Đang tải... (xem toàn văn)
Mét vßi lÊy níc vµo cã vËn tèc gÊp ba lÇn vßi th¸o níc ra... vßng trßn lµ mét ®ång xu mµu ®en..[r]
(1)Trêng THCS Thanh Xu©n Tỉ KH Tù nhiªn
-*** -đề thi câu lạc b em yờu thớch mụn toỏn lp 6
Năm học: 2011-2012 Thời gian: 120 phút. Bài 1 (4 điểm) :
a) Cho p 8p-1 số nguyên tố Chứng tỏ rằng: 8p+1 hợp số. b) Chøng tá r»ng: A=3+32+33+…+399 chia hÕt cho 13.
Bài 2 (6 điểm) : So sánh: a) 530 12410;
b)
23 3535 2323
A= ; B=
35.2323 2322 vµ
3535 C=
3534. Bài 3 (4 điểm) :
a) Tìm số tự nhiên a cho a+7 chia hÕt cho a+1. b) Chøng tá r»ng:
1 1
A=
1.2 2.3 3.4 50.51 .
Bài 4 (4 điểm) : Cho 2012 điểm có 12 điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đợc đờng thẳng Hỏi vẽ đợc tất đờng thẳng từ 2012 điểm đó?
Bài 5 (2 điểm) : Không quy đồng mẫu số biểu thức ngoặc, tìm số
nguyªn x biÕt r»ng:
2009 2010 2011
2012 6036 2010 2011 2009 x x
.
- Hết -Họ tên: Lớp :
Đáp án biểu điểm chấm đề thi clb mơn Tốn 6
Bµi ý Đáp án Biểu điểm
1 a Cho p 8p-1 số nguyên tố Chứng tỏ rằng: 8p+1 là
hợp số. 2điểm
Vì p, 8p-1 số nguyên tố nên p3 Với p=3 8p+1=8.3+1=25 hợp số Với p>3, xét tích A=(8p-1)8p(8p+1)
(2)8p+13 mà 8p+1>3 nên 8p +1 hợp số.
b Chứng tỏ rằng: A=3+32+33++399 chia hÕt cho 13. 2®iĨm A=3+32+33+…+399=(3+32+33)+(34+35+36)+…+(397+398+399)
=3(1+3+32)+34(1+3+32)+…+397(1+3+32)
=3.13+34.13+…+397.13
A13
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® a So sánh: 530 12410 2điểm
Ta có : 530=53.10=1253
Mà 125>124 Nên 1253>12410
Hay 530>12410
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b
So sánh:
23 3535 2323
A= ; B=
35.2323 2322
3535 C=
3534
4điểm
Ta cã : A=
23.35.101 35.23.101 ; B=
2323 2322 1
1
2322 2322 2322
C=
3535 3534 1
1
3534 3534 3534
Vì 2322<3534 nên
1
23223534B>C>1 Vậy A<B<C
1,0® 1,0® 0,5® 1,0® 0,5®
3 a Tìm số tự nhiên a cho a+7 chia hết cho a+1 2điểm a+7 =(a+1)+6a+16a+1
Do a nên a+1 , a+1 phải ớc nguyên d-ơng
Mà ớc nguyên dơng : {1;2;3;6} Nên a+1=1a=0,
VËy a0;1;2;5
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® b
Chøng tá r»ng:
1 1
A=
1.2 2.3 3.4 50.51 .
2®iĨm
1 1 1 1 1 1
A=
1.2 2.3 3.4 50.51 2 3 4 50 51 50
A=1-
51 51
1,0đ 1.0đ Cho 2012 điểm có 12 điểm thẳng hàng Cứ
qua hai điểm ta vẽ đợc đờng thẳng Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng từ 2012 điểm đó?
