Vận dụng tính chất phân giác trong tam giác để giải toán

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hạnh Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Đà Nẵng, tháng 5/2013 SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nội dung luận văn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Tia phân giác góc 1.1.2 Phân giác tam giác 1.2 Tính chất 1.2.1 Tính chất tia phân giác góc 1.2.2 Tính chất tia phân giác tam giác 1.2.2.1 Định lý 1.2.2.2 Định lý 1.2.3 Một số tính chất khác 10 1.2.3.1 Tính chất 10 1.2.3.2 Tính chất 12 1.3 Phát triển định nghĩa đường phân giác mặt phẳng lên không gian: Mặt phân giác nhị diện 15 CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀO GIẢI TOÁN 17 Bài toán 2.1 17 Bài toán 2.2 18 SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Bài toán 2.3 21 Bài toán 2.4 23 Bài toán 2.5 24 Bài toán 2.6 26 CHƯƠNG 3: PHÂN GIÁC VỚI QUỸ TÍCH TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN 29 Bài toán 3.1 29 Bài toán 3.2 30 Bài toán 3.3 30 Bài toán 3.4 31 Bài toán 3.5 34 Bài toán 3.6 35 CHƯƠNG 4: PHÂN GIÁC TRONG BÀI TỐN DỰNG HÌNH 38 Bài toán 4.1 38 Bài toán 4.2 38 Bài toán 4.3 41 Bài toán 4.4 42 Bài toán 4.5 43 Bài toán 4.6 44 ĐỌC THÊM 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học mơn khoa học Nó giúp phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư trừu tượng, tư logic Trong hình học sơ cấp tốn tam giác phong phú, đặc biệt toán liên quan đến đường phân giác tam giác, cụ thể tốn tìm quỹ tích, diện tích, tốn dựng hình… Nhưng tài liệu tham khảo tính chất phân giác tam giác chưa thật nhiều quan trọng chưa nêu rõ cách vận dụng chúng vào tốn cụ thể Do đó, học sinh - sinh viên chưa hiểu rõ vận dụng chúng cách có hiệu Với mong muốn tìm hiểu rõ tính chất đường phân giác tam giác cách vận dụng tính chất giải tốn, tơi chọn đề tài: “ Vận dụng tính chất phân giác tam giác để giải tốn ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa lại khái niệm tính chất phân giác tam giác ứng dụng giải tốn NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trình bày cách vận dụng tính chất phân giác tam giác để thực hành giải toán mặt phẳng không gian PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc kiến thức có liên quan PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đề tài tập trung nghiên cứu số kĩ thuật vận dụng tính chất phân giác tam giác thơng qua số tốn cụ thể mặt phẳng không gian NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Định nghĩa SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 1.1.1 Tia phân giác góc 1.1.2 Phân giác tam giác 1.2 Tính chất 1.2.1 Tính chất tia phân giác góc 1.2.2 Tính chất phân giác tam giác 1.2.3 Một số tính chất khác 1.3 Phát triển định nghĩa đường phân giác mặt phẳng lên không