Bieát toång cuûa chuùng baèng 6 laàn trung bình nhaân cuûa chuùng.[r]
(1)Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO
Hoạt động Nội dung
Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất biểu thức sau:
P = x2+1 x2− x+1
HD: Ta coù: x2 – x + =
(x - 1 2)
2 +3
4>0 với x => P = 3x
2 +3
3(x2− x+1) =
2(x2− x+1)+x2+2x+1 3(x2− x+1) =
2
x 1 2
3 x x 1
32
Giaù trị nhỏ P 2
3 khi x + = ⇒ x = -1 P =
2
2
2x -2x+2-x +2x-1
x -x+1 =
2(x2− x+1)−(x −1)2 x2− x+1
= 2− (x −1)
2
x2− x+1 2
Giá trị lớn P x – = ⇒ x = 1
Bài 2 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
HD: Ta coù: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
<=> 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = (1)
Xem (1) phương trình bậc hai ẩn y (1) có nghiệm nguyên khi Δ ’ số phương
Ta có: Δ ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2 0
–27x2 + 196 = k2 0 ⇒ 27x2 196 ⇒ x2 7 ⇒ x
0; ; 2
Nếu x = y = 0; x = y = 8; x = -1 y = 10; x = ± 2 y Z
Vậy cặp số (x; y) thoả mãn đề (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Bài 3: Cho hai số a b khác thoả mãn:
1 a+
1 b=
1
2 Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0
HD: Xeùt phương trình (x2 + ax + b) = (1) có Δ
1= a2– 4b
Xét phương trình (x2 + bx + a) = (2) có Δ
2 = b2 – 4a
Δ 1+ Δ 2 = a2 + b2 – 4(a + b)
maø 1a+1 b=
1
2 ⇔ 2(a + b) = ab
⇒ Δ 1+ Δ 2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab
= (a – b)2 0
⇒ Coù hai phương trình có nghiệm.
Do phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = ln ln có
nghiệm Bài 4: Chứng minh tích số ngun
dương liên tiếp số phương
HD: Gọi bốn số ngun dương liên tiếp x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương
Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2
<=> (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2
<=> (x2 + 3x + 1)2 – = k2
(x2 + 3x + 1)2 k2 hai số phương đơn vị
nên
(x2 + 3x + 1)2 = k2 = ⇒ x = 0; x = -3 trái với giả thiết
Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp số chính phương
Bài 5: Cho số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = C.minh:
HD: Từ x + y + z = suy
(2)3 xy+yz+zx+
2 x2
+y2+z2 > 14
2 2
3 3(x y z ) 6(xy yz zx)
xy yz zx xy yz zx
= 3(x2+y2+z2) xy+yz+zx +6
2 2
2 2 2
2 4
2 x y z xy yz zx
x y z x y z
= + 4(xy+yz+zx) x2
+y2+z2
Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có: 3
xy+yz+zx + 2
x2+y2+z2 + + 2√3(x
2
+y2+z2) xy+yz+zx ⋅
4(xy+yz+zx) x2+y2+z2 = + 2 √12 > + 2 √9 = 14
Baøi 6: Bieát
2
x 5 x y 5 y 5
Tính x + y HD: Ta có:
x2 5 x y2 5 y 5
(1) Nhân hai vế (1) với x2 5 xta được:
5 (√y2+5+y) = 5 (
√x2+5− x) hay x + y = (√x2+5) – (
√y2+5) (2) Nhân hai vế (1) với √y2+5− y ta được:
5
2
x 5 x
= 5
2
y +5-y
hay x + y = (√y2+5) – (√x2+5) (3) Cộng (2) (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = Vậy x + y = 0
Bài 8: Cho tam giác ABC cân có: A = 1080 Tính BC
AC
HD: Lấy cạnh BC điểm D cho CD = AC = AB ABC DBA ⇒ AB
DB= BC BA=
BD+DC
BA =1+
BD BA Đặt ABDB = x > ⇒ x = + 1x ⇒ x2 – x – = 0
⇒ x = 1+√5 2 Vaäy BCAC = 1+√5
2 Bài 10 : Tìm giá trị lớn giá trị
nhỏ y = x
x2−5x+7
HD: Ta coù: y = x
x2−5x+7 ⇔ (y – 1)x
2 – 5yx + 7y = (1)
(1) có nghiệm Δ = –3y2 + 28y 0 ⇔ y
28 3
Vậy GTNN y kh x = 0; GTLN y
28
3 x = 145 Bài tập nhà
Bài 1: Tính:
√20+14√2+√320−14√2
HD: Đặt x =
√20+14√2+√320−14√2 => x3 = 20 + 14
√2 + 20 – 14 √2 + 3x
√20+14√2 √320−14√2 = 40 + 6x <=> x3 – 6x – 40 = <=> x3 – 4x2 + 4x2 – 16x + 10x – 40 = 0
<=> x2(x – 4) + 4x(x – 4) + 10(x – 4) = <=> (x – 4)(x2 + 4x + 10) = 0
36 0
36 0 360
D C
B
(3)Vì x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + > neân x – = ⇒ x = 4
Bài 2: Giải phương trình: (√9−4√5)x+(√9+4√5)x=18 Ta coù: √9+4√5 =
1
9 5 Đặt 9 5
x
= t > ⇒ t + 1
t = 18 ⇒ t = ± 4 √5 ⇒ x = 2
Bài 3: Cho 2a + 3b = Chứng minh: 2a2 + 3b2 5
HD: Ta coù: 2a + 3b = ⇒ a = 5-3b2 ⇒ 2a2 + 3b2 =
15
2 (b – 1)2 + 5
Đẳng thức xảy a = b =
Bài 4: Tìm số nguyên x; y thoả mãn: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy HD: Ta có: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy (1)
Ta coù: x = y = nghiệm phương trình (1)
Xét x; y 0 Từ (1) ⇔ y2(x2 – 7) = (x + y)2 ⇒ x2 – số phương
⇒ x2 – = a2 ⇒ (x – a)(x + a) = 7
Kết quả: (x; y) = (0; 0) ; (4; -1) ; (4; 2) ; (-4; 1) ; (-4; -2)
Bài 5: Cho hai số dương x; y Biết tổng chúng lần trung bình nhân chúng Tính tỉ số xy
HD: Ta có: x + y = 6 √xy Chia hai vế cho y ta được: x
y + = 6
x
y Đặt t = √xy > ta coù
phương trình:t2 – 6t + = Giải phương trình ta hai nghiệm t
1 = + 2 √2 vaø t2 = – 2 √2
Vaäy x