Phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán là tài liệu vô cùng hữu ích, gồm 172 trang, tuyển tập toàn bộ các dạng câu hỏi xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Thông qua tài liệu này giúp các em học sinh lớp 12 dễ dàng trong việc ôn tập để chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia năm 2021, các câu hỏi đều có đáp án và lời giải chi tiết. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm: Công thức Logarit, Các dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số, 747 Bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, Bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2021. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.
Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Tính đơn điệu hàm số cho công thức 1.1 (Đề minh họa 2016) Hỏi hàm số y = 2x4 + đồng Åbiến ã khoảng nào? Å ã 1 D − ; +∞ A (−∞; 0) B (0; +∞) C −∞; − 2 Lời giải Ta có y = 8x3 ; y = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y y +∞ − +∞ + +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (0; +∞) Chọn phương án B 1.2 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = x3 + 3x + Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) nghịch biến khoảng (0; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) đồng biến khoảng (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Lời giải Ta có y = 3x2 + > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) nên hàm số đồng biến (−∞; +∞) Chọn phương án D x−2 1.3 (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số y = Mệnh đề đúng? x+1 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) B Hàm số nghịch biến khoảng (−1; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) Lời giải Ta có y = > 0, ∀x ∈ R\{−1} nên hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (x + 1)2 Chọn phương án A 1.4 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số x3 − 2x2 + x + Mệnh đề đúng? Åy = ã A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu Å C Hàm số đồng biến khoảng ã ;1 Å ã D Hàm số nghịch biến khoảng −∞; Lời giải Ta có y = 3x2 − 4x + 1; y = ⇔ x x=1 Bảng biến thiên x= 3 −∞ + y +∞ − +∞ 31 27 y −∞ Å Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng ã ;1 Chọn phương án A 1.5 (Đề thức 2017) Hàm số y = nghịch biến khoảng đây? x +1 A (−∞; +∞) B (−∞; 0) C (−1; 1) D (0; +∞) Lời giải 4x C1: Ta có y = − ; y = ⇔ x = Bảng biến thiên x2 + x −∞ + y +∞ − y 0 Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến (0; +∞) Chọn Start −2, End 2, Step 0,5 +1 Dò cột f (x) ta thấy hàm số đồng biến (−2; 0) nghịch biến (0; 2) Từ suy hàm số nghịch biến (0; +∞) Chọn phương án D 1.6 (Đề tham khảo 2017) Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞)? x−2 A y = 2x3 − 5x + B y = C y = 3x3 + 3x − D y = x4 + 3x2 x+1 Lời giải x−2 x−2 Loại phương án y = hàm số y = không xác định x = −1 x+1 x+1 Loại phương án y = x4 + 3x2 hàm số trùng phương khơng thể đồng biến khoảng (−∞; +∞) Chọn phương án y = 3x3 + 3x − ta có y = 9x2 + > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) Chọn phương án C C2: Sử dụng máy tính, chọn MODE Nhập vào hàm x2 Tính đơn điệu hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.7 