Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán về đại số, giải tích và lượng giác

1 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - VŨ THỊ TƯỜNG MINH ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Đối tượng phạm vi nghiên cứu III Mục đích nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Cấu trúc luận văn Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN I.1 Định nghĩa số phức I.2 Các dạng biểu diễn số phức phép toán I.3 Công thức Moivre phép khai số phức 10 I.4 Một số kiến thức liên quan kĩ làm tập ứng dụng số phức 11 Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC 16 II.1 Phương pháp ứng dụng số phức để giải phương trình, bất phương trình 16 II.2 Phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số 18 II.3 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác góc a cho trước 21 II.4 Phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng biểu thức lượng giác 25 II.5 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị biểu thức lượng giác trị xác định 28 II.6 Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn dãy số lượng giác 32 II.7 Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn biểu thức tổ hợp 33 II.8 Phương pháp ứng dụng số phức để giải toán phương trình hàm đa thức 36 II.9 Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 38 II.10 Phương pháp ứng dụng số phức để giải toán chia hết 41 II.11 Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 43 Chương III : ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC 46 III.1 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải phương trình, bất phương trình 46 III.2 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số 48 III.3 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác góc a cho trước 52 III.4 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng biểu thức lượng giác 54 III.5 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị biểu thức lượng giác trị xác định 59 III.6 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn dãy số lượng giác 61 III.7 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn biểu thức tổ hợp 64 III.8 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải tốn phương trình hàm đa thức 68 III.9 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 70 III.10 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải toán chia hết 73 III.11 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 75 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài em giúp đỡ nhiều người Trước hết em xin gởi lời cám ơn đến cô Phan Thị Quản - người trực tiếp hướng dẫn định hướng đề tài cho em, đồng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường tất thầy giáo khoa Tốn tạo điều kiện cho em hồn thành đề tài Sau đó, em xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên tinh thần vật chất trình làm luận văn Trong trình làm luận văn em cố gắng để hoàn thành khó tránh khỏi sai sót, kính mong nhận góp ý, bảo thầy cô bạn bè sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05/2012 Sinh viên thực Vũ Thị Tường Minh PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Do nhu cầu toán học, số phức hình thành từ kỉ XVI Tuy nhiên, q trình thừa nhận số phức cơng cụ quý giá toán học diễn chậm chạm Có nhiều nỗi băn khoăn thắc mắc đơn vị ảo i  1 khơng có chung với số _ công cụ phép đếm Mãi đến kỉ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trường mở rộng (đại số) £ trường số thực ¡ thu phép ghép đại số cho ¡ nghiệm i phương trình x   Số phức chuyên đề mẻ học sinh phổ thơng trung học Ở chương trình tốn phổ thông, số