Bài toán phân bố số nguyên tố chebyshev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH BÀI TOÁN PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ CHEBYSHEV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH BÀI TOÁN PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ CHEBYSHEV Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Phương Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC HÀM , 1.1 VÀ RIEMANN  HÀM  HÀM VÀ 1.2 ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ 1.3  HÀM RIEMANN 1.4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA  HÀM 10 CHƯƠNG C C N ĐN N C P N 17 2.1 17 2.2 ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV 23 2.3 ĐỊN ĐỀ BERTRAND 30 2.4 ĐẲNG THỨC EULER VÀ CÔNG THỨC TỔNG ABEL 34 2.5 MỘT Đ N GI O ẬT ĐỘ SỐ NGUYÊN TỐ 38 2.6 MỘT SỐ CÔNG THỨC CỦA MERTENS 40 CHƯƠNG M ĐN P N 3.1 QUAN HỆ GIỮA HÀM CHEBYSHEV 3.2 CÁC QUAN HỆ KẾT NỐI  (x) 3.3 ỘT Ố N N 43 43 (x) 45 NG TƯƠNG ĐƯƠNG Ủ ĐỊN Ý Ố NG N TỐ .48 3.4 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỦA ĐỊN Ý I OT p n 51 I N 56 3.6 CÁC ỨNG DỤNG CỦ ĐỊNH LÝ SHAPIRO TAUBERIAN 60 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 QUYẾ Đ N IAO Đ TÀI LUẬN ĂN ( ẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài ố nguyên tố nội dung quan trọng ý thuyết số ác số nguyên tố phân bố tập số tự nhiên từ lâu câu hỏi dành quan tâm lớn Kết sớm định lý uclid (vào khoảng 330 – 275 trước N) vô hạn số nguyên tố xem định lý tiếng toán học Tuy nhiên, thời gian chưa có câu trả lời cho câu hỏi: ác số nguyên tố phân bố nào? Một vấn đề trung tâm lý thuyết số nguyên tố nghiên cứu hàm , biểu thị số số nguyên tố không lớn ∑ với số thực dương Ta không hi vọng xác định dễ dàng theo cho trước Đầu tiên, người ta nghiên cứu tỉ số ( x) gọi mật độ x trung bình số nguyên tố đoạn [ ] Leonhard Euler (1707 – 1783 ) chứng minh lim x  số Như vậy, số vô lớn đồng thời với Vấn đề đặt xác định bậc vô lớn tương đương với ( x)  , nghĩa hầu khắp số tự nhiên hợp x theo , cụ thể tìm hàm “sơ cấp” , nghĩa cho lim x  ( x)  Joseph – Louis de f ( x) Lagrance (1736 – 1813), thực nghiệm tính toán phát biểu tương đương với x Nhà toán học người Nga Pafnuty Lvovich ln( x )  1,08366 Chebyshev (1821 – 1894 ) chứng minh có hai số dương cho: a với , với x x  ( x)  b ln( x ) ln( x ) đủ lơn lấy gần Năm 1793, ard Friedrich Gauss (1777 – 1855) đưa dự đoán: lim x  ( x) / x 1 log x gọi Định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem) Gauss Adrien – Marie Legendre (1752 – 1833) thất bại nỗ lực chứng minh dự đoán ấn đề định xem hay sai dự đoán thu hút quan tâm toán học lỗi lạc gần 100 năm Năm 18 1, hebyshev thực bước quan trọng cách chứng minh tỉ số có giới hạn giới hạn phải Tuy nhiên, ông chứng minh giới hạn tồn hứng minh Định lý số nguyên tố vào năm 1896 Jacques adamard (1865 – 1963) Charles de la Vallée-Poussin (1866 – 1962) Đây kết quan trọng lý thuyết số thời điểm Năm 1980, tle elberg (1917 – ? ) Paul Erdös (1913 – 1996) đưa chứng minh sơ cấp khác Năm 1980, J Newman đưa chứng minh đơn giản chứng minh mình, Newman sử dụng sở giải tích phức Nhờ vào Định lýsố nguyên tố, thực tế, người ta thường xấp xỉ hàm x log x Gần đây, người ta sử dụng hàm ∫ để nhận xấp xỉ tốt cho hàm uler đưa định nghĩa: Đối với hàm , vào năm 1737 ∑ với số thực Năm 18 9, iemann xét hàm với giá trị phức để chứng minh Định lý số nguyên tố (nhưng bất thành!) Từ hàm có vai trị lớn số học nhận số tính chất quan trọng số học Tất vấn đề nhằm giải toán phân bố số nguyên tố, hebyshev có cơng lao lớn Đến tốn thời sự, người ta tiếp tục tìm số nguyên tố số nguyên tố khoảng máy tính với thuật tốn thích hợp Xuất phát từ vấn đề nêu trên, định chọn đề tài: “Bài toán phân bố số nguyên tố Chebyshev” với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết ứng dụng việc phân bố số nguyên tố nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu ục đích đề tài nhằm nghiên cứu định lý hebyshev, phân bố số nguyên tố, dạng tương đương với định lý số nguyên tố số kết khác phân bố số nguyên tố tính chất chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết số liên quan đến số nguyên tố hạm vi nghiên cứu đề tài phân bố số nguyên tố Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến toán phân bố số nguyên tố Chebyshev, vấn đề quan trọng lý thuyết số ứng dụng Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia số nguyên tố phân bố chúng nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến toán phân bố số nguyên tố Chebyshev, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Số nguyên tố ứng dụng hứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương hương 1, nghiên cứu hàm số thực có vai trò quan trọng số học  hàm, li  hàm,  hàm iemann trình bày tính chất hàm này, Định lý số nguyên tố đẳng thức  hàm Riemann hương 2, trình bày định lý hebyshev phân bố số nguyên, hàm Chebyshev, định lý hebyshev, định đề ertrand, đẳng thức uler công thức tổng bel số công thức ertens hương 3, nêu số kết khác phân bố số nguyên tố, quan hệ hàm Chebyshev  , số dạng tương đương định lý số nguyên tố, bất đẳng thức Tauberian ứng dụng , định lý hapiro C ƯƠN CÁC HÀM , VÀ RIEMANN Các khái niệm kết chương trích dẫn từ tài liệu [1], [3], [4] 1.1  HÀM VÀ  HÀM Định nghĩa 1.1 Hàm định nghĩa số số nguyên tố không vượt số thực ; tức là: ∑ với số ngun tố Ví dụ 1.1 Có 25 số nguyên tố 100 số tự nhiên từ đến 100 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Theo định nghĩa, ta tìm giá trị hàm số giá trị sau: ∑ ∑ ∑ ∑ Mở rộng giá trị , ta có bảng giá trị hàm x 10 102 103 (x) 25 104 105 106 107 tương ứng sau: 108 109 1010 168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 455052511 Nếu cố gắng tìm cơng thức để mơ tả , ta hiểu cơng việc vơ khó khăn ta khơng biết xác số nguyên tố phân bố số nguyên Người ta mong đợi dễ dàng xây dựng công thức tiệm cận 53 logarit (3.17) ta tìm được: Nhưng Định lý 3.6 kéo theo: ∑ tổng mở rộng số nguyên tố (p) cho bởi: [ ] ∑ [ ] o đó, [ ] ∑ ∑ {[ [ ]– [ ] [ ]} hay vế trái bất đẳng thức (3.18) suy ra: [ ∑ ] ∑ ( ∑ ) Điều cho ta: ì log  Với số ngun lẻ ta có: 2n  2n  ùng với (3.20) cho ta kết vế trái bất đẳng thức cần chứng minh 54 uay lại (3.19) khai căn, rút số hạng tương ứng để Những số hạng cịn lại khơng âm, ta có: ∑ {[ ] ho số nguyên tố khoảng [ ] [ ]} , ta có: [ ] nên ∑ Từ (3.18) suy ra: – Trong trường hợp đặc biệt, số mũ thì:  (2 r 1 )   (2 r )  r log  r 1 log tổng vế trái