Chứng minh rằng ta có thể chia 42 học sinh thành 2 nhóm hoặc 21 nhóm sao cho số học sinh trong các nhóm bằng nhau và 2 học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau. www.VNMATH.com.[r]
(1)Vietnam Team Selection Test 2012
Thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi Olympic Toán quốc tế năm 2012
Bài (7,0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm cố định B, C đường trịn choBC khơng đường kính của(O), Alà điểm di động đường tròn, A không trùng với B, C Gọi D, K, J trung điểm BC, CA, AB E, M, N hình chiếu vng góc A, B, C BC, DJ, DK Chứng minh tiếp tuyến tạiM, N đường tròn ngoại tiếp tam giácEM N cắt T cố định A thay đổi
Bài (7,0 điểm) Trên cánh đồng hình chữ nhật kích thướcm×nơ vng gồm m hàng n cột người ta đặt số máy bơm nước vào ô vuông Biết máy bơm nước tưới nước cho vng có chung cạnh với vng cột với cách vng Tìm số nhỏ máy bơm nước cho máy bơm nước tưới hết cánh đồng trường hợp:
a) m= b) m=
Bài (7,0 điểm) Cho số nguyên tố p ≥ 17 Chứng minh t = số nguyên dương lớn thỏa mãn điều kiện: Với số nguyên a, b, c, d cho abc không chia hết cho p a+b+c chia hết cho p tồn số nguyên x, y, z thuộc tập {0; 1; ;
p t
−1} cho ax+by+cz +d p Bài (7,0 điểm) Cho dãy số (xn) xác định
x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 = 4022xn+1−xn,∀n∈ N
Chứng minh x2012+1
2012 số phương
Bài (7,0 điểm) Chứng minh c = 10√24 số lớn thỏa mãn điều kiện: có số dương a1, a2, a17 cho:
17 X
i=1
a2i = 24;
17 X
i=1 a3i +
17 X
i=1
ai < c
thì với i, j, k thỏa mãn 1≤ i < j < k ≤ 17, ta ln có ai, aj, ak độ dài ba
cạnh tam giác
Bài (7,0 điểm) Có 42 học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic tốn
1
(2)quốc tế Biết học sinh quen 20 học sinh khác Chứng minh ta chia 42 học sinh thành nhóm 21 nhóm cho số học sinh nhóm học sinh nhóm quen
2