao nhiêu? Biết pittông nằm cân ở đáy xilanh lò xo không bị biến dạng.

Giải: Lúc đầu nước chiếm thể tích 1cm3, từ phương trình trạng thái dễ thấy chiếm thể tích khơng nhỏ 12lít, bỏ qua thể tích nước Vì xilanh có nước nên lúc đầu bã o hồ áp suất p1h= 105Pa cuối thí nghiệm áp suất p2 = 0,5p1h = 0,5.105Pa, lực tác dụng lị xo lên pittơng giảm nửa Tồn nước bay pittơng ngừng chuyển động khơng cịn bã o hoà

Giả sử lúc đầu khối lượng nước mh Khi đó, lúc bắt đầu thí nghiệm: ,

1 RT

M m V p

h h h 

ở Mh khối lượng mol nước Lúc cuối thí nghiệm :

RT M

m M m V p

h h h   

2 1

Từ hai phương trình nhận được:

g M m

mh ( )

3

4  



ThÓ tích

8 , 13

 

h h h

p M

RT m

V lÝt

Bài toán 4 Trong bình thể tích V1 = 20lít có nước, bão hồ khơng khí. Tăng chậm dần thể tích bình nhiệt độ khơng đổi đến thể tích V2 = 40lit, áp suất bình giảm từ p1 = at đến p2 = at Hãy xác định khối lượng nước trong bình cuối thí nghiệm khối lượng tổng cộng nước m = 36g Bỏ qua thể tích nước q trình thí nghiệm.

hoà áp suất nhiệt độ khơng đổi mà thể tích tăng lên gấp đơi nên lúc bắt đầu thí nghiệm khối lượng mh1 = mh2/2

Sau phân tích sơ tìm áp suất ph bình Lúc bắt đầu thÝ nghiÖm:

1

p p ph k  ,

ở pk áp suất không khí lúc đầu Lúc cuối thí nghiệm :

2

1

p p ph k 

v× vËy

1 2p p ph   = at

Vì nước bã o hồ nên nhiệt độ 1000C Theo phương trình trạng thái bây ta tìm khối lượng bình:

) (V2 V1

ph  = RT

M m RT M

m m

h h h

h h

2

2  ,

ở Mh = 18g/mol, từ đó: ) (

2

1

2 V V

RT p M

m h h

h  

Như khối lượng nước cịn lại bình là: mn mmh2=12g.

Bài toán 5 Trong xilanh, pittơng có chất l ỏng bão hồ ở nhiệt độ Khi nung đẳng áp chậm nhiệt độ hệ tăng lên đến 1000C cịn thể tích

tăng thêm 54% Nhiệt độ xilanh tăng lên độ lúc đầu khối lượng của 2/3 khối lượng toàn hỗn hợp ? Bỏ qua thể tích ban đầu chất lỏng so với thể tích hệ.

Giải: Giả sử khối lượng chất lỏng lúc đầu mh ml, nhiệt độ bình Tđ Khi nung nóng đẳng áp nhiệt độ hỗn hợp không thay đổi chừng mà chất lỏng bay Theo giả thiết nhiệt độ tăng đến Tc = 373K có nghĩa tồn chất lỏng bay (trạng thái giản đồ trên) có khối lượng mh + mlđã nung nóng thêm T=Tc-Tđ Chúng ta viết phương trình trạng thái cho trạng thái đầu cuối hệ:

d h h d RT

M m pV 

c h

l h

c RT

M m m

pV   ,

ở Mh khối lượng mol nước Theo giả thiết

c d

c V V

V  1,54 vµ

3    l  h

h

m m

m .

Từ phương trình tìm được: ,





d c

T T

K T

T T

T  c d  c 110 

 

Bài tốn 6 Trong bình có chứa chất lỏng bão hồ Trong qu trình giãn nở đẳng nhiệt thể tích chiếm tăng lên  = lần, áp suất giảm đi

 = lần Hãy tìm tỉ số khối lượng chất lỏng ml khối lượng mh lúc đầu bình Bỏ qua thể tích chất lỏng.

