Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến tại điểm N của đường tròn (O) cắt MA tại E, MB tại K; đường vuông góc với MO tại O cắt tia MA tại C, tia MB tại D.. Chứng minh : Tam giác CEO và [r]
(1)TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 120 phút
ĐỀ SỐ 01
Bài 1: (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: a) A =
3 5
2 5
b) B = 14 13 12 11 44 52 b) C = 10 24 40 60 7 40
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: D =
1
x x
b) Giải bất phương trình: 3x 5
c) Giải phương trình: 16x17 8 x 23
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : P =
4 4
2
a a a
a a
( Với a ; a )
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính P a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có D C 900 Chứng minh AB2 + CD2 = AC2 + BD2
Bài 5: (2 điểm)
Cho hình vng ABCD E điểm nằm B C Gọi F giao điểm hai đường thẳng AE DC Chứng minh rằng: 2
1 1
AF
AE AD
(2)TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 120 phút
ĐỀ SỐ 02
Bài 1: (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: a) A = 3 5 29 12 5 b) B =
3 2 2
17 12 17 12
Khơng xử dụng máy tính , So sánh hai số a b với: a = 2011 2010 b = 2010 2009
Bài 2: (2 điểm)
1 Chứng minh bất đẳng thức Côsi:
Với hai số a b không âm, chứng minh rằng:
a b ab
2 Giải phương trình sau: 2x 3 2 x 3x212x14
Cho A = x 3 5 x Chứng minh rằng: A 4
Bài 3: (3 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = 20 : 21 AH = 420
Tính chu vi tam giác ABC Cho góc nhọn .
a) Biết cos – sin = 0,2 Tính cotg .
b) Tính sin210 + sin220 + sin230 + ……….+ sin2870 + sin2880 + sin2890
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H trực tâm tam giác Gọi D E điểm
đoạn thẳng BH CH cho ADCAEB900 Chứng minh tam giác ADE cân
(3)TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 03
Bài 1: (3 điểm)
1 Rút gọn biểu thức sau: A = 13 160 53 90
2 Cho biểu thức P =
2
1
b b b b
b b b b
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P b =
3 2
Bài 2: (2 điểm)
1 Giải phương trình : 1 x 4x 3
2 a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng: a b a b
b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =
2
2009 2010
x x
Bài 3: (3 điểm)
1 Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 sin2x +cos2x = 1
2 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB C điểm bên ngồi nửa đường
tròn
CA, CB cắt nửa đường tròn N M Gọi H giao điểm AM BN
a) Chứng CH AB
b) Giả sử CH = 2R Tính tang ACB.
Bài 4: (2 điểm)
Tử điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B C hai tiếp điểm Gọi E hình chiếu C đường kính BD đường tròn (O) AD cắt CE K
Chứng minh K trung điểm CE
(4)TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 04
Bài 1: (2 điểm)
1 Thực phép tính:
2
2 3
2 2
2 Chứng minh rằng:
1 1
10
1 2 3 100
Bài 2: (2 điểm)
1 Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
1
1
2
x y z x y z
2Giải phương trình:
2 1 1
2
x x x x
Bài 3: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 4x3
Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x 6 x
Bài 4: (2 điểm)
Cho đường trịn (O), đường kính AB tiếp tuyến d B Trên d lấy hai điểm C D
(B nằm C D) CA DA cắt đường tròn (O) M N Chứng minh AM AC = AN AD
Bài 5: (2 điểm)
Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA PB tới đường tròn (A,B hai tiếp điểm) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến đường kính BC đường tròn Chứng minh PC cắt AH trung điểm I AH
=== HẾT===
(5)Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 05
Bài 1: (3 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức:
a) A = 80 45 20 7
b) B = 35 13 35 13
Rút gọn biểu thức P = x 2 x x 1 x , với 3 x 4
Bài 2: (3 điểm)
1 Giải phương trình: a) x2 4x4 2 x
b) x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x9 3
Cho < x < 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
9
2
x xx
Bài 3 (2,5điểm)
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB
( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn (O); cắt Ax, By E F Gọi K giao điểm AF BE,
Chứng minh MK AB
Khi MB = 3.MA, tính diện tích tam giác KAB theo a
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh tgB tgC =
(6)TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 06
Bài 1: (1,5 điểm)
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c)
Chứng minh x4 + x3 + 2x2 + x + nhận giá trị dương với x
Bài 2: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1 A =
2011 2010 2010 2011 2010 2011
2011 2010 2010 2011
2 B =
1 1
4( 1)
x x x
x x
với x x 2
Bài 3: (2 điểm)
1 Giải phương trình sau: 3x22x2 x2 x x
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A = x2y x10 y2 xy2023 với x, y số thực không âm.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, H trực tâm, đường thẳng BH CH cắt AC AB M N, NHM 1200.