phức giới thiệu sơ lược đưa vào cuối chương trình nên chưa sâu vào ứng dụng Thực chất, ứng dụng số phức việc giải tốn sơ cấp khơng nhỏ; vốn cơng cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số, lượng giác Nhiều tốn có lời giải đơn giản dùng công cụ số phức Với lí trên, em nghiên cứu đề tài “Ứng dụng số phức việc giải tốn đại số, giải tích lượng giác” II Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1./ Đối tượng nghiên cứu - Tìm hiểu dạng tốn đại số, giải tích lượng giác mà ứng dụng phương pháp số phức để giải - Đối tượng luận văn em cấp học sinh cấp 3, học sinh học trường chuyên, bạn sinh viên thích thú có nhu cầu tìm hiểu ứng dụng số phức vào việc giải toán đại số, giải tích lượng giác 2./ Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu dạng tốn đại số, giải tích lượng giác mà giải phương pháp số phức III Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống lại đưa phương pháp giải tốn đại số, giải tích lượng giác phương pháp số phức IV Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm tất tập ứng dụng giải phương pháp ứng dụng số phức, phân dạng đưa phương pháp giải V Phương pháp nghiên cứu Tìm kiếm, thu thập sách, vở, internet tài liệu liên quan đến số phức VI Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương 1: Một vài lý thuyết Chương 2: Các phương pháp ứng dụng số phức để giải tốn đại số, giải tích lượng giác Chương 3: Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải toán đại số, giải tích lượng giác Kết luận Tài liệu tham khảo Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN I.1 Định nghĩa số phức a) Định nghĩa 1: Số phức số có dạng z = a + ib, a, b số thực i số thỏa mãn i2 = -1, i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực số phức z, kí hiệu Rez b gọi phần ảo số phức z, kí hiệu Imz Số phức có phần ảo (b = 0) có dạng z = a số thực Số phức có phần thực (a = 0) có dạng z = ib gọi số ảo (hay số ảo) Tập hợp số phức kí hiệu £ b) Định nghĩa 2: Hai số phức z1 = a1 + ib1 z2 = a2 + ib2 gọi a1 = a2 b1 = b2, kí hiệu z1 = z2 c) Định nghĩa 3: Số phức đối z = a + ib -a – ib, kí hiệu –z d) Định nghĩa 4: Số phức liên hợp z = a + ib a – ib, kí hiệu z e) Định nghĩa 5: Số phức nghịch đảo z = a + ib  a  ib , kí hiệu z 1  a b I.2 Các dạng biểu diễn số phức phép toán a) Dạng đại số số phức  ) Định nghĩa dạng đại số Mỗi số phức z biểu diễn dạng: z = a + ib với a,b ¡ i2 = -1 Đây dạng đại số số phức  ) Các phép toán Cho số phức z = a + bi; z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i với a, b, a1, b1, a2, b2 R +) Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i +) Phép trừ: z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i +) Tích hai số : z1.z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1).i +) Phép chia số phức: z1 z1.z2 a1a2  b1b2 a2b1  a1b2    i z2 z2 z2 a2  b22 a2  b22 Mở rộng: +) z  z  2Re z +) z  z  2i Im z +) z.z  a  b2 = z +) z  2 z a b +) z z  w w b) Dạng lượng giác số phức Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, số phức z = a + ib biểu diễn điểm M(a, b) Và ngược lại với điểm M(a, b) biểu diễn số phức z = a + ib  ) Mô đun argument số phức * Mô đun uuuur - Độ dài véc tơ OM gọi mơ đun số phức z, kí hiệu z uuuur z =  OM  a2  b2  z.z Mở rộng: +) z  z +) z  w  z  w +) z  w  z  w +) zw  z w +) z z  (w  0) w w * Argument Số đo góc lượng giác  Ox, OM gọi argumen z uuuur Kí hiệu argz Nếu  argumen z argumen z có dạng   k2 , k ¢  ) Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi với a, b  ¡ Với r mô đun,  argumen số phức z Ta có : r  z  a  b2 với a = r cos  ; b = r sin  Do z = a + bi viết