Tổ hợp trong xác suất và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM ĐỨC KHANH TỔ HỢP TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn PGS TSKH Trần Quốc Chiến Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phạm Đức Khanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đóng góp đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG TỔ HỢP 1.1 HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 1.1.1 Nguyên lý nhân 1.1.2 Nguyên lý cộng 1.2 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 1.2.1 Chỉnh hợp lặp 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp 10 1.2.3 Hoán vị 11 1.2.4 Tổ hợp 13 1.3 CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG 17 1.3.1 Hoán vị lặp 17 1.3.2 Tổ hợp lặp 19 1.3.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 21 1.3.4 Phân hoạch không thứ tự 22 1.4 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 23 CHƢƠNG XÁC SUẤT 25 2.1 PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN 25 2.1.1 Phép thử 25 2.1.2 Sự kiện 26 2.1.3 Phép toán 26 2.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 28 2.2.1 Định nghĩa xác suất đồng khả 28 2.2.2 Định nghĩa xác suất tần suất 30 2.2.3 Định nghĩa xác suất hình học 30 2.2.4 Định nghĩa xác suất tiên đề 32 2.3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 32 2.3.1 Xác suất có điều kiện 32 2.3.2 Công thức nhân xác suất 33 2.4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES 34 2.5 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ 38 2.6 DÃY N BIẾN CỐ ĐỘC LẬP 39 2.7 DÃY CÁC PHÉP THỬ ĐỘC LẬP 39 2.8 CÔNG THỨC XÁC SUẤT NHỊ THỨC 40 CHƢƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG TỔ HỢP TÍNH XÁC SUẤT 46 3.1 BÀI TOÁN 46 3.2 BÀI TOÁN 47 3.3 BÀI TOÁN 48 3.4 BÀI TOÁN 49 3.5 BÀI TOÁN 51 3.6 BÀI TOÁN 51 3.7 BÀI TOÁN 52 3.8 BÀI TOÁN 52 3.9 BÀI TOÁN 53 3.10 BÀI TOÁN NGÀY SINH 54 3.11 BÀI TỐN LƢỢC ĐỒ HỘP KÍN 55 3.12 BÀI TOÁN BAO DIÊM 55 3.13 BÀI TOÁN BỎ THƢ 56 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm qua xác suất thống kê trở thành phần giáo trình cho học sinh sinh viên trƣờng phổ thông đại học Đồng thời đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực khác có nhiều kết có ích cho ngƣời Trong khoa học kỹ thuật thƣờng gặp nhiều toán liên quan tới xác suất Có nhiều trƣờng hợp cần phải áp dụng tổ hợp vào để giải xác suất Bởi phải tìm phƣơng pháp tổ hợp để áp dụng giải toán xác suất Cho đến nay, xác suất có nhiều ƣu điểm ứng dụng Trong nhiều kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trƣờng đại học, cao đẳng toán liên quan đến xác suất thống kê hay đƣợc đề cập thƣờng thuộc loại khó nên học sinh đa số lúng túng giải tốn loại Đó lý tơi chọn để tài “Tổ hợp xác suất ứng dụng” Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho cơng tác giảng dạy tơi nói chung luyện thi học sinh giỏi nói riêng sau Đồng thời tài liệu cho đồng nghiệp, học sinh, sinh viên tham khảo Mục tiêu nghiên cứu đề tài Tơi mong muốn tìm kiếm đƣợc nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu để trình bày lại kiến thức luận văn theo thể khép kín hi vọng luận văn đƣợc sử dụng nhƣ tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh giáo viên trƣờng trung học phổ thông ngƣời quan tâm đến xác suất thống kê Trong chƣơng luận văn này, tơi trình bày lý thuyết «Tổ Hợp » Trong chƣơng dự định nghiên cứu « Xác Suất » Chƣơng tơi tìm hiểu «Một Số Ứng Dụng Tổ Hợp Tính Xác Suất » Nội dung chƣơng dự kiến cung cấp lý thuyết nguyên lý chủ đề chƣơng, kỹ thuật áp dụng nguyên lí tập ví dụ minh họa Cơng việc tốn khơng thời gian xây dựng toán liên quan chƣơng, mục để thấy nghĩa nguyên lý kỹ thuật xác suất thống kê Phƣơng pháp nghiên cứu Trong luận văn, phƣơng pháp sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Một số kiến thức lý thuyết xác suất thống kê toán học lý thuyết tổ hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu giải số toán xác suất tổ hợp 4.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình xác suất thống kê giáo trình lý thuyết tổ hợp tác giả liên quan Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng nhƣ tài liệu tham khảo dành cho học sinh ,sinh viên giáo viên giảng dạy môn tốn khối phổ thơng trung học … Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng tổ hợp vào xác suất phù hợp với chuyên ngành Phƣơng pháp toán sơ cấp Sau cho phép bảo vệ, đƣợc góp ý thầy hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến lĩnh vực Thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên cịn số nội dung hay mà luận văn chƣa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thƣờng xuyên để nội dung luận văn đƣợc phong phú, dùng làm tài liệu ơn thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng Chƣơng 1: Tổ hợp Trong chƣơng tơi trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ hai nguyên lý đếm bản, cấu hình tổ hợp bản, cấu hình tổ hợp Chƣơng 2: Xác suất Trong chƣơng tơi trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ phép thử kiện, xác suất biến cố, xác suất có điều kiện cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes, tính độc lập biến cố, dãy n biến cố độc lập, dãy phép thử độc lập, công thức xác suất nhị thức Chƣơng 3: Một số ứng dụng tổ hợp tính xác suất Trong chƣơng tơi trình bày số tốn dùng tổ hợp tính xác suất CHƢƠNG TỔ HỢP 1.1 HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN Trong sống ngày, thƣờng phải liệt kê “các kiện” nhƣ: Sắp xếp đối tƣợng theo cách đó, phân chia vật theo điều kiện định, phân phối sản phẩm theo đặc điểm kỹ thuật định, v.v… Chẳng hạn, ta đối mặt với tốn đếm có dạng: “Có cách xếp người nam người nữ hàng cho khơng có hai người nữ đứng kề nhau?” “Có cách chia nhóm gồm 10 người thành nhóm bao gồm nhóm người, nhóm người, nhóm người giữ lại người.” Đó hai ví dụ đơn giản toán đếm liên quan đến gọi là: “hoán vị” “tổ hợp” Trƣớc giới thiệu phần hoán vị tổ hợp, ta phát biểu hai nguyên lý đếm bản: 1.1.1 Nguyên lý nhân Ví dụ 1.1 Một nhà hàng có thực đơn sau: * Khai vị: Khoai tây Súp * Món ăn chính: Thịt bị Thịt lợn Cá * Đồ uống: Trà 2.Sữa 3.Bia 4.Cola Có cách chọn bữa ăn gồm khai vị, ăn chính, loại đồ uống ? Giải: Số cách chọn tính nhƣ sau: ( cách chọn khai vị ) ( cách chọn ) ( cách chọn đồ uống ) = 24 Nguyên lý nhân Giả sử kiện E đƣợc phân tích thành r kiện, theo trình tự E1 , E2 , , Er giả sử có: n1 cách để kiện E1 xảy ra, n2 cách để kiện E2 xảy ra, nr cách để kiện Er xảy r Khi đó, số cách để kiện E xảy là: n1 n2 nr ni i Ví dụ 1.2 Tìm số ƣớc ngun dƣơng 600, bao gồm số 600 Giải: Đầu tiên ý số “ 600 ” có phân tích thành thừa số nguyên tố, cụ thể là, 600 23 31 52 Do đó, số nguyên dƣơng m ƣớc 600 m 2a 3b 5c , a, b, c Z , cho a 3, b 1, c Số ƣớc dƣơng “ 600 ” số cách tạo thành ba a, b, c mà a 0, 1, 2, , b (Nguyên lý nhân ) đáp số là: 24 0, , c 0, 1, Theo 46 CHƢƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG TỔ HỢP TÍNH XÁC SUẤT 3.1 BÀI TỐN Có ba hộp: Mỗi hộp đựng viên bi, hộp thứ i có i viên bi màu trắng ( i =1,3 ) Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi i Tính xác suất để lấy đƣợc viên bi trắng? ii Nếu bi lấy có bi trắng Tìm xác suất để viên bi trắng hộp thứ nhất? Giải: Gọi Ai biến cố lấy đƣợc viên bi trắng từ hộp thứ i ( i = 1, 2, 3) Ta có: A1, A2 , A3 hệ độc lập toàn phần i Gọi A biến cố lấy đƣợc viên bi trắng Từ đó: A = A1 A2 A3 Suy ra: P ( A ) = P( A1).P( A2 ).P( A3 ) = 5 125 ii Gọi B biến cố bi lấy có bi trắng Ta cần tính: Với: B P( B) P ( A1 / B ) A1 A2 A3 P( A1 A2 A3 ) A1 A2 A3 P ( A1.B ) P( B) A1 A2 A3 P( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) nên: P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1) P( A2 ) P( A3 ) 47 = 5 Vậy: P( A1 / B) 2 5 3 58 5 125 P( A1 A2 A3 ) P( B) = 125 58 125 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( B) 29 3.2 BÀI TOÁN Một đồn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, ngƣời độc lập với chọn ngẫu nhiên toa i Tìm xác suất để toa có ngƣời lên tàu? ii Tìm xác suất để toa có ngƣời, toa có ngƣời hai toa khơng có ngƣời? Giải: Gọi dãy x1, x2 , x3 , x4 xi số toa mà ngƣời i lên tàu Gọi tập hợp dãy x1, x2 , x3 , x4 ( tức tập hợp khả lên tàu hành khách ) Do xi 1,2,3,4 tức xi có khả lựa chọn Vậy: = 44 = 256 i Gọi A biến cố “ toa tàu có ngƣời lên tàu ”.Ta thấy hành khách lên tàu tƣơng ứng với cách chọn dãy xi , x j đơi khác Nhƣ ta có: A = ! = 24 Từ xác suất để toa có ngƣời lên tàu là: x1, x2 , x3 , x4 , 48 A P(A) = 24 256 32 ii Gọi B biến cố “ toa có ngƣời, toa có ngƣời hai toa khơng có ngƣời ” Ta có: - Chọn toa toa để có hành khách lên Số cách chọn là: n1 = C 41 = Chọn toa cịn lại toa để có khách lên Số cách chọn là: - n2 = C31 = Với toa có khách lên chọn khách khách ngồi toa Số cách chọn là: n3 = C43 = - Ngƣời cịn lại cho vào toa có khách Số cách chọn: n4 = Theo quy tắc nhân ta có: B = n1 n2 n3 n4 =48 Vậy xác suất toa có ngƣời, toa có ngƣời, toa khơng có ngƣời là: P( B) B 48 256 16 3.3 BÀI TOÁN Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn Xác suất để trúng ba viên vòng 10 0,008 , xác suất để viên trúng vòng 0,15 xác suất để viên trúng dƣới vòng 0,4 Biết lần bắn độc lập với Tính xác suất để vận động viên đạt 28 điểm? Giải: Gọi A “ biến cố viên trúng vòng 10 ” Từ giả thuyết ta có: P A 0,008 suy P(A) = 0,2 (1) 49 Gọi B “ biến cố viên trúng vòng ” C “ biến cố viên trúng vòng ” D “ biến cố viên trúng dƣới vòng ” Theo giả thuyết ta có: P(C) = 0,15 , P(D) = 0,4 (2) Ta có A, B, C, D biến cố xung khắc với nhau, nên ta có : P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = (3) Từ (1), (2), ( ) ta có : P( B ) = – 0,2 – 0,15 – 0,4 = 0,25 Gọi X “ biến cố vận động viên đạt 28 điểm ” Để đạt 28 điểm thì: - Hoặc viên trúng vòng 10 viên trúng vòng Xác suất xảy là: C32 0,2 0,15 - Hoặc viên trúng vòng 9, viên trúng vòng 10 Xác suất xảy là: C32 0,25 0,2 - Hoặc viên trúng vòng 10, viên trúng vòng Xác suất xảy là: C32 0,2 0,25 - Hoặc viên trúng vòng 10 với xác suất theo giả thuyết là: 0,008 Vậy xác suất vận động viên bắn 28 điểm : 2 P(X) = C32 0,2 0,15 + C32 0,25 0,2 + C32 0,2 0,25 + 0.008 = 0,018 + 0,0375 + 0,03 + 0,008 = 0,0935 3.4 BÀI TỐN Có nhóm n sinh viên, ngƣời có áo mƣa giống hệt Một hơm trời mƣa, nhóm đến lớp treo áo vào mắc áo Lúc vội vàng ngƣời lấy hú họa áo Tính xác suất có sinh viên chọn áo mình? Giải: Gọi Ai biến cố: “ sinh viên thứ i nhận áo ” ( i = 1,…,n) 50 A biến cố: “ có sinh viên nhận áo ” Ta có: A A1 A2 An Xác suất để sinh viên thứ i nhận áo là: n 1! n! n P ( Ai ) n P Ai n n ! i n! Ta tính xác suất sinh viên thứ k thứ i nhận áo là: P( Ak Ai ) P Ai P Ak / Ai Từ : n P Ak Ai Cn2 P Ak Ai k i n 2! n! n 2! n! 2! n ! n! 2! Tổng quát, xác suất để có m ( m ≤ n ) sinh viên k1, k2 , , km nhận áo là: n m! n! P( Ak1 Ak2 Akm ) P( Ak1 Ak2 AKm ) Cnm Và: k1 k2 km n (n m)! n! m! Suy ra: n P ( A) P( n Ak ) = i n P(Ak Ai ) ( 1) n P(A1A An ) P( Ak ) k =1 k i 1 ( 1)n 2! 3! n! Khi n → ∞ P ( A ) → - e 51 3.5 BÀI TỐN Một máy tính điện tử gồm n phận Xác suất hỏng khoảng thời gian T phận thứ k pk ( k = 1,2,…,n ) Nếu dù phận bị hỏng máy tính dừng làm việc Tính xác suất để máy tính ngừng làm việc khoảng thời gian T? Giải: Gọi Ak : Biến cố “ phận thứ k hỏng thời gian T ” ( k = ,2 , ,n) A : Biến cố “ máy tính ngừng làm việc khoảng thời gian T ” A : Biến cố “ máy tính làm việc tốt khoảng thời gian T ” Theo giả thuyết: P( Ak ) = pk ( k = 1,2,…,n ) Và A A1 A2 An đó: Xác suất để máy tính ngừng làm việc khoảng thời gian T là: P A P A P A1 P A2 P An (1 p1) p2 pn 3.6 BÀI TOÁN Một đợt xổ số phát hành N vé số, có M vé trúng thƣởng Một ngƣời mua r vé ( r < N – M ) Tính xác suất để ngƣời có vé trúng thƣởng ? Giải: Gọi A là: “ Biến cố ngƣời có vé trúng thƣởng ” A là: “ Biến cố ngƣời khơng có vé trúng thƣởng ” Ta có: P( A) CNr M CNr Vậy xác suất để ngƣời có vé trúng thƣởng là: P( A ) = P A CNr M = CNr 52 3.7 BÀI TOÁN Có lơ hàng có n sản phẩm có m sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng k sản phẩm Tìm xác suất cho số sản phẩm lấy có s sản phẩm xấu ( s < k )? Giải: Gọi A : biến cố sản phẩm lấy có s sản phẩm xấu Mỗi cách lấy ngẫu nhiên k sản phẩm từ lô hàng n sản phẩm tổ hợp chập k n phần tử : Cnk Có Cms cách lấy s sản phẩm xấu từ m sản phẩm xấu lơ hàng Có Cnk s m cách lấy k – s sản phẩm tốt từ n – m sản phẩm tốt lô hàng Theo quy tắc nhân, ta có: A Cms Cnk ms Vậy xác suất số sản phẩm lấy có s sản phẩm xấu: A P A Cms Cnk ms Cnk 3.8 BÀI TỐN Có n ngƣời chơi trò tung mũ hội: ngƣời cầm mũ mình, tung vào phịng Sau ngƣời nhặt lấy mũ số mũ đƣợc tung cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để khơng có ngƣời nhặt đƣợc mũ ? Giải: Gọi khơng gian mẫu, Ai biến cố ngƣời thứ i ( i = 1, 2, …, n ) nhặt đƣợc mũ Ta cần tính: P( \ A1 Ta có : A2 An ) P A1 A2 An 53 P A1 A2 n An n n P Ai i P( Ai Aj ) P A1 A2 An i , j 1, i j 1 Cn n ! Cn2 n ! n! 1 2! n Cnn 0! n 1 n! Vậy xác suất để khơng có ngƣời nhặt đƣợc mũ : 1 (1 2! n 1 n! ) 2! 