thu gọn lại ta có: Lấy tổng theo  ( k 1 )  k 2 log ây ta chọn cho 2k  n  2k 1 , ta được:  (n )   ( 2k 1 )  2k  log  4n log Nhưng ta có: ( ) ∑ o đó, ( Nếu chứng minh: hàm đạt cực đại ) 1/c nên: vào biểu thức ta vế phải bất đẳng thức cần 55 ( ) Định lý 3.7 dùng để thu giới hạn giới hạn việc xác định kích thước nguyên tố thứ Định Cho , số nguyên tố thứ n thỏa mãn bất đẳng thức: ( Chứng minh Nếu n ) Từ (3.16) ta có: o đó, Điều cho chặn (3.21) Để có chặn (3.21), lần dùng (3.16) để viết: Vì log x  pn  x e , ta có log pn  pn nên từ (3.22) suy e 12 n e Logarit vế ta được: 12 e Kết hợp (3.22) ta được: ( 12 ) e  56 ưu ý chặn (3.21) chứng tỏ nhiều chuỗi  kỳ cách so sánh với chuỗi p phân  n log n n 2 Đ N API O A IAN Ta chứng tỏ định lý số nguyên tố tương đương với cơng thức gần đúng: ∑ Cho , ta có: ∑ [ ] ∑∑ ∑ Do dó ta có cơng thức: ∑ [ ] Ta nhận công thức tiệm cận liên quan định lý sau Định lý 3.9.Nếu ∑ [ ] Chứng minh Đặt ∑ , ta có: ∫ ∫ – ∫ x1  t t dt  O  dt   O(log x) , ta có: Do  t 1 t  x 57 Và kết hợp (3.23) ta có: ∑ [ ] ả hai tổng (3.22) (3.25) số trung bình có trọng số hàm số hạng ỗi x (3.23)   x n nhân với nhân tử trọng số (3.25) Những định lý liên quan đến số trung bình có trọng số khác tương tự gọi định lý Tauberian Ta thảo luận định lý Tauberian chứng minh năm 19 tổng thuộc dạng  a (n ) với tổng thuộc dạng  a (n )  n , x n x Định N hapiro Nó liên hệ 3.1 Cho { ∑ không âm n x } dãy không âm, vậy: [ ] Khi đó: (a) Với , ta có: ∑ Nói cách khác, giảm dấu ngoặc vuông (3.25) dẫn đến kết (b) ó số cho: ∑ (c) ó số ∑ cho 58 x Chứng minh Đặt S ( x )   a ( n ) , T ( x )   a ( n )   n x n n x Chứng minh b Ta thiết lập bất đẳng thức: ( ) ( ) Ta viết ( ) ∑ [ ] ∑ ([ ] Vì [ ]– [ ∑ [ ]) [ ] ∑ [ ] hay 1, tổng không âm, nên: ( ) ∑ [ ] ∑ ( ) Điều chứng minh (3.27) Nhưng (3.26) kéo theo: ( ) o (3.27) kéo theo ( ) Điều có nghĩa có số ( ) cho: ( ) Thay thay , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) , ta có:  ưu ý S  x   x  n n    ộng vế theo bất đẳng thức ta 59 ( ) Điều chứng minh (b) với x x Chứng minh a Ta viết       O (1) có được: n  n  ∑ [ ] ∑( ) ∑ (∑ ) ∑ (b) o đó, ∑ Điều chứng minh (a) a(n) , (a) viết lại sau: n n x Chứng minh c Đặt A( x )   ta có sai số Vì cho họn thỏa (ta xác định ∑ Nếu ∑ – – ây chọn – cho – , x  – – – –  e 12 M , với – ∑ ta áp dụng cơng thức tiệm cận – sau) xét hiệu: – – điều đỏi hỏi ới để viết: – – vậy, ta có bất đẳng thức: 60 ∑ – ∑ o đó, ́ ́ Điều chứng minh (c) với x0   3.6 CÁC ỨNG DỤNG CỦA Đ NH LÝ SHAPIRO TAUBERIAN Định 3.11 ới ta có: ∑ Chứng minh Xét tổng [ ] x  log n Do hàm tăng, nên với ta có: n x ∫ Từ suy ra: ∑ ∫ ∫  ơn nữa, tích phân suy rộng ln u u dt hội tụ, gọi giá trị Khi đó: ∑ o đó, ∑ ∫ ∑ 61 p  x  e  Đặt p   m  , đó, ep số mũ cao cho m 1  p  t nguyên thỏa mãn | [x]! số đó: ∏ Lấy logarit hai vế ta được: ∏ ∑ ∑ ∑ [ ] ∑[ ] Mặt khác, ∑( ) ∑[ ] ∑ ∑[ ] Do ∑[ ] , kết hợp bất đẳng thức cho ta: ∑( ) ∑ Bỏ nhân tử chung , cuối ta được: (n)  log x  O(1) n n x   ột ứng dụng khác suy từ công thức tiệm cận: x   p  log p  x log x  O( x) p x   Có thể viết lại dạng: x   (n) n   x log x  O(1) , n x với hàm định nghĩa sau: { n ̀ ê ố n không số nguyên tố p (3.29) 62 ≥ 0, phương trình (3.29) chứng tỏ giả thiết định lý Khi hapiro thỏa mãn với Khi  ( x )   1 ( n ) , ta có (a) định lý hapiro cho công thức tiệm n x cận sau: Định 3.12 , ta có: ∑ Chứng minh Định nghĩa: ∑ ∑ Điều suy ra: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑( ∑ ) ∑ chuỗi cuối hội tụ đến giá trị Khi đó: ∑ với giá trị ∑ Theo định lý trên: (n)  log x  O (1) n n x  o đó, log p  log x  O (1) p p x  Một công thức tiệm cận cho tổng riêng Định 3.12 ó số cho p  63 ∑ ( log p , p p x Chứng minh Đặt A   { ) n ̀ nguyên tố n khơng số ngun tố Khi đó, ∑ Ta lấy f (t )  ∑ ∑ Định lý 3.2 log t ∑ ∫ Từ (3.30) ta vào vế phải (3.32) ta có ∑ ∫ ( ) ∫ ∫ Do ∫ ∫ ∫ ∫ tồn tích phân tầm thường đảm bảo điều kiện Nhưng: 64 ∫ (∫ ) ( ) o phương trình (3.32) viết lại sau: ∑ ∫ ( )  R(t ) dt t log t với A( x )   log log   Đã chứng minh định lý  65 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu toán phân bố số nguyên tố Chebyshev, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống cách đầy đủ khái niệm kết hàm, li  hàm với lịch sử định lý số nguyê n tố, với số tính chất   hàm Riemann  hàm Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm kết quan trọng Định lý Chebyshev phân bố số nguyên tố Cụ thể hàm hebyshev, Định lý hebyshev, Định đề ertrand, đẳng thức Euler công thức tổng Abel, đánh giá cho mật độ số nguyên tố, số công thức Mertens Tìm hiểu nghiên cứu số định lý phân bố số nguyên tố Cụ thể quan hệ hàm Chebyshev (x) (x), quan hệ kết nối (x) , số dạng tương đương định lý số nguyên tố, bất đẳng thức pn, Định lý ShapiroTauberian với ứng dụng Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu phân bố số nguyên tố lý thuyết số Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu ứng dụng hàm Hurwitz (s) L( s,  ) toán phân bố số nguyên tố Đó hướng phát triển luận văn Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý 66 thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm uy Điển, Hà Huy Khoái (2002), Số học Thuật tốn: Cơ sở lý thuyết Tính tốn thực hành, NX Đ G Nội [2 Đặng Thị M Linh (2012), Các hàm lý thuyết số ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành hương pháp Toán sơ cấp, Đại học Đà Nẵng [3] Lê Thị Thủy (2010), Về phân bố số nguyên tố, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Đại học Vinh TIẾNG ANH [1] K Chandrasekharan (1968), Introduction to Analytic Number Theory, Springer – Verlag, New Yor, Heidelberg, Berlin [2] Paul T Bateman, Harold G Diamond (2004), Analytic Number Theory  An Introductory Course, World Scientific [3] Tom M Apostol (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Springer – Verlag, New Yor, Heidelberg, Berlin ... sự, người ta tiếp tục tìm số nguyên tố số nguyên tố khoảng máy tính với thuật tốn thích hợp Xuất phát từ vấn đề nêu trên, định chọn đề tài: ? ?Bài toán phân bố số nguyên tố Chebyshev? ?? với hy vọng... nguyên tố số kết khác phân bố số nguyên tố tính chất chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết số liên quan đến số nguyên tố hạm vi nghiên cứu đề tài phân bố số nguyên. ..   phân kỳ, p p x p p x  Định với chạy tất số nguyên tố Chứng minh Chứng minh phân kỳ Nếu u số thực, số nguyên dương, ta có: Nên Đặt u  , với p số nguyên tố Khi đó: ( ới số nguyên tố, )