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (0; 1) D (1; +∞) x −∞ + y 0 − y −∞ −1 +∞ + − −∞ Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Lời giải Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn phương án C 1.8 (Đề thức 2019) Cho hàm số x −∞ −2 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm f (x) + − − số cho nghịch biến khoảng 0 đây? +∞ A (0; +∞) B (2; +∞) f (x) C (0; 2) D (−2; 0) Lời giải Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; 2) Chọn phương án C 1.9 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = x −∞ −2 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm y + + − số y = f (x) nghịch biến khoảng 0 đây? A (−∞; −2) B (−2; 0) y −∞ −1 C (0; +∞) D (0; 2) Lời giải Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến hai khoảng (−2; 0) (2; +∞) Chọn phương án B 1.10 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (−1; 1) C (0; 1) D (−∞; −1) x −∞ f (x) f (x) −1 − +∞ f (x) f (x) +∞ − −∞ +∞ − 0 −∞ −1 + −1 +∞ + +∞ −2 − + +∞ −∞ −1 Lời giải Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến khoảng (1−; 0) (1; +∞) Chọn phương án C 1.11 (Đề thức 2018) Cho hàm số y = x −∞ −1 f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm y + − − số cho nghịch biến khoảng 0 đây? +∞ A (−1; 0) B (−∞; 0) y −2 C (0; 1) D (1; +∞) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn phương án C x +∞ −1 Lời giải Từ bảng biến thiên, suy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn phương án A 1.12 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−∞; 0) B (0; 1) C (−1; 0) D (−∞; −1) + 0 + +∞ +∞ + − −∞ §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu 1.13 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (−∞; −1) D (0; 1) y −1 O −1 x −2 Lời giải Từ hình vẽ, dễ thấy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn phương án B 1.14 (Đề thức 2020) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (1; +∞) y −1 O 1 x Lời giải Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn phương án B Tính đơn điệu hàm số hợp 1.15 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (2 − x) đồng biến khoảng A (−2; 1) B (1; 3) C (2; +∞) D (−∞; −2) y −1 O x Lời giải Xét hàm số y = f (2 − x) ta có y = − f (2 − x) Hàm số đồng biến (a; b) y >ñ 0, ∀x ∈ (a; b) ⇔ fñ(2 − x) < 0, ∀x ∈ (a; b) − x < −1 x>3 Nhìn vào đồ thị ta thấy f (2 − x) < ⇔ 1 nên suy y > 0, ∀x ∈ (−1; 0) Chọn phương án C 1.18 (Đề thức 2018) Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) Hai hàm số y = f (x) y = g (x) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị củaÅhàm sốãy = g (x) Hàm đồng biến số h(x) = f (x + 4) − g 2x − khoảngÅ ã đây? Å ã 25 A 6; B ;3 Å ã Å4 ã 31 31 C ; +∞ D 5; 5 y y = f (x) 10 O 10 11 x y = g (x) Lời giải Å ã Ta có h (x) = f (x + 4) − 2g 2x − Xét x = 6,1, ta có h (6,1) = f (10,1) − 2g (10,7); từ đồ thị ta có f (10,1) < f (10) = 2g (10,7) > 2g (11) = ⇒ h (6,1) < nên loại phương án A D Xét x = 6,25, ta có h (6,25) = f (10,25) − 2g (11); từ đồ thị ta có f (10,25) < f (10) = 2g (1) = ⇒ h (6,25) < nên loại phương án C Chọn phương án B 11 §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 1.19 (Đề tham khảo 2020) Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f (x) = x + mx2 + 4x + đồng