gian, mặt phân giác nhị diện Chương 2: Vận dụng tính chất phân giác tam giác để giải toán 2.1 Bài toán 2.1 Bài toán 2.3 Bài toán 2.4 Bài toán 2.5 Bài toán 2.6 Bài toán Chương 3: Phân giác với quỹ tích mặt phẳng khơng gian 3.1 Bài toán 3.2 Bài toán 3.3 Bài toán 3.4 Bài toán 3.5 Bài toán 3.6 Bài toán Chương 4: Phân giác tốn dựng hình 4.1 Bài tốn 4.2 Bài tốn 4.3 Bài toán 4.4 Bài toán 4.5 Bài toán 4.6 Bài toán Đọc thêm ( Sai lầm đâu ?) SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 ĐỊNH NGHĨA: 1.1.1 Tia phân giác góc: - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc z x' O y x ̂ 𝑥𝑂𝑧 ̂ tạo với hai cạnh góc hai - Tia 𝑂𝑦 nằm cạnh góc 𝑥𝑂𝑧 ̂ = 𝑦𝑂𝑧 ̂= 𝑥𝑂𝑦 ̂ (tức phân giác trong) góc gọi tia phân giác góc 𝑥𝑂𝑧 ̂ (góc kề bù - Kí hiệu 𝑂𝑥’ tia đối tia 𝑂𝑥 đường phân giác góc 𝑥′𝑂𝑧 ̂ ) đường phân giác ngồi góc 𝑥𝑂𝑧 ̂ góc 𝑥𝑂𝑧 1.1.2 Phân giác tam giác - Phân giác tam giác đoạn thẳng có đầu đỉnh tam giác, đầu giao điểm tia phân giác xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện A t' B SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST C D t Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy ̂ tam giác cắt cạnh 𝐵𝐶 điểm 𝐷 𝐴𝐷 - Tia phân giác 𝐴𝑡 góc 𝐵𝐴𝐶 gọi đường phân giác qua đỉnh 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶 ̂ gọi đường phân giác qua - Đường phân giác ngồi 𝐴𝑡’ góc 𝐵𝐴𝐶 đỉnh 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝑡 ⊥ 𝐴𝑡’) 1.2 TÍNH CHẤT: 1.2.1 Tính chất tia phân giác góc: Định lý: Tập hợp điểm nằm góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc Chứng minh: (“ ⇒ ”) Điều kiện cần: Giả sử có tia 𝑂𝑦 nằm hai tia 𝑂𝑥 𝑂𝑧, có 𝑀𝐴 ⊥ 𝑂𝑥, 𝑀𝐵 ⊥ 𝑂𝑧 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 Hai tam giác vng 𝐴𝑂𝑀 𝐵𝑂𝑀 có: 𝑂𝑀:cạnh chung 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 x ̂ = 𝐵𝑂𝑀 ̂, Suy ∆𝐴𝑂𝑀 = ∆𝐵𝑂𝑀 ⇒ 𝐴𝑂𝑀 A ̂ tức 𝑂𝑦 phân giác góc 𝑥𝑂𝑧 (“ ⇐ ”) Điều kiện đủ: y M O ̂ Giả sử M nằm tia phân giác 𝑥𝑂𝑧 Từ 𝑀 kẻ 𝑀𝐴 ⊥ 𝑂𝑥 𝑀𝐵 ⊥ 𝑂𝑧 B z Hai tam giác vng 𝐴𝑂𝑀 𝐵𝑂𝑀 có: 𝐵𝑀: cạnh chung ̂ = 𝐵𝑂𝑀 ̂ 𝐴𝑂𝑀 Suy ∆𝐴𝑂𝑀 = ∆𝐵𝑂𝑀 ⇒ 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 Vậy định lý chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy  Thơng qua định lý ta có nhận xét sau đây: Các đường phân giác ̂ quỹ tích điểm mặt phẳng cách hai phân giác ngồi góc 𝑥𝑂𝑧 đường thẳng 𝑑 𝑑’(𝑑, 𝑑’ chứa hai tia 𝑂𝑥 𝑂𝑧) 1.2.2 Tính chất tia phân giác tam giác: Qui ước: Đối với ∆𝐴𝐵𝐶, ta kí hiệu độ dài cạnh 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐶𝐴 = 𝑏; ̂ 𝐵̂, 𝐶̂ ; la, lb, lc độ dài ba đường góc đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶 kí hiệu 𝐴, phân giác tam giác xuất phát từ đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶 1.2.2.1 Định lý 1: Ba phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác tâm đường trịn nội tiếp tam