4điểm Chia điểm cho thành nhóm: Nhóm thứ gồm 12
điểm thẳng hàng, nhóm thứ gồm 2000 điểm cịn lại khơng có điểm thẳng hàng
Qua điểm nhóm thứ vẽ đợc đt
(3)Qua 2000 điểm nhóm thứ vẽ đợc
2000.1999
1999000
2 ®t
Vẽ đt qua 1điểm nhóm với điểm nhóm ta đợc 12.2000=24000đt
Vậy vẽ đợc tất là: 1+1999000+24000=2023001đt
1,0® 0,5®
5 Không quy đồng mẫu số biểu thức ngoặc, tìm số nguyên x biết rằng:
2009 2010 2011
2012 6036 2010 2011 2009 x x
.
2điểm
Đặt A=
2009 2010 2011 1
1 1
2010 2011 2009 2010 2011 2009 =
1 1
3
2009 2010 2009 2011
A>3 hay A-3>0
Do đó: A(x-2012)>3(x-2012)(A-3)(x-2012)>0 x-2012>0
x>2012
Vậy số nguyên cần tìm số nguyên2013
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
Trờng THCS Thanh Xuân Tổ KH Tù nhiªn
-*** -đề thi câu lạc em u thích mơn tốn lớp 7
Năm học: 2011-2012 Thời gian: 120 phút. Bài 1 (4 ®iĨm) :
Chøng minh r»ng víi mäi sè tự nhiên n số: 2n+2-1 2n+1
cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 3. Bài 2 (3 điểm) :
Tìm x, y, z biÕt: 1
x y z
x y z
(4)a) Tính giá trị biểu thức: A=
1 1
2 2012 2011 2010 2009
1 2012
. b) Chøng minh r»ng:
1 1
3
2 63
.
Bài 4 (4 điểm) : Cho tam giác ABC, đờng cao AH, BK cắt tại điểm G Tia phân giác góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt tại các điểm M, N, P Chứng minh rằng: KM=NP
Bài 5 (3 điểm) :
a) Tìm nghiƯm cđa ®a thøc P(x)=x3+ax2+bx+c BiÕt r»ng ®a thøc
cã nghiƯm vµ
1 a+2b+4c=
-2.
b) Tìm giá trị x, y thỏa mÃn: 2012 2011
2x 25 3y5 0 - Hết -Họ tên: Lớp :
Đáp án biểu điểm chấm đề thi clb mơn Tốn 7
Bµi ý Đáp án Biểu
điểm Chứng minh với số tự nhiên n số:
2n+2-1 vµ 2n+1 cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 3. 4®iĨm XÐt tỉng cđa sè: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n
kh«ng chia hÕt cho n
cả hai số 2n+2-1và 2n+1không thể chia hÕt cho3(1)
XÐt tÝch (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1
Ta cã: 41(mod3) 4n+11(mod3) 4n+1-10 (mod3)
3.2n0(mod3)
VËy (2n+2-1).(2n+1) chia hÕt cho 3 n (2)
§pcm
1,5đ 0,5đ
1,5đ 0,5đ
Tìm x, y, z biÕt: 1
x y z
x y z z y x z x y (víi x, y, z ≠0).
3®iĨm
Tõ 1
x y z
z y x z x y
(5)
1
1 2( )
x y z x y z
z y x z x y x y z
nªn: x+y+z=1/2
Từ ta có : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x Thay vào ta tìm đợc x=y=1/2 ; z=-1/2
1,0đ 1,0đ
3 a
Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=
1 1
2 2012 2011 2010 2009
1 2012
2®iĨm
Ta cã:
2011 2010 2009
1 2012
2010 2009 2008 2012
1 1
2 2011 2012
2012 2012 2012 2012
2 2012
1 1
2012
2 2012
Khi ta có: A=
1 1
1
2 2012
1 1 2012
2012
2 2012 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® b
Chøng minh r»ng:
1 1
3
2 63
.