biến R? A B C D Lời giải Ta có y = x2 + 2mx + 4; ∆ = m2 − Hàm số cho đồng biến R ® ® 1>0 a>0 ⇔ ⇔ −2 m ∆ m2 − Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn phương án B 1.20 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải Ta có y = −3x2 − 2mx + 4m + 9; ∆ = m2 + 3(4m + 9) = m2 + 12m + 27 Hàm số nghịch biến (−∞; +∞) ∆ ⇔ m2 + 12m + 27 ⇔ −9 m −3 Suy có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến (−∞; +∞) Chọn phương án A 1.21 (Đề tham khảo 2017) Hỏi có số nguyên m để hàm số y = m2 − x3 + (m − 1)x2 − x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải TH1: m = ta có y = −x + nên nghịch biến (−∞; +∞) (thỏa mãn ycbt) TH2: m = −1 ta có y = −2x2 − x + có đồ thị parabol nên nghịch biến (−∞; +∞) (không thỏa mãn ycbt) TH3: m ±1 ta có y = 3(m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x − Do hàm số nghịch biến (−∞; +∞) m2 − < Vì m ∈ Z nên m = Với m = ta có y = −3x2 − 2x − có ∆ = − = −2 < nên hàm số nghịch biến (−∞; +∞) (thỏa mãn ycbt) Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn phương án B Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax + b cx + d 1.22 (Đề thức 2020) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = biến khoảng (−∞; −7) A (4; +∞) B [4; 7) C (4; 7) D (4; 7] Lời giải Tập xác định D = R \ {−m} m−4 Ta có y = (x + m)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −7) ® ® ® m−4>0 m>4 m>4 y > 0, ∀x ∈ (−∞; −7) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔4 0, ∀x ∈ (−∞; −10) ⇔ − 5m (−∞; −10) ® m > 5m − > ⇔ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ − m2 + > ⇔ m (0; +∞) ® −2 ® m (0; 1) ⇔ m0 − 2a + > Và (2) ⇔ ⇔ ⇔ a = f (1) = a−1=0 ß ™ 3 Suy S = 1; nên tổng phần tử S + = 2 Chọn phương án B 9.10 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = 169 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách §1 Góc Góc hai đường thẳng 10.1 (Đề tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦ A O B M C Lời giải Gọi N trung điểm AC ta có MN AB Do góc OM AB góc OM MN Ta có OA = OB = OC OA, OB, OC đôi vng góc nên AB = BC = CA 1 Lại có OM = BC; ON = AC; MN = AB 2 ’ = 60◦ Suy OM = ON = MN hay tam giác OMN đều, suy OMN Vậy góc OM AB 60◦ A N O B M C Chọn phương án A Góc đường thẳng mặt phẳng 10.2 (Đề thức 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có √ AB = BC = a, AA = 6a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ D A C B A B Lời giải 171 D C §1 Góc Nguyễn Minh Hiếu Ta có AC hình chiếu A C (ABCD), suy góc A C ’ (ABCD) A CA √ A A √ ’ Tam giác A CA vng A có tan A CA = = √ = AC Vậy góc A C (ABCD) 60◦ D A C B A D B C Chọn phương án D 10.3 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S B = 2a Góc đường thẳng S B mặt phẳng đáy A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Lời giải Ta có AB hình chiếu S B (ABCD) S Do góc đường thẳng S B mặt phẳng đáy S‘ BA AB = ⇒ S‘ BA = 60◦ Trong tam giác S AB vng A có cos S‘ BA = SB A B D C Chọn phương án C 10.4 (Đề tham √ √ khảo 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABCD) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ S A D B C Lời giải Ta có S A ⊥ (ABCD), suy AC hình chiếu S C (ABCD) Do góc S C (ABCD)√là S‘ CA √ Vì ABCD hình vng cạnh 3a nên AC = a