Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. 2.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM 2012
Mơn: Tốn ; Khối : A Thời gian làm bài: 180 phút; không kể
thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm) Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số
y=x3+6 mx2+9x+2m (1), với m tham số thực
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị
√5
Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 8sin3xcosx+sin 4x
2 cosx =sin 3x −2 cos 2x+1
2 Giải hệ phương trình:
2
(3x y)(x 3y) xy 14 (x y)(x y 14xy) 36
( ,x y R ).
Câu III ( 1,0 điểm)
Tính tích phân : ∫
0
ln(x+√x2+9)−3x3
√x2+9 dx Câu IV ( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA=3a (với a>0); SA tạo với đáy (ABC) góc 600 Tam giác ABC vuông B, ACB300 G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y, z là số dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh :
1
( )( )( ) P
xyz x y y z z x
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm):Thí sinh làm trong
hai phần (phần A B)
A Theo chương trình Chuẩn. Câu VI.a (2,0điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD biết phương trình đường chéo là: 3x y 0 , điểm B(0;-3) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi biết diện tích hình thoi 20
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC),
tanOBC2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC. Câu VIIa (1,0 điểm)
Tìm số phức z biết z(1 ) (3 )(2 i i i)2 B Theo chương trình Nâng cao.
CâuVIb (2,0 điểm)
1 Cho hình thang vng ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình
3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x-2y=0, góc tạo hai đường thẳng BC AB 450.
Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương
2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với
A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2MB2MC2.
Câu VIIb (1,0 điểm)
Tìm số phức z x yi thõa mãn : z3 18 26 i
ĐÁP ÁN Câu I 1
1. Với m = ta có : y=x3+6x2+9x+2 + TXĐ : D=R
+ Sự biến thiên:
y '=3x2+12x+9, y '=0⇔ x=−1
¿
x=−3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Hàm số đồng biến khoảng (− ∞;−3) (−1;+∞) nghịch biến khoảng (−3;−1)
- Hàm số đạt cực đại x = -3; ycđ=2 , đạt cực tiểu
x=−1; yct=−2
- Giới hạn: limx →→y
+∞
=+∞ , lim
x →− ∞=− ∞ - Bảng biến thiên:
(2)x -3 -1 y’ + - +
y - ∞ -2
Đồ thị: Đi qua điểm A(-4; -2); B(-2; 0) C(0; 2)
-4 -3 -2 -1
Câu I 2
Đối chiếu với đk(*) ta có m = ± kết cần tìm
Câu II 1 Đk: x ≠π
2+kπ , k∈Z sinx=1(loai)
¿
sin2x=1
¿
ố⇔cos2x=1
2⇔2x=± π
3+k2π⇔x=± π 6+kπ
¿ ¿
¿
pt⇔8 sin3xcosx+4 sinx cosx cos 2x
2 cosx =sin 3x −2 cos 2x+1⇔2 sinx=3 sinx −4 sin
3x+4 sin2x −1
⇔4 sin3x −4 sin2x −sinx+1=0
⇔
¿
Vậy phương trình có nghiệm : x = ±π
6+kπ , k∈Z Câu II 2
2
(3x y)(x 3y) xy 14
(x y)(x y 14xy) 36
Đk: xy0
Hệ ban đầu tương đương
2
2
[3(x y) 4xy] xy 14 (x y)[(x y) 12xy] 36
Đặt
a x y b xy
thay vào hệ