giác  Chứng minh: Giả sử đoạn thẳng 𝐴𝐴’, 𝐵𝐵’, 𝐶𝐶’ ba phân giác tam giác 𝐴𝐵𝐶 Gọi 𝐼 giao điểm 𝐴𝐴’ 𝐵𝐵’ Từ 𝐼 kẻ 𝐼𝑀 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐼𝑁 ⊥ 𝐴𝐶, 𝐼𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 A N B' M C' I B P A' C Vì 𝐼 ∈ 𝐴𝐴’ nên 𝐼𝑀 = 𝐼𝑁 𝐼 ∈ 𝐵𝐵’ nên 𝐼𝑀 = 𝐼𝑃 Suy 𝐼𝑁 = 𝐼𝑃 Nghĩa 𝐼 thuộc phân giác 𝐶𝐶’ góc 𝐶 Vậy 𝐴𝐴’, 𝐵𝐵’ 𝐶𝐶’ đồng quy 𝐼 Ta có: 𝐼 cách ba cạnh tam giác nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác Vậy định lí chứng minh Ta có số nhận xét sau đây: SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy  Hai đường phân giác ngồi qua 𝐵 qua 𝐶 đường phân giác qua 𝐴 tam giác ∆𝐴𝐵𝐶 đồng quy tâm đường trịn bàng tiếp góc 𝐴 tam giác  Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đường trung trực, đường phân giác  Trong tam giác, giao điểm ba đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, giao điểm ba đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác Do tam giác đều, điểm đồng quy ba đường phân giác vừa tâm đường tròn nội tiếp, vừa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.2.2.2 Định lý 2: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Chứng minh: ̂ Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 đường phân giác góc 𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 Chứng minh rằng: Trường hợp 1: 𝐴𝐷 phân giác góc 𝐴̂ A B C D E Qua đỉnh 𝐵 kẻ đường thẳng song song với 𝐴𝐶, cắt đường thẳng 𝐴𝐷 điểm 𝐸 ̂ Ta có : ̂ 𝐵𝐴𝐸 = 𝐶𝐴𝐸 ̂ = 𝐶𝐴𝐸 ̂ Vì 𝐵𝐸 // 𝐴𝐶, nên 𝐵𝐸𝐴 ̂ Suy ̂ 𝐵𝐴𝐸 = 𝐵𝐸𝐴 Do tam giác 𝐴𝐵𝐸 cân 𝐵, suy 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 (1) Áp dụng hệ định lí Ta-lét tam giác 𝐷𝐴𝐶 ta có: SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Từ (1)và (2) suy ra: GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 𝐷𝐵 𝐵𝐸 = 𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 (2) Trường hợp 2: 𝐴𝐷 𝑙à phân giác góc 𝐴̂ A D B' B C Từ 𝐵 kẻ đường thẳng 𝑑 song song với 𝐴𝐷 cắt 𝐴𝐶 𝐵’ ̂2 (𝐴𝐷 // 𝐵𝐵′) ̂1 = 𝐵 ̂2 = 𝐵′ ̂1 , 𝐴 Ta có 𝐴 ̂2 ̂1 = 𝐴 ̂2 nên 𝐵 ̂1 = 𝐵′ Mà 𝐴 Suy ∆𝐴𝐵𝐵’ cân 𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵’ (3) Do 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐵′ , suy ra: Từ (3)và (4) suy ra: 𝐴𝐵′ 𝐷𝐵 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 (4) Vậy định lý chứng minh  Áp dụng: Trên đường phân giác góc vng, ta lấy điểm 𝑃 Qua điểm dựng đường thẳng tùy ý cắt cạnh góc vng tạo thành đoạn có độ dài a, b Chứng minh đại lượng 1 + khơng phụ thuộc vào vị trí đường thẳng 𝑎 𝑏 qua điểm 𝑃 Chứng minh: ̂ Giả sử 𝑂𝑦 tia phân giác góc vng 𝑥𝑂𝑧 Cố định 𝑃, 𝑃 ∈ 𝑂𝑦 𝑂𝑃 = 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Qua 𝑃 kẻ đường thẳng 𝑑 tùy ý cắt 𝑂𝑥, 𝑂𝑧 hai điểm 𝐴, 𝐵 SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 4.2 Bài toán 2: Cho đoạn thẳng 𝐴𝐵 đường thẳng 𝑑 cắt đoạn