Xét S AC vng A có √ √ S A a = √ = ⇒ S‘ CA = 30◦ tan S‘ CA = AC a Vậy góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABCD) 30◦ Chọn phương án B 10.5 (Đề thức 2019) Cho hình chóp S ABC có S A vng √ góc với mặt phẳng (ABC), S A = 2a, tam giác ABC vuông B, AB = 3a BC = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABC) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ S A D B C S C A B Lời giải 172 Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách Ta có S A ⊥ (ABC) ⇒ AC hình chiếu S C (ABC) Do góc S C (ABC) S‘ CA Trong tam giác ABC vuông B có √ √ AC = AB2 + BC = 3a2 + a2 = 2a C A Trong tam giác S AC vng A có tan S‘ CA = S SA = ⇒ S‘ CA = 45◦ AC B Vậy góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABC) 45◦ Chọn phương án D 10.6 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABC có S A vng góc với mặt √ phẳng (ABC), S A = a 2, tam giác ABC vuông cân B AC = 2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng S B mặt phẳng (ABC) A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ S A C B Lời giải Ta có S A ⊥ (ABC), suy AB hình chiếu S B (ABC) Do góc S B (ABC) S‘ BA √ AC Tam giác ABC vuông cân B, suy AB = √ = a 2 ‘ Khi tam giác S AB vuông cân A, suy S BA = 45◦ Vậy góc S B (ABC) 45◦ S A C B Chọn phương án A 10.7 (Đề thức 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng √ B, AB = a, BC = 2a; S A vng góc với mặt phẳng đáy, S A = a 15 Góc đường thẳng S C mặt phẳng đáy A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ S A C B Lời giải Ta có S A ⊥ (ABC), suy AC hình chiếu S C mặt phẳng (ABC) ‘ Do góc đường thẳng S C mặt √ phẳng (ABC) √ S CA Tam giác ABC vng B có AC = AB2 + BC = a SA √ Tam giác S AC vuông C có tan S‘ CA = = ⇒ S‘ CA = 60◦ AC Vậy góc S C mặt phẳng đáy 60◦ S A C B Chọn phương án B 173 §1 Góc Nguyễn Minh Hiếu 10.8 (Đề tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm S D (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) √ √ 2 A B C D 3 S M A D B Lời giải Gọi O = AC ∩ BD H trung điểm OD Ta có S O⊥(ABCD) MH S O nên MH ⊥ (ABCD) ’ Suy góc BM (ABCD) √ MBH √ √ a a Ta có S O = S A2 − AO2 = ⇒ MH = S O = 2 √ 3a ’ = MH = , suy tan MBH Lại có BH = BD = 4 BH C S M A D H O B C Chọn phương án B Góc hai mặt phẳng 10.9 (Đề tham khảo 2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D Góc hai mặt phẳng (A B CD) (ABC D ) A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ Lời giải ® BC ⊥ CD Ta có CD ⊥ (BCC B ) ⇒ CD ⊥ BC , ⇒ BC ⊥ (A B CD) ⇒ (ABC D ) ⊥ (A B CD) BC ⊥ B C Vậy góc (A B CD) (ABC D ) 90◦ Chọn phương án A 10.10 (Đề thức 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vuông A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB) √ √ √ √ 13 85 85 17 13 A B C D 65 65 85 85 C B A D O M B A C I D Lời giải Gọi P,®Q trung điểm D C AB B Q MP ⊥ C D AB K D Ta có ⇒ AB ⊥ (MPQ) A MQ ⊥ AB Từ suy (MAB) ⊥ (MPQ) (MC D ) ⊥ (MPQ) Do góc (MAB) (MC D ) góc MQ MP O a a Đặt AB = a, ta có OI = ⇒ MI = OI = M 5a B I Gọi K tâm ABCD, ta có MK = IK − MI = A D √ √ √ √ 10a 34a Suy MP = MI + IP2 = , MQ = MK + KQ2 = , PQ = 2a 6 174 C C P Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách Gọi α góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB), ta có √ MP2 + MQ2 − PQ2 85 ’ = = cos α = | cos PMQ| 2MP · MQ 85 Chọn phương án D 10.11 (Đề tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác √ ABC.A B C có AB = AA = Gọi M, N, P trung điểm cạnh A B , A C BC (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin của√góc tạo hai √ mặt phẳng (AB √ √ C ) (MNP) 18 13 13 13 17 13 B C D A 65 65 65 65 C N M B A C P P B Lời giải Gọi K trung điểm B C I giao điểm A K MN Dễ thấy (AA KP) vng góc với (AB C ) (PMN) Do góc √ AK PI √ (AB C ) (PMN) góc √ 2 Ta có AP = AB − BP = 3; AK = AP2 + PK = 13; PI = √ PK + KI = Gọi O = AK ∩ PI ta có OAP ∼ OKI OA OP AP Do = = = OK OI KI √ 2 13 Từ suy OA = AK = ; OP = PI = 3 3 √ Ä # » # »ä OA2 + OP2 − AP2 13 Trong OAP có cos OA, OP = = 2OA.OP √ 65 13 Vậy côsin góc tạo (AB C ) (MNP) 65 Chọn phương án C A C K B N I A MO C P B A §2 Khoảng Cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 10.12 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B, AB = a, S A vng góc √ với mặt phẳng đáy S√A = 2a Khoảng cách từ√A đến mặt phẳng (S BC) √ 5a 2a 5a 5a A B C D 5 Lời giải Gọi H hình chiếu A S B, ta có AH ⊥ (S BC) √ S S A · AB 2a · a 5a Do d(A, (S BC)) = AH = = √ = SB 4a2 + a2 H A C B Chọn phương án C 175 §2 Khoảng Cách Nguyễn Minh Hiếu 10.13 (Đề thức 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng√cách từ M đến mặt √ phẳng A BC √ √ 2a 21a 2a 21a A B C D 14 C A B M A C B Lời giải z C A C A B B M H M I x A C A O y C N B B C1: Gọi O, O trung điểm BC B C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có Ç√ å ã Å ã Å ã Å 1 1 , A M 0; − ; ; 0; , B 0; ; , C 0; − ; 2 2 Ç √ å Ç √ å ỵ # » # »ó 3 # » #» Khi BA = − ; ; −1 , BC = (0; −1; 0) ⇒ BA , BC = −1; 0; 2 √ Từ suy (A BC) có phương trình −x + z = √ √ 21 = Vậy d(M, (A BC)) = … 14 1+ C2: Gọi I giao điểm AM A C, ta có MI MC 1 = = ⇒ d(M, (A BC)) = d(A, (A BC)) AI AA 2 ® BC ⊥ AN ⇒ BC ⊥ (A AN) Gọi N trung điểm BC, ta có BC ⊥ AA ® AH ⊥ A N Gọi H hình chiếu A A N, ta có ⇒ AH ⊥ (A BC) AH ⊥ BC √ a √ a· AA · AN a 21 Tam giác A AN vng A có AH = = = AN 3a a2 + 176 Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách √ a 21 Vậy d(M, (A BC)) = AH = 14 Chọn phương án B 10.14 (Đề thức 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (S AB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A√đến mặt phẳng √ (S BD) √ √ a 21 a a 21 a 21 A B C D 14 28 S A D B C Lời giải √ a Gọi H trung điểm AB, ta có S H ⊥ (ABCD) S H = z S S x I D H K B D A A O y H C B C C1: Gọi O giao điểm AC BD, K trung điểm BO, ta có HK AO ⇒ HK ⊥ BD Hơn S H ⊥ BD, suy BD ⊥ (S HK) Gọi I hình chiếu H S K có HI ⊥ S K HI ⊥ BD, suy ra√ HI ⊥ (S BD), hay d [H, (S BD)]√ = HI Xét tam giác S HK vng √ H có √ a a 14 S H · HK a 21 HK = AC = ⇒ S K = S H + HK = Từ suy HI = = 4 SK 14 √ a 21 Vì H trung điểm AB nên d [A, (S BD)] = 2d [H, (S BD)] = C2: Chọn hệ trục tọa độ Ç Oxyz, có Ox, Oy, Oz hình vẽ Ç Chọn a√= å 1, √ Oå ≡ HÅ trục Å ã ã Å ã 1 #» ta có A ; 0; , S 0; 0; , B − ; 0; D ; 1; Khi BS = ; 0; , 2 2 2 Ç √ √ å î # » # »ó 3 #» BD = (1; 1; 0), suy BS , BD = − ; ; Do (S BD) có phương trình 2 √ Å √ ã √ √ √ 3 − x+ + y + z = ⇔ 3x − 3y − z + = 2 2 √ √ 3 + √ √ 2 21 a 21 Vậy, d [A, (S BD)] = √ = , hay d [A, (S BD)] = 7 3+3+1 Chọn phương án C ‘ = 60◦ , S A = a 