[r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN – TIN
-ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010 MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) -
( Đề thi gồm trang )
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y=x4−2m x2 2+m4+2m (1), với m tham số
1. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)khi m=1
2. Chứng minh đồ thị hàm số (1) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt,
với m<0 Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình :
2sin 4sin
x π x
+ + =
2. Tìm giá trị tham số m cho hệ phương trình
1
y x m
y xy
− =
+ =
có nghiệm
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( )
( )
2
1
x f x
x
− =
+
Với số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x+y+z≤1 Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức: P x y z 1
x y z
= + + + + +
Câu IV: (1,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD Trên cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy điểm M, N, P cho BC =4BM BD, =2BN AC =3AP Mặt phẳng (MNP) chia
khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Tất thí sinh làm hai phần: A B A Theo chương trình Chuẩn
Câu Va: (1,0 điểm )Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng ( )d : 2x−y−4 0= Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d) Câu VIa: (2,0 điểm)
Giải phương trình : 2xlog4x =8log2 x
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị hàm số
x y
x
− =
− hai điểm
(2)B Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm
( 1;3;5 ,) ( 4;3;2 ,) (0;2;1)
A − B − C Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VIb: (2,0 điểm)
1 Giải bất phương trình :
log( + 2x)log4x+log8x<0
2. Tìm m đểđồ thị hàm số y= x3+(m−5)x2−5mx có điểm uốn đồ thị
hàm số y= x3
……… HẾT
(3)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010 ĐÁP ÁN Mơn thi: TỐN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Khi 1 2 3
m= ⇒ y=x − x +
Tập xác định D=R 0,25 đ
Giới hạn: lim ; lim
x→−∞y= +∞ x→+∞y= +∞
( )
3
' 4
y = x − x= x x − y' 0= ⇔x=0,x= ±1 0,25 đ
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (−1;0 , 1;) ( +∞)và nghịch biến
trên khoảng (−∞ −; , 0;1) ( )
Hàm sốđạt CĐ x=0,yCD =3 đạt CT x= ±1,yCT =2
0,25 đ Ý
(1,0đ)
Đồ thị cắt Oy (0;3) Đồ thịđối xứng qua Oy 0,25 đ
Phương trình HĐGĐ đồ thị (1) Ox:
4 2 2 2 0
x − m x +m + m= (∗) 0,25 đ
Đặt t =x2(t≥0), ta có : t2−2m t2 +m4+2m=0(∗∗) 0,25 đ
Ta có : ∆ = −' 2m>0 S=2m2 >0 với m>0
Nên PT (∗∗) có nghiệm dương 0,25 đ Câu I
(2,0đ)
Ý
(1,0đ)
KL: PT (∗) có nghiệm phân biệt (đpcm) 0,25 đ
PT ⇔ sin 2x+cos 2x+4sinx− =1
2
2 sin cosx x 2sin x 4sinx
⇔ − + = 0,25 đ
( )
2 cosx sinx sinx
⇔ − + = 0,25 đ
Khi : sin cos sin
3
x− x= ⇔ x−π = ⇔x= π +k π
0,25 đ
Ý
(1,0đ)
Khi: sinx=0⇔x=kπ
KL: nghiệm PT ,
x=kπ x= π +k π 0,25 đ
Ta có : x=2y−m, nên : 2y2−my = −1 y 0,25 đ
PT
1
2
y
m y y
≤
⇔
= − +
( y = PTVN) 0,25 đ
Câu II (2,0đ)
Ý
(1,0đ)
(4)Lập BTT KL: Hệ có nghiệm ⇔m>2 0,25 đ
Ta có: ( )
2 ,
1 1
3 2
x x f x x x − − = + +
0,50 đ
Ý
(1,0đ)
KL: ( )
3
1
9
x
F x C
x
−
= + +
0,50 đ
Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 12
x
+ ≥ (1) Dấu xảy
3
x=
0,25 đ
Tương tự: 18y 12
y
+ ≥ (2) 18z 12 z
+ ≥ (3) 0,25 đ
Mà: −17(x+y+z)≥ −17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: 19
P≥ 0,25 đ
Câu III (2,0đ)
Ý
(1,0đ)
1 19
3
P= ⇔x= y=z= KL: GTNN P 19 0,25 đ
Gọi T giao điểm MN với CD; Q giao điểm PT
với AD
Vẽ DD’ // BC, ta có: DD’=BM '
TD DD
TC MC
⇒ = =
0,25 đ
Mà: / /
3
TD AP QD DP CP
AT DP
TC = AC = QA AT CA
⇒ ⇒ = = = 0,25 đ
Nên:
1 1
3 5 10
A PQN
A PQN ABCD
A CDN
V AP AQ
V V
V = AC AD = = ⇒ = (1) 0,25 đ
Câu IV (1,0đ)
Và
2 1
3 4
C PMN
ABMNP ABCD
C ABN
V CP CM
V V
V =CA CB = =
⇒ = (2)
Từ (1) (2), suy : 20
ABMNQP ABCD
V = V
KL tỉ số thể tích cần tìm
13hoặc 13
7
0,25 đ
Gọi I m m( ; −4) ( )∈ d tâm đường trịn cần tìm 0,25 đ
Ta có: 4,
3
m = m− ⇔m= m= 0,25 đ
Khi:
3
m= PT ĐT
2
4 16
3
x y
− + + =
0,25 đ
Câu Va (1,0đ)
Khi: m=4 PT ĐT (x−4)2+(y−4)2 =16 0,25 đ
ĐK : x>0 Ta có: log+ 2xlog4x=3log2 x 0,25 đ Đặt t =log2x.Ta có: t2−3t+2 0= ⇔ =t 1,t=2 0,25 đ Câu VIa
(2,0đ)
Ý
(1,0đ)
(5)Khi: t =2 log2 x=2⇔x=4( )th KL: Nghiệm PT
2,
x= x= 0,25 đ
Ta có: 1
y
x
= +
− 0,25 đ
Suy ra: x y; ∈Z ⇔x−2= ± ⇔1 x=3,x=1 0,25 đ
Tọa độ điểm đồ thị có hoành độ tung độ
những số
nguyên A(1;0 ,) B(3; 2)
0,25 đ Ý
(1,0đ)
KL: PT đường thẳng cần tìm x−y− =1 0,25 đ
Ta có: AB= −( 3;0; 3− )⇒AB=3
0,25 đ
Tương tự: BC=CA=3 0,25 đ
Do đó: ∆ABC đều, suy tâm I đường trịn ngoại tiếp
ABC
∆
trọng tâm
0,25 đ Câu Vb
(1,0đ)
KL: 8; ; 3
I−
0,25 đ
ĐK :x>0 Đặt t=log2x, ta có : (1 )
t t t
+ + < 0,25 đ
BPT 32 4 0 0
3
t t t
⇔ + < ⇔ − < < 0,25 đ Ý
(1,0đ)
KL: log2 31
3 x 2 x
− < < ⇔ < < 0,50đ
Ta có: y' 3= x2+2(m−5)x−5 ; " 6m y = x+2m−10 0,25 đ
"
m
y = ⇔x= − ; y’’đổi dấu qua
m x= −
Suy ra: ( ) ( )
3
2 5
5 ;
3 27
m m m
m U
− − −
+
điểm uốn
0,50 đ Câu VIb
(2,0đ)
Ý
(1,0đ)
KL: m=5 0,25 đ