Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ... Mãi yêu Quang Trung![r]
(1)Sở GD ĐT hải dơng
Trờng THPT Thanh Bình Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2011Mơn thi : tốn, Khối A, B (Thời gian làm 180 phút , không kể giao đề) A Phần chung cho tất thí sinh ( 7,0 im)
Câu I ( đ): Cho hµm sè:
2 x y
x
(1)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2) Tìm điểm M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận nhỏ
C©u II ( đ):
1) Giải phơng trình:
6
4(sin cos ) 6.cos 2.cos sin
x x x x
x
2) Gi¶i hệ phơng trình sau:
2
8 2
x y
y x
x y y
3) Giải phơng trình :
2 2x
x x
3 18
C©u III (1 đ): Tính tích phân sau:
2
1
1
ln ln
e
I x dx
x x
Câu IV (1 đ:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng
cân A,BC a 2, hình chiếu A’ mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ú.
Câu V(1 đ): Cho hai số thực x, y tho¶ m·n : x x 1 y y Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc: A = x + y
B Phần tự chọn ( 3,0 điểm)
1 Theo ch ơng trình chuẩn:
Câu VI.a ( 2đ):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vng ABCD có đỉnh A(4; 5), đờng chéo BD có phơng trình: y - = Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình vng
2) Trong kh«ng gian Oxyz cho (P): 3x - 2y - 3z - = vµ
x y z d :
3 2
.
Viết phơng trình đờng thẳng qua A(-1; 0; 1), song song với mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng d
C©u VII.a (1®): TÝnh tỉng sau:
2 2010
1 2009
2010 2010 2010 2010
2 2
2 2010
S C C C C
2 Theo ch ơng trình nâng cao:
Câu VI.b ( 2đ):
1) Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;1) đờng thẳng (d):2x+3y+4=0 Lập phơng trình đờng thẳng qua A tạo với đờng thẳng (d) góc 450.
2) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng:
x y z d :
3
;
x y z
d :
1
;
x y z d :
1
Viết phơng trình đờng thẳng d song song với d3 cắt d1, d2
Câu VII.b ( 1đ):Một hộp đựng viên bi xanh , viên bi đỏ viên bi vàng
Chän ngÉu nhiªn hai viªn bi
a) Tính xác suất để chọn đợc viên bi màu b) Tính xác suất để chọn đợc viên bi khác mu
ĐáP áN
Câu I :
§Ị chÝnh thøc
(2)-1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: ( trình bày theo chơng trình bản)
a) Tập xác định: D = R \ {-1} b) Sự biến thiên
. ChiỊu biÕn thiªn:
2
( 1) ( 2)
' \
( 1) ( 1)
x x
y x R
x x
=> Hàm số đồng biến khoảng (- ∞, -1) (-1, +∞)
. Hàm số cực trị
. Giới h¹n: +
2
lim lim
1
x x
x y
x
=> Đờng thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số + ( 1) ( 1)
2
lim lim
1
x x
x y
x
; ( 1) ( 1)
2
lim lim
1
x x
x y
x
=> đờng thẳng x = - tiệm cận đứng đồ thị hàm số
. Bảng biến thiên:
x - -1 +
y' + +
y
1 +∞ -
c) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (2;0 ) Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;-2)
f(x)=(x-2)/(x+1)
-8 -6 -4 -2
-5
x y
2) Gọi M(x0, y0) (C) , ( Trong
0
2 x y
x
vµ x
0≠ -1)
Gọi d1 phơng trình tiệm cận đứng: x + =
Gäi d2 lµ phơng trình tiệm cận ngang: y - =
Ta cã: d(M d; )1 x01; d(M d; )2 y01
Ta có tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận là:
1
0
( , ) ( , )
0
2
1
1
M d M d
x
d d d x
x
0 0
0 0
3 3
1
1 1
x x x
x x x
VËy:
min
0
3
2
1
d x
x
0
2
0
1 3
( 1)
1 3
x x
x
x x
(3)Víi: .x0 1 y0 1 .x0 1 y0 1
VËy cã ®iĨm M (C) thoả mÃn yêu cầu toán là:M1 1 3;1 3 vµ M2 1;1 3
C©u II: 1)
6
4(sin cos ) 6.cos 2.cos sin
x x x x
x
(1) §iỊu kiƯn: sin2x ≠
Ta cã (1)
2
3
4(1 sin ) 6cos 2(2 cos 1)
4 x x x
2
4 3sin 2x 6cos 2x 4cos 2x
2
4 3(1 cos ) 6cos 2x x 4cos 2x
2
4 3cos 2x 6cos 2x 4cos 2x
2
7 cos 2x 6cos 2x
cos sin ( )
cos ( )
7
x x L
x TM
1
2 arccos
7
cos
7
2 arccos
7
x k
x
x k
1
cos ( )
2
x arc k k Z
Vậy phơng trình cho có hai họ nghiệm
1
arccos
2
x k
vµ
1
arccos
2
x k
(k Z )
2) Giải hệ phơng trình sau:
2
(1)
8 2 (2)
x y
y x
x y y
*§iỊu kiƯn
8
2 x y
Gi¶i (1) ta cã:
2 2
(*)
x y x y
y x x y
XÐt hµm sè
2 ( )
f t t t
víi t0.
