Họ và tên thí sinh...[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌCƠN CẤP TỐC 2012 SỐ 09 Mơn: Toán – 0985.873.128
Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) : Cho hàm số y=1
3x
3−1
2mx
2
+(m2−3)x 1.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
2.Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hồnh độ điểm cực đại cực tiểu độ dài cạnh góc vng cuả tam giác vng có độ dài cạnh huyền √5
2
Câu II(2 điểm)
1.Giải phương trình sau
9− x2
3−√¿ ¿
4¿ x2
3+√9− x2+
1
¿ 2.Giải phương trình sau sin4(3x+π
4)+sin
4
(3x −π
4)=
Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau I=∫ √3 √8
1
x√x2 +1
dx
CâuIV (1 điểm) : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB ¿a , BC ¿a√3 Mặt
phẳng (SAC) mặt phẳng(SBD) vng góc với đáy, I thuộc cạnh SC cho SI = 2CI thoả mãn AI vng
góc với SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1 điểm) : Cho số thực không âm a , b , c Chứng minh a3+b3+c3≥ a2√bc+b2√ac+c2√ab
PHẦN RIÊNG (3 điểm) (thí sinh làm hai phần A B) A.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình bình hành ABCD với A(1;1) ; B(4;5) Tâm I hình bình hành thuộc đường thẳng (d) : x+y+3=0 Tìm toạ độ đỉnh C, D biết diện tích hình bình hành ABCD
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;1); B(2;0;6); C(3;2;0) ; D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cách C, D
Câu VII.a (1 điểm): Tìm số phức z thoả mãn z+3+5i
¯z −5i=0 B.Theo chương trình nâng cao
CâuVI.b (2điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) đường cao AH có phương trình x+2y −2=0 ,với H thuộc BC; đường phân giác góc ACB có phương trình
x − y −1=0 Tìm toạ độ đỉnh A, C, D
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng (d): x −1
2 =
y −2=
z+1
1 , cắt mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+4y −6z −11=0 theo đường
trịn có bán kính
(2)Số báo danh Họ tên thí sinh ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1đ
2 y’ = x2 – mx + m2 –
Hàm số có CĐ, CTvà xCĐ, xCT >0 pt y’ = có nghiệm dương pb
⇔
Δ=m2−4(m2−3)>0 P=m2−3
>0 S=m>0 ⇔√3<m<2
¿{ { Theo gt ta có
xCĐ+xCT¿
−2xCĐxCT=
5
xCĐ2
+xCT2 =5
2⇔¿
(*)
Theo đl Viet (*) ⇔m2−2(m2−3)=5
2⇔m=√ (tm) 0.25 0.25 0.25 0.25
II ĐK −3≤ x ≤3, x ≠0 Đặt t=√9− x2⇔x2=9−t2, t ≥0, t ≠3 Pt trở thành 9− t
2
3+t +
1
4(3− t)=1⇔t=
5
2 ⇔x
2 =11
4 ⇔x=±√
11
2 (tm)
0.25 0.5 0.25 Pt ⇔cos4
(3x −π
4)+sin
4
(3x −π
4)= ⇔1−2 cos2
(3x −π
4)sin
2
(3x −π
4)= 2⇔1−
1 2sin
2
(6x −π
2)= ⇔cos26x=1⇔sin26x=0⇔x=kπ
6 k∈Z
0.25 0.5 0.25 III Đặt t=√x2
+1⇒t2=x2+1⇒tdt=xdx
Đổi cận
x=√3⇒t=2 x=√8⇒t=3
3
2
2
1 1
( )
1 1
I dt dt
t t t
∫ ∫ ¿1
2ln|
t −1
t+1|¿2 = 2ln 0.25 0.25 0.5 IV S
B A I
O
C D