2 2
2
(3 ) 14 14
( 12 ) 36 12 36
a b b a b b
a a b a ab
Nhận thấy a=0 không nghiệm hệ Đặt b=ka thay vào hệ
3
3
(3 ) 14 (1 12 ) 36(1) a k k
a k
ra phương trình 72k3-84k2+54k-7=0
1
6
6
k b a a b
thay vào (1) a=3, từ b=1/2
3 2 2
3
2
1
3 2 2
2
2
x y x y x x
hoac
xy xy
y y
Câu III
Trang 2/5
y
0
x
-2
2
Ta có: y’ = 3x2 12mx9, y '=0⇔x2+4 mx+3=0
+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔pty '=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ '=4m2−3>0⇔m>√3
2 m< −√3
2 (*) Khi ta có: y = (x
3+ 2m
3 ).y '+(6−8m
)x −4m
⇒ đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có phương trình là:
y = (6−8m2)x −4m d(O , Δ)= |−4m|
√(6−8m2)2+1 =
√5⇔5m
2
=(6−8m2
)2+1⇔64m4−101m2
+37=0⇔ m2=1
¿
m2=37 64
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
∫
ln(x+√x2+9)−3x3
√x2+9 dx=∫0
ln(x+√x2+9)
√x2+9 dx−3∫0
x3
√x2+9dx=I1−3I2 + Tính I1 :
Đặt ln(x+√x2+9)=u , ta có: du=
√x2+9dx ,
x = ⇒u=ln ; x = ⇒u=ln Khi đó: I1=∫
ln ln
udu=u 2
¿ln ¿ln 3=
ln25−ln23
+ Tính I2 Đặt √x2
+9=v , ta có: dv= x
√x2+9dx, x
(3)x = ⇒v=3 ; x = ⇒v=5 Khi đó:
Vậy ∫
ln(x+√x2+9)−3x3
√x2
+9 dx=I1−3I2=
ln25−ln23
2 −44
Câu IV
S
C
B G
M N
P A
os os
2
AG a
c SAG AG SA c SAG SA
(1)
Từ (1) (2)suy
7
3 2
x a a
x
2
1 81
2 56
ABC
a S AB BC x
2
1 3 81 243
3 56 112
S ABC ABC
a a a
V SG S
(đvtt) Câu V
Ta có
2
3
3 xy yz zx 3 xy yz zx . 3 (xyz) xyz1
Đặt
1 4
2 ( )( )( )
Q
xyz x y y z z x
2 2 2 2
( )( )( ) ( )( )( )
Q
xyz x y y z z x xy yz yz zx zx xy
Mà
3 ( )( )( ) 2( ) 2
3
xy yz zx
xy yz yz zx zx xy
Suy Q1
Ta có
1 1 3
1
2 2 2
P Q
xyz
Dấu xảy x y z 1 Câu VI.a 1
Phương trình BD x 3y 0 Tọa độ I ACBD I(3; 2)
Do I trung điểm BD nên D(6; 1) Gọi A a( ;7 ) a AC ta có BD2 10
dt(ABCD)=2.dt(ABD) 2 3(7 )
.2 10 10
2 1 3
a a
1
2
(2;1); (4; 5) (4; 5); (2;1)
A C
A C
Câu VI.a
2
x t
y t z
Câu VII.a z 5 10i CâuVIb1
Tọa độ điểm D là:
3 0
2 0
x y x
x y y
=> D(0;0)O
Vecto pháp tuyến đường thẳng AD BD n13; , n21; 2
1
√2 => ADB=450 =>AD=AB (1)
Vì góc đường thẳng BC AB 450 => BCD=450 => BCD vuông cân B=>DC=2AB Theo bài
2
1
24
2
ABCD
AB S AB CD AD
4
;
B B
x B x
, điều kiện xB>0
Trang 3/5 I2=∫
3
(u2−9)du=(u 3 −9u)
¿5 ¿3=
44
Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Ta có (SBG) ( SCG)SG
(SGB) (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) suy SG(ABC), SAG 600,SG chiều cao chóp S.ABC
3
sin sin
2
SG a
SAG SG SA SAG a
SA
ABC
vng B có C=300 Đặt AB=x(x>0) suy ra
3,
2 x BCx BM
2
2 x AM AB AM
;
2
3
x AG AM
(4)2
8 10 ( )
4
2 8 10
( ) B B
B
B
x loai
x BD x
x tm
Tọa độ điểm
8 10 10 ;
5
B
2;1 BC
n
=> phương trình đường thẳng BC là: 2x y 10 0 CâuVIb2
Gọi G trọng tâm ABC G
7 ; ;3 3
Ta có
2 2 2
2 2
F MA MB MC MG GA MG GB MG GC
2 2 2 2
3 ( )
MG GA GB GC MG GA GB GC MG GA GB GC
F nhỏ MG2 nhỏ
M hình chiếu G lên (P)
7 3
19 3
( ,( ))
1 1 3
MG d G P
2 2 56 32 104 64
9 9
GA GB GC
Vậy F nhỏ
19 64 553
3 3
M là
hình chiếu G lên (P)
Câu VIIb : z = + i