2
2
'( ) 0
f t t
t
=> Hàm số đồng biến D ;0 0; Mà (*) f x( )f y( ) xy vào PT (2) ta có:
8 2
x x x ®iỊu kiÖn
2 x
8 2
x x x
8 (3 2)(2 2)
x x x x
8 4x (3x 2)(2x 2)
4 2x (3x 2)(2x 2)
(4)2
2
2
2
3 (3 2)(2 2) (4 )
6 16 16
x x
x x x
x x x x
2 2 3
1 ( )
2 18 20
10 ( ) x x x TM x x x L
VËy ta cã :
1 x y
=>Hệ phơng trình cho có nghiệm (x, y) (1; 1).
3) §iỊu kiƯn: x Ta cã:
2 2x 2x
x x x x
3
3 18 log log 18
3 4x
x log 2 log
x 3(x 2)
x log
x
(x-2)(x2 + 2x + 3log
32) =
3
x =
2 ( ) x 2x 3log 2=0 (VN) x tm
.
C©u III :
2 1 ln ln e
I x dx
x x
2
1
1
ln ln
e e
dx x dx
x x
* Ta tÝnh tÝch ph©n
1 2 1 ln e I dx x x Đặt u = lnx => du =
dx x
Khi x = th× u = 0; Khi x = e th× u = 1 2 du I u
Đặt u = 2sint => du = 2costdt
Khi u = th× t = 0; u = th× t =
6 6
1 2
0 0
2.cos 2.cos
2.cos 4sin
t t
I dt dt dt
t t
6
0 x
* Ta tÝnh tÝch ph©n
2
1
ln
e
I x dx
Đặt
2 2.ln
ln du x dx
u x
x
dv du v x
2
.ln 2ln
e
e dx
I x x x x
x
1
.ln 2.ln
e
e
x x x dx
Đặt
ln
2 2
dx
u x du
x
dv dx v x
2
.ln ln
1
e
e e dx
I x x x x x
x
ln2 ln
1 1
e e e
x x x x x
(5)VËy: I I1 I2 e
Câu IV:
Do ABC vuông cân A mà BC = a => AB = BC = a
2
1
2
ABC
a S AB BC
(®vdt)
Ta có A'G (ABC) => A'G đờng cao khối lăng trụ A'B'C'.ABC
Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC
1
2
a
AM BC
Do G trọng tâm ABC
2
3
a
AG AM
XÐt A'AG ta cã:
0 '
tan 60 ' tan 60
3
A G a a
A G AG AG
2
' ' '
6
'
2
ABC A B C ABC
a a a
V S A G
(®vdt)
C©u V : Ta cã : x x 1 y 2 y x y 3 x 1 y2 §Ỉt: x y a 3 x 1 y2 a
Ta tìm điều kiện a đê hệ phơng trình sau có nghiệm: 3 2
x y a
x y a
(I)
Ta cã hÖ (I)
( 1) ( 2)
3
x y a
x y a
Đặt u x1 ;v y2 (u0;v0)
Ta có hệ phơng trình:
2
2
2
2 3
3
1
3 3
3 2 9
a u v
u v uv a
u v a
a a
u v a u v uv a
Suy : u v nghiệm phơng trình:
2
2 3 0
3
a a
t t a
(*)
HƯ (I) cã nghiƯm vµ chØ phơng trình (*) có hai nghiệm t1, t2 không âm
2
2
0 18 54
9 21
0 15
2
0 27
a a
S a a
P a a
hay
9 21
9 15
2 A
VËy:
9 21 15;
2 MaxA MinA
PhÇn tù chän
1 Theo ch ơng trình chuẩn:
C
âu VIa :
B
A' C'
G
A
B'
C M
60
a
a
B
(6)1). §êng thẳng AC vuông góc với BD: y - = nên có phơng trình dạng: x + c = mặt khác AC lại qua A( 4; 5) nªn c = -
VËy AC: x- = I(4;3)
Đờng tròn ngoại tiếp ABCD có tâm I(4;3), bán kính R= AI = nên có phơng trình:
2
4
x y Toạ độ điểm B D thoả mãn hệ phơng trình:
2 2 2
3
3
6
4 4
2 y
y y
x
x y x
x
VËy: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3) Hc: A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3)
2).