10.15 (Đề tham khảo 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD S A vng góc với mặt phẳng√đáy Khoảng cách từ B đến √ √ mặt phẳng (S CD) √ 21a 21a 15a 15a A B C D 3 177 §2 Khoảng Cách Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Gọi O tâm đáy chọn hệ trục tọa độ hình vẽ √ ‘ = 60◦ nên ABD đều, suy BD = a, AC = a Ta có BAD Chọn a = 2, ta có √ √ B(0, −1; 0), S (− 3; 0; 2), C( 3; 0; 0), D(0; 1; 0) √ √ #» # » Khi ỵS C = (2 ó 3; Ä0; −2), S D = ( √ ä 3; 1; −2) √ #» # » Suy S C, S D = 2; 3; Do (S CD) có phương trình √ √ √ √ √ 2x + 3(y − 1) + 3z = ⇔ x + 3y + 3z − = S z y x D C O A B √ √ √ − 3− 21 = Vậy d(B, (S CD)) = √ 1+3+3 Chọn phương án A Khoảng cách hai đường thẳng chéo 10.16 (Đề tham khảo 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD √ A C √ √ 3a B 2a C 3a D a A A D C B D A B C Lời giải Ta có A C (ABCD) nên d(A C , BD) = d[A C , (ABCD)] = d[A , (ABCD)] = A A = a Chọn phương án D 10.17 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = a Khoảng cách hai đường thẳng AC S B √ a a 6a 2a A B C D 3 2 Lời giải Gọi E điểm đối xứng với D qua A S Ta có AC BE ⇒ AC (S BE) Do d(AC, S B) = d(AC, (S BE)) = d(A, (S BE)) Gọi H hình chiếu A BE, ta có BE ⊥ (S AH) Gọi K hình chiếu A S H, ta có AK ⊥ (S BE) AB · AE 2a K Trong ABE có AH = √ = √ 2 AB + AE E D S A · AH 2a A Suy AK = √ = S A2 + AH H 2a B C Vậy d(AC, S B) = AK = Chọn phương án A 178 Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 10.18 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AB = 2a, AC = 4a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = a (minh họa hình vẽ) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng√S M BC bằng√ a a a 2a A B C D 3 S M A B C Lời giải z S S H M A x M A B y N C K B C C1: Gắn hệ tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có S (0; 0; 1), M(0; 1; 0), B(0; 2; 0), C(4; 0; 0) Khi ỵ # » # »ó # » #» #» S M = (0; 1; −1), BC = (4; −2; 0), S M, BC = (−2; −4; −4), S B = (0; 2; −1) Do Vậy d(S M, BC) = ỵ # » # »ó # » S M, BC · S B |0 − + 4| = d(S M, BC) = = √ ỵ # » # »ó + 16 + 16 S M, BC 2a C2: Gọi N trung điểm AC, ta có MN BC, suy d(S M, BC) = d(BC, (S MN)) Vì M trung điểm BC nên suy d(BC, (S MN)) = d(B, (S MN)) = d(A, (S MN)) Gọi K hình chiếu A MN, ta có AK ⊥ MN S A ⊥ MN nên MN ⊥ (S AK) Gọi H hình chiếu A S K, ta có AH ⊥ S K AH ⊥ MN, suy AH ⊥ (S MN), hay d(A, (S MN)) Trong AMN vng A có AK = AM · AN a · 2a 2a = √ = √ MN a2 + 4a2 Trong S AK vng A có 2a a· √ AS · AK 2a AH = = = SK 4a2 a + Vậy d(S M, BC) = AH = 2a 179 §2 Khoảng Cách Nguyễn Minh Hiếu Chọn phương án D 10.19 (Đề thức 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam√giác vuông cân A, AB = a; S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 3a Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường thẳng AC S M √ √ √ 2a 21a 39a a A B C D 13 S A C M B Lời giải z S S H A A C C N y M M B x B C1: Gọi N trung điểm AB, ta có AC MN ⇒ AC (S MN) Do d(AC, S M) = d(AC, (S MN)) = d(A, (S MN)) ® AC ⊥ AB Lại có ⇒ AC ⊥ (S AB), mà MN AC nên MN ⊥ (S AB) AC ⊥ S A ® AH ⊥ S N Gọi H hình chiếu A S N, ta có ⇒ AH ⊥ (S MN) AH ⊥ MN √ a 39 AS · AN = Tam giác S AN vng A có AH = √ + AN 13 AS √ a 39 Vậy d(AC, S M) = AH = 13 