thẳng Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhận đường thẳng 𝑑 làm đường phân giác Giải: * Phân tích: + Trường hợp 1: Nếu 𝑑 cắt đoạn thẳng 𝐴𝐵 𝐴 𝑑 đường trung trực đoạc thẳng 𝐵𝐶 + Trường hợp 2: Nếu 𝑑 cắt đoạn thẳng 𝐴𝐵 𝐵 d đường trung trực đoạc thẳng 𝐴𝐶 + Trường hợp 3: Nếu giao điểm đoạn thẳng 𝐴𝐵 đường thẳng 𝑑 là điểm nằm 𝐴 𝐵 thì: Giả sử dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhận 𝑑 làm phân giác góc 𝐶 Qua 𝐴 𝑘ẻ đường thẳng 𝑑’ vng góc với đường thẳng 𝑑 cắt 𝐵𝐶 𝐵’ 𝐵’ đối xứng với 𝐵 qua 𝑑 * Cách dựng: - Trường hợp 1: Lấy 𝐶 đối xứng với 𝐵 qua đường thẳng 𝑑 d B C A - Trường hợp 2: Lấy 𝐶 đối xứng với 𝐴 qua đường thẳng 𝑑 d B SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST A Trang 40 C Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy - Trường hợp 3: + Dựng đường tròn (𝐴, 𝑟) cắt 𝑑 hai điểm 𝐴1 , 𝐴2 + Dựng hai đường tròn (𝐴1 , 𝐴1 𝐴2 ) (𝐴2 , 𝐴1 𝐴2 ), hai đường tròn cắt hai điểm, đường thẳng nối hai điểm qua 𝐴 cắt 𝑑 𝑂 + Dựng điểm 𝐵’ đối xứng với 𝐴 qua 𝑑, điểm 𝐵’ ta cần dựng vừa thuộc đường thẳng, vừa thuộc (𝑂, 𝑂𝐴) + Nối 𝐵𝐵’, 𝐵𝐵’ cắt 𝑑 𝐶, tam giác 𝐴𝐵𝐶 tam giác cần dựng d B A1 d' A O B' A2 C * Chứng minh: + Ở trường hợp theo cách dựng ta có ∆𝐴𝐵𝐶 tam giác cân nên 𝑑 đường trung trực đường phân giác ∆𝐴𝐵𝐶 + Trường hợp 3: Theo cách dựng ta có: Tam giác 𝐴𝐵’𝐶 có đường cao 𝐶𝑂 đồng thời đường trung tuyến nên tam giác cân Do 𝐶𝑂 đồng thời phân giác góc 𝐶 ̂ = 𝑂𝐶𝐵 ̂ Suy ra: 𝐴𝐶𝑂 SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Hay: d đường phân giác tam giác 𝐴𝐵𝐶 * Biện luận: - Trường hợp 2: Dựng điểm đối xứng 𝐶: có cách (Bài tốn có nghiệm hình) - Trường hợp 3: Dựng 𝐴1 , 𝐴2 : Có cách Dựng 𝐵′: có cách Vậy trường hợp tốn có nghiệm hình 4.3 Bài toán 3: Dựng tam giác theo đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh Giải: * Phân tích: + Giả sử dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐻, 𝐴𝐷, 𝐴𝑀 đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phất từ đỉnh 𝐴 + Theo tính chất chương 𝟏 ta có 𝐴𝐷 nằm 𝐴𝐻 𝐴𝑀 + Giao điểm 𝑃 phân giác 𝐴𝐷 với đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 chia đơi cung 𝐵𝐶 ̂ ⇒ 𝐵𝑃 = 𝑃𝐶 ̂ = 𝑃𝐶 Tức là: 𝐵𝑃 Do 𝑃 thuộc đường vng góc kẻ qua điểm 𝑀 với cạnh 𝐵𝐶, tức 𝑃𝑀 trung trực 𝐵𝐶 Khi tâm 𝑂 đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 giao điểm 𝑃𝑀 với đường trung trực 𝐴𝑃 * Cách dựng: + Đường phân giác 𝑝, đường cao ℎ, đường trung tuyến 𝑡 xác định trước cắt 𝐴, gọi 𝐻 điểm đường cao ℎ (𝐻 ≢ 𝐴) + Qua 𝐻 dựng đường thẳng 𝑑 vng góc với ℎ cắt 𝑝, 𝑡 𝐷, 𝑀 + Qua 𝑀 kẻ đường thẳng vuông góc với 𝑑 cắt phân giác 𝐴𝐷 𝑃 + Dựng trung trực 𝐴𝑃, đường cắt 𝑃𝑀 𝑂 (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶); 𝐵, 𝐶 giao điểm 𝑑 với (𝑂, 𝑂𝐴) Vậy ta dựng ∆𝐴𝐵𝐶 thỏa điều kiện cho A SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy * Chứng minh: Qua cách dựng ta dễ dàng kiểm chứng 𝐴𝐻, 𝐴𝐷, 𝐴𝑀 đường cao, phân giác, trung tuyến tam giác 𝐴𝐵𝐶 * Biện luận: + 𝐴𝐻 < 𝐴𝐷 < 𝐴𝑀: Bài tốn có nghiệm hình + 𝐴𝐻 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝑀: Bài tốn có vơ số nghiệm hình + Các trường hợp cịn lại: Bài tốn khơng có nghiệm hình 4.4 Bài tốn 4: ̂ hai điểm 𝐴, 𝐵 Dựng điểm cách hai cạnh 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 Cho góc 𝑥𝑂𝑦 ̂ cách hai điểm 𝐴, 𝐵 góc 𝑥𝑂𝑦 Giải: * Phân tích: ̂ cách Giả sử ta dựng điểm 𝑀 cách hai cạnh 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 góc xOy hai điểm 𝐴, 𝐵 Nghĩa có 𝑀𝐻 = 𝑀𝐾 (𝑀𝐻 ⊥ 𝑂𝑥, 𝐻 ∈ 𝑂𝑥, 𝑀𝐾 ⊥ 𝑂𝑦, 𝐾 ∈ 𝑂𝑦) 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 ̂ vừa thuộc đường trung trực d Vậy 𝑀 vừa thuộc tia phân giác 𝑂𝑡 góc 𝑥𝑂𝑦 𝐴𝐵 nên 𝑀 giao điểm 𝑂𝑡 𝑑 * Cách dựng: ̂ đường trung trực d 𝐴𝐵, 𝑑 cắt 𝑂𝑡 + Dựng tia phân giác 𝑂𝑡 góc 𝑥𝑂𝑦 𝑀, 𝑀 điểm cần dựng x H d SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST M t Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy * Chứng minh: Ta có: 𝑀 ∈ 𝑂𝑡 nên 𝑀𝐻 = 𝑀𝐾 Và: 𝑀 ∈ 𝑑 nên 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 * Biện luận: + d cắt 𝑂𝑡 𝐴𝐵 không vuông góc với 𝑂𝑡, tốn có nghiệm hình + Nếu 𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝑡 𝑂𝐴 ≠ 𝑂𝐵 𝑂𝑡 // 𝑑 Bài tốn vơ nghiệm + Nếu 𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝑡 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 𝑂𝑡 ≡ 𝑑 Bài tốn có vơ số nghiệm, nghĩa điểm 𝑂𝑡 vừa cách 𝑂𝑥, 𝑂𝑦; vừa cách 𝐴 𝐵 4.5 Bài toán 5: Dựng tam giác biết hai góc đường phân giác Giải: Biết hai góc tam giác tức biết góc thứ ba Khơng tính tổng qt, ta dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết góc 𝐵 = 𝛽, góc 𝐶 = 𝛾 đường phân giác 𝐵𝐷 đoạn 𝑎 cho trước * Phân tích: Giả sử ta dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 thỏa mãn yêu cầu đề + Tam giác 𝐵𝐷𝐴 có: 𝐵𝐷 = 𝑎, 𝐵 𝛽 = , 2 ̂ = 𝐴𝐵𝐷 ̂= 𝐵𝐷𝐴 𝐵 𝛽 +𝐶 = + 𝛾 2 x v A t E SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST B D Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy * Cách dựng: ̂ = 𝛽 + Trước hết dựng góc 𝑥𝐵𝑦 ̂ Trên tia 𝐵𝑡 dựng đoạn 𝐵𝐷 = 𝑎 + Dựng tia phân giác 𝐵𝑡 góc 𝑥𝐵𝑦 ̂ = 𝛾 + Từ 𝐷 dựng đường thẳng song song với 𝐵𝑦 cắt 𝐵𝑥 𝐸 Dựng 𝐸𝐷𝑣 + Cạnh 𝐷𝑣 cắt 𝐵𝑥 𝐴 tia đối tia 𝐷𝑣 cắt 𝐵𝑦 𝐶 * Chứng minh: Theo cách dựng ta có: 𝐵𝐷 = 𝑎 ̂ =𝛽 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 𝐵𝐶𝐴 ̂ (đồng vị) Và 𝐷𝐸 // 𝐵𝑦 nên: 𝐸𝐷𝐴 ̂ = 𝛾 nên suy 𝐵𝐶𝐴 ̂ = 𝛾 Mà: 𝐸𝐷𝐴 4.6 Bài toán 6: Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng 𝐵, 𝐶 , 𝐷 Dựng tam giác vng 𝐴𝐵𝐶 mà 𝐴𝐷 phân giác góc vng * Phân tích: Giả sử ta dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông 𝐴 mà 𝐴𝐷 đường phân giác góc 𝐴 Khi 𝐴 nằm đường trịn đường kính 𝐵𝐶, có trường hợp xảy sau đây: + Nếu 𝐷 trung điểm 𝐵𝐶 𝐴 cịn phải nằm