MÔ HÌNH MẠNG PERT (Program Evaluation and Review Technique)

2 Mơ Hình Mạng PERT(Program Evaluation and Review Technique) 2.1 Các khái niệm PERT Mạng PERT giúp trả lời câu hỏi: Dự án hoàn thành nào? − Mỗi hoạt động dự án nên bắt đầu vào thời điểm kết thúc vào thời điểm nào? − Những hoạt động dự án phải kết thúc thời hạn để tránh cho toàn dự án bị kết thúc chậm so với kế hoạch? − Liệu chuyển nguồn dự trữ (nhân lực, vật lực) từ hoạt động “không găng” sang hoạt động “găng” (các hoạt động phải hồn thành tiến độ) mà khơng ảnh hưởng tới thời hạn hoàn thành dự án? −Những hoạt động cần tập trung theo dõi? Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Ví dụ: Cho bảng hoạt động dự án, thứ tự thời gian thực Hoạt động Hoạt động kề trước Thời gian thực (tuần) A B C D E F G H I J K L − − − A A E B B D, F C H, J G, I, K 2 (hoạt động giả) 10 Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Vẽ sơ đồ mạng PERT sau: Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mô Hình Mạng PERT Xác định thời gian tối thiểu thực dự án Để xác định thời gian tối thiểu thực dự án, trước hết nghiên cứu khái niệm thời điểm bắt đầu sớm thời điểm kết thúc sớm (EST EFT −Earliest start time Earliest finish time) cho hoạt động Ví dụ 2: Hoạt động A có ESTA = EFTA = 2, − Thời điểm bắt đầu sớm bắt đầu khởi động dự án, − Thời điểm kết thúc sớm sau tuần Mối quan hệ EST FFT là: EFT = EST + thời gian thực hoạt động Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Để xác định EST có quy tắc “thời điểm bắt đầu sớm nhất”: thời điểm bắt đầu sớm hoạt động rời nút thời điểm muộn thời điểm kết thúc sớm hoạt động vào nút Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Bước xác định thời điểm bắt đầu muộn thời điểm kết thúc muộn (LST LFT − Latest start time Latest finish time) cho hoạt động Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Xác định hoạt động găng, đường găng Hoạt động găng hoạt động mà LST - EST = LFT - EFT = 0, hay [EST, EFT] ≡ [LST, LFT] Slack = LST- EST=0 Slack =LFT – EFT= (độ trễ cho phép 0) Giải thích: Slack ≡ độ nới lỏng (độ trễ) Trong ví dụ xét, hoạt động găng là: C → J → K → L tạo thành đường găng (Critical Path) Vì vậy, phương pháp mạng PERT cịn có tên phương pháp đường găng (CPM − Critical Path Method) Xác định đường găng phần mềm Lingo (tự sv tìm hiểu) Đại học nơng nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Thời gian thực hoạt động dự án nói chung lượng biến động khó dự đoán trước, giả thiết chúng biến ngẫu nhiên Giả sử ta có số liệu ước tính thời gian thực hoạt động dự án a, m, b Lúc thời gian trung bình độ lệch chuẩn thời gian thực hoạt động đượcước tính theo cơng thức t=(a+ 4m +b)/6 Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Mơ Hình Mạng PERT Bước lập sơ đồ mạng cho dự án với thời gian trung bình t tìm đường găng Đường găng C → J → K → L bao gồm hoạt động găng C, J, K L Các hoạt động có độ trễ cho phép 0, hay nói cách khác, khơng cho phép chậm trễ Thời gian thực dự án lượng ngẫu nhiên tính theo cơng thức: T = TC + TJ + TK + TL Ta tìm kì vọng T (thời gian trung bình thực dự án) theo công thức: m = mT = tC + tJ + tK + tL = + 10 + + = 19 (tuần) Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động 3.2 Bài tốn tìm đường ngắn quy hoạch động Ví dụ: Bài tốntìm đường ngắn Có người xuất phát từ nút kết thúc hành trình nút 10 theo hành trình hình Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Nguyên tắc tối ưu Bellman quy hoạch động Chúng ta chia toán thành nhiều giai đoạn, tức thành nhiều toán nhỏ Tại giai đoạn ta cần tìm phương án tối ưu phương án tốt tình trạng có, xét mối quan hệ với phương án tối ưu tìm giai đoạn trước Ta giải toán dần theo giai đoạn theo cách tính tốn tiến tính tốn lùi (backward computing) Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Các giai đoạn tính tốn quy hoạch động Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Quy