Chøng minh r»ng hiÖu cña mét sè vµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã chia hÕt cho 9. a) Cho x, y lµ hai sè nguyªn cïng dÊu.. abc VËy a bcd abc..[r]
(1)Một số toán khó ôn luyện hsg to¸n 6
(BT nâng cao số chun đề tốn – Bùi Văn Tun) Tìm chữ số a,b,c,d biết : a bcd abc abcabc =
2 Cho a,b Ỵ N a*; >2;b>2 Chøng tá r»ng : a + b < a.b
3 Ngêi ta viÕt liỊn d·y c¸c sè thù nhiên : 1,2,3,4,5 Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ?
4 Tìm x Nẻ , biết :
10 10
) ; )x ; )(2 15) (2 15)
a x = b x =x c x- = x
-5 H·y viÕt số lớn cách dùng chữ số 1,2,3 với điều kiện chữ số dùng lần chØ mét lÇn
6 Cho 10k- 19(M k>1) Chøng minh r»ng:
a) 102k- M1 19 b) 103k- M1 19
7 Chøng minh r»ng hiƯu cđa mét số tổng chữ số chia hết cho Cho
* chữ số
8 111 (n N )
n
A= n+1442443 Ỵ
Chøng minh r»ng AM9
9 Lấy mảnh giấy cắt làm mảnh nhỏ Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần
a) Hi ngừng cắt theo quy luận đợc tất 60 mảnh giấy nhỏ không ? b) Phải cắt tất mảnh giấy theo quy luận để đợc tất 52 mảnh giấy nhỏ ? 10 Cho x Nẻ * Chứng minh số A = c/soỏ { c/soỏ
111 12111.1
n n
1442443
hợp số 11 a) Cho n số không chia hết cho CMR : n2 chia d 1.
b) Cho p số nguyên tố , p > Hái p2 + 2003 lµ nguy£n tố hay hợp số. 12 Cho p số nguyên tè lín h¬n
a) Chøng tá r»ng p có dạng 6k + 6k
b) Biết 8p + số nguyên tố CMR 4p + hợp số
13 Cho p p + số nguyen tố (p > 3) Hỏi p + 100 nguyen tố hay hợp số 14 Cho a+5 7( ,bM a b Nẻ ) CMR 10a b+ M7 Mệnh đề đảo lại có khơng?
15 Cho (a,b) = CMR: a) (a, a-b) = b) (ab, a+b) =
16 Có 64 ngời tham quan hai loại xe : Loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi Biết số ngời vừa đủ số ghế ngồi, hỏi loại có xe ?
17 Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai thừa số nguyên tố khác pà P1 P2 BiÕt a3 cã tÊt c¶ 40 íc hái a2 cã bao nhiªu íc ?
18 a) Cho x, y hai số nguyên dấu Tính x + y biÕt x + =y 10 b) Cho x < y < vµ x - y =100 TÝnh x – y
(2)2 Cho a,b ẻ N a*; >2;b>2 Chứng tỏ : a + b < a.b Vì a>2;b>2 nên a = + m; b = + n (m n N, ẻ *) Khi : a+ b = + (m + n) (1)
a.b = (2 + m)(2 + n) = (2 + m).2 + (2 + m).n = + 2m + 2n + mn = + 2(m+ n) + mn (2)
Vì m n N, ẻ * nên (m+ n) > m + n m.n > Do từ (1) (2) suy : a + b < a.b
3 Vì 189 < 659 < 2889 nên ta viết đến số có chữ số Số chữ số dùng để viết số có chữ số : 659 – 189 = 470 Số số có chữ số la f: 470 : = 156 (d 2)
Điều có nghĩa ngời ta viết đợc 156 số có chữ số , ngồi cón viét đợc đến chữ số thứ hai số
Ta cã 99 + 156 = 255, số liền sau 255 256, chữ số thứ hai số chữ số Vậy chữ số thứ 659 chữ số
4 a x) 10=1 x
- NÕu x = 0, ta cã x10 = 010 = 0 1x = 10 = 1
Þ x = không thoả mÃn.