Giải:Trong q trình đẳng nhiệt áp suất giảm lần cịn thể tích tăng lên lần Vì vây hệ chất lỏng - với khối lượng ml +mh từ trạng thái ban đầu ứng với điểm giản đồ chuyển sang trạng thái cuối ứng với điểm giản đồ Đến trạng thái trung gian 2, toàn chất lỏng bay hết áp suất không đổi p = phd chiếm thể tích V2:

RT M

m m V p

h l h hd

 

ở Mh khối lượng mol nước ởtrạng thái cuối, khối lượng áp suất p1 phd/ nhiệt độ chiếm thể tích V1:

RT M

m m V p

h l h

 1

Theo điều kiện tốn trạng thái đầu nước có khối lượng mh chiếm thể tích



/ V

V  :

RT M

m V p

h h hd 3

Từ phương trình tìm được: V1 =V2,

    

  

/ / 1

V V V V m

m m

h l h

Suy ra:

2 1  

 

h l

m m

Bài toán 7 Trong xilanh, pittơng có hỗn hợp chứa ql mol chất lỏng qh mol bão hồ nhiệt độ T Trong m ột trình đẳng áp chậm hỗn hợp trong xilanh cung cấp nhiệt lượng Q nhiệt độ tăng lên T Hãy tìm biến đổi nội năng hỗn hợp xilanh Bỏ qua thể tích chất lỏng.

Giải:Trong trình đẳng áp nhiệt lượng cung cấp cách chậm nhiệt độ không thay đổi chừng mà chất lỏng chưa bay hết Sau lượng

l h q

q  nhiệt độ tăng lên T Theo định luật bảo toàn lượng:

) (Vc Vd p

U

Q   ,

ở p(Vc Vd) công chống lại áp suất bên ngồi Theo phương trình trạng thái:

) (

) (

,pV q q R T T

RT q

Cuối ta nhận :

T R q q RT q Q

U   l  l h 

 ( ) .

Bài tốn 8 Trong xilanh, pittơng có mol chưa bão hoà nhiệt độ T. Nén đẳng nhiệt trạng thái cuối nửa khối lượng đã ngưng tụ thành chất lỏng cịn thể tích giảm k = lần Hãy tìm nhiệt ngưng tụ phân tử (nhiệt lượng toả mol ngưng tụ hoàn toàn thành chất lỏng) , như trong trình hệ toả nhiệt lượng Q (Q>0) Coi nước lý tưởng.

Giải: Công y mol thực trình giã n nở đẳng nhiệt từ thể tích V1 đến thể tích V2 bằng:

A = yRTln(V2/V1).

Hơi nước bắt đầu ngưng tụ trạng thái (xem giản đồ trên) tiếp tục trạng thái cuối 3, áp suất không thay đổi Lượng chất lỏng tạo thành nửa lượng ban đầu, tức yl = yh/2 Lượng nhiệt toả giai đoạn -

23 12 13 Q Q

Q  

Trong đoạn 1–2 chưa bã o hoà, nội q trình đẳng nhiệt khơng thay đổi, nhiệt lượng toả trị số công ngoại lực nén:

Q12 = yhRTln(V1/V2).

Trong đoạn - 3, ngưng tụ toả nhiệt xảy áp suất nhiệt độ không đổi Q23 = yl, đây nhiệt ngưng tụ phân tử Ngoài ra, đoạn này, từ phương trình trạng thái ta tìm được:

RT y V V

p2( 2 3) l

Phương trình phương trình trạng thái p2V2 yhRT điều kiện V1 = kV3 cho

phép tìm tỉ số thể tích V1/ V2:

h l h

y y y k V

V 



Nh­ vËy, cuối ta được:

n h

n h

h y

y y y k RT y Q

Q13  ln(  )

từ đó:  = 2Q-2RTln2.