đường trung trực đoạn thẳng 𝐵𝐶 + Nếu 𝐷 trung điểm đoạn thẳng 𝐵𝐶 𝐴 phải nằm đường trịn đường kính 𝐷𝐸, với 𝐸 điểm cho bốn điểm 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 lập thành hàng điểm điều hòa * Cách dựng: - Dựng đường trịn đường kính 𝐵𝐶 A SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 45 B D C Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy + Nếu 𝐷 trung điểm đoạn 𝐵𝐶 dựng tiếp đường trung trực đoạn thẳng 𝐵𝐶, giao điểm đường tròn đường trung trực vừa dựng đỉnh 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶 cần dựng (hình bên) + Nếu 𝐷 khơng phải trung điểm 𝐵𝐶 dựng điểm 𝐸 cho bốn điểm 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 lập thành hàng điểm điều hòa, giao điểm hai đường trịn có đường kính 𝐵𝐶, 𝐷𝐸 đỉnh 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶 cần dựng A B D C E A' * Chứng minh: + Nếu 𝐷 trung điểm đoạn thẳng 𝐵𝐶 𝑡hì tam giác 𝐴𝐵𝐶 dựng tam giác vng cân 𝐴 nên 𝐴𝐷 phân giác góc 𝐴 + Nếu 𝐷 trung điểm đoạc thẳng 𝐵𝐶 𝐴 nằm đường trịn đường kính 𝐷𝐸 nên góc 𝐷𝐴𝐸 góc vng (𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐸 ), 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 hàng điểm điều hòa nên 𝐴𝐷 phải phân giác góc 𝐵𝐴𝐶 * Biện luận: + Nếu 𝐷 trung điểm đoạn thẳng 𝐵𝐶 tam giác dựng tam giác vuông cân 𝐴 tốn có nghiệm hình tam giác vuông cân nhận 𝐵𝐶 làm cạnh chung SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy + Nếu 𝐷 khơng phải trung điểm đoạn thẳng 𝐵𝐶 đường trịn có đường kính theo thứ tự 𝐵𝐶 𝐷𝐸 cắt hai điểm Bài toán có nghiệm hình 𝐷 𝐵 𝐶, tốn khơng có nghiệm hình 𝐷 đoạn thẳng 𝐵𝐶 ĐỌC THÊM SAI LẦM Ở ĐÂU ? George Polya, số nhà toán học lớn thời đại chúng ta, nói rằng: “Hình học khoa học suy luận đắn dựa hình khơng đúng” Trong phần đọc thêm tơi đưa tốn để thấy việc kết luận dựa hình khơng dẫn tới kết khơng thể chấp nhận Bài toán: Điều ngụy biện: Mọi tam giác lệch (tức tam giác có ba cạnh khơng nhau) tam giác cân (tức tam giác có hai cạnh nhau) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 bất kì, dựng đường phân giác góc 𝐴, trung trực cạnh 𝐵𝐶, hai đường cắt 𝑂 Từ 𝑂 dựng 𝑂𝑌 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑂𝑍 ⊥ 𝐴𝐶 Ta chứng minh 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 Các trường hợp xảy cho tam giác lệch kì với cách mơ tả trên: Hình 5.1: 𝐴𝑂 𝑂𝐷 giao cạnh 𝐵𝐶 A Z Y SVTH: Nguyễn Thị HạnhB– Lớp 09ST DO C Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Hình 5.1 Hình 5.2: 𝐴𝑂 𝑂𝐷 giao tam giác, chân đường vng góc 𝑂𝑌 𝑂𝑍 nằm đoạn thẳng 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Hình 5.3: 𝐴𝑂 𝑂𝐷 giao ngồi tam giác, chân đường vng góc 𝑂𝑌 𝑂𝑍 nằm đoạn thẳng 𝐴𝐵 𝐴𝐶 kéo dài A Z Y C B D O Hình 5.2 A B C D Z Y SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST O Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Hình 