C2: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có Å ã √ ä 1 A(0; 0; 0), C(0; 1; 0), S 0; 0; , M ; ;0 2 Ä Å ã ã ỵ # » # »ó Å √ √ ä 1 √ #» # » #» Ä Suy AC = (0; 1; 0), S M = ; ; − , AS = 0; 0; , suy AC, S M = − 3; 0; − 2 √ − √ 39 Vậy d(AC, S M) = … = 13 3+ Chọn phương án C 180 Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 10.20 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 3a (minh họa hình bên) Gọi M trung điểm AB Khoảng √ cách hai đường thẳng S B DM √ 13a 3a 3a 13a A B C D 13 13 S M A B D Lời giải z S S H A M B y M A D N B C D x C1: Từ giả thiết, suy ABCD hình thang cân Gọi N trung điểm CD, ta có MN ⊥ AB MN = Gắn hệ tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có … AD2 C √ a − (AB − CD) = Ç√ å S (0; −1; 3), B(0; 1; 0), D ; − ; , M(0; 0; 0) 2 Ç √ ầ ợ # ằ # ằú 3 3 √ #» # » Suy S B = (0; 2; −3), DM = − ; ; ⇒ S B, DM = − ; ; 2 2 # » Lại có BM = (0; −1; 0), √ ỵ # » # »ó # » 3 S B, DM · BM d(S B, DM) = = … = ỵ # » # »ó 27 S B, DM + +3 4 C2: Ta có AB = 2CD ⇒ BM = CD = BC, MBCD hình thoi Từ suy DM BC ⇒ DM (S BC), d(DM, S B) = d(DM, (S BC)) = d(M, (S BC)) = d(A, (S BC)) √ Tương tự, ta có AMCD hình thoi, suy DM ⊥ AC AC = a Hơn DM ⊥ S A nên DM ⊥ (S AC) ⇒ BC ⊥ (S AC) Gọi H hình chiếu A S C, ta có AH ⊥ S C AH ⊥√ BC nên AH ⊥ (S BC) S A · AC 3a · a 3a Trong S AC vng A có AH = √ = √ = 9a2 + 3a2 S A2 + AC 1 3a Vậy d(DM, S B) = d(A, (S BC)) = AH = 2 Chọn phương án B 181 C §2 Khoảng Cách Nguyễn Minh Hiếu BẢNG ĐÁP ÁN 1.1 B 1.11 C 1.21 B 1.31 A 1.41 A 1.51 D 1.61 D 1.71 A 1.81 C 1.91 D 1.101 D 1.111 C 1.121 A 1.131 C 2.5 A 2.15 C 2.25 C 2.35 B 3.6 C 3.16 D 3.26 B 3.36 B 3.46 C 3.56 C 3.66 C 3.76 D 3.86 B 3.96 A 4.3 D 4.13 B 4.23 A 4.33 A 4.43 A 5.10 B 5.20 D 5.30 C 5.40 D 5.50 B 5.60 B 5.70 B 6.2 B 6.12 D 6.22 B 6.32 B 6.42 A 6.52 B 6.62 C 6.72 C 6.82 D 7.1 D 7.11 C 1.2 D 1.12 C 1.22 D 1.32 B 1.42 B 1.52 A 1.62 C 1.72 B 1.82 B 1.92 B 1.102 A 1.112 B 1.122 B 1.132 D 2.6 D 2.16 A 2.26 C 2.36 C 3.7 A 3.17 D 3.27 A 3.37 D 3.47 D 3.57 B 3.67 C 3.77 B 3.87 B 3.97 C 4.4 B 4.14 C 4.24 B 4.34 A 5.1 C 5.11 C 5.21 B 5.31 A 5.41 B 5.51 D 5.61 C 5.71 C 6.3 B 6.13 D 6.23 B 6.33 D 6.43 A 6.53 D 6.63 D 6.73 C 6.83 C 7.2 D 7.12 D 1.3 A 1.13 B 1.23 D 1.33 B 1.43 C 1.53 C 1.63 C 1.73 D 1.83 D 1.93 B 1.103 B 1.113 A 1.123 D 1.133 D 2.7 D 2.17 A 2.27 D 2.37 D 3.8 C 3.18 A 3.28 D 3.38 B 3.48 B 3.58 A 3.68 D 3.78 A 3.88 C 3.98 B 4.5 A 4.15 D 4.25 C 4.35 B 5.2 B 5.12 A 5.22 B 5.32 B 5.42 D 5.52 B 5.62 A 5.72 C 6.4 B 6.14 D 6.24 D 6.34 D 6.44 C 6.54 D 6.64 B 6.74 B 6.84 A 7.3 A 7.13 D 1.4 A 1.14 B 1.24 D 1.34 B 1.44 D 1.54 B 1.64 C 1.74 C 1.84 A 1.94 C 1.104 B 1.114 D 1.124 A 1.134 C 2.8 B 2.18 B 2.28 B 2.38 D 3.9 B 3.19 D 3.29 A 3.39 B 3.49 B 3.59 B 3.69 B 3.79 A 3.89 A 3.99 C 4.6 A 4.16 A 4.26 A 4.36 C 5.3 B 5.13 C 5.23 A 5.33 A 5.43 A 5.53 C 5.63 D 5.73 B 6.5 C 6.15 A 6.25 B 6.35 D 6.45 D 6.55 B 6.65 C 6.75 D 6.85 D 7.4 A 7.14 A 1.5 D 1.15 A 1.25 A 1.35 C 1.45 A 1.55 D 1.65 A 1.75 C 1.85 B 1.95 D 1.105 B 1.115 A 1.125 A 1.135 A 2.9 B 2.19 A 2.29 C 2.39 B 3.10 B 3.20 C 3.30 B 3.40 D 3.50 A 3.60 D 3.70 D 3.80 D 3.90 B 3.100 C 4.7 B 4.17 A 4.27 B 4.37 C 5.4 A 5.14 D 5.24 A 5.34 D 5.44 B 5.54 D 5.64 A 5.74 D 6.6 A 6.16 A 6.26 B 6.36 A 6.46 A 6.56 D 