dạng z = r(cos  + i sin  ) với r > Dạng gọi dạng lượng giác số phức  ) Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho số phức có dạng lượng giác z1 = r1 (cos  + isin  1); z2 = r2(cos  2+isin  2) +).Phép nhân z1 z2 = r1 r2 [cos(  1+  2) + isin(  1+  2)] +).Phép chia z1 r1  [cos(1  2 )  isin(1  2 )] z2 r2 Đặc biệt 1  [cos( )  isin()] z r Nhận xét: - Mơ đun tích số phức tích mơ đun, argumen tích số phức tổng argumen bội số 2 - Mô đun thương số phức thương mô đun, argumen thương số phức hiệu argumen bội số 2 c) Dạng mũ số phức 10  ) Dạng mũ số phức Cho số phức z = r(cos  + isin  ) với r > i Áp dụng hệ thức Eurler: ei  cos  isin  ta z  r.e Khi ta goi z  r.ei dạng mũ số phức  ) Nhân chia số phức dạng mũ i Cho số phức sau z1  r1.e ; z2  r2 ei với r1; r2 >0 Khi ta có: i (1 2 ) z1.z2  r1.r2 e z1 r1 i (1 2 )  e z2 r2 I.3 Công thức Moivre phép khai số phức a) Công thức Moivre Với n số nguyên dương, công thức [r(cos  i sin )]  r (cos n  i sin n) n n gọi công thức Moivre Công thức số nguyên âm: [r(cos  i sin )]n  r n[cos(n)  i sin(n)] b) Phép khai Cho số phức z  Khi bậc n z số phức w thỏa phương trình w n  z Cho số phức z  r(cos  i sin  ) , r > Căn bậc n số phức z số phức n biểu diễn dạng lượng giác w   (cos +i sin  ) cho w  z Theo cơng thức Moivre, ta có  n (cos n  i sin n )  r.(cos  i sin  )   n  r n    k2 kZ   k2    n r   kZ n Lấy k = 0, 1, 2, …, n-1 ta n giá trị khác  Do có n bậc n khác z : 65    Xét số phức z   i   cos  isin  4  Áp dụng công thức khai triển Niu tơn: 20 21 z21  (1  i)21  C021  C121i  C221i  C321i3   C20  C21 21i 21i    20 21  C021  C21  C21   C21  i C121  C321  C521   C21  Theo cơng thức Moivre ta có: z21   2 21 21 21   cos  isin      2 21     cos  isin    So sánh phần thực phần ảo ta có :         C021  C21  C421   C20 21   C 21  C321  C521   C21 21 21 21 cos sin   210   210 20 21 10 Vậy C21  C21  C21   C21  C21  C21  C21   C21  2 Bài toán 21 : Với n số tự nhiên lớn Chứng minh : C1n  Cn  Cn  Cn   (1)k 27  3 2k 1 C2k  n 2n n 1 sin n ; với 2k +1 số nguyên gần với n n Giải : Xét số phức z      i   cos  isin  2  6 Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn ta có : n  1  3 z    i     2    n n    i   3  n n  3  1   22   33   44   55   n n    1  Cni    Cni    Cni    Cni    Cni     i Cn    3  3  3  3  3     n 66 n   3  k 2k    Cn    1  Cn  Cn  Cn   (1) 2k 27       n 1   C1  C3  C5  C7   (1)k i n  n n n 27 n         n Áp dụng cơng thức Moivre ta có z   cos   2k C 2k 1 n      n n   isin 6  So sánh phần ảo ta : 1 C  C3n  C5n  Cn   (1)k 27 1 n  3 2k 2k 1 n C  2n n 1 sin n Bài toán 22 : Với n số tự nhiên lớn Chứng minh : 1 C n  C4n   (1)k Cn2k   C n  C3n  C5n   (1)k Cn2k 1   2n với 2k+1 số nguyên gần với n n Giải : Xét số phức z  1 i Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn ta có : zn  (1  i)n   C1ni  Cn2i2  C3n i3  Cn4 i4  C5n i5  C6n i6  C7n i7  Cnn 1in 1  Cnnin     C2n  C4n  C6n   (1)k C2k  n  1  i C1n  C3n  C5n  C7n   (1)k C2k n  Suy zn  1  C n  C4n  C6n   (1)k C2k n   C n 1  C3n  C5n  C7n   (1)k C2k n (1) n Lại có z   z   2n n (2)  67 Từ (1) (2) suy :   C2n  C4n   (1)k Cn2k    C1n  C3n  C5n   (1)k Cn2k 1   2n Bài toán 23: Với n số tự nhiên lớn Chứng minh : 1 (n  2)  1 C1n  Cn4  C7n   C3k   2n  2cos n  ; với 3k + số nguyên 3  gần với n n Giải : Xét   cos 2 2 suy    isin 3 Các số 1;  ;   cos 4 4  isin nghiệm phương trình 3 Áp dụng cơng thức nhị thức Niu tơn cho cặp số (1;1),(1;  ),(1;  ) có: (1  1)n  C0n  C1n  C2n   Cnn (1   )n   (1) C0n  C1n  Cn2  C3n  Cn4  C5n   Cnn n   C   C  C   C   C4n  C5n   Cnn  n 1 n (1   )n 2  n n n (2) C0n  C1n  C2n  