004

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC và tính thể tích khối chóp S BCNM.. Tính độ dài đoạn MN.[r]

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) CÂU I (2 điểm) Cho hàm số

3

y=x - x + mx+ -m có đồ thị ( )Cm 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=0

2. Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng D: 3x+ - =y góc 45 0

CÂU II (2 điểm)

1. Giải phương trình: sin 1sin 10 2 10

x x

p p

ổ - ử= ổ +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

2. Tìm giá trị m để phương trình: ( 2)3

x + -x =m có nghiệm R CÂU III (1 điểm) Tính tích phân:

ln

0

x x e

I dx

e -=

+ ị

CÂU IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a AD, =2 ,a cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB lập với đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M với

3 a

AM= Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, SC vàtính thể tích khối chóp S BCNM

CÂU V (1 điểm) Cho số dương x y z, , thỏa mãn: ( 1) ( 1) ( 1)

x x- +y y- +z z- £ Tìm giá trị nhỏ của:

1 1

1 1

A

x y z

= + +

+ + +

PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn

CÂU VI.a (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm đường thẳng

: 31 0,

d x+ y- = điểm 1;5 Nổỗ ửữ

ố ứ thuc ng thng AC, điểm M(2; 3- ) thuộc đường thẳng AB Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' với A(0; 3;0 ,- ) (B 4;0;0 ,) (0;3;0 ,) (' 4;0; )

C B Gọi M trung điểm A B' ' Mặt phẳng ( )P qua hai điểm A, M song song với ( )

',

BC P cắt A C' ' điểm N Tính độ dài đoạn MN

CÂU VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z+ -1 2i = + +z 4i z 2i z i

-+ số ảo B Theo chương trình nâng cao

CÂU VI.b (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2

:

C x +y - x+ y+ = Gọi ( )C' đường trịn có tâm ( )5;1

I cắt đường tròn ( )C điểm M, N cho MN = Hãy viết phương trình ( )C'

2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' đỉnh A(0;0;0 ,) (B 1;0;0 ,) D(0;1;0) A' 0; 0;1 ( ) Gọi ( )P mặt phẳng thay đổi, ln chứa đường thẳng CD',j góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng (BB D D' ' ) Tìm giá trị nhỏ j

CÂU VII b (1 điểm) Giải hệ phương trình:

2

log log log log

x y

x y

ìï + - =

ïïí

ï - -

=-ïïỵ

- Hết -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……….………: Số báo danh: ………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

Trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN Khối A

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN, Khối A

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

Câu I (2 điểm)

1 (1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số khi m0 (Tóm tắt)

3

0

m  yx  x   Tập xác định: 

 Sự biến thiên: Bảng biến thiên:

 Đồ thị: 1 đ

2 (1 điểm) Tìm m để đường thẳng qua điểm cự trị tạo với  góc 450

Để hàm số có điểm cực trị phương trình y x' 3x22xm0 có nghiệm phân biệt    'y' m 0 m1 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị

Cm, ta có:   1 1  ' 2 1

3

y x  x y x  m x Thay tọa độ A B, vào đẳng

thức này, ý y x' 1  y x' 2 0 ta có:  

 

1

2

2 1

2 1

y m x

y m x

  

  

  

 

 

: 1

d y m x

    đường thẳng qua điểm cực trị hàm số

0,5

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến n12m2; ,  đường thẳng  có vecto pháp tuyến n2 3;1  Ta có:

   

 

1

2 2 2 2

1

1 1

cos , cos 45

2

4 1 1 3 1

n n m

d

n n m

 

     

  

   

2

4 11

4

m m m

      (loại nghiệm m2)

2

Câu II (2 điểm)

1 (1 điểm) giải phương trình lượng giác

 

3

sin sin

10 2 10

x x

 

   

  

   

   

Đặt 3

10 2 10

x x

t      t thay vào phương

trình  1 sin 1sin 3 sin 1sin  sin sin

2 10 10

t    t t  t t t

          

 

 

0,5đ

 

3

2

sin

2sin 3sin 4sin sin sin 1

cos

4 sin

2

t k t

t t t t t

t t



  

 

       

 

  



Giải ta nghiệm:

5

x  k x  k   14  

x  k  k

0,5đ

2 (1 điểm) Tìm m để phương trình có nghiệm

Điều kiện  1 x1, đặt xsint với t0; 2 PT trở thành:

 3

2

sin t cos t m Đặt ucos2t0u1 PT trở thành: 1 u u3 m

 1

u u m

   

Hàm số f u u u 1 có

 

'

2 f u  u

 

'

9 f u  u

Từ BBT suy phương trình có nghiệm

4 23

1

27 m 27 m

      

1đ

Câu III (1 điểm)

 

 

ln ln ln ln

0 0

1 ln

1

1 2 ln ln

0

1 1

x

x x

x

x x x

d e

e e

I dx dx dx e

e e e



 



         

    

   

4

2 ln ln ln

3

 

    

 

1 đ

Câu IV (1 điểm)

H hình chiếu A SD, qua H kẻ

 

/ / ,

HK CD KSC qua K kẻ

 