Bµi tËp

1 Sau mưa mùa hè độ ẩm tương đối không khí đạt 100% Khi khối lượng riêng khơng khí ẩm (khối lượng nước khơng khí

cm3)

/ 1171g m



 , áp suất p = 100kPa nhiệt độ t = 220C Hã y tìm áp suất bã o hồ nhiệt độ t = 220C Cho biết khối lượng mol không khí Mk = 29g/mol nước Mh = 18g/mol, số khí lý tưởng R = 8,31J/(mol.K)

§S :

Pa M

M RT pM

2 Một lượng nước thể tích V1= 4lít giữ xilanh pittơng gắn với lò xo Nhiệt độ xilanh trì khơng đổi 1000C Một lượng nước khối lượng m = 4g bơm vào xilanh pittơng bắt đầu chuyển động Sau cân phần nước bay hơi, cịn thể tích pittông tăng lên lần Lúc đầu khối lượng nước xilanh bao nhiêu? Đến cuối trình thí nghiệm có nước bay hơi?

§S: mh 1,2g ; g

m3,6 

3 Một hỗn hợp nước bã o hoà tích nhiệt độ 900C Nếu nung nóng đẳng tích hỗn hợp tồn nước bay nhiệt độ tăng thêm 100C.

áp suất bã o hoà nhiệt độ 900C lúc đầu khối lượng nước chiếm 29% khối lượng toàn hỗn hợp? Cho biết thể tích nước nhỏ khơng đáng kể so với thể tích tồn hỗ n hợp

§S: p(10,29)p2T1/T2 0,69.105Pa , Pa

p K T

K

T1363 , 2373 , 2 105

4 Trong xilanh, pittơng, có chứa nước bã o hoà nhiệt độ t = 1200C. Khi nén chậm đẳng nhiệt, bắt đầu ngưng tụ Đến m = 5g nước ngưng tụ, thể tích giảm V= 4,5lít Tính công mà ngoại lực thực

hiện q trình Lúc đầu xilanh có nước cuối thí nghiệm nước chiếm 0,5% thể tích hỗn hợp?

§S:

J

A907 ; mh 6,1g

Phạm Tô

(Su tm v giới thiệu) Chuyên đề

Phương trình vĩ đại học

Vật lý lý thuyết khao khát hướng tới mơ tả q trình vật lý phương trình Hiện mơ ước, vật lý chia thành ngành riêng biệt học, nhiệt động lực học, điện từ học Nhưng ngành người ta làm nhiều để dùng số lượng phương trình mô tả lớp rộng lớn tượng

Thí dụ ta hỏi học sinh trung học “phương trình học chung ?” học sinh trả lời ngay, phương trình:

,

F a

Điều vật có khối lượng khơng đổi Cịn vật có khối lượng thay đổi trình chuyển động khơng dùng phương trình Thí dụ chuyển động giọt nước đám mây, q trình chuyển động va chạm dính kết với giọt khác hay chuyển động tên lửa qu trình chuyển động đặn phóng phần khối lượng Các chuyển động mơ tả đây? Trong trường hợp phương trình chuyển động tịnh tiến vật (vật hiểu chất điểm, không quan tâm đến chuyển động quay nó) cần có dạng nào?

Chúng ta hã y xét chuyển động giọt nước rơi khơng khí tác dụng trọng lực va chạm với giọt nước khác (xem H.1) Giả sử va chạm hồn tồn khơng đàn hồi (kết va chạm giọt dính kết lại với nh au) Giả thiết giọt nước mà xét lớn giọt nước khác rơi với vận tốc Vào thời điểm t khối lượng m, vận tốc là v, giả sử tất giọt cịn lại có khối lượng m1 vận tốc rơi v1 Điều xảy sau khoảng thời gian nhỏ t ?

Khối lượng giọt nước tăng mm, m tổng khối lượng tất

cả giọt khác dính vào Vận tốc giọt nước vv(vì theo giả thiết

vận tốc giọt nước xét khác với vận tốc giọt nước khác) khơng nhớ tới thí nghiệm tưởng tượng mà nhờ Galilê chứng minh chân không vật phải rơi với gia tốc Chúng ta giả thiết ngược lại vật nặng rơi với gia tốc lớn Khi lúc giọt nước rơi chập lại với mặt giọt nhẹ phải hã m giọt nặng (giọt mà xét chuyển động nó) giá trị gia tốc hạt tạo thành phải nằm gia tốc hạt ban đầu; mặt khác giọt tạo thành lại nặng lúc đầu nên

theo giả thiết phải rơi với gia tốc cịn lớn lúc đầu Mâu thuẫn chứng tỏ giả thiết mà ta nêu sai lầm

