[r]
(1)2
2 2
(2x 1) x x (2x 1) x x
x x x x 2x[ x x x x 1](1)
Xét trường hợp:
@ x=0 thay vao (1) thấy (*)
@ x>0 2x>0 x>-x x2+x+1> x2-x+1 x2 x x2 x 1
2
x x x x
Nhân hai vế (1) cho x2 x x2 x 1 có bất đẳng thức
(x2+x+1)-( x2-x+1)>2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2
2x>2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2
[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2<1 (vì x>0)
(x2 x 1) (x2 x 1) <1 x2 x 1<1+ (x2 x 1)
x2+x+1<1+( x2-x+1)+2 (x2 x 1)
2x-1 < (x2 x 1) (2)
Nếu 0<x<1/2 2x-1<0 nên (2)
Nếu x>=1/2 2x-1>0 nên bình phương (x) có: 4x2-4x+1<4x2-4x+4 ln đúng
VẬy (1) với x>0 hay BĐT cho với x>0 (**) @ x<0 2x<0 x<-x x2+x+1 < x2-x+1 x2 x 1< (x2 x 1)
(x2 x 1) - x2 x 1>0
Khi nhân vế (1) cho (x2 x 1) - x2 x 1 có BĐT tương đương:
(x2-x+1)-( x2+x+1)>-2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2
-2x>-2x[ (x2 x 1) - x2 x 1]2
[ (x2 x 1) - x2 x 1]2< (vì -2x >0)
(x2 x 1) - x2 x 1<1
(x2 x 1) <1+ x2 x
x2-x+1 < 1+ (x2+x+1) + 2 x2 x
-(2x+1)<2 x2 x 1 (3)
Nếu -1/2 <x<0 2x+1 >0 => -(2x+1)<0 nên (3)
(2)4x2+4x+1<4x2+4x+4 đúng