[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC Mơn : Tốn – Lớp 9- Năm học : 2010 – 2011
Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(3,0 điểm):
Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: A = x4 – x2 + 2x + 2.
Caâu 2.(3,0 điểm):
Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng thể số phương
Câu 3.(5,0 điểm):
a) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: A = x6 + y6.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x 9 x2 . Câu 4.(3,0 điểm):
Chứng minh số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
1 1
2
1a1b1c , abc
1
Câu 5.(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC Qua điểm O tùy ý tam giác kẻ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh hệ thức:
' ' '
' ' '
OA OB OC
AA BB CC
Câu 6.(3,0 điểm):
(2)PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN - HD CHẤM - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC : 2010 – 2011
Mơn : Tốn – lớp 9
Câu
(3,0 điểm)
A = x4 – x2 + 2x + = (x4 – 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1)
= (x2 – 1)2 + (x + 1)2 = (x2 – 1)(x2 – 1) + (x + 1)2
= (x -1)(x +1)(x – 1)(x + 1) +(x + 1)2 = (x +1)2(x – 1)2 + (x + 1)2
= (x + 1)2
2
1
x
.
Để A số phương phải có: (x + 1)2 = (x -1)2 + tùy ý;
hoặc (x + 1)2 (x -1)2 + số phương.
Nếu (x + 1)2 = x + = x = -1
Neáu (x + 1)2 (x -1)2 + số phương, ta đặt (x -1)2 + = y (yN)
Do y2 - (x -1)2 = y x1 y x1 1.
Vì yN x1N nên xảy : y + x1 1 y - x1 1
x – = x = 1.
Thử lại ta thấy với x = 1, x = -1 A = x4 – x2 + 2x + số phương
Điểm
0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25
Caâu
(3,0 điểm) Tổng bình phương số nguyên liên tiếp có dạng :S = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n +2)2 (nZ).
S = n2 + – 4n + n2 + – 2n + n2 + n2 + + 2n + n2 + + 4n
S = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2).
Ta chứng minh n2 + không chia hết cho với n:
Nếu n n2 + chia cho dö
Nếu n = 5k n2 + = (5k 1)2 + chia cho dö Nếu n = 5k n2 + = (5k 2)2 + chia cho dö
Vậy n2 + nên S số chia hết cho không chia hết cho 25, S
không thể số phương
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu
(5,0 điểm) Câu a (3,0 ñieåm)
* Với x2 + y2 = (gt) ta có :
A = x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)3 – 3x2y4 – 3x4y2
= (x2 + y2)3 – 3x2y2(x2 + y2) = - 3x2y2.
Ta có - 3x2y2 Do A 1.
Dấu “=” xảy
2 2
0 0,
1,
x y x y
x y
x y
Vaäy A(max) =
0, 1,
x y
x y
* Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm, ta có: x y2 x2y2 , mà x2 + y2 = (gt) nên ta có :
0,5 0,25
0,5 0,25
(3)Câu 3a (3,0 điểm)
x2y2
2 1
-3 x2y2
3
Do A = - 3x2y2
3
1
4
Dấu “=” xảy
2
2 2 2 2 x y x y x y x y
Vaäy A(min) =
1 2 x y 0,5 0,5 0,25 Caâu 3b (2,0 điểm)
* Điều kiện : – x2 x2 -3 x 3.
* Aùp dụng bất đẳng thức cho hai số khơng âm, ta có : B = x 9 x2
2
2 2
2
9 9 9
2 2
x x x x
Dấu “=” xảy x = 9 x2 x2 = - x2 x2 =
9
2 x
(TMĐK) Vậy max B =
9
2 x
0,5 0,5 0,75 0,25 Câu
(3,0 điểm) Ta có
1 1
2
1a1b1c (gt)
1 1
1
1 1 1
b c
a b c b c
(1)
Aùp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có :
2
1 1
b c bc
b c b c
(2)
* Từ (1) (2) suy
1
1 1
bc
a b c
(3)
* Chứng minh tương tự, ta :
1
1 (1 )
ac
b a c
(4)
1
1 (1 )
ab
c a b
(5)
Nhân vế tương ứng (3), (4), (5) ta :
2
2 2
1
8
1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
1
8
1 1 1
abc
a b c a b c
(vì a, b, c > 0)
8abc (vì a, b, c > 0) abc
1
8 (ñpcm).
(4)Câu (3,0 điểm)
* Vẽ hình theo đề (h.1)
* Kẻ AH BC, OI BC (H, OBC) Khi OI // AH (cùng BC)
Xét AHA’ có OI // AH theo hệ định lí Talet ta coù:
' AA'
OA OI
AH
(1) * Mặt khác có :
1
OBC ABC
BC OI
S OI
S BC AH AH
(2) Từ (1) (2) suy
' AA'
OBC ABC
S OA
S (3)
Chứng minh tương tự, ta có :
' '
OAC ABC
S OB
S BB (4)
' '
OAB ABC
S OC
S CC (5)
* Cộng vế tương ứng (3), (4), (5) ta :
' ' '
1
AA' ' '
OBC OAC OAB SBC
ABC ABC
S S S S
OA OB OC
BB CC S S
0,25 0,25
0,5
0,5 0,5 0,25 0,25
0,5
Caâu
(3,0 điểm) * Vẽ
ABC vuông A có B150 (hình 2)
* Đặt AC = b Vẽ đường trung trực BC cắt BC, AB I, K Khi : KB = KC KBC cân
K C1 B 150 * Xét AKC vuông A coù
0 0
1 15 15 30
AKC C B (góc ngồi của
KBC) KC2AC 2b (định lí tam giác vuông có góc 300) Và AK = BC2 AC2 4b2 b2 b 3 (đlíPytago).
Do AB = AK + KB = AK + KC = b + 2b = b( +2) * Xét ABC vuông A, theo định lí Pytago ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = b2( 3 +2)2 + b2 = b2(3 + + 4 3 + 1) = 4b2(2+ 3).
BC =
2
4b 2 2b 2
cos150 = cosB = =
0,25
0,5 0,25
0,5 0,25 0,25
(5)
2
2 3 3 1
2
2
2
2 2 2 3
b AB
BC b