Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại hai điểm A và B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất (với I l[r]
(1)SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2011 - 2012LẦN Mơn thi: TỐN - Khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 x y
x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận hai điểm A B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn (với I giao điểm hai đường tiệm cận)
Câu II: (2,0 điểm) Giải phương trình sau:
2
os10 2cos 6cos3 cos os2 cos 8cos cos
c x x x x c x x x x
2 Giải hệ phương trình sau:
3
1 2
8 2
x y x
y x y y x
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân sau:
3 2
2
os2
2 t anx os
os
c x
c x
I dx
c x
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên 3a, cạnh AB = 2a, đặt cạnh AD = x (a khơng đổi, x thay đổi) Tính theo a x thể tích khối chóp S.ABCD Khi thể tích lớn tính cosin góc hai mặt phẳng (SBC), (SCD) khoảng cách hai đường thẳng SB, AC
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c, d bốn số thực thỏa mãn điều kiện: 2 1 2( ); 2 36 12( ) a b a b c d c d
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: E(a c )2 (b d )2
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Thí sinh chọn hai phần A B để làm) A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD, đường chéo BD nằm đường thẳng x y 0 Điểm M(4;-4) nằm đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N(-5;1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB Biết BD8 2 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết điểm D có hồnh
độ âm
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1: (x = t; y = 0; z = - t); d2: (x = 0; y
= t; z = - t), (tR) Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R = 6, có tâm nằm đường phân
giác góc nhỏ tạo d1, d2 tiếp xúc với d1, d2
Câu VIIa: (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: z2 z 0 Khi tính tổng lũy
thừa bậc bốn nghiệm B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2y2 2x 2y 0 đường thẳng d: 3x y 20 0 Viết phương trình đường trịn (C’) có tâm nằm đường thẳng d, có bán kính gấp 10 lần bán kính đường trịn (C) cắt (C) theo dây cung AB2 2.
2 Trong K.gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2y2z2 6x 8y 2z23 0 mặt phẳng (P): x + y - z + = Tìm (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Khi viết phương trình mặt cầu có tâm M cắt (P) theo đường trịn có bán kính Câu VIIb: (1,0 điểm) Tìm m, n thỏa mãn: Cn16Cn26Cn3 9n214n
(2)và
2
0 255
2
n n
n n n n n
m m m m
mC C C C C
n
(3)
ĐÁP ÁN THI THỬ ĐH - CĐ LẦN LVH 2012 (5,6/5/2012)
Câu Ý Nội dung đáp án Điểm
I
1 Tập xác định: D R \{ 1} Sự biến thiên:
3 Đồ thị:
0.25 0.5
0.25
2
Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1; Giao hai đường tiệm cận: I(-1;1) Tiếp tuyến M(x0;y0) dạng:
0 0 ( )
( 1)
x
y x x
x x
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng:
0
5 ( 1; )
1 x A x
, cắt tiệm cận ngang: B x(2 01;1)
Có:
0
6
;
1
IA IB x
x
suy IA.IB = 12 Nên
1
2 IAB
S IA IB
Ta có
6
IAB
IAB
S
S r p r
p p
Bởi r lớn p nhỏ
Do 2p IA IB AB IA IB IA2IB2 2 IA IB .IA IB 4 6 P nhỏ IA IB (x0 1)2 3 x0 1
- Với x0 1 d y x1: 2(1 3) - Với x0 1 d y x1: 2(1 3)
0.25 0.25 0.25 0.25 II
Phương trình cos10x 1 cos8x2cos (3cos3x x 4cos )3 x cos2x cosx0
os10 os8 os2 cos 2cos os9
os10 os8 os2 cos os10 os8 2cos cos
cos
2 ( , , )
1 cos 2
c c x c x x x c x
c c x c x x c x c x x x
x k
x
x l k l m Z
x x m 0.25 0.25 0.5 2
3
1 2 (1)
8 2 (2)
x y x
y x y y x
(4)ĐK: x
3
(2) (y1) (y1) (2 ) x 2x Xét hàmd f(t) = t3 + t có f’(t) = 3t2 + > 0
Suy f(t) đồng biến f y( 1)f(2 )x y2x1 Thay vào (1) ta phương trình:
2 2 2 2 1 ( 1)2 1 2 1
x x x x x
Đặt t1 2x1 (t1) ta có hệ:
2
2
( 1) 2 2
( 1) 2 2
t x t t x
x t x x t