1 Chứng minh AMN ABC, tính MN
BC .
2 Tính
AH BC
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm Tính cos A
Bài 6: (1 điểm)
Cho biểu thức M = 2n13 2n22n1 với n N
Chứng minh M 16
====HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP
(7)ĐỀ SỐ 07
Bài 1: (1,5 điểm)
1.Cho x y hai số khác cho x2 – y = y2 – x Tính giá trị biểu thức A = x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y 2.Tìm chữ số tận tổng 9994 + 999.
Bài 2: (1,5 điểm)
Không xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau: 2 2 2 2
2
14 2
5 1,5 2
Bài 3: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x x
B =
2
2011
x x
3 C = x22y2 6x4y11 x23y22x6y4
Bài 4: (1,5 điểm)
1 Chứng minh bất đẳng thức x y1y x1xy (với x 1; y 1)
2 Giải phương trình:
3
2
2
x
x x x x
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = Vẽ AH BD Gọi M trung điểm
HB; N trung điểm CD Tính MA2 + MN2.
Bài 6: (2,0 điểm)
Qua điểm M ngồi đường trịn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn A B, kẻ qua M đường thẳng khác cắt đường tròn C D
1 So sánh tích MA MB MC MD
2 Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T tiếp điểm) Chứng minh MTC MDT
===HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
(8)ĐỀ SỐ 08
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +
1 Chứng tỏ với số nguyên x, giá trị A số phương Tìm số nguyên x cho A = 25
Bài 2: (1,5 điểm)
1 Chứng minh rằng: a)
1 1 1
1 2 2 3 98 99 99 100
b)
1 1
28 225
2 Cho biểu thức x2 6x19 x2 6x10 3 .
Tính giá trị biểu thức : M = x2 6x19 x2 6x10
Bài 3: (2,0 điểm)
Với a 0, b , chứng minh a + b 2
2 a b
2 Tìm giá trị lớn biểu thức S = x 3 y 4, biết x + y = 8
3 Giải phương trình sau: x 2 10 x x212x40
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường tròn
D Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh : S = r (AD + BC)
Bài 5: (2,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua
O song
song với AB cắt AD BC M N
Chứng minh: MOCD +MO
AB =1
Chứng minh: AB1 +
CD= MN
Biết SAOB=m2; SCOD=n2 Tính SABCD theo m n (với SAOB, SCOD , SABCD lần
lượt
diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD)
Bài 6: (1,0 điểm)
Chứng minh a3b – ab3 chia hết cho với số nguyên a b. === HẾT====
(9)Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 09
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = n3 – 4n2 + 4n – 1. Phân tích A thành nhân tử
2 Tìm số tự nhiên n để giá trị A số nguyên tố
Bài 2: (3 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
2 2
3
3
2 So sánh hai số: a =
3 5
2 2
; b =
4 7
3 7
3 Tính giá trị biểu thức :
P = ( x3 + 12x – 9)2010 x = 34 1 4 1
Bài 3: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình sau:
7
7
x x x x
x x
2 Chứng minh rằng: a > 0; b >
a b
a b
b a
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, M trung điểm AD, N trung điểm BC Trên tia đối tia DC lấy điểm P Tia PM cắt đoạn thẳng AC Q
Chứng minh : QNM MNP
Bài 5: (1,5 điểm)
Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác mà độ dài đường cao
1; ;2
h h h Chứng minh hệ thức: 1 2 3
1 1
r h h h
====HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP
(10)ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biết a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức : A = 1
a b c
b c a
Bài 2: ( 4,5 điểm)
Khơng xử dụng máy tính, hãy: So sánh hai số:
a = 2009 2011 b = 2 2010.