- Nếu x = 1,ta có x10 = 110 = 1 1x = 11 = 1
ị x = thoả mÃn điều kiÖn.
- NÕu x > 1, ta cã x10 > 1 1x = 1
Þ x > không thoả mÃn điều kiện.
Vy x = thoả mãn điều kiện đề 10
)
b x =x
- XÐt x = 0; x = 1; x > Đáp số : x = 0; x =
5
)(2 15) (2 15)
c x- = x
-5 3
3
3
2
(2 15) (2 15) (2 15) (2 15)
(2 15) 0(1)
(2 15) (2 15)
(2 15) 0(2)
x x x x
x
x x
x
é ù
Þ - - - = Þ - êë - - úû=
é - =
é ù ê
Þ - êë - - úû= Þ ê
- - =
ê ë
- Gi¶i (1): (2x – 15)3 = Þ 2x – 15 = 0Þ 2x = 15 Þ x =
15 (loại)
- Giải (2): (2x- 15)2- = Þ1 (2x- 15)2 = Þ1 2x- 15 2= Þ x=16Þ x=8 VËy x =
(3)Ta bá qua c¸c luü thừa có số số mũ 1; bỏ qua luỹ thừa tầng giá trị số nhỏ so với 321
+ Xột luỹ thừa mà số mũ có chữ số, đợc số 13 ;31 ;12 ;212 3 Chỉ cần so sánh 31 vaứ 212
213 = 9261; 312 = 961 VËy 213 > 312
+ Xét luỹ thừa mà số mũ có chữ số, đợc số 213; 231; 312; 321 Chỉ cần so sánh 231 321
T cã 321 = 3.320 = 3.(32)10 = 3.910 (1) 231= 2.230 = 2.(23)10 = 2.810 (2) Tõ (1) vµ (2) suy 321 > 231
Bây ta so sánh 321 với 213 321 > 39 = 273 > 213
VËy sè lín nhÊt lµ 321
6 a) Ta cã 102k- 10k+10k- =1 (102k- 10 ) (10k + k- 1) 10 (10= k k- 1) (10+ k- 1) 19M b)
3
2
10 10 10 (10 10 ) (10 1) 10 (10 1) (10 1)
10 (10 10 10 1) (10 1) 10 10 (10 1) (10 1) (10 1) 19
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
- + - = - + - = - +
-é ù
= - + - + - = êë - + - úû+ - M
7 Gọi số a tổng chữ số cđa nã lµ b (a³ b) Sè d phÐp chia sè a cho b»ng sè d phÐp chia sè b cho Nh vËy a vµ b chia cho cã cïng sè d nªn hiƯu cđa chóng chia hÕt cho
8 Ta cã: chữ số chữ số
8 111 (111 )
n n
A= n+1442443 = n+ 1442443- n
V× chữ số
111 n 1442443
cã tỉng c¸c chị sè n nên ch s
111 n 1442443
vµ n chia cho cã cïng sè d chữ số
(111 )
n
n
Þ 1442443
chia hÕt cho VËy AM9
9 a) Khi cắt mảnh giấy thành mảnh nhỏ số mảnh tăng thêm Cắt nhiều lần nh số mảnh tăng thêm 3.k (k số mảnh đem cắt) Ban đầu có mảnh giấy, tổng số mảnh 3k+1 Số chia d 1, khơng thể có tất 60 mảnh giấy nhỏ (vì 60 M3)
b) Ta cã 3k + = 52 Þ 3k = 51Þ k = 17 Vậy ta phải cắt tất 17 mảnh giấy 10 Ta cã :A = c/soá { c/soá +1 c/soá { c/soá +1 c/soá +1 c/soá
111 12111.1 111 11 00 +111 111 11
n n n n n n
= M
1442443 1442443 1442443 1442443
vµ A > +1 c/soá
111 11 n
1442443
VËy A = c/soá { c/soá
111 12111.1
n n
1442443
hợp số
11 a) Nếu n = 3k + th× n2 = (3k + 1).(3k + 1) = 3k(3k + 1) + 3k + chia d 1. NÕu n = 3k + th× n2 = (3k + 2).(3k + 2) = 3k(3k + 2) + 2(3k + 2)
= 3k(3k + 2) + 6k + chia d VËy n2 chia d 1.