Trừ vế với vế hai phương trình cho ta được: (t-x)(t+x) = * Với t = x
2
1
2 ( )
2 ( )
x x x x
x t L
x t Tm
* Với t = - x x 1 2x1 (PTVN)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2
3 2 x y 0.25 0.25 0.25 0.25 III Ta có 2
3
2 0 2cos 3tanx
tan 3tanx+1 cos
cos cos
4 (tan x- 3) cos
x
x x
I dx dx
x x dx x
Đặt t anx os2 dx
t dt
c x
Đổi cận: x t 3;x t
I t dt
Đặt t = 2sinu => dt = 2cosudu
Đổi cận: t u 3;t u
0 3
4cos (1 os2 )
1
2( sin ) |
2
I udu c u du
u u
Vậy I =
2 3 0.25 0.25 0.25 0.25
(5)Khi
2
2 9 1(4 2) 32
4
a x
SO SA AO a a x
ĐK: 0x4 2a
Từ
2
1
32
3 S ABCD
V a x a x
- Ta có
3
2 2 2
1 16
32 (32 )
3
S ABCD
a a
V a x a x a x x
Vậy
3
16
ax
3 S ABCD
a
m V x a
Khi SO = 2a
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ thì: O(0;0;0), B(a;-2a;0), C(a;2a;0), D(-a;2a;0), A(-a;-2a;0), S(0;0;2a)
Khi VTPT mp(SBC) là:nSBC(2;0;1)
VTPT mp(SCD) là: nSCD(0;1;1)
Gọi góc hai mp (SBC) (SCD) thì:
2.0 0.1 1.1 10 os
10
SBC SCD
SBC SCD
n n
c
n n
- Ta có
, 6
( , )
3 ,
SB AC SC a
d SB AC
SB AC
0.25
0.25
0.25
0.25
(6)Xét hai đường tròn:
(C): x2 + y2 - 2x - 2y + = có tâm I(1;1) bán kính R = 1
(C): x2 + y2 - 12x - 12y + 36 = có tâm I(6;6) bán kính R = 6
Khi IJ có phương trình: y = x (d)
Giả sử A(a;b) (C), B(c;d) (C’) AB (a c )2(b d )2
Vì IJ 5 R R ' 7, nên gọi M, P, N, Q giao điểm d với hai đường tròn (C) (C’)
2 2
2
2
IJ ( ') IJ ( ')
5 7 (5 7) (5 7)
2
min (5 7) ,
2
2
m axE (5 7) ,
2
PQ AB MN R R AB R R
AB AB
E a b c d
a b c d
0.25
0.25
0.25 0.25 VIa
- Lấy M’ điểm đối xứng với M qua BD:
PT đường thẳng qua M vng góc với BD: x + y = (d) Gọi J d BD suy J(1;-1)
Suy M’(-2;2)
- Phương trình đường thẳng AB qua M’(-2;2) nhận M N' ( 3; 1)
làm VTCP AB: x - 3y + =
- Tọa độ B nghiệm hệ:
2 x y
x y
suy B(7;5)
- Giả sử D(d;d-2),
2
2
8 ( 7) ( 7) 128
( 7) 64
15
BD d d
d
d d
d
Vậy D(-1;-3)
- Gọi I tâm hình thoi I(3;1), đường thẳng AC qua I vng góc với BD Phương trình AC: x + y - =
- Tọa độ điểm A nghiệm hệ:
4
(1;3)
x y
A
x y
- Tọa độ C(5;-1)
0.25 0.25
0.25
(7)2
Phương trình mp(P) chứa d1, d2: x + y + z - =
Phương trình mp(Q) chứa d1 (P): x - 2y + z - =
Phương trình mp(R) chứa d2 (P): 2x - y - z + =
Phương trình hai mặt phân giác hai mặt (Q) (R): (PG1): x - y = 0, (PG2): x + y - 2z+ =
Phương trình hai đường phân giác d1, d2:
: :
2 2
x t x t
a y t b y t
z t z
Vì cos(a,d1) > cos(b,d1) nên đường thẳng a phân giác d1, d2 thỏa mãn điều kiện
Do có hai tâm mặt cầu thỏa mãn S1(2;2;-2), S2(-2;-2;6)
Nên có hai mặt cầu:
(S1): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 =
(S1): (x + 2)2 + (y + 2)2 + (z - 6)2 =
0.25
0.25 0.25
0.25
VII a
Giả sử z=x+iy Phương trình (x iy )2(x iy ) 0
2 0
2
x y x
xy y
Giải hệ ta có:
1 3
0; 1; ;
2 2
z z z i z i
Tổng:
4 4 4
1 ( os 3 i sin )3 ( os(- ) i sin(3 3))
4 4
1 os i sin os(- ) i sin( )
3 3
M z z z z c c
c c
0.25 0.5
(8)VIb
- Gọi M(m;3m-20) d tâm đường tròn (C’), gọi J giao điểm AB với IM
- (C) có I(1;1), R 10, (C’) có R’ = 10
Ta có
2 ( )2 10 2 2
AB
IJ R
2
' ( ) 100 2
AB
JM R
Suy IM 9
2
2
( 1) (3 21) 162
10 128 280 64 140
10 14
m m
m m m m
m m
Vậy có hai đường trịn thỏa mãn: (C’1): (x - 10)2 + (y - 10)2 = 100
(C’2): (x -
14
5 )2 + (y +
58
5 )2 = 100
0.25
0.25 0.25
0.25 VIb
Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1), bán kính R=
Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P) d:
x t
y t
z t
Khi M giao điểm d với (S) Tọa độ giao điểm d với (S) nghiệm hệ:
2 2
3 1
4
1
0
6 23
x t t t
y t x x
z t y y
z z
x y z x y z
Ta thấy d((4;5;0),(P)) = 3, d((2;3;2),(P)) = Vậy M cần tìm M(4;5;0)
0.25
0.25
(9)Gọi (S’) mặt cầu cần lập R' MH2 HE2 (4 3)242 8
2 2
( ') :(S x 4) (y 5) z 64
0.25
VII b
Giải phương trình Cn16Cn26Cn3 9n2 14n tìm n =
2
0 7
7 7 7
1 255
(1 )
2 8
m
m m m m
mC C C C C x dx
8
(1 ) 255 (1 ) 256
|
8 8
1,
m
x m
m m
0.5 0.25