4điểm
Đặt S=
1 1
1
2 63
Ta cã: S=
1 1 1 1 1
1
2 10 16
1 1 1 1
17 18 32 33 34 64 64
>
>
1 1 1 1
.2 16 32 4 8 16 32 64 64= =
1 1 1 1
2 2 2 64 =3 31 64 L¹i cã:
1 1 1 1 1
S=1+
2 15
1 1 1
16 17 31 32 33 63
(6)<1+
1 1 1
.2 16 32 1 1 1 4 8 16 32 VËy suy ®pcm
4 Cho tam giác ABC, đờng cao AH, BK cắt tại điểm G Tia phân giác góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt điểm M, N, P Chứng minh rằng: KM=NP
4®iĨm
0,5®
Ta thấy CG tia phân giác góc C ACG 30
Vì K, H trung điểm AC, BC nên KH//AB ΔCHK
HKB 90 0 600 300
Do KP phân giác HKB nên: BKP 15 0, từ CKP 75 Ta có MCK 30 0,CKP 75 0KMC 75 0nên ΔCMK cân C
CK=CM
Ta cã AK=CM(=CK) ;KAN MCP ( 30 ) ;
AKN CMP ( 105 ) VËy ΔAKN=ΔCMP(g.cg)
KN=MP hay KM+MN=MN+NP
Từ suy ra: KM=NP Đpcm
0,25® 0,5® 0,25® 0,5® 0,5® 0,75® 0,25® 0,25® 0,25®
5 a Tìm nghiệm đa thức P(x)=x3+ax2+bx+c Biết rằng
đa thức có nghiệm
1 a+2b+4c=
-2
1điểm
Ta có giả thiết:
1 a+2b+4c=
-2
+a+2b+4c=0
Chia hai vế đẳng thức cho ta đợc: 1
+ a+ b+c=0
3
1 1
0 ( ) 2 a 2b c P
(7)VËy x=
2chính nghiệm đa thức. b
Tìm giá trị x, y thỏa mÃn: 2012 2011
2x 25 3y5 0 2®iĨm Ta cã :
2012 2011
2x 25 0 x; 3y5 0 y
Nªn : 2x-25=0 vµ 3y+5=0
x=12,5 vµ y=-5/3
1,0đ 0,5đ 0,5đ
Trờng THCS Thanh Xuân Tổ KH Tù nhiªn
-*** -đề thi câu lạc em u thích mơn tốn lớp 8
Năm học: 2011-2012 Thời gian: 120 phút. Bài 1 (6 ®iĨm) :
a) Cho m lµ mét sè nguyên dơng HÃy tìm chữ số x y (x0) sao cho sè A=xy5 100m(m+5) lµ sè chÝnh phơng.
b) Cho a+b+c=0 a2+b2+c2=14.Tính giá trị biểu thức B=a4+b4+c4
Bài 2 (3 điểm) : Cho biÓu thøc A=
4
2 1
x x x
x
Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (4 điểm) : Một bể có hai vịi nớc Một vịi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba lần vịi tháo nớc Nếu ta mở hai vòi bể khơng có nớc sau bể đầy Hỏi vòi tháo nớc đặt độ cao so với độ cao bể biết rằng mở vịi lấy nớc vào bể đầy sau 30 phút?
Bài 4 (5 điểm) : Cho hình thoi ABCD có cạnh a A 60 0 Một đờng thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối tia BA DA M N.
a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi. b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD?
(8)vịng trịn đồng xu màu đen Chứng tỏ tồn hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
- Hết -Họ tên: Lớp :
Đáp án biểu điểm chấm đề thi clb mơn Tốn 8
Bµi ý Đáp án Biểu
điểm a Cho m số nguyên dơng HÃy tìm chữ số x vµ y
(x0) cho sè A=xy5 100m(m+5) số phơng.
3điểm
Số A=xy5 100m(m+5) (m nguyên dơng) số phơng vàchia hết có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t
.
Từ suy : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)
Do 10y+5-25 phải chia hết cho 100,
suy y=2, thay vào (1) ta đợc t2+t=m2+5m+x (2)
Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x
2m(2-v)=v2+v-x Đẳng thức xảy với m bÊt kú vµ chØ
khi v=2 vµ x=v2+v=6.