Rút gọn biểu thức sau: A =
3 2 2
17 12 17 12
Tính giá trị biểu thức: B =
2
1
x x x x
x x x x
với x =
3 2
Bài 3: ( 4,0điểm)
Giải phương trình sau: 37 x 1 x 2
Cho hàm số: y = x 1 x x 7 x
a) Tìm giá trị x để y có nghĩa ? b) Tìm giá trị nhỏ hàm số cho
Bài 4: (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N trung điểm AB CD Đường thẳng MN cắt đường thẳng AD BC theo thứ tự E F
Chứng minh E F
Bài 5: (4 điểm)
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C hai tiếp điểm) Gọi E, F trung điểm AB, AC Từ điểm T cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF M
Chứng minh MA = MT
Bài 6: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng: a = 2110 1 200
2 b =392039 4013
3 c =20052007200720052006
======HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
(11)ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (5,0điểm)
Rút gọn biểu thức: A =
3 3
2 2
b c c a a b
a b c b c a c a b
Không xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau:
P = 4 4 + 2
Q = 2 2 2
1 1 1
1
2 3 2005 2006
Bài 2: (3,0điểm)
Chứng minh a3b3ab a b( ) với a b, 0
Áp dụng kết trên, chứng minh bất đẳng thức :
3 3 3
1 1
1
1 1
a b b c c a
với a, b, c số dương thỏa mãn abc1. Bài 3: (2 điểm)
Giải phương trình:
1
3 3
3
x
x x x
x
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh
tan
ABC AC
AB BC
Bài 5: (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax By vng
góc với AB Gọi O trung điểm AB Trên tia Ax lấy điểm C, tia By lấy điểm D
cho COD 900.
1 Chứng minh AC + BD = CD
2 Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB
Bài 6: (3 điểm)
1 Chứng minh 16n – chia hết cho 15 không chia hết cho 17 với n lẻ Chứng minh rằng: x3m2x3n11 x2 x 1 với số tự nhiên m n
======HẾT=====
(12)Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 12
Câu 1 (3,0 điểm)
Phân tích x5 + x – thành nhân tử.
Phân tích số 10 000 000 099 thành tích hai số tự nhiên khác
Câu 2 (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức: A =
11
2 14
Câu 3: (4 điểm)
1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2007 2008 2009 2010
M x x x x
Giải phương trình:
1
2
2
x x x
Câu 4: (4 điểm)
1 Chứng minh 62n 19n 2n1
chia hết cho 17 với số tự nhiên n.
2 Chứng minh :
Với số nguyên dương n, giá trị biểu thức
2
4
3 1
n M
n n n
số tự nhiên
Câu 5: (6 điểm)
Cho hình thang vng ABCD (A B 900), tia phân giác góc C qua trung điểm O AB
1 Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O; OA)
2 Gọi H tiếp điểm CD với đường tròn (O; OA) Gọi K giao điểm AC Và BD Chứng minh KH song song với AD
Cho biết AB = 2a Tính tích hai đoạn thẳng AD BC theo a ==== HẾT======
(13)Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 13
Câu 1( 3điểm ):
1 Rút gọn biểu thức sau: a) A = 3√10+√20−3√6−√12
√5−√3
b) B = a b c 2 ac bc a b c ac bc (a >0, b > 0, c > , a + b c)
Câu 2: (3điểm)
Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A(n) = 7.52n 12.6n
chia hết cho 19
Tìm số nguyên x y cho xy – x – y =
Câu 3: (3điểm)
Chứng minh bất đẳng thức: x 3 x 5 2 với x0 Giải phương trình: 3x2+3x −2√x2+x=1
Câu 4: (3 điểm)
Cho a, b, c số thực thỏa mãn:
0;
2
2 11
a b
a b c
a b c
.