(4)Vậy p2 + 2003 hợp số.
12 a) Mọi số tự nhiên lớn chia cho chØ cã thĨ x¶y mét trêng hỵp : d 0, d 1, d 2, d 3, d 4, d
- NÕu p chia d p = 6k, p hợp số - NÕu p chia d th× p = 6k + 1, p hợp số - Nếu p chia d th× p = 6k + , p hợp số - Nếu p chia d th× p = 6k + , p hợp số - Nếu p chia d p = 6k + , p hợp sè - NÕu p chia d th× p = 6k +
VËy mäi sè nguyªn tè lớn chia cho d d , tức p = 6k + 1, p = 6k +
b) NÕu p = 6k + th× 8p + = 8.(6k + 1) + = 48k + M3, số hợp số (trái với gt 8p + nguyên tố) Vậy p cã d¹ng 6k +
Khi 4p + = 4.(6k + 5) + = 24k + 21 M3 4p + > Rõ ràng 4p + h/số 13 p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Khi p có dạng : p =3k + p = 3k +
- Nếu p =3k + p + =3k + + =3k + M3 p + > ị p + hợp số (trái gt) Vậy p khơng có dạng 3k + mà có dạng 3k + Khi p + 100 = 3k + +100 = 3k + 102 M3 Vậy p + 100 hợp số
14 XÐt tæng a+5b+2(10a b+ =) 21a+ M7 7b ị 2(10a b+ M) Mà (2,7) = nên 10a + bM7
Mệnh đề đảo : Nếu 10a + bM7 a + 5b M7
Chứng minh: Xét tổng 2(10a b+ + +) (a ) 21b = a+ M7 7b Mà 2(10a b+ M) ị a + 5bM7 Vậy mệnh đề đảo
15 a) Đặt (a, a-b) = dị a dM vaứ a-b dMị b dM Nh d ớc chung a b, nhng (a,b) = nên d = VËy (a, a - b) =
b) Gọi d ớc nguyên tố ab a+b ị ab dM va a + b dM Vì ab dM nên a dM b dM (vì d số nguyên tố) Giả sử a dM , mà a + b dM nên Suy d ớc nguyên tố a b,
trái với đề cho (a,b) = Vậy (ab, a + b) =
16 Gäi x số xe 12 chỗ ngồi, y số xe chỗ ngồi ( x y N, ẻ *) Số ngời xe loại 12 chỗ ngồi 12x
Số ngời xe loại chỗ ngồi 7y
Theo bµi ta cã : 12x + 7y = 64 (1) Ta thÊy 12xM4 ; 64M4 Þ 4yM Mà (7,4) = nên yM4 (2) Từ (1) suy 7y < 64 Þ y < 10 (3) Từ (2) (3) ị yẻ { }4;8
(5)Thay y = vào (1) ta c x =
2
3(loại x Nẽ *)
Vậy có xe 12 chỗ ngồi ; xe chỗ ngồi 17 Ta có
3 3
1
m n m n
a=p p Þ a =p p Sè íc cđa a3 lµ (3m + 1).(3n + 1) = 40 Gi¶ sư m £n Þ 3m + £ 3n +
Ta cã b¶ng sau:
3m+1
3n+1 40 20 10
m
3
4
n 13 19
3
7 ị m = 1; n = Khi : 12 22
m n
a =p p cã sè íc lµ (2m + 1).(2n + 1) = 3.7 = 21 (íc) 18 a) Víi mäi a, b Ỵ Z th× x y+ £ x +y V× x, y hai số nguyên dấu nên
10 10
x y+ = + Þx y x y+ = Þ x y+ =±
b) Víi a, b ẻ Z x y- x - y