Quay trở lại với giọt nước Ngoài biến đổi động lượng hạt nhỏ chập vào, khoảng thời gian t, cịn chịu tác dụng ngoại lực trọng lực

g

m vµ lực cản FC không khí Bây phải viết biểu thức biễu

din định lý biến thiên động lượng hệ xung ngoại lực:

t F g m v m v m v v m

m )(  )(  )(  C)

(    1  

Biến đổi vế trái phương trình ta được:

)

( 1

1 m v m v v

v m v m v m v m v m v

m        

ở ta bỏ qua số hạng nhỏ bậc hai mv Như viết phương trình

chuyển động giọt nước dạng: ) ( )

(mg F t m v1 v v

m  C     (2)

Tất nhiên vế phải phương trình tính đến lực tĩnh điện

E q F

e

 

 (nếu giọt nước tích điện q, cịn điện trường vị trí giọt nước đám mây có cường độ E) lực Lorentz FL q[vB] (nếu tồn từ trường B), v v Nhưng có

thể ký hiệu tổng tất lực tác dụng F phương trình (2) viết dạng

tỉng qu¸t sau:

) (v1 v t m F t v

m   



     

 (3)

Nhờ lập luận thu điều gì? Đơn gi ản vế phải xuất số hạng phụ (so với phương trình (1)) mơ tả trường hợp chung khối lượng vật chuyển động biến đổi Thực rút phương trình mà khơng cần lập luận dài dịng Nhưng phư ơng trình mở nhiều khả để nghiên cứu khiến ta gọi phương trình vĩ đại

Chúng ta hã y minh hoạ khả thơng qua vài ví dụ đơn giản sau Đầu tiên hã y tập dượt trường hợp “bình thường” khối lượng c giọt nước khơng thay đổi Có thể viết lực cản dạng:

v v r v r

FC    (4)

Số hạng thứ vế phải lực Stock sinh độ nhớt môi trường Như thấy lực tỉ lệ với vận tốc v bán kính giọt nước r Lực sinh vật

Chúng ta hã y tìm vận tốc rơi ổn định giọt nước khơng khí khơng có hạt khác Phương trình (2) có ý nghĩa đơn giản: trọng lực giọt nước (khối lượng riêng g) cân với lực cản

2

3

v r rv g r

g  

   (5)

Đây phương trình bậc hai v dễ dàng giải Nhưng hã y xét hai trường hợp riêng đơn giản hơn:

a) Trường hợp vận tốc nhỏ, bỏ qua số hạng thứ hai bên phải đóv

r

b) Trường hợp vận tốc lớn, số hạng thứ i vượt trội v r

Như thấy giọt nước lớn rơi với vận tốc lớn giọt nhỏ (H.2b)

Nếu thay cho giọt nước khơng khí ta xét bọt khí chất lỏng vế trái phương trình cần tính đến lực đẩy Acsimet, tức phải thay g thành

) /

( k l

l  

  , lvà k tương ứng khối lượng riêng chất lỏng bọt

khí Khi phải thay đổi dấu vận tốc (bọt khí chuyển động lên trên, cịn giọt nước rơi xuống) đổi dấu lực cản (bây lực cản hướng xuống dưới) kết giống trước, bọt khí lớn nhanh Dễ dàng quan sát thấy điều sau mở chai nước có ga

2 Giả sử giọt nước bắt đầu rơi đám mây giọt nhỏ, khối lượng giọt bằngm1, mật độ n1 treo bất động (v10) Nói “bắt đầu rơi “ có nghĩa khoảng thời gian vận tốc giọt nước nhỏ đến mức ta bỏ qua lực cản khơng khí (vì lực tăng đơn điệu theo vận tốc, xem (4)) Khi phương trình (2) chiếu lên trục thẳng đứng viết dạng:

t mg mv mv

v

m  ( )  (6)

Thế cịn khối lượng giọt chất lỏng thay đổi nào? Qua khoảng thời gian t, sau đoạn đường vt, giọt nước xét “qt” thể

tíchV r2vt có n1V giọt nhỏ nhập vào Như số gia

khối lượng bằng: 1n r v t

m

m

Mặt khác

)