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Q = 6a + 7b + 2006c
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Gọi d tiếp tuyến đường tròn, C tiếp điểm D E hình chiếu A B đường thẳng d
1 Chứng minh hai điểm D E ngồi đường trịn (O) Kẻ CH AB (H AB) Chứng minh AD BE = CH2
Câu 6: (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M N trung điểm hai đáy BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD Q
Chứng minh MN tia phân giác góc PMQ·
&&&&&&& HẾT&&&&&&&
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
(14)Bài 1: (3 điểm)
Cho phân thức
2
2 2
2
a b c a b c ab bc ca
M
a b c ab bc ca
a) Tìm giá trị a, b, c để M có nghĩa ? b) Rút gọn phân thức M
Bài 2: (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: a)
2 21 80
10
A
b)
2
2
x x x x
B
x x x x
với x2
Bài 3: (3 điểm)
a) Chứng minh 11n2 122n1
chia hết cho 133 với số tự nhiên n
b) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình xy – 4x = 35 – 5y
Bài 4: (3 điểm)
a) Giải phương trình √1
4x
2
+x+1−√6−2√5=0
b) Cho a, b, c Chứng minh a + b + c ab bc ca
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho nửa đường trịn (O; R) , đường kính AB, M điểm di chuyển nửa đường tròn Vẽ tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến với nửa đường tròn A B theo thứ tự C D
Điểm M vị trí nửa đường trịn tứ giác ACDB có diện tích nhỏ ? Tính theo R diện tích nhỏ
Bài 6: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB AC BD hai dây cung nửa đường tròn cắt điểm M bên nửa đường tròn (O)
Chứng minh AM AC + BM BD = AB2
********************** HẾT***************************
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 15
(15)a) Tìm số dư phép chia S : 101 đó:
S = 1n + 2n + 3n + ……… + 97n + 98n + 99n với n số tự nhiên lẻ b) Chứng minh : Nếu n số tự nhiên lẻ 32n3 24n1
chia hết cho 25
Bài 2: (4 điểm)
Khơng xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau: a)A =
2 12 140 12 140
7 12 140 32 28 12 140
b) B = x4 x x x
Bài 3: (3 điểm)
Giải phương trình : a) 2x 3 x
b) x3 10 x2 x2 x12
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường trịn tâm O, đường kính AB, kẻ dây CD tùy ý khơng vng góc với AB cắt AB I Gọi M N hình chiếu A B CD
Chứng minh CM = DN
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE AB, CF AD
Chứng minh : AB AE + AD AF = AC2
Bài 6: (2 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1
a b b c c a a b c
( với a, b, c > 0)
*******HẾT******
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 16
(16)a) Tìm chữ số x, y để 1234xy72
b) Với n số tự nhiên, chứng minh 9.10n + 18 chia hết cho 27
Bài 2: (4 điểm)
Khơng xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau: a) A = 3 3
b) B =
4 7
3 7
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
x 1 4x 4 9x 9 100x100 165
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x 3y2xy11
Bài 4: (2 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
a b c d
a b d a b c b c d a c d
(với a, b, c, d > 0)
Bài 5: (3 điểm)
Cho hình thang ABCD đáy AB = cm, đáy CD = cm, AD = cm , BC = cm Tính diện tích hình thang
Bài 6: (4 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R E điểm di chuyển nửa
đường tròn ( E khác A B) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt hai tiếp tuyến kẻ
từ A B nửa đường tròn C D Gọi H hình chiếu E AB a) Chứng minh HE phân giác CHD .