Gọi O giao điểm AC BD ⇒ (SAC) (SBD)=SO Có (SAC) (ABCD) (SBD) (ABCD)nên SO (ABCD); AC=√BA2+BC2=2a⇒OA=OC=a
Đặt SO=h ⇒SC=√SO2+OC2=√h2+a2 Do SI=2CI nên IC=13SC=13√h2+a2 Tam giác AIC vuông I nên AI=√AC2−IC2=1
3√35a
2− h2
(ĐK 0< h<a√35 ) Có 2SSAC=AI.SC=SO.AC ⇔13√35a
2
−h2.√h2+a2=2h.a
(3)⇔h4+2a2h2−35a4=0⇔(h2+7a2)(h2−5a2)=0 ⇔h=a√5 (tmđk)
Vậy VS.ABCD=
3SO.SABCD=a 3√15
3
0.25
V
Theo BĐT Cơsi ta có 2VP= a2√bc+b2√ac+c2√ab≤ a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)
2¿
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) (1) Lại có a − b¿
2
≥0∀a , b ≥0
a3+b3−ab(a+b)=(a+b)¿ ⇔a3+b3≥ab(a+b)
tương tự b3+c3≥bc(b+c) c3+a3≥ac
(a+c)
Cộng vế với vế 2VT ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥ 2VP (Đpcm) Đẳng thức xảy a=b=c
0.25 0.25
0.25 0.25 VIa
Giả sử C(a;b) ⇒I(1+a
2 ;
1+b
2 ) Do I∈d⇒a+b+8=0 (1)
Pt đường thẳng AB x −1
3 =
y −1
4 ⇔4x −3y −1=0
Lại có d(C ;AB)=h=|4a−3b −1|
5
SABC=
2AB h=
|4a −3b −1|
5 5=
9
2⇔|4a −3b −1|=9⇔4a −3b −1=±9 (2)
Từ (1)(2) ta
¿ a=−2
b=−6 hoăc
¿a=−32
7
b=−24
7
¿{ ¿
Do
C1=(−2;−6)⇒D1(−5;−10) ¿
C2( −32
7 ;
−24
7 )⇒D2(−
53 ;−
52 )
¿ ¿ ¿ ¿
0.25
0.25
0.25
0.25
2 + Nếu C ,D nằm phía với (P) ,C ,D cách (P) CD//(P)
⃗AB(1;−1;5),⃗CD(4;2;2)⇒[⃗AB,⃗CD]=(−12;18;6)⇒⃗n=(2;−3;−1) là vtpt (P) Pt (P) 2(x −1)−3(y −1)−1(z −1)=0⇔2x −3y − z+2=0
+ Nếu C,D nằm khác phía với (P) C ,D cách (P) (P) qua trung điểm M(5;3;1) cuả CD
⃗AB(1;−1;5),⃗AM(4;2;0)⇒[⃗AB,⃗AM]=(−10;20;6)⇒⃗n(−5;10;3) là vtpt (P) PT(P) −5(x −1)+10(y −1)+3(z −1)=0⇔−5x+10 yư+3z −8=0
0.25 0.25 0.25 0.25 VIIa Giả sử z=x+yi(x , y∈R) ta có ¯z=x −yi
Theo gt ta có z.¯z+3+5i−5i.¯z=0⇔x2+y2+3+5i−5 xi−5y=0
(4)
⇔
x2+y2+3−5y=0
5x −5=0
⇔
¿x=1 y2−5y+4=0
¿{
⇔
¿x=1 y=1 ⇒z=1+i
¿ ¿ x=1
¿ ¿ y=4
¿
⇒z=1+4i ¿ ¿
0.25
VIb BC qua B(1;5) vng góc AH nên BC có pt -2x+y-3=0
Toạ độ C nghiệm hpt
¿
−2x+y −3=0 x − y −1=0 ⇒C(−4; −5)
¿{
¿
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x − y −1=0(d),BA∩ d=K (KB) qua B vng góc d nên KB có pt: x+y-6=0
Toạ độ điểm K nhgiệm hpt
¿ x+y −6=0 x − y −1=0
⇒K(7
2; 2)
¿{ ¿ Suy A’ (6;0).Pt A’C :x-2y-6=0
Do A=CA'∩AH nên toạ độ A nhgiêm hpt
¿
x −2y −6=0 x+2y −2=0 ⇒A(4; −1)
¿{
¿
Trung điểm I AC có toạ độ I(0;-3) đồng thời I trung điêm BD nên suy D(-1;-11)
0.25
0.25 0.25 0.25
2 (S) có tâm I(1;-2;3) bk R=5
(Q) có dạng 2x-2y+z-m=0 d(I,(Q))= √25−9 =4
(5)⇔|2+4+3+m|
3 =4⇔
m=3
¿ m=−21
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Do ptmp (Q) 2x-2y+z+3=0 2x-2y+z-21=0 VIIb Giả sử z=x+yiư Từ gt suy
y
ư +1¿2
x+3¿2+¿ y −5¿2=¿
x+1¿2+¿
|(x+1)+(ưy−5)i|=|x+3−(ưy+1)i|⇔¿
⇔x+3y=4ư
Ta có x+3y¿2≤10(x2+y2)=10|z|
ưư
16=¿
⇔|z|≥
√10 Min |z|=
√10
.Đẳng thức xảy
¿ y=3x x+3y=4
⇔
¿x=2
5
y=6
5
¿{ ¿
0.5 0.25