Vậy chữ phải tìm : x=6; y=2
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 0,5® 0,25® b Cho a+b+c=0 a2+b2+c2=14 Tính giá trị biểu thức
B=a4+b4+c4 3®iĨm
Ta cã a2+b2+c2=14( a2+b2+c2)2=142
a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196
a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)
L¹i cã: a+b+c=0( a+b+c)2=0
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0
14+2(ab+bc+ac)=0 (v× a2+b2+c2=14)
ab+bc+ac=-7
(ab+bc+ac)2=49
a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49
a2b2+a2c2+b2c2=49 (v× a+b+c=0)
Khi B=196-2 49=98
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®
Cho biĨu thøc A=
4
2 1
x x x
x
Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
(9)Ta cã: A=
2 2
4
3
1
1
1 1
x x x x
x x
x x x
x x x x x
=
2 1 1
1
x x
x
x x
(víi x-1)
Do x nguyên nên để A nguyên x+1 phải ớc Suy ra: x=0; x=-2 (tm)
1,0đ 1,0đ 1,0đ Một bể có hai vòi nớc Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp
ba lần vòi tháo nớc Nếu ta mở hai vịi bể khơng có nớc sau bể đầy Hỏi vòi tháo nớc đặt độ cao bao nhiêu so với độ cao bể biết mở vịi lấy nớc vào bể đầy sau 30 phút?
4 ®iiĨm
Trong1h vịi thứ chảy đợc vào bể: 3(bể) Vòi thứ hai chảy 1h đợc:
2 9(bÓ)
Khi mức nớc độ cao đặt vịi chảy 1h hai vòi mở lúc đợc :
2 9 9 (bÓ)
Gọi x(h) thời gian vịi thứ chảy n-ớc bắt đầu chảy đợc Trong thời gian vòi thứ chảy đợc
2
3x(bĨ).
Sau x hai vịi mở thời gian là: 2-x (giờ) Ta có phơng trình:
2
(2 ) 3x9 x Giải đợc x=1/2
Vậy độ cao vòi tháo nớc so với độ cao bể nớc là:
: 2 3
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®
4
Cho hình thoi ABCD có cạnh a A 60 0 Một đờng thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối tia BA DA M và N.
a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi. b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD?
3®iĨm
a
(10)XÐt ΔAMN cã BC//AN nªn:
MB MC
AB CN (theo ĐL Ta let) Tơng tự ta cã:
MC AD = CN DN
MB AD
AB DN hay MB DN=AB.AD Mµ AB=AD =a (do ABCD hình thoi)
Nờn: MB DN=AB.AD=a2 có giá trị khơng đổi.
0,5® 0,5® 0,5® 0,5®
b
ΔABD có AB=AD (gt) ; A 60 ΔABD
ABD=ADB=60 DBM=BDN 120 0(2 gãc kÒ bï) (1) Theo cmt ta cã MB DN=a2, BD=a nªn
BM BD BD DN (2) Từ (1) (2) ΔMBD ΔBDN đồng dạng (c-g-c)
M =B 1
XÐt ΔBMD cã
0 1 M D 60
(v× DBM 120 cmt)
0 1 B D 60
0 1
B D BKD 180
(§L tỉng gãc tam giác)
BKD 120
0,5đ 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®
5 Trên vịng trịn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một đồng xu màu đen Biết đối diện với đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn đồng xu màu đen. Chứng tỏ tồn hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
2®iĨm
Giả sử không tồn hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) khơng có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, đồng xu trắng phải xếp xen kẽ nên có 20 đồng xu màu đen Xét hai đồng xu trắng đen đối diện vòng tròn, đồng xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21 Do đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên đồng xu đen mang số 2, 4, 6, …, 20 lại xảy hai đồng xu đen số 20 số 21 cạnh nhau, điều trái với (1) Vậy phải tồn hai đồng xu màu đen đặt cạnh
0,5®