b) Chứng minh CD EH không đổi E di chuyển nửa đường tròn HẾT - -
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 17
Câu 1: (4 điểm)
(17)
2
6
A
12 18
b) Chứng minh bất đẳng thức:
2010 2011
2010 2011 2011 2010
Câu 2: (3 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức 2
x x có giá trị lớn
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
P =
2
1995 1996
x x
Câu 3: (3 điểm)
Giải phương trình sau: x29x20 3 x10
Câu 4: (4 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R, CD dây cung song song với AB khoảng cách từ O tới CD dài CD
a) Tính CD theo R
b) Gọi H hình chiếu C đến AB I giao điểm AB với tiếp tuyến vẽ từ C
Với nửa đường tròn O Chứng minh HI = HO, từ tính HI CI theo R
Câu 5: (4 điểm)
Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lấy điểm C1, A1, B1 tương ứng cho
AA1 , BB1 , CC1 đồng qui O Đường thẳng qua O song song với AC cắt A1B1 C1B1 K M Chứng minh OK = OM
Câu 6: (2 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu n số tự nhiên chia hết cho 2n – chia hết cho 15. === HẾT===
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 18
Câu 1: (3 điểm)
(18)A =
3 3
2 2
3
x y z xyz
x y y z z x
b) Chứng minh rằng: Nếu
2
(1 ) (1 )
x yz y xz
x yz y xz
với xy ; yz1 ; xz1 ;
x0; y0; z0
1 1
x y z
x y z
Câu 2: (4 điểm) a)
2
9 14 14
7
b)
14 15 5
:
1 5 2
Câu 3: (3 điểm)
Giải phương trình sau: a) x 4 x 9 x b)
1
4
x x x x
Câu 4: (3 điểm)
a) Tìm số dư chia 31993 cho 7
b) Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 3x – 2y – =
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình thoi ABCD có A1200 Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N
Chứng minh 2
1
3
AM AN AB
Câu 6: (4 điểm)
Cho nửa đường trịn đường kính AB Hai dây cung AC BD cắt H Chứng minh AH AC + BH BD có giá trị khơng đổi
HẾT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 19
Câu 1: (3 điểm)
a) Tìm số dư chia 31998 + 51998 cho 13.
b) Tìm tất số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố.
(19)Khơng xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau: a) A =
14 2
5 1,5 2
b) B =
2
8 15 15 : 3 1 2007 2008 2007
Câu 3: (3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x x 2010.
b) Giải phương trình:
2
5
5 3
x x
Câu 4: (3 điểm)
a) Chứng minh đẳng thức:
1 1
1 1
n n n n n n với n nguyên dương
b) Chứng minh bất đẳng thức:
1 1
2 1 2 3 4 100 99 99 100
Câu 5: (4 điểm)
Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB dây cung CD Vẽ AP BS vng góc với CD (P CD, S CD) Chứng minh:
a) P S bên ngồi đường trịn (O) b) SAPSB SACBSADB
Câu 6: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng:
2 2
EF ABC
1 os os os
S
D S
c A c B c C
-HẾT -ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 20
Bài 1: (5 điểm)
a) Cho biểu thức P =
1
:
a
a a a a a a
(20)Rút gọn P tính giá trị P a =
1
3 2 3
b) Chứng minh biểu thức A = a2 + b2 – 2ab + a – b + dương với a b
Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình sau:
1 1
1
3 2 1
x x x x x x
b) Tìm giá trị lớn biểu thức B = + 2x x 21
Bài 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, hai đường trung tuyến AM BN vng góc với
Tính hai cạnh AC, BC theo a
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC lần lượt P Q cho HP = HQ Qua điểm H vẽ đường thẳng vng góc với PQ cắt BC M
Chứng minh rằng: M trung điểm đoạn thẳng BC
Bài 5: (4 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – 2y – = 3x – x2 b) Tìm số dư phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91
-hết -ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 21
Bài 1: (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau a) A =
14 14 5
(21)b) Cho a, b, c, d số dương
a c
b d
Trục thức mẫu biểu thức
1
a b c d
Bài 2: (4 điểm)
a) Với a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: Nếu a b c ab bc ca a = b = c
b) Cho A =
1
x x
Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên
Bài 3: (2 điểm)
Giải phương trình: 3x25 3x2 5x12 48 5 x
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi P điểm nằm tam giác cho PAC PBC .
L M theo thứ tự chân đường vng góc vẽ từ P đến BC AC Chứng minh D trung điểm AB DL = DM
Bài 5: (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm thuộc nửa đường trịn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C D
a) Chứng minh đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí C để hình thang để tứ giác ABCD có chu vi 14 cm
Biết AB = cm
Bài 6: (3điểm)
Chứng minh với n số tự nhiên thì: a) 5n2 26.5n 82n1 59
b) 7.52n 12.6 19n
-
HẾT -ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 22
Bài 1: (3,0điểm)
(22)P =
2 2 2
bc b c ac c a ab a b
a b c b c a c a b abc
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau: A =
45 27 45 27 3
5 3
b) a > 0; b > Chứng minh
a b
a b
b a
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải phương trình: a)
5
4 20 45
9
x
x x
b)
2
2
2 2
x x
x x
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi M, N , P điểm nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC cho đường thẳng AM, BN, CP đồng qui O
Chứng minh :
AP BM CN
PB MC NA
Bài 5: (3,,5 điểm)
Từ điểm A ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với B, C tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN = 2ON Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Hãy tính tỉ số
AM
AO .