C3n  C4n  C5n 10   Cnn 2n 2  C0n  C1n  Cn2  C3n  C4n  C5n   Cnn 2n 2 (3) Bước : Áp dụng định lý Viet cho phương trình   suy      dùng cơng thức Moivre để tính cặp (a  b)n   (a  b)n với cặp số (1;1),(1;  ),(1;  ) Áp dụng định lý Viet cho phương trình   suy      Áp dụng công thức Moivre, ta : (11)n  2n 68 2 2      1  cos  isin   cos  isin       2 2  2 2    cos  isin   cos  isin    n (1   )n  n     cos n       4 4   cos  -   isin      cos  isin    n (1   ) 3   3     2 4 4    2 2   cos  isin cos  isin   3   3   (n  2) (n  2)  isin 3 n n n  isin 3  2 2 cos  isin 3 cos n n  isin 3  cos (n  2) - isin (n  2)  2 2 3 cos  isin 3 cos Từ đó, cộng phương trình (1), (2) (3), ta : (n  2) 1  C1n  C4n  C7n   C3k n 1 n (n  2)  1 hay C1n  Cn4  C7n   C3k   2cos n   2n  2cos   III.8 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải tốn phương trình hàm đa thức Bài tốn 24 : Tìm tất đa thức P(x) cho : P(x).P(x 1)  P(x ) (*) Giải : Giả sử  nghiệm P(x) Từ phương trình (*) suy  ; ; ; nghiệm P(x) = Từ suy     , ngược lại ta thu dãy vô hạn nghiệm P(x) (mẫu thuẫn với hệ định lý đại số : đa thức P(x) bậc n có n nghiệm) Thay x x – (*), ta có : P(x 1).P(x)  P((x 1) ) (**) Vì  nghiệm P(x) nên từ phương trình (**) suy  1 nghiệm P(x) 69 Từ phương trình (**) suy  1 ;  1 ;  1 ; nghiệm P(x) Lý luận tương tự ta có  1   1  Ta có trường hợp: - Trường hợp    1  : suy   1  (vô lý) - Trường hợp    1  : suy   - Trường hợp    1  : Ta có   1     1  Dấu xảy   k.1  k , thay vào   suy   - Trường hợp    1  : Từ   , ta đặt   cos  isin  Và kết hợp  1  suy 2cos   cos   5      3  Giả sử   Xét  nghiệm P(x) = Do đó:  1 nghiệm P(x) =   1 2 2  2    cos  1  sin  (Mẫu thuẫn nghiệm 3   P(x) = có mơ đun Tương tự cho trường hợp   5 Như ta kết luận     m n Suy P(x) có dạng cx (1 x) , với c số m, n số ngun khơng âm Thay vào phương trình (*) ta có c = m = n m m Vậy lớp đa thức thỏa mãn điều kiện cho P(x)  x (1  x) , m số tự nhiên Bài tốn 25 : Chứng minh đa thức với hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau   P(x) 2x  P(2x  x) khơng có nghiệm thực 70 Giải: Giả sử  nghiệm thực P(x) Từ phương trình suy 3   2 ;   2    2  ;   2    2     2    2   ; (*)   nghiệm thực P(x) Khi   dãy (*) dãy tăng dãy vô hạn nghiệm P(x) (mẫu thuẫn với hệ định lý đại số) Khi   dãy (*) dãy giảm dãy vơ hạn nghiệm P(x) (mẫu thuẫn với hệ định lý đại số) Khi   , suy P(x)  xkQ(x) với Q(0)  , thay vào phương trình ta có:  x k Q(x) 2x   Q(x) 2x  k   k Q(2x )  2x  x    k  Q 2x  x  k Q(2x )  2x  Q 2x  x   Thay x = vào ta = Q(0) (mẫu thuẫn) Vậy P(x) khơng có nghiệm thực III.9 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức Bài toán 26: Cho x, y, z dương xyz = Chứng minh rằng: x  xy  z2  y2  yz  z2  z2  zx  x  3 Giải: Bất đẳng thức tương đương : 2 2 2 y   3y  z   3z  x   3z      x        y        z       3             y 3y z 3z x 3x    i; b   y    i;c   z    i Xét số phức a   x    2 2 2    Khi đó: a  b  c  3  x  y  z    x  y  z  i 2 71 Suy a  b  c  3.(x  y  z) 2 2 y   3y  z   3z  x   3z     a   x      ; b   y      ; c   z                  Ta ln có: a  b  c  a  b  c Hay x  xy  z2  y2  yz  z  z  zx  x  3(x  y  z) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân ta có: x  y  z  3xyz  Do đó: x  xy  z2  y2  yz  z2  z2  zx  x  3 Bài toán 27: Chứng minh với giá trị x, y ta có: 4cos2 x cos2 y  sin (x  y)  4sin x sin y  sin (x  y)  Giải: Bất đẳng thức tương đương  2cos x cos y2  sin2 (x  y)   2sin xsin y 2  sin (x  y)  Xét số phức a  2cos x cos y  isin(x  y) ; b  2sin x sin y  isin(x  y) Khi a  b  2cos x cos y  2sin x sin y  i2sin(x  y)  2cos(x  y)  2isin(x  