( r3 r2 r

m g  g 

    

Như vậy, khối lượng bám thêm vào “phủ” lớp mỏng, bề dày r có diện tích

2

4 r Từ hai phương trình ta thu kết bán kính giọt nước tăng tỉ lệ với quảng đường (xem H.1):

r

  vty hayr y

(nếu cho bán kính ban đầu nhỏ) Kết có nghĩa khối lượng giọt chất lỏng tăng tỉ lệ với luỹ thừa bậc ba quã ng đường

m

y

Thế biểu thức vào phương trình (6), ta được:

t v y g y

   ( )

3

Dĩ nhiên giải phương trình phương pháp thơng thư ờng Nhưng hã y giả thiết giọt nước nặng dần, rơi với gia tốc khơng đổi Khi v = at ,

2

t a

y phương trình có dạng:

6

6

7 ) (

at t

at g

t 

 

 ,

từ

2 / ,

7 m s

g

a 

Một kết thật thú vị

Chúng ta hã y quay trở lại phương trình vĩ đại (3) Bây giả sử khối lượng m không nhập vào đối tượng chúng ta, mà ngược lại, tách khỏi đối tượng với vận tốc tương đối v1vu, khối lượng đối tượng chuyể n động giảm

Chúng ta ký hiệu tốc độ giảm đại lượng dương

t m

   

giả sử ngoại

lc bng khụng (F=0) Khi phương trình (3) có dạng:

u t v

m 



 (7)

Dễ hiểu trường hợp ta nói đến tên lửa chuyển động cách xa thiên thể có lực hấp dẫn lớn xa bầu khí chúng Vế phải phương trình (7) lực đẩy tên lửa

Nếu tốc độ giảm khơng thay đổi khối lượng tên lửa giảm tuyến tính:

t m

m 0 , m0 giá trị ban đầu (H 3) Kết gia tốc tên lửa b»ng: u

t m t v a

 

    

0

Từ dễ thấy gia tốc tên lửa tiến tới giá trị lớn vô hạn thời gian tiến đến giá trị giới hạn



0 max

m

t  Vào thời điểm “tất cháy hết” Có thể nói vào

thời điểm vận tốc tên lửa đạt đến giá trị vô lớn

Chính kết làm cho K E Xiônkovski nghĩ cần dùng tên lửa đạt đến vân tốc vũ trụ cấp I cấp II Nhân cần nhắc lại Xiơnkovski người giải phương trình (7) với giá trị khơng đổi u tìm công thức mang tên ông:

t m

m u

v



 

0

ln ,

Như ví dụ xét chứng tỏ phương trình “vĩ đại” (3) học thực cho nhiều thông tin phương trình (1), cho phép mơ tả chuyển động vật có khối lượng thay đổi Dĩ nhiên, phải mơ tả tất trường hợp mà phương trình (1) mơ tả Nghĩa gần với chân lý tuyệt đối gần với “phương trình nhất” mà đến lúc nhà vật lý viết

ởđây cần nhắc lại tiêu chuẩn chân lý khoa học Chúng ta liệt kê số tiêu chuẩn gắn liền với tên tuổi nhà bác học vĩ đại

 Tiêu chuẩn tiết kiệm đơn giản (Isac Newton): lý thuyết đơn giản hơn, dễ dàng hiểu tiết kiệm thời gian sử dụng chân lý

 Tiêu chuẩn vẻ đẹp (Henry Poincaré, Paul Dirac)  Tiêu chuẩn tiên đoán kiện tượng mới

 Tiêu chuẩn phù hợp với nguyên lý bổ sung (Niels Bohr): lý thuyết phải bao hàm lý thuyết cũ trường hp riờng

Tiêu chuẩn phù hợp víi c¸c sù kiƯn thùc nghiƯm (Galileo Galilee, Rodger Bacon)

Rõ ràng phương trình (3) học chất điểm có khối lượng thay đổi phù hợp với tất tiêu chuẩn xứng đáng gọi phương trình “vĩ đại”

Phạm Tô

(Sưu tầm giới thiệu) tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp

Trong chương trình vật lý phổ thơng, khái niệm dịng điện dịch nói qua mức độ định tính sơ lược Ch úng ta biết dịng điện điện tích dịch chuyển có hướng tạo thành (được gọi dòng điện dẫn) gây xung quanh từ trường Theo Maxwell từ trường cịn gây điện trường biến thiên theo thời gian Về phương diện gây từ trường, ện trường biến thiên tương đương dòng điện gọi dòng điện dịch Khái niệm dòng điện dịch thường đưa vào xét mạch dao động điện từ LC Trong tụ điện khơng có điện tích dịch chuyển mà có điện trường biến thiên Theo Maxwell, dịng điện dịch ứng với điện trường biến thiên đóng vai trị khép kín mạch điện: tụ

bằng độ lớn chiều với dòng điện dây dẫn bên tụ thời điểm Cách đưa khái niệm dòng điện dịch có ưu điểm nhấn mạnh liên quan dòng điện dịch với điện trường biến thiên, dễ dẫn đến hiểu nhầm dòng điện dịch tồn miền không gian dịng điện dẫn mà có điện trường biến thiên

Trong xét ví dụ đơn

giản cho thấy dịng điện dịch xuất tính mật độ dịng điện dịch Thí dụ minh hoạ dịng điện dịch tồn miền có dịng điện dẫn, miễn có điện trường biến thiên Hãy tưởng tượng có tụ điện cầu: gồm hai cự c hình cầu, đồng trục, tích điện trái dấu Tất nhiên điện trường tập trung hai (xem hình vẽ) Nếu môi trường hai tụ chất dẫn điện, tụ phóng điện có dịng điện chạy dọc theo bán kính Vấn đề đặt từ trường xuất tụ phóng điện nào?

Trong toán chẳng có hướng ưu tiên để vẽ đường sức từ trường thoả mãn điều kiện đối xứng Nhưng điều có nghĩa gì? Chỉ tụ cầu phóng điện, nói chun g chẳng có từ trường xuất Nhưng có dịng điện mà lại khơng có từ trường hay sao? Điều có nghĩa cịn phải có “nguồn” sinh từ trường bù trừ với từ trường tạo dòng điện tích

Chúng ta tính cường độ dịng điện chảy qua đơn vị diện tích, tức tính mật độ dịng điện cách tâm mặt cầu khoảng r Dịng điện tồn phần tốc độ biến đổi điện tích tụ điện:

dt dQ i

Dòng phân bố mặt cầu bán kính r, mật độ dịn g điện bằng: dt

dQ r

π

S i

j 2

4 

 (1)

r +Q

Khi tụ phóng điện điện trường biến đổi nào? Điện trường tụ cầu giống điện trường của điện tích điểm Q đặt tâm, cách tâm khoảng r cường độ điện trường xác định công thức

2 4πε r

Q

E

Từ tốc độ biến đổi cường độ điện trường bằng: dt

dQ r

πε

dt dE

2

1

 (2)

So sánh công thức (1) (2) thấy mật độ dòng điện tốc độ biến đổi cường độ điện trường tỉ lệ với Nếu giả th iết điện trường biến thiên sinh từ trường dịng điện thường giải thích tụ điện khơng có từ trường từ trường bù trừ Chúng ta đưa vào khái niệm mật độ dòng điện dịch xác định theo công thức:

dt dE

ε

jdi  0 (3)

Trong ví dụ điện trường tụ giảm nên tốc độ biến thiên từ trường âm Điều có nghĩa dịng điện dịch trường hợp chảy theo chiều ngược chiều điện trường, dịng điện dẫn chảy theo chiều điện trường Từ cơng thức (1) – (3) thấy mật độ dòng điện dịch dòng điện thường (dòng điện dẫn) có độ lớn Vì mật độ dòng tổng cộng từ trường tổng hợp phải không

Thực công thức (3) không trường hợp tụ cầu phóng điện mà cịn trường hợp Cảm ứng từ từ trường ln xác định tổng mật độ dịng điện dẫn (dòng điện thường) mật độ dòng điện dịch xác định tốc độ biến thiên điện trường theo công thức (3 )