Bài 6: (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2(x + y) + 16 = 3xy
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 23
Bài 1: (4điểm)
(23)a)
2 2
2 2 2
b)
2 5
2 5
Bài 2: (6điểm)
a) Giải phương trình:
2
2 25 125
9 45 16 80
12 16
x x
x x
b) Chứng minh 1
y x y
x
x y x y
c)Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: Q = x24x5
Bài 3: (3điểm)
Cho điểm P nằm đường tròn (O; R) Hai dây cung di động AB CD qua P vuông góc với P
Chứng minh AB2 + CD2 có giá trị khơng đổi.
Bài 4: (4điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 2
1 1
4 AB - AE = AF
Bài 5: (3điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + 2x2 – y2 + = 0
-HẾT -ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 24
Bài 1: (2 điểm)
(24)2 2 2 2
1 1
0
b c a c a b a b c
Bài 2: (4 điểm)
a) Không xử dụng máy tính, rút gọn biểu thức sau: A = 1 1 2 3
b) Cho x, y thỏa mãn:
2 2010 2010 2010
x x y y
Tính giá trị biểu thức B = x + y
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình sau: 2
5
4
5
x x x x
b) Với x, y khơng âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x xy3y x2011,5
Bài 4: (3 điểm)
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Đường trung trực AB cắt nửa đường tròn I Trên tia đối tia IO lấy điểm C cho IO = IC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CD CE với nửa đường tròn (D E hai tiếp điểm) Trên cung DE lấy điểm S (S khác I) , tiếp tuyến S nửa đường tròn cắt CD CE lần lượt H K Tính số đo góc HOK
Bài 5 :(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD Chứng minh rằng:
1
AB AC AD
Bài 6: (4 điểm)
a) chứng minh :
Với số tự nhiên n ta có: 212n1 172n1 15
khơng chia hết cho 19.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)
ĐỀ SỐ 25
(25)
a) Rút gọn phân thức sau: 2 2 12
1 12
x x x x
x x x x
b) Tính giá trị biểu thức:
2 2 x yz P x y
biết x0;y0 3x – y = 3z ; 2x + y = 7z
Bài 2: (6 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: Q =
3
6 10 27 36 45
b) Giải phương trình: x22x x 1 0
c) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b c ; a b c
2
a b a b c
Chứng minh đẳng thức:
2
2
a a c a c
b c
b b c
Bài 3: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân A Một đường trịn có tâm O BC tiếp xúc với AB AC Kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) cắt hai cạnh AB AC P Q
Chứng minh : BC2 = 4BP CQ
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh AB AC P Q
Chứng minh rằng:
AB AC
AP AQ
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: 2 2 2 2
3 19
1 2 3 9 10
b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 2 x1 y1 ======= HẾT =======
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)
ĐỀ SỐ 26
Bài 1 : (4 điểm)
(26)b) B =
1 23 22 22 23 66 22 22 23 22.23 4 3
Bài 2: (4 điểm)
a) Với giá trị x phân thức
6 2 15
x
x x
nhận giá trị dương ?
b) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P =
4
1
x x
Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức:
2 1
1
1 ab a b
b) Giải phương trình: x24x 5 2x3
Bài 4: (3điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm D, cạnh AB lấy điểm E cho AD = AE Các đường thẳng vng góc với EC vẽ từ A D lần lượt cắt cạnh BC K L
Chứng minh BK = KL
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H trực tâm tam giác Gọi D E điểm đoạn thẳng BH CH cho ADCAEB900
Chứng minh tam giác ADE cân
Bài 6: (2 điểm)
Tìm số dư phép chia 23232299 cho 23 = === HẾT=====
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ SỐ 27
Câu 1: (4 điểm)
a)Rút gọn biểu thức:
2
6
A
12 18
; B =
14 14 5
(27)b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b c ; a b c
2
a b a b c
Chứng minh đẳng thức:
2
2
a a c a c
b c
b b c
Câu 2: (4 điểm)
a)Giải phương trình sau:
7
7
x x x x
x x
b)Chứng minh rằng: a > 0; b >
a b
a b
b a
Câu 3: (4 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, M trung điểm AD, N trung điểm BC Trên tia đối tia DC lấy điểm P Tia PM cắt đoạn thẳng AC Q
Chứng minh : QNM MNP
Câu 4: (4 điểm)
Từ điểm A ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với B, C tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN = 2ON Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Hãy tính tỉ số
AM
AO .