y) Suy : a  b  2; a   2cos x cos y2  sin (x  y); 2sin xsin y 2  sin (x  y) b Ta ln có: a  b  a  b hay  2cos x cos y2  sin2 (x  y)   2sin xsin y 2  sin (x  y)  Bài toán 28: Cho a, b, c, d số dương  a  b2   c2  d2 Chứng minh : Giải : a3 b3  1 c d 72 a3  c Xét số phức x   b3 i ; y  ac  bd.i d  a3 c xy  xy  Khi ta có : ac  a b3  ; y  ac  bd c d Và x  Ta ln có :   xy  xy  x y a  b2   2 Hay  a  b  b3 bd  a  b2 d   a b3  ac  bd c d a b3       ac  bd  d   c  a b3  a  b2 c2  d      ac  bd  d   c   (1) Đặt z  a  ib; t  c  id 2 2 Suy z  a  b ; t  c  d Ta có :    zt  zt  ac  bd  zt  zt  z t hay ac  bd  a  b2 c2  d2 (2) Kết hợp (1) (2) suy :  a3 b3  a3 b3 ac  bd      ac  bd     (đpcm) c d c d Bài toán 29 : Cho x, y,z thỏa x + 2y + 3z = Chứng minh bất đẳng thức sau :  x   y2   z2  10 (*) Giải : 2 2 Bất đẳng thức (*) tương đương  x   (2y)   (3z)  10 Đặt a = 1+ xi, b = + 2yi, c = + 3zi Ta có a + b + c = 1+ xi + + 2yi + + 3zi = + 8i 73 Suy a  b  c   x  22  (2y)2  32  (3z)2 , a  b  c  10 Ta có : a  b  c  a  b  c hay  x   y2   z2  10 2 Vậy  x   y   z  10 III.10 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải toán chia hết Bài toán 30 : Chứng minh với giá trị n, đa thức  x  1 2n 1  x n2 chia hết cho đa thức x  x  Giải : Đa thức x  x  có nghiệm phân biệt 1    i 2 2 4 4  cos  isin     i  cos  isin 3 2 3 2n n Đa thức x  x  chia hết cho đa thức x  x  1 2 2n n nghiệm đa thức x  x  Thay 1 vào x 2n  x n  =0 ta có : 2 2    cos  i sin  1   2n 1 2 2     cos  i sin 3   2n 1 n 2 0 n 2   2 2      cos  i sin    cos  i sin 0 3 3    (2n  1) (2n  1) 2(n  2) 2(n  2)  cos  i sin  cos  i sin 3 3 (2n  1) 2(n  2) (2n  1) 2(n  2)   cos  cos  i  sin  sin 3 3  0  0  Vì (2n 1) 2(n  2)    nên 3 cos (2n  1) 2(n  2) (2n  1) 2(n  2) hay  cos sin   sin 3 3 cos (2n 1) 2(n  2) (2n 1) 2(n  2)  cos  sin  sin  với giá trị n 3 3 74 Thay  vào x 2n  x n  =0 ta có : 4 4    cos  i sin  1   2n 1 4 4     cos  i sin 3   2n 1 n 2 0 n 2    2 2      cos  isin   cos  isin 0  3  3    (2n  1) (2n  1) 2(n  2) 2(n  2)  cos  isin  cos  isin 3 3 (2n  1) 2(n  2)  (2n  1) 2(n  2)  cos  cos  i  sin  sin 3 3  0  0  Vì (2n 1) 2(n  2)    nên 3 cos (2n  1) 2(n  2) (2n  1) 2(n  2) hay  cos sin   sin 3 3 cos (2n 1) 2(n  2) (2n  1) 2(n  2)  cos  sin  sin  với giá trị n 3 3 Vậy với giá trị n, đa thức  x  1 2n 1  x n  chia hết cho đa thức x2  x 1 Bài toán 31 : Chứng minh với n nguyên dương số thực  thỏa mãn điều kiện n > sin   đa thức P(x)  xn sin   xsin n  sin(n 1) chia hết cho đa thức Q(x)  x2  2xcos 1 Giải : Đa thức Q(x)  x  2xcos 1 có nghiệm phân biệt 1  cos  isin    cos  isin Đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) 1 2 nghiệm đa thức P(x) Thay 1 vào P(x)  xn sin   xsin n  sin(n 1) = ta có :  cos  i sin  n sin    cos  i sin   sin n  sin(n 1)    cosn  i sin n  sin    cos  i sin   sin n  sin(n 1)  75  cosn sin   isin n sin   cos sin n  isin  sin n  sin(n  1)   cosn sin   cos sin n  sin(n  1)  i(sin  sin n  sin n sin  )  Vì cosn sin   cos sin n   sin(n  1) nên cosn sin   cos sin n  sin(n  1)  với n nguyên dương Và sin  sin n  sin n sin   với n nguyên dương Thay  vào P(x)  xn sin   xsin n  sin(n 1) = ta có :  cos  i sin   sin    cos  i sin   sin n  sin(n  1)    cosn  i sin n  sin    cos  i sin   sin n  sin(n  1)  n  cosn sin   i sin n sin   cos sin n  i sin  sin n  sin(n  1)   cosn sin   cos sin n  sin(n  1)  i(sin n sin   sin  sin n )  Vì cosn sin   cos sin n   sin(n  1) nên cosn sin   cos sin n  sin(n  1)  với n nguyên dương Và sin n sin   sin  sin n  với n nguyên dương Vậy với n nguyên dương số thực  thỏa mãn điều kiện n > sin   