[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Trường THCS Hoằng Đồng Năm học:2011-2012
_ Môn thi: Toán
Thời gian làm bài:120 phút ( không kể thời gian giao đề ) _ Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phơng tr×nh:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c) x 2 3 5
Bµi 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:
Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người ú.
Bài (7 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP BD vµ CP = 2,4 cm,
9 16
PD
PB Tính cạnh hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm):
a) Chứng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn b»ng Chøng minh r»ng:
2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
Hết _
áp án biểu điểm
(2)4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5®
§iỊu kiƯn:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
0,5® a) Rót gän P =
2
2
x x
2®
b)
1
x 1
2
x
hc
1 2
x
+)
1 2
x
… P = 1 2 +)
1 2
x
…P = 2
3 1® c) P =
2
2
x x
=
2 1
5 x
Ta cã: 1Z VËy PZ
2
5 Z x
x Ư
(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TM§K) x – = -1 x = (KTM§K) x – = x = (TM§K) x – = x = (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =
2 3 2 5
x x
=
2 1
5 x
0,25®
Ta cã: >
Để P > 2
5
x > x – > x > 0,5đ Với x > P > 0,25
Bµi 2:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
§K: x 4;x 1 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
(3)S = { 0} 1®
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1 1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
>
Nªn 123 – x = => x = 123
S = {123} 1® c) x 2 3 5
Ta cã: x 2 0 x => x 2 3 > nªn x 2 3 x 2 3 PT đợc viết dới dạng:
x 2 5 x 2 = – 3 x 2 = 2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định người đ xe gắn máy là:
3
( / ) 1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ =
1 3
3 h ) 0,25®
VËn tèc cđa ngưêi xe gắn máy tăng lên km/h là:
3
5 /
10 x
km h
0,25đ Theo đề ta có phương trình:
3
5 3 10
x
x
0,5® x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ
Vn tc d định là:
3.150
45 / 10 km h
Bài 4(7đ)
(4)
a)Gäi O lµ giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD
PO đờng trung bình tsm giác CAM
AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1đ a) Do AM //BD nên góc OBA = gúc MAE (ng v)
Tam giác AOB cân ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên gãc IAE = gãc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ b) ΔMAF ~ΔDBA(g − g) nên
MF AD
FA AB không đổi (1đ)
c) NÕu
9 16
PD
PB th× 9 16 9 , 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CPBD ΔCBD ~ΔDCP(g − g)⇒CPPD=PBCP 1đ CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:(2)
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) (2) ta có đpcm
b)
2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy (1)
2
2
2 2
1 1
0
1 1
0
1 1
1
0
1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
V× x1;y1 => xy1 => xy 1 0
=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y)
A B
C D
O M
P
I E