6.66 C 6.76 C 6.86 A 7.5 B 7.15 C 1.6 C 1.16 D 1.26 C 1.36 C 1.46 B 1.56 A 1.66 D 1.76 C 1.86 D 1.96 D 1.106 C 1.116 A 1.126 D 1.136 C 2.10 C 2.20 C 2.30 D 3.1 B 3.11 B 3.21 C 3.31 A 3.41 C 3.51 A 3.61 D 3.71 C 3.81 C 3.91 D 3.101 D 4.8 B 4.18 C 4.28 B 4.38 D 5.5 A 5.15 A 5.25 A 5.35 C 5.45 C 5.55 D 5.65 C 5.75 C 6.7 C 6.17 A 6.27 A 6.37 A 6.47 B 6.57 B 6.67 B 6.77 B 6.87 A 7.6 C 7.16 B 182 1.7 C 1.17 C 1.27 B 1.37 A 1.47 D 1.57 C 1.67 A 1.77 A 1.87 A 1.97 A 1.107 B 1.117 D 1.127 B 2.1 B 2.11 C 2.21 B 2.31 B 3.2 A 3.12 B 3.22 C 3.32 C 3.42 D 3.52 A 3.62 A 3.72 C 3.82 D 3.92 A 3.102 A 4.9 C 4.19 C 4.29 C 4.39 B 5.6 C 5.16 B 5.26 C 5.36 A 5.46 D 5.56 B 5.66 A 5.76 D 6.8 C 6.18 B 6.28 D 6.38 C 6.48 C 6.58 A 6.68 B 6.78 D 6.88 A 7.7 D 7.17 C 1.8 C 1.9 B 1.10 A 1.18 B 1.19 B 1.20 A 1.28 C 1.29 D 1.30 A 1.38 D 1.39 A 1.40 D 1.48 C 1.49 D 1.50 B 1.58 B 1.59 D 1.60 C 1.68 B 1.69 B 1.70 C 1.78 A 1.79 D 1.80 B 1.88 C 1.89 C 1.90 B 1.98 B 1.99 A 1.100 D 1.108 C 1.109 C 1.110 C 1.118 A 1.119 D 1.120 A 1.128 C 1.129 B 1.130 C 2.2 A 2.3 C 2.4 C 2.12 B 2.13 A 2.14 D 2.22 A 2.23 D 2.24 D 2.32 C 2.33 A 2.34 A 3.3 C 3.4 D 3.5 B 3.13 B 3.14 A 3.15 D 3.23 A 3.24 A 3.25 D 3.33 A 3.34 C 3.35 C 3.43 D 3.44 A 3.45 B 3.53 C 3.54 D 3.55 C 3.63 D 3.64 C 3.65 D 3.73 B 3.74 C 3.75 A 3.83 B 3.84 B 3.85 A 3.93 A 3.94 B 3.95 D 3.103 A 4.1 C 4.2 A 4.10 A 4.11 D 4.12 D 4.20 B 4.21 D 4.22 D 4.30 D 4.31 D 4.32 D 4.40 D 4.41 C 4.42 B 5.7 A 5.8 D 5.9 D 5.17 D 5.18 D 5.19 C 5.27 B 5.28 C 5.29 B 5.37 D 5.38 B 5.39 A 5.47 A 5.48 C 5.49 D 5.57 A 5.58 B 5.59 C 5.67 D 5.68 A 5.69 D 5.77 A 5.78 B 6.1 D 6.9 B 6.10 D 6.11 C 6.19 C 6.20 A 6.21 C 6.29 C 6.30 A 6.31 C 6.39 D 6.40 C 6.41 C 6.49 A 6.50 A 6.51 D 6.59 B 6.60 D 6.61 C 6.69 A 6.70 A 6.71 C 6.79 B 6.80 D 6.81 B 6.89 B 6.90 C 6.91 D 7.8 A 7.9 B 7.10 C 7.18 C 7.19 C 7.20 B Nguyễn Minh Hiếu Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 7.21 B 7.22 D 7.23 B 7.24 A 7.25 B 7.26 B 7.27 D 7.28 A 7.29 C 7.30 B 7.31 A 7.32 D 7.33 A 7.34 D 7.35 A 7.36 D 7.37 B 7.38 A 7.39 C 7.40 A 7.41 C 7.42 A 7.43 D 7.44 D 7.45 B 7.46 B 7.47 B 7.48 C 7.49 C 7.50 D 7.51 C 7.52 B 7.53 B 7.54 A 7.55 D 7.56 D 7.57 C 7.58 A 7.59 A 7.60 B 8.1 C 8.2 B 8.3 B 8.4 A 8.5 C 8.6 A 8.7 B 8.8 D 8.9 C 8.10 A 8.11 A 8.12 A 8.13 D 8.14 B 8.15 B 8.16 C 8.17 D 8.18 D 8.19 D 8.20 C 9.1 B 9.2 D 9.3 C 9.4 A 9.5 B 9.6 D 9.7 A 9.8 C 9.9 C 9.10 B 10.1 A 10.2 D 10.3 C 10.4 B 10.5 D 10.6 A 10.7 B 10.8 B 10.9 A 10.10 D 10.11 C 10.12 C 10.13 B 10.14 C 10.15 A 10.16 D 10.17 A 10.18 D 10.19 C 10.20 B 183 ... Sự Biến Thi? ?n Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nhận dạng hàm số dựa vào bảng biến thi? ?n đồ thị 1.88 (Đề thức 2017) Đường cong hình bên đồ thị hàm số ax + b y= với a, b, c, d số thực Mệnh đề đúng? cx +... Hiếu Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Đường tiệm cận hàm số cho bảng biến thi? ?n đồ thị 1.84 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thi? ?n hình bên... Lời giải Nhìn vào bảng biến thi? ?n ta thấy hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Chọn phương án D 1.62 (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thi? ?n hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A max