/ /

KL AH LAB KL đoạn

vng góc chung AB SC Do khoảng cách AB SC độ dài KLAH

Vì   

60 SA ABCD SBA 

0

tan 60

SA AB a Trong tam giác

vuông SAD: SD SA2AD2 a

Và 2 2 2

2

1 1 210

10 AS AD a AH

AH  AS  AD   AS AD 

0,5đ

Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, G giao điểm SO MC, kẻ BG cắt SD N

thì BCNM thiết diện hình chóp S.ABCD BCM

Gọi V V V, ,1 2 thể tích hình chóp S ABCD S ACB , S ACD ;

còn ' '

1

', ,

3

thấy 1 2

2

V V  V Xét tỉ số:

' ' ' '

1 2

1

' 1

1

2

V V V V

V SM SN

V V V V SA SD

 

  

       

 

 

Chú ý

rằng, / / / /

3

SN SM AD BC MN AD

SD SA

    Vậy: ' '

9

V

V V

V    Mà

3 3

1 10

.2 '

3 ABCD 3 27

a a a

V  SA S  a a a V   (đvtt)

0,5đ

Câu V (1 điểm)

Có:  

2

2 1

3 1

1 1

x y z A x y z

x y z

 

          

  

 

9

A

x y z

 

   Mặt khác giả thiết  

2 2

x y z x y z

       Dễ dàng

chứng minh 2 1 2,

3

x y z  x y z nên ta đặt txyz

2

1

0

3t  t 3  t (vì x y z, , dương) Hơn hàm số

1

y t



 nghịch biến nên

9

4

A 

 Dấu '''' xảy

4

1 1

x y z

x y z

x y z

  



    

    



1đ

Câu VI.a (2 điểm)

1 (1 điểm) Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC

MB:a x 2b y 30 a2b2 0  Vì

 0

2 2

7

45 cos 45

1

a b MBC

a b



  

 

2

12 12

4

a b a ab b

a b

 

     

  

TH 1: 3a4bchọn

4, :

a b d x y 

TH 2: 4a 3bchọn

3, : 18

a b  d x y 

Nếu chọn AB

   :  1;1  4;5 

AC d

d AC x y A B

N AC

  

        

  

Mặt khác MA  3; , MB  6;82 MAMBM nằm đoạn AB

trường hợp thỏa mãn Từ suy C3; 

Hoàn toàn tương tự, lấy AB d' khơng thỏa mãn u cầu toán

Đáp số A1;1 , B4;5 , C3; 

1đ

2 (1 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) tính độ dài MN

Ta có: A' 0; 3; ,   C' 0;3;   M trung điểm A B' ' nên 2; 3;

M  

  Mặt

khác: 2; ; ,3 '  4; 4; 

2

AM   BC  

 

 

 P có vtpt n2 phương với vecto

 

, ' 6; 24;12

AM BC

    

 

 

chọn n2 1; 4; 2  P :x4y2z120 AC'

đi qua A có vtcp ' 0;1; 0

6

4

vào PT   0; 1; 4 17

2 P  t  N  MN 

Câu VII.a (1 điểm)

Giả sử z x yi Theo ta có x 1 y2i  x 3 4y i

x 12 y 22 x 32 y 42 y x

          

Số phức  

 

    

 

2

2

2 2

2

w

1 1

x y i x y y x y i

z i

x y i

z i x y

      



  

 

  

w số ảo

  

   

2

2

2

2 0,

5

x y y

y x y

y x

    

 

      

  

 

12 23

;

7

x y

    Vậy 12 23

7

z   i

1đ

Câu VI.b (2 điểm)

1 (1 điểm) Viết phương trình đường trịn

Đường trịn  C có tâm I1; ,  bán kính R ; đường trịn  C' có tâm I' 5;1 ,  bán kính R'. Khi II'5; Gọi M, N là giao điểm  C  C' , theo giả thiết

5

MN Gọi H giao điểm MN II' Ta có:

2 MH HN 

Trong tam giác I MH' ta có

2

2 2

' '

2

I H I M R   

 

7

' ' '

2

I H HI II HI

       Suy

2

' ' 28 '

MI  HI MH   R 

  C' : x52y12 28 7.

1đ

2 (1 điểm) Tìm 

Có: BB D D' '  là: 1x11y00z00 hay x  y Giả sử mặt phẳng  P có vtpt nP a b c; ; , a2b2c2 0  Ta có CD'  1;0;1  Do

 

' P '

CD  P n CD   ac

 2

cos

2 2

P

P

n n a b

n n a b

  

  

  Mà a b 2   

2

2

1

2 1

2

2 a b a b

   

    

 

 

 

0

3

cos 30

2

 

    Vậy

min30

1đ

Câu VII.b (1 điểm)

Điều kiện

2

0,

log 1,log 243

x y x

x y y

  

 



 

    



Đặt

3

log

log

u x u

v

v y

    





 



  

 

Hệ trở thành  

2

2 2

3

3

3

3

u v u v

u v u v

u v v u

    



     

   

 

 



TH : 1

4

u

u v u u u

u

 

       

  

Giải

81

x y

   

 

TH : u v 3, dễ thấy TH vô nghiệm