Gäi B = d => B(2 + 3t; -4- 2t; + 2t) Ta cã: AB(3 ; ;2 ) t t t
V× // (P) ABnP ( nP (3; 2; 3) )
) P
AB n
3(3 + 3t) - 2(-4 - 2t) - 3(2t) =
+ 9t + + 4t - 6t =
7t = -17
17 t
Lúc
30 34
; ; ( 15;3; 17)
7 7
AB
VËy () cã PT:
1
15 17
x y z
C©u VII.a (1®):
2 1010
1 2009
2010 2010 2010 2010
2 2
2 2010
S C C C C
Ta cã:
2010
2010 1 2 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0
(1 ) K k
k
x C x C C x C x C x C x C x
2010
2010 1 2 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0
(1 ) k ( )k
k
x C x C C x C x C x C x C x
2010 2010
1 3 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
(1 ) (1 )
2
x x
C x C x C x C x
(1) Lấy tích phân vế (1) với cận từ đến ta đợc:
2 2010 2010
1 3 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
1
(1 ) (1 )
2
x x
dx C x C x C x C x dx
2011 2011
1 2009 2010
2010 2010 2010
(1 ) (1 ) 2 2
1 1
2011 2011
2 2010
1
x x
C x C x C x
2011 2011 2010
1 2009
2010 2010 2010
3 2 2
4022 C C 2010 C
VËy:
2011 2011
3
4022
S
2 Theo ch ơng trình nâng cao
A(4;5) I(4;3 C
)
D
.
. B
A(-1;0;1)
()
p
n
P
(7)Câu VI.b
1). Đờng thẳng (d): 2x + 3y + = có vectơ pháp tuyến nd (2;3)
Đờng thẳng ®i qua A(2; 1) cã PT d¹ng: a(x - 2) + b(y - 1) = (a2 + b2 0)
ax + by - (2a +b) = () có vec tơ pháp tuyÕn n ( ; )a b
Theo giả thiết góc d 450.
0
cos 45 cos( , )
d d
d
n n n n
n n
2
2
2
2 13.
a b a b
26 a2b2 2 2a3b
26(a2 + b2) = 4(4a2 + 12ab + 9b2) 5a2 - 24ab - 5b2 = 0
2
5 a 24 a
b b
5 a b a b
TH1:
a
b chän a = 5, b = có phơng trình: 5x + y - 11 = 0
TH2:
1 a
b chän a = -1, b= có phơng trình: -x + 5y - = 0.
2).
Gọi A, B lần lợt giao ®iĨm cđa d víi d1 vµ d2
=> A(2 + 3a; -2+4a; 1+a), B(7+b; 3+2b; 9-b) => AB(5 b ;5 2a b ;8a b a )
Đờng thẳng d3 có vectơ phơng u3 (1;1; 2)
Ta có: AB u, 3 (2 5b ; 3a b ;a b a )
V× d d// 3 AB u, 3 0
2
1
2
1
b a
a b a
b b a
Khi A(5;2;2), B(8;5;8) AB(3;3;6) 3(1;1;2)
Vậy đờng thẳng (d) cần tìm có PT:
5 2
1
x y z
Câu VII.b (1 điểm)
a) Gọi A biến cố “ Chọn đợc viên bi xanh”
B biến cố “ Chọn đợc viên bi đỏ”
C biến cố “ Chọn đợc viên bi vàng” Và H biến cố “ Chọn đợc viên màu ”
Ta có: H A B C biến cố A , B , C đôi xung khắc Vậy theo quy tắc cộng xác suất ta có:
2
2
3
4
2 2
9 9
5 18 C
C C
P H P A B C P A P B P C
C C C
b) Biến cố “ Chọn đợc hai viên bi khác màu” biến cố H suy 13
( ) 1
18 18 P H P H
(d1
) (d2)
(d)
(d3 )
=(1;1;2)
. .
A
(8)Mãi yêu Quang Trung!