5.3 Để “ chứng minh” điều ngụy biện ta tiến hành với hình vẽ hình nói Hãy theo dõi “chứng minh” theo (tất cả) hình Giả thiết: Tam giác 𝐴𝐵𝐶 tam giác lệch Kết luận: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 (hay tam giac 𝐴𝐵𝐶 tam giác cân) Chứng minh: + Xét hai tam giác vuông 𝐴𝑂𝑌 𝐴𝑂𝑍 có: Cạnh huyền 𝐴𝑂 chung ̂ = 𝑂𝐴𝑍 ̂ 𝑂𝐴𝑌 Suy ra: ⊿𝐴𝑂𝑌 = ⊿𝐴𝑂𝑍 Do đó: 𝐴𝑌 = 𝐴𝑍 (1) + Tương tự hai tam giác vng 𝐵𝑂𝑌 𝐶𝑂𝑍, có: 𝑂𝑌 = 𝑂𝑍 (𝐴𝑂 phân giác góc 𝐴) 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 (𝑂 thuộc trung trực 𝐵𝐶) Suy ra: ⊿𝐵𝑂𝑌 = ⊿𝐶𝑂𝑍 Do đó: 𝐵𝑌 = 𝐶𝑍 (2) Từ (1) (2) suy ra: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 (bằng phép cộng hình 5.1, 5.2 phép trừ đới với hình 5.3) Tức là: Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân 𝐴 Đến đây, bạn bối rối đơi chút ngạc nhiên khơng biết lỗi nằm đâu mà lại có nghịch lí Bằng cách dựng hình xác ta nhận thấy lỗi tinh vi hình: + Điểm 𝑂 phải nằm ngồi tam giác + Khi kẻ đường vng góc xuống cạnh tam giác, đường cắt cạnh hai đỉnh, cịn đường ngồi hai đỉnh Cụ thể: SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 𝑂 ln nằm ngồi tam giác 𝐴𝐵𝐶 chân hai đường vng góc hạ từ 𝑂 xuống 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 nằm đoạn thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 mà có điểm nằm đoạn thẳng 𝐴𝐵 hay 𝐴𝐶 kéo dài Thật vậy: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, giả sử 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 phân giác, 𝐴𝑀 trung tuyến Theo chứng minh chương ta có 𝑀 nằm 𝐵 𝐷 Do 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 nên trung trực 𝐵𝐶 qua 𝑀 cắt 𝐴𝐵 𝑁 nằm 𝐴𝐵 Áp dụng tiên đề Pat cho ba điểm không thẳng hàng 𝐴, 𝐵, 𝐷 ta có: 𝑁 nằm 𝐴 𝐷, 𝑀 nằm 𝐵 𝐷 nên 𝑁𝑀 cắt 𝐴𝐷 𝑂, 𝑂 nằm 𝐴 𝐷, tức 𝑂 nằm tam giác 𝐴𝐵𝐶 A N C Z C' Y D M B O Lấy 𝐶’ đối xứng với 𝐶 qua 𝐴𝐷 Ta có: 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴𝐶 ′ < 𝐴𝐵 Suy C’ nằm 𝐴 𝐵 Ta lại có: 𝑂𝐶 = 𝑂𝐶 ′ } ⇒ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶′ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 Suy ra: SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Trong tam giác cân 𝑂𝐵𝐶’, đường cao 𝑂𝑌 đồng thời trung tuyến nên 𝑌 nằm 𝐵 𝐶’, hay 𝑌 nằm 𝐴 𝐵 Vì 𝑌 nằm ngồi 𝐴 𝐶’ nên 𝑍 nằm 𝐴 𝐶 Như vậy, 𝑌 thuộc 𝐴𝐵 𝑍 nằm đường kéo dài 𝐴𝐵 Kết luận: Từ hình vẽ ta chứng minh được: 𝐴𝑌 = 𝐴𝑍 𝐵𝑌 = 𝐶𝑍 Nhưng vì: 𝐴𝐵 = 𝐴𝑌 + 𝐵𝑌 𝐴𝐶 = 𝐴𝑍 − 𝐶𝑍 Nên từ khơng thể suy 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶  Thông qua sai lầm muốn nhấn mạnh: Tất suy luận dẫn dắt giải tốn hình có xác hay khơng phụ thuộc vào hình vẽ  Do để có suy luận đắn phải có hình vẽ xác theo ý đồ toán yếu tố định đến hình vẽ cần nắm vững số tính chất số định lý hình học, có tính chất phân giác tam giác SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua đề tài nghiên cứu: “ Vận dụng tính chất phân giác tam giác để giải Toán ”, rút số kết luận sau: Tính chất đường phân giác tam giác xem cơng cụ hữu ích để giải tốn hình học mặt phẳng khơng gian, thơng qua số tốn cụ thể luận văn ta thấy kĩ thuật để giải tốn tính chất đường phân giác, đặc biệt tính chất 1.2.2.2 sử dụng rộng rãi có vai trị quan trọng Nói chung, tùy theo tốn cụ thể mà ta khai thác tính chất khác phân giác tam giác để giải toán Về hướng mở rộng đề tài: Ta phát triển vấn đề cách định nghĩa khảo sát tính chất mặt phân giác nhị diện, làm cơng cụ hổ trợ để giải tốn hình học khơng gian Luận văn tiến hành nghiên cứu nghiêm túc, khoa học hướng dẫn Thạc Sĩ Ngơ Thị Bích Thủy trình bày sở lí thuyết đường phân giác tam giác, làm rõ cách vận dụng tính chất phân giác tam giác thơng qua tốn cụ thể mặt phẳng khơng gian Phần trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến bổ sung để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trọng Bá, Nguyễn Xuân Bình (2004), SGK lớp 8, Nhà xuất Giáo dục [2] Hồng Đức Chính, Nguyễn Dễ, Các tốn hình học phẳng – v.v Praxolov [3] Văn Như Cương (Chủ biên), Hoàng Trọng Thái, Hoàng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Hùng (2005), Hình học sơ cấp, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm [4] Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp_Tập 3, Trường Đại Học Tổng Hợp Hà Nội [5] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Hình học tam giác, Nhà xuất Giáo dục 1996 [6] Văn Như Cương (Chủ Biên), Vũ Hữu Bình, Vũ Hoàng Lâm, Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 8, Nhà xuất Giáo dục 1998 [7] Văn Như Cương (Chủ Biên), Kiều Huy Ln, Hồng Trọng Thái, Hình học (Giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ Cao Đẳng sư phạm), Nhà xuất Giáo dục 1998 [8] X.I DêChen, Hình học tam giác, Nhà xuất Giáo dục 1996 [9] Alfred.S.Posamentier, Những điều kỳ diệu toán học (nguồn cảm hứng cho Giáo Viên Học Sinh), Nhà xuất Giáo dục 2009 [10] http://baigiang.violet.vn SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Hạnh – Lớp 09ST GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Trang 54 ... rõ tính chất đường phân giác tam giác cách vận dụng tính chất giải tốn, tơi chọn đề tài: “ Vận dụng tính chất phân giác tam giác để giải tốn ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa lại khái niệm tính. .. Tia phân giác góc 1.1.2 Phân giác tam giác 1.2 Tính chất 1.2.1 Tính chất tia phân giác góc 1.2.2 Tính chất phân giác tam giác 1.2.3 Một số tính chất khác 1.3 Phát triển định nghĩa đường phân giác. .. gian, mặt phân giác nhị diện Chương 2: Vận dụng tính chất phân giác tam giác để giải toán 2.1 Bài toán 2.1 Bài toán 2.3 Bài toán 2.4 Bài toán 2.5 Bài toán 2.6 Bài toán Chương 3: Phân giác với