Câu 5: (4 điểm)
a) Chứng minh với n số tự nhiên thì: 5n2 26.5n 82n1 59
b) Chứng minh với số tự nhiên n 3:
B = 3 3
1 1 1
3 4 5 n 12
======== hết ==========
UBND HUYỆN THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO MƠN TỐN – (Thời gian 150 phút) Câu 1: (4 điểm) Tính:
1) A =
2
3 3
1
3
(1,5 điểm)
2) B = 3 20 (1,5 điểm)
(28)Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình: 1)
1
4 9
2
x x
(1,5 điểm) 2) x2 4x 4 2x10 (1,5 điểm)
Câu 3: (1 điểm) Cho 2x2 + 2y2 = 5xy Tính D =
x y x y
Câu 4: (4 điểm)
1)_Tìm số dư phép chia 888 885100 chia cho 13 (1,5 điểm) 2) Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) xy + 2y = 3x + 11 (1,5 điểm) b) x3 – x2y + 3x – 2y = (1 điểm) Câu 5:Cho tam giác ABC có góc B = 760 AB < AC < BC Trên cạnh BC lấy E cho AB = CE Gọi M trung điểm AC, I trung điểm BE
MI cắt AB H.Tính số đo góc BHI (3 điểm) Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O1; R1) tiếp xúc A Tiếp tuyến chung CD ( C thuộc (O); D thuộc (O1)) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn đường kính OO1 (5 điểm)
======== hết=====
UBND HUYỆN THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO MƠN TỐN – (Thời gian 150 phút) Câu 1: (4điểm)
Thực phép tính: a)
5 5 2
6
5
(1điểm)
(29)c)
2 5 3
3 5
(1điểm)
d)
2
2 3
3
(1điểm) Câu 2: ( 3điểm)
Giải phương trình:
a) x 1 4x 20 1 (1,5điểm)
b) x2 2x 1 2x8 (1,5điểm)
Câu 3: (1điểm)
Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
1 1
P
b c a c a b a b c
biết a +b + c = (1điểm)
Câu 4: (4điểm)
a) Tìm số dư phép chia 3444444444028 chia cho 31 (1,5điểm) b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
3x – 2y = 11 – xy (1,5điểm) c) Chứng minh : x5y – xy5 chia hết cho 30 ; với x ; y Z ( 1điểm)
Câu 5: (4điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vng góc với BD H Gọi E; K trung điểm DH BC
Chứng minh AE EK
Câu 6: (4điểm)
Từ điểm M ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A; B hai tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến điểm N đường tròn (O) cắt MA E, MB K; đường vng góc với MO O cắt tia MA C, tia MB D
Chứng minh : Tam giác CEO tam giác DOK đồng dạng *** HẾT***
PGD ĐT THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
SỞ GD QUẢNG NAM NĂM HỌC :2008-2009
Mơn : TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút
Câu 1: ( điểm )
a) Tìm số dư phép chia (2điểm) (20082008 -1 ) : 7
b) Chứng minh : 42n+2 -1 chia hết cho 15 (
n N ) (2điểm)
Câu 2: ( điểm )
(30)a) A =
2 3
2 2
(2 điểm)
b)
5 10
20
7
B
(2 điểm)
c) Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có :
1
a b b c c a
(1 điểm)
Câu 3: ( điểm )
a) Chứng minh : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc b) Cho a ; b ; c ; d
Chứng minh :
a b c d
E
b c d a c d a b d a b c
Câu 4: ( điểm )
Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Chứng minh rằng: BM2 + CM2 =2AM2
Câu 5:(4 điểm )
Gọi M , N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P Giao điểm AC đường thẳng PM Q
Chứng minh : QNM MNP
(31)