đa thức P(x)  x sin   xsin n  sin(n 1) chia hết cho đa n thức Q(x)  x  2xcos 1 III.11 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán 32 : Cho x  R Tìm giá trị lớn biểu thức : M  x2    x2 Giải : Miền xác định biểu thức D   2;  Xét số phức sau : a  x  Khi ta có :    i  x ; b   4.i 1 ab  ab  x    x ; a  ; b  76 Ta ln có :   15 2 15 ab  ab  a b hay x 10   x  hay M  2 Dấu xảy : k  cho a  kb   3k  x   x ;k 19    x  4k Ta có x   76 thỏa điều kiện miền xác định 19 Vậy giá trị lớn M M  15 x   19 Bài toán 33 : Cho x  R Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F  4x2  4x   x 1 Giải : Miền xác định D = R Biến đổi biểu thức F, ta có: F 1  2x 2 1  (2x)2  Xét số phức sau : a  1  2x   i; b  2x  2i Khi : a  b   3i ; a  b  10; a  Ta ln có : a  b  a  b hay 10  1  2x 2 1; 1  2x 2 1  Dấu xảy k  cho a  kb  x  1  2x  2kx    1  2k k    Vậy giá trị nhỏ biểu thức F 10 x  b  (2x)2  (2x)2  hay F  10 77 Bài toán 34 : Cho x  R Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu N  6x   x thức : Giải : Miền xác định D   5;  Xét số phức a  x  i  x ; b   8i Khi ta có : Ta ln có :   ab  ab  6x   x ; a  5; b  10   ab  ab  a b hay 6x   x  10 hay N  10 Dấu xảy : k  cho a  kb  x  6k   x   ; k  5    x  8k Ta có x   thỏa điều kiện miền xác định Do giá trị lớn N N  10 x   Mặt khác ta có N  6x   x  6x  6 (vì  x  ) Do giá trị nhỏ N 6 x   Vậy giá trị lớn N N  10 x   6 x   giá trị nhỏ N 78 KẾT LUẬN Khóa luận thu kết sau : - Tìm phân loại số tốn đại số, giải tích, lượng giác giải phương pháp số phức - Đưa phương pháp giải số dạng toán đại số, giải tích, lượng giác cách ứng dụng số phức có ví dụ minh họa phân theo bước phương pháp cụ thể Tuy nhiên, khoá luận cịn số hạn chế : chưa tìm hiểu phương pháp ứng dụng số phức để giải tốn đếm, chưa tìm hiểu có dạng toán khác giải phương pháp số phức hay khơng Nếu có điều kiện, em hứa nghiên cứu kĩ ứng dụng số phức để giải toán 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Đậu Thế Cấp (2002), Bài tập Hàm biến phức, Nhà xuất Giáo dục, thành phố Hồ Chí Minh Lê Hồnh Phị, Phân loại phương pháp giải toán số phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội Lê Mậu Hải, Bùi Đắc Tắc (2001), Bài tập Hàm biến phức, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Lê Quang Nẫm(2000), Tìm tịi để học tốn, Nhà xuất Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà (2000), Phương pháp giải toán bất đẳng thức – cực trị, Nhà xuất Đà Nẵng Nguyễn Văn Mậu (2011), Các chuyên đề Olympic toán học khu vực cấp trung học phổ thông, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Thủy Thanh (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT : Giới hạn dãy số hàm số, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý áp dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 10.Trương Văn Thương (2003), Hàm số biến số phức, Nhà xuất Giáo dục 11 Võ Thanh Văn, TS Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang (2009), Chuyên đề ứng dụng số phức giải toán THPT, Nhà xuất Đại học Sư phạm ... làm tập ứng dụng số phức 11 Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC 16 II.1 Phương pháp ứng dụng số phức để giải phương... nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số, lượng giác Nhiều tốn có lời giải đơn giản dùng cơng cụ số phức Với lí trên, em nghiên cứu đề tài ? ?Ứng dụng số phức việc giải toán đại số, giải tích lượng. .. nhu cầu tìm hiểu ứng dụng số phức vào việc giải tốn đại số, giải tích lượng giác 2./ Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu dạng tốn đại số, giải tích lượng giác mà giải phương pháp số phức III Mục đích