ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC - - BÀI TẬP ĐẠI SỐ Đề tài: Mệnh đề đảo định lí Lagrange phản thí dụ lí thuyết nhóm Sinh viên: Nguyễn Đình Thi Lớp Cử Nhân Tài Năng MSSV: 1011199 TP Hồ Chí Minh, 03/06/2011 Tìm phản thí dụ chứng minh chiều đảo định lý Lagrange không Chứng minh mệnh đề đảo lớp nhóm aben I Định lý Lagrange khẳng định rằng: nhóm nhóm hữu hạn cấp chia hết cấp Tuy nhiên trường hợp tổng quát mệnh đề đảo định lý Lagrange rằng: nhóm hữu hạn cấp ước có nhóm có cấp , khơng cịn Ở ta nêu phản thí dụ chứng minh mệnh đề đảo khơng chứng minh nhóm aben Trước tiên ta cần nhắc lại định lý Sylow: Định lý Sylow[1] Giả sử nhóm hữu hạn | | Khi tồn – nhóm Sylow số nguyên tố chia hết Phản thí dụ chứng minh mệnh đề đảo định lí Lagrange khơng Nhóm thay phiên có cấp khơng chứa nhóm cấp [2] Để chứng minh phản thí dụ ta cần bổ đề sau: Bổ đề Nếu nhóm nhóm có số Chứng minh Ta có nhóm nhóm * ghép trái nhau, tức - thì ta có Nếu Nếu Do có số , số lớp ghép phải lớp + * + , Nên trường hợp ta có Do có cấp Vậy với thuộc , ta có , suy nhóm nên ( ) hay Bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh phản thí dụ nêu Chứng minh phản thí dụ Giả sử ngược lại, nhóm thương ( Nhưng ) (vì có nhóm có cấp | | | | có cấp Mà có cấp , nên Do theo bổ đề ta có với _chu trình có cấp 3, tức nhóm ) , suy Mà số _chu trình ( )( )( 8, )( )( Do số _chu trình Vậy nhóm thay phiên )( )( lớn cấp có cấp )( ) (là 6), mâu thuẫn khơng chứa nhóm cấp Chứng minh mệnh đề đảo định lí Lagrange nhóm Abel Trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề Giả sử dương Khi với là số nguyên tố nhóm aben có cấp , với ngun thỏa ln tồn nhóm có cấp Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo Với ta chọn nhóm đơn vị có cấp Do bổ đề với Với nên tồn phần tử thuộc Theo định lý Lagrange cấp chia hết | | , nên cho | | - Nếu chọn nhóm cyclic có cấp - nên ( Nếu nhóm cyclic cấp Giả sử mệnh đề với Theo giả thiết quy nạp nhóm Ta chọn , ta chứng minh bổ đề với có nhóm có cấp cách chọn có cấp | | | ) có nhóm || | Do bổ đề với chứng minh với cấp Khi với cấp Suy , suy nên theo nhóm Vậy theo ngun lí quy nạp bổ đề Bây ta chứng minh mệnh đề đảo định lý Lagrange aben hữu hạn Mệnh đề đảo Nếu nhóm aben hữu hạn cấp ngun dương , tồn nhóm có cấp Chứng minh là nhóm với ước | nên phân tích phân tích tiêu chuẩn , Giả sử tiêu chuẩn ̅̅̅̅̅ ), ( Theo định lí Sylow, tồn – nhóm Sylow với cấp ̅̅̅̅̅ Khi nên theo bổ đề tồn nhóm với ̅̅̅̅̅ Mà cấp là nhóm nên nhóm có cấp { Ta chứng minh có cấp Thật vậy, ̅̅̅̅̅ cho ( ) ( ) Mặt khác với aben ( )( * + Hơn có cấp Do phần tử ( ) ( ) ( ) nên có ) khác thuộc nên theo định lý Lagrange phần tử có cấp (với cho , suy có ) Vì , suy Điều chứng tỏ Từ ta có hay | ( Thật vậy, giả sử ngược lại, có phần tử cấp ) ̅̅̅̅̅ nên nhóm Vậy ̅̅̅̅̅ } nhóm | | có * + phần tử nên có phần tử, Vậy nhóm Lagrange chứng minh có cấp Mệnh đề đảo định lí Tìm phản thí dụ chứng minh nhóm nhóm hữu hạn sinh không hữu hạn sinh II Xét tập gồm ma trận tam giác ( ) { | Định nghĩa , vành nguyên tố ( số nguyên ( ( ) ) tất ma trận 1 * * 0 u * 0 u2 0 0 ( ) } có dạng * * * 1 dương Dễ dàng kiểm tra nhóm với phép nhân ma trận Có thể trận mà ) ( ( ) ) hữu hạn sinh phần tử: ma ; ngược lại , ma trận a1 a2 a3 0 0 0 có ( ( 0 a4 a5 1 ( , phần tử ( Bây ta khảo sát tâm ( ) ) ) ( ), phần tử có dạng 1 0 0 0 0 0 ( ) ) khác ) Chú ý với phần tử a 0 1 Ta chứng minh ( ) nhóm vơ hạn sinh Thật vậy, giả sử ngược lại ( ) phải sinh số hữu hạn ma trận Ta gọi tập ma trận hữu hạn Khi có số nguyên cho mẫu số lớn số hạng số phần tử tập Bây ta ý ma trận ( ) sau sinh phần tử : 1 0 0 0 0 0 0 p n1 Thế nên ( ) nhóm vơ hạn sinh Vậy ta thấy ( ( ) ) ví dụ nhóm hữu hạn sinh có nhóm tâm nhóm vơ hạn sinh[3] III ( Tìm phản thí dụ chứng minh nhóm thỏa điều kiện khơng nhóm aben ) Ta biết nhóm aben với ta có ( ) Tuy nhiên điều ngược lại có khơng, tức nhóm thỏa điều kiện ( ) nhóm có nhóm aben khơng Ta tìm phản thí dụ chứng minh điều Giả sử Khi - tập gồm ma trận ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nhóm Thật Tính kết hợp: hiển nhiên Phần tử trung hòa: (ma trận đơn vị Phần tử khả nghịch: ) phần tử trung hịa Ta có Do phần tử Vậy ( có phần tử nghịch đảo với phép nhân ma trận lập thành nhóm ( Ta chứng minh nhóm thỏa ) khơng nhóm aben Thật vậy, ta kiểm tra với phần tử ln có ) với , tức thuộc nên ta Và với phép tốn nhân lập thành nhóm nên Mà theo ta kiểm tra , nên ta suy ( ( Vậy ta chứng minh nhóm aben ( )( ) ( Nên Vậy nhóm khơng phải nhóm aben ) ) Tuy nhiên ( xác định thỏa )( thuộc ) ) ( ( ) với ) IV Chọn nhóm ) với số gồm ma trận giống mục III ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta chứng minh nhóm thỏa điều kiện ( ) liên tiếp , tức là nhóm aben ( ( Tìm phản thí dụ chứng minh nhóm thỏa điều kiện ngun liên tiếp khơng nhóm aben ( ) với số nguyên ( ) Thật vậy, mục III ta chứng minh với ) ( ) nên ta suy ( ( ) Do ta suy ( Vậy ta chứng minh Và mục III ) ( ) ( ) ) Vậy nhóm xác định thỏa khơng phải nhóm aben ( ) với số nguyên liên tiếp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXBGD, 1999 [2] Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_theorem_(group_theory) [3] Finite C–Groups, Kazem Mahdavi, Brian Nygen, Ramona R Ranalli, James Sizemore, Andrew Stout, Colleen Swanson, 2007