3! n e n n! 3.9 BÀI TOÁN Xếp ngẫu nhiên n số: 1, n n vị trí theo hàng ngang tính xác suất i Ba số đầu ln đứng vị trí liên tiếp ? ii Hai số đầu đứng cách k vị trí k n ? Giải: i Gọi A1 biến cố xếp ba số đầu ba vị trí liên tiếp ( n vị trí ) A2 biến cố xếp ( n – ) số lại ( n – ) vị trí cịn lại tƣơng ứng A1 xảy có 3! n ( trƣờng hợp ) A2 xảy có n ! ( trƣờng hợp ) Từ : A1 A2 xảy có : 3! n n ! = ! n ! ( trƣờng hợp ) Số trƣờng hợp xảy : n! ( trƣờng hợp ) Vậy xác suất số đầu đứng vị trí liên tiếp là: P A1 A2 3! n ! n! ii Gọi A biến cố xếp hai số đầu ln cách k vị trí 54 B biến cố xếp n – số lại Ta có: A xảy có: 2! n k ( trƣờng hợp) B xảy có: Suy ra: A n ! ( trƣờng hợp ) B xảy có: 2! n k n ! ( trƣờng hợp ) Vậy xác suất hai số đầu ln đứng cách k vị trí k n 2!.(n k 1)(n 2)! n! 3.10 BÀI TOÁN NGÀY SINH P( A B) Một nhóm gồm n ngƣời Tính xác suất để có hai ngƣời có ngày sinh ( ngày tháng )? Giải: Gọi S tập hợp danh sách ngày sinh n ngƣời E biến cố hai ngƣời nhóm ngày sinh năm Ta có : E biến cố khơng có hai ngƣời nhóm có ngày sinh Số trƣờng hợp S : n S 365.365 365 365n n Số trƣờng hợp thuận lợi cho E là: n E 365.364.363 365 n 365 n ! 365.364 365 (n 1) = 365 n ! 365! 365 n ! Vì biến cố đồng khả nên: n E P E n S 365! 365 n ! n 365 365! 365 n !.365n 55 Vậy xác suất để có hai ngƣời có ngày sinh là: P E P E 365! 365 n !.365n 3.11 BÀI TỐN LƢỢC ĐỒ HỘP KÍN Cho hộp đựng N cầu cân đối giống có M cầu đỏ ( M < N ) ( N – M ) cầu trắng Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) p cầu p N từ hộp Tính xác suất để p cầu lấy có q q p cầu đỏ ? Giải: Gọi A biến cố p cầu lấy có q cầu đỏ Ta có : Số trƣờng hợp xảy là: CNp Số trƣờng hợp thuận lợi là: - Số cách lấy q cầu đỏ là: C Mq - Số cách lấy ( p – q ) cầu trắng là: CNp Theo quy tắc nhân: CMq CNp q M q M Vậy xác suất để p cầu lấy có q q P( A) p cầu đỏ là: CMq CNp CNp q M 3.12 BÀI TOÁN BAO DIÊM Giả sử có nhà tốn học ln mang theo bao diêm bên ngƣời Một bên túi bên trái bên túi bên phải lần ông cần diêm, ông dể dàng lấy chúng từ túi nhƣ Giả sử ông ta lấy từ túi phát bao diêm lần trống rỗng Nếu N tổng số que diêm ban đầu chứa bao diêm Tìm xác suất có xác k que diêm hộp cịn lại? 56 Giải: Giả sử coi hộp diêm túi phải không giới hạn que diêm gọi M số diêm đƣợc lấy khỏi hộp diêm trƣớc hộp diêm bên trái đƣợc tìm thấy trống rỗng Khi hộp diêm bên trái đƣợc tìm thấy trống rỗng, nghĩa ơng ta lấy (N+1) lần Khi M số lần thành công trƣớc (N+1) lần thất bại thử nghiệm Bernoulli với P theo công thức xác suất nhị thức ta có: P M N m m m N m ( N m)! m! N ! N m Quay lại vấn đề ban đầu, khả mà hộp bên trái đƣợc tìm thấy trống rỗng trƣớc P M N khả nhƣ Xác suất phải tìm là: P K k P M N k/M = 2P M N k 2N = N k N 2N k (2 N k )! = N !( N k )! 2N k 3.13 BÀI TỐN BỎ THƢ Có n thƣ n phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thƣ vào phong bì i Hỏi xác suất để không thƣ địa ? ii Hỏi xác suất để r thƣ địa r n ? 