de thi hoc sinh gioi cap thi

Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố). chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.[r]

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán (Đề 1) TRƯỜNG THCS BẮC SƠN

I) Mục tiêu:

Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh Phân loại đối tượng học sinh Phát học sinh có kiến thức, lực để chọn đội tuyển chuẩn bị cho kỳ thi cấp tỉnh

II) MA TRẬN

Chủ đề Cấp độ nhận thức điểm Nhận

biết

Thông hiểu

Vận dụng cấp độ

thấp

cấp độ cao

I )Biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ

Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử,bằng phương pháp đăt ẩn phụ ; tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc biến

Số câu Điểm

2

2 II)Chứng

minh chia hết

K ỹ vận dụng tính chất chia hết; phương pháp chứng minh chia hết Số câu

Điểm

1

1,5

1 1,5 III)Đa thức

chia hết

Kỹ vận dụng tính chất chia hết đa thức; kỹ phân tích thành nhân tử Số câu

Điểm

1

1 IV)Số lũy

thừa

Ước số nguyên tố; kỹ phân tích thành nhân tử

Số câu Điểm

1

1 V)Phương

trinh

bất phương trình

Kỹ giải phương trình đưa phương trình bậc ẩn; giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Số câu

Điểm

2

2 VI)Cực trị

đại số

Kỹ vân dụng bất đẳng thức phụ đặt ẩn phụ toán cực trị

Điểm 1,5 1.5 chứng

minh tính chất hình

Kỹ vận dụng định lý Ta let; tính chất đường phân giác; tam giác đồng dạng; kỹ biến đổi tỉ lệ thức

Số câu Điểm

3

3

t 11

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN

TRƯỜNG THCS BẮC SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ 1) Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) -

b, Cho x  Z chứng minh x200 + x100 +1 x4 + x2 +

Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz x

+ y

+z

= Tính giá trị biểu thức P = 2

1 1

z y

x  

Câu 3: (3đ) Tìm x biết

a, 3x2 < 5x -4 b, 57

43 

x

+ 54 46 

x

= 48

52 51

49  

 x

x Câu 4: (3đ)

a, Chứng minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 với n N*

b, Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức

P = x y

z x

z y z

y x

    

Bài 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia

HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

BE theo m AB .

2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM

3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:

GB HD BC AH HC . Bài 6: (2 đ)

Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số

TRƯỜNG THCS BẮC HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8ĐỀ 1

Câu1(4đ)

a,đặt a = x2 -2x x2 -2x -1 = a-1

 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)

=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +

(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 +

 A chia hết cho x4 + x2 +

.1đ 1đ 1đ 1đ Cau :

(2đ Có ( ) 1 z y

x  = 2

1 1

z y

x   + 2( )

1 1

yz xz xy 

( 3)2= p + xyz

x y z 

vậyP+2=3 suy P =

0.75đ 0,75đ 0.5đ Câu 3:

(3đ)

giải 4-5x < 3x +2< 5x - làm x>

b, Cộng vào phân thức đặt nhân tử chung

(x+100)( 48 51 54 57   

) =  S = 100

1đ 0.5đ 1đ 0.5đ Câu 4: 3đ

a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)

=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)

Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho ( tích số tự nhiên liên tiếp )

3(n+1) chia hết cho3  B chia hết cho  A =3B chia hết cho

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z = a+b+c

2

 x =

c b a  

; y =

c b a 

; z=

c b a 

P = c

)) (

) ( ) ( (

b c c b c a a c b a a b

      

2

3

Min P =2

( Khi a=b=c  x=y=z

1đ Câu 5:

(2đ)

+ Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung

CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra:BEC=ADC1350(vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết)

Nên AEB450do tam giác ABE vng cân A.

Suy ra: BEAB 2m

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ

b)

2đ Ta có:

1

2

BM BE AD

BC  BC  AC (do ΔBEC ~ ΔADC )

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân H)

nên

1

2 2

BM AD AH BH BH

BC  AC   AC AB BE (do ABH Đồng

dạng CBA)

Do BHM đồng dạng BEC (c.g.c) suy ra: BHM BEC 1350  AHM 450

0,5đ

1đ

0,5đ C)

2đ

Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC

Suyra:

GB AB GC AC ,

vì ΔABC ~ ΔDEC nên ABAC=ED

DC= AH HC=

HD

HC (DE//AH)

Do đó:

GB HD GB HD GB HD

GC HC  GB GC HD HC  BC AH HC

1đ 1đ Câu Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)

Vì p số nguyên tố nên:

Hoặc : a-1=2 suy p=13 ( thoả mãn)

Hoặc: a2+a+1 =2 điều khơng xảy a >1

Vởy số tự nhiên có dang 2p+1 (p số nguyên tố)

chỉ có số lập phương số tự nhiên khác 0,5đ Lưuý: Học sinh làm cách khác vân cho điểm tối đa

Người đáp án: Nguyễn Văn Bằng