trình tính tốn tổng qt - Trước hết, cần chọn có biến trạng thái (state variables) mô tả bảng - Xác định hàm mục tiêu: Đặt Fi(xi) khoảng cách ngắn tới đích tính giai đoạn i - Lập hàm truy toán: Fi+1(xi+1) = Min [Fi(xi) + fi(ui)], Min tìm theo tổ hợp thích hợp xi ui, ui biến điều khiển để điều khiển chuyển trạng thái từ trạng thái xi sang xi+1 fi(ui) hiệu ứng biến điều khiển tác động lên hàm truy toán (và lên hàm mục tiêu, tính đến tốn cuối cùng) Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Bảng biến trạng thái Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.2 Quy hoạch động Đáp số: F4(x4) = F4(1) = 650 với đường ngắn Một số ứng dụng Quy hoạch động (xem giáo trình) Đại học nơng nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Thuật toán Dijkstra để tìm đường ngắn Nhắc lại Bài tốn: Cho G = (V, E) đơn, liên thơng, có trọng số dương (w(u,v) > với u khác v) Tìm đường ngắn từ u0 đến v tính khoảng cách d(u0,v) Phương pháp: Xác định đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ đến lớn Trước tiên đỉnh có khoảng cách nhỏ đến u0 u0 Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ (đỉnh phải đỉnh kề với u0), giả sử u1 Trong V\{u0, u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ (đỉnh phải đỉnh kề với u0 u1), giả sử u2 Tiếp tục tìm khoảng cách từ u0 đến đỉnh Nếu G có n đỉnh thì: = d(u0,u0) < d(u0,u1) ≤ d(u0,u2) ≤ … ≤ d(u0,un-1) Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh Thuật toán Dijkstra Thuật toán Dijkstra Bước1: i := S := V\{u0} L(u0) := Với v ∈ S, L(v) := ∞ đánh dấu (∞,-) Nếu n = xuất d(u0,u0) = = L(u0) Bước 2: Với v ∈ S kề với ui (nếu đồ thị có hướng v đỉnh sau ui), L(v) := min{L(v), L(ui) + w(uiv)} Xác định k := min{L(v), v ∈ S} Nếu k = L(vj) xuất d(u0,vj) = k đánh dấu vj (L(vj),ui) ui+1 := vj S := S\{ui+1} Bước 3: i := i + Nếu i = n - kết thúc, khơng quay lại Bước Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.4 Bài Tốn Tìm Luồng Cực Đại Ví dụ: Xét mạng đường có hướng từ nút tới nút với tải tối đa cung đường biết hình Bài tốn đặt là: Cần xác định luồng cực đại (Maximal Flow) nút (nút nguồn) nút (nút hút) Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.4 Bài Tốn Tìm Luồng Cực Đại Về mặt toán học, ta gọi luồng chấp nhận véc tơ (x12, x13, x14, x24, x25, x34, x35, x45), xij ∈[ 0, xij max] ∀ cung (i, j) cho mạng đường có hướng thoả mãn: Ở nút luồng vào cân Luồng nút nguồn luồng vào nút đích v Lúc này, luồng cực đại luồng chấp nhận cho giá trị v luồng đạt lớn Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.4 Bài Tốn Tìm Luồng Cực Đại Thuật toán Ford − Fulkerson Bước khởi tạo Tìm luồng chấp nhận Các bước lặp Bước 1: Tìm đường tăng luồng thủ tục đánh dấu Nếu khơng có chuyển bước kết thúc Cịn có xét giá trị tăng luồng tương ứng ∆(P) Bước 2: Nếu ∆(P) < +∞ đẩy thêm ∆(P) đơn vị tải dọc theo đường tăngluồng P để luồng chấp nhận quay bước Nếu trái lại, ∆(P) = +∞ bước kết thúc Bước kết thúc Tìm luồng cực đại với giá trị hữu hạn kết luận tốn có luồng chấp nhận với giá trị v = + ∞ Làm để tìm luồng tăng? Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.4 Bài Tốn Tìm Luồng Cực Đại Thủ tục đánh dấu Bước khởi tạo Gọi I tập nút đánh dấu I, ban đầu đặt I = {nút nguồn} Các bước lặp Bước 1: Nếu I chứa nút hút I = ∅ bước kết thúc Nếu trái lại, chọn nút i ∈ I để quét (đồng thời đưa khỏi tập I), tức xét tất nút j cạnh i, nói cách khác, xét cung tiến có dạng (i, j) cung mạng đường chiều cho tương ứng với cung lùi (j,i) Bước 2: Xét cung tiến (i, j) mà có j chưa đánh dấu (khơng nằm tập I) ta đưa j vào tập I với điều kiện xij (hiện có) < max xij , cịn xét cung lùi điều kiện xij (hiện có) > quay trở lại bước Chú ý nút hút đưa vào tập I bước kết thúc Bước kết thúc Tìm đường tăng luồng P Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh 3.4 Bài Tốn Tìm Luồng Cực Đại Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd Trần Đức Quỳnh