57 Giải: i Gọi X tập hợp tất cách bỏ thƣ Ta có X n! Gọi ak tính chất thƣ k gửi địa chỉ, X k tập hợp cách bỏ thƣ cho thƣ k gửi địa ( k = , … , n ) Kí hiệu N ( n, r ) số cách bỏ thƣ cho có r thƣ địa ( r = , 1, … , n ) Nhƣ theo nguyên lý bù trừ số cách bỏ thƣ cho khơng có thƣ gửi địa : k n N (n,0) X n, k k Trong : X(n,0) = X n! X i1 Và : X (n, k ) X i2 k = , … , n X ik i1 ik n Với k thƣ i1, i2 , , ik , X i1 X i2 X ik tập hợp cách bỏ thƣ cho thƣ i1, i2 , , ik bỏ địa Với k thƣ i1, i2 , , ik ta có ( n – k ) ! cách bỏ thƣ, tức hoán vị thƣ lại, cho thƣ i1, i2 , , ik bỏ địa Suy X i1 X i2 X ik =(n–k)! Nhƣ ta có X(n,k) = C( n,k ) (n – k ) ! = n! k! Suy 1 N (n,0) n! 1! 2! Nhƣ xác suất cần tìm là: n! n 58 N n,0 n! 1 1! n! 2! Một điều lý thú xác suất tiến đến n n e Số N ( n, ) tổng số hốn vị f i tập 1,2, ,n thỏa mãn f i i, i 1,2, , n Vì N(n, 0) đƣợc gọi số thứ tự đƣợc kí hiệu Dn ii Cho tổ hợp i1, i2 , , ir Số cách bỏ thƣ để địa số thƣ i1, i2 , , ir gửi địa N (n – r , ) Nhƣ số cách bỏ thƣ để có r thƣ gửi địa là: N (n, r ) C n, r N n r ,0 1 C (n, r ).(n r )! 1! 2! n! = r! 1! 2! n r n r ! Suy xác suất phải tìm: N n, r n! 1 r! 1! 2! n r n r ! n r n r ! 59 KẾT LUẬN Trên luận văn Tôi cố gắng nghiên cứu thực hiện, bƣớc đầu luận văn hoàn thành đƣợc mục đích nhiệm vụ cụ thể đề nhƣ sau: - Tổng hợp đƣợc số nguyên lý xác suất thống kê - Cung cấp hệ thống kĩ thuật thƣờng dùng toán xác suất đề thi chọn học sinh giỏi Toán quốc gia quốc tế - Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc yêu thích xác suất thống kê - Xây dựng đƣợc giáo trình, có tính hệ thống, khép kín dùng làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho học sinh chuyên Tốn bậc trung học phổ thơng 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Quốc Chiến (2010), Giáo Trình Lý Thuyết Tổ Hợp, Đại Học Sƣ Phạm Đà Nẵng [2] Nguyễn Đình Hiền (2004), Giáo trình Xác Suất Thống Kê, NXB Đại Học Sƣ phạm, 2004 [3] Phạm Văn Kiều (2005), Xác Suất Thống Kê, NXB Đại Học Sƣ Phạm [4] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo Trình Xác Suất, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (1999), Thống Kê Ứng Dụng, NXBGD [6] Đặng Hùng Thắng (1999), Bài Tập Thống Kê, NXBGD [7] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Việt Yên (2001), Lý Thuyết Xác Suất, NXBGD Hà Nội Tiếng Anh [8] Lehmann E (1959), Testing statistical hypotheses, New York [9] Mustafa Benyaklef (1977), Probabilites et statistique mathematipue [10] S.Ross (1980), In troduction to Probability Models, New York ... tới xác suất Có nhiều trƣờng hợp cần phải áp dụng tổ hợp vào để giải xác suất Bởi phải tìm phƣơng pháp tổ hợp để áp dụng giải toán xác suất Cho đến nay, xác suất có nhiều ƣu điểm ứng dụng Trong. .. công thức xác suất nhị thức Chƣơng 3: Một số ứng dụng tổ hợp tính xác suất Trong chƣơng tơi trình bày số tốn dùng tổ hợp tính xác suất CHƢƠNG TỔ HỢP 1.1 HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN Trong sống ngày,... 32 2.3 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 32 2.3.1 Xác suất có điều kiện 32 2.3.2 Công thức nhân xác suất 33 2.4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC