Một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông

A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn học mang tính trừu tượng, khái qt, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học ứng dụng Bộ mơn đại số tuyến tính nâng cao xuất phát từ môn đại số tuyến tính, mơn khó chương trình giảng dạy chun ngành tốn, mơn học có tác dụng lớn việc rèn luyện tư logic khả sáng tạo cho người học Đại số tuyến tính nâng cao mơn học quan trọng sinh viên ngành Toán sinh viên ngành kỹ thuật khác Nó có ứng dụng to lớn vào đời sống xã hội Chính lẽ mà mơn Đại số tuyến tính trở thành mơn thi quan trọng kì thi Olympic Tốn năm nước ta số nước giới Đại số tuyến tính nâng cao học phần tạo cho nhiều hứng thú học Đại số tuyến tính nâng cao gồm nhiều vấn đề tơi đặc biệt quan tâm đến vấn đề liên quan đến ma trận Được gợi ý Giáo viên hướng dẫn chọn đề tài: “Một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận vng.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ma trận Nghiên cứu số phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận vuông Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, trang web online Phân tích, tổng hợp, xếp lại cách thích hợp Trao đổi với Giáo viên hướng dẫn Nội dung nghiên cứu Đề tài gồm chương Chương 1: Các kiến thức sở áp dụng thực phép toán ma trận nhắc đến đề tài Chương 2: Nội dung chương nội dung đề tài Trong chương phân loại cách tương đối phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận vng 2.1 Phương pháp tính trực tiếp 2.2 Phương pháp quy nạp toán học 2.3 Sử dụng nhị thức Newton 2.4 Chéo hóa ma trận 2.5 Sử dụng định lí Caley-Hamilton 2.6 Đưa dạng chuẩn Jordan B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.1 Định nghĩa Một bảng gồm mn số aij thuộc trường K viết sau � a11 a12 � a 21 a 22 � � K K � � a m1 a m � a a K K K K � � 2n � K � � a mn � � 1n gọi ma trận kiểu (m, n) Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Các số ai1 , ,…, ain lập thành dòng thứ i; số a1 j , a2 j ,…, amj lập thành cột thứ j ma trận Ta thường kí hiệu ma trận chữ A, B,…   m�n Hay kí hiệu đơn giản A = aij i=1,2,…,m số dịng j=1,2,…,n số cột Ma trận vng Trong trường hợp số dòng số cột hai ma trận ta có khái niệm ma trận vuông Ký hiệu tập ma trận vuông M(n; K), với n cấp ma trận vuông � a11 a12 � a 21 a 22 A= � � K K � � a n1 a n � K K K K a a � � 2n � K � � a nn � � 1n Trong ma trận vuông phần tử a11, a22 , , ann phần tử nằm đường chéo chính, phần tử an1, a(n1)2 , , a1n phần tử nằm đường chéo phụ Ví dụ 2� � A  � �là ma trận vuông cấp hai 4� � � � B� � � 3� � �là ma trận vuông cấp � 9� Phần tử nằm đường chéo ma trận A 1; Phần tử nằm đường chó ma trận B 1, 5, Ma trận dòng, ma trận cột Nếu m = ma trận có dịng, gọi ma trận dịng Tương tự, n = ta có ma trận có cột, gọi ma trận cột Ma trận dòng ma trận cột thường gọi vectơ dòng vectơ cột Một số thuộc trường K gọi ma trận dòng, cột Ví dụ 4� Ma trận dịng: A  � � � �� �� Ma trận cột B  �� �� �� 1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt a) Ma trận không Ma trận có tất phần tử gọi ma trận không Ta dùng số  để biểu thị cho ma trận không cấp m x n Ví dụ 0 0� � � Ma trận  cấp 2x3: � � 0 0� � � b) Ma trận chéo Ma trận vng có phần tử ngồi đường chéo phần tử đường chéo khác khơng gọi ma trận chéo (hay ma trận đường chéo) Ma trận chéo cấp n có dạng a11 � � �0 A= � �K �0 � K a22 K K K K � � � � K � ann � �  aii �0, i :1, n  Ví dụ � � � C� � � � 0 0� � 1 0 � � 0� 0 4� � Nhận xét Ma trận đường chéo thường ký hiệu diag(a1, a2 , , an ) với phần tử đường chéo a1 , a2 , , an c) Ma trận đơn vị Trong Matn ( K ) , ma trận �1 �0 I � � K � �0 K 0 K K 0� 0� i �j � (a )    � ij ij � K� i  j � � 1� có tính chất: IA = A = AI, với A �Matn ( K ) Ma trận I gọi ma trận đơn vị Ở  ij gọi kí hiệu Kronecker i �j i = j d) Ma trận bậc thang Ma trận A gọi ma trận bậc thang dịng k dịng k + phần tử khác cột h phần tử cột k h < k Ví dụ � � � Ma trận B  � � � � 3 12 � � 4� �là ma trận bậc thang có ba dịng khác 0 0 5� 0 0 0� � e) Ma trận tam giác Ma trận có phần tử (hoặc dưới) đường chéo gọi ma trận tam giác nghĩa aij = với j < i với i < j, tức có dạng: a11 � � �0 A= � � �0 � a12 a1n � � a22 a2n � �trong aij  i > j gọi ma trận tam � ann � � giác Ví dụ � � � A� � � � 4� � 2� �là ma trận tam giác 2� 0 5� � b11 � � b21 b22 � B =� �M M O � bn1 bn � 0� � 0� �trong bij  i < j gọi ma trận tam giác M� bnn � � Ví dụ � � B� � � 0� � �là ma trận tam giác � 1� Nhận xét Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác f) Ma trận chuyển vị Định nghĩa Giả sử ta có ma trận �a11 � �a21 A= � � � am1 � �a11 � �a12 ma trận � � �a �1n a21 a22 a2n a12 a22 am a1n � � a2 n � � � amn � � am1 � � am2 � �được gọi ma trận chuyển vị ma trận A � amn � � kí hiệu AT AT ma trận kiểu (n, m) Như vậy, AT ma trận nhận cách đổi dịng ma trận A thành cột Ví dụ Ma trận �1 � T � A � �3 �4 � �1 � � � A  �5 � ma trận chuyển vị ma trận A � � �9 � 9� � 1� � 2� 3� � Định lý Cho ma trận A, B �M mxn ( K ) Khi ta có khẳng định sau:  AT  T  A AT  BT � A  B g) Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng Nếu ma trận vng A thỏa AT  A ta nói A ma trận đối xứng Nếu A ma trận đối xứng aij  a ji , i, j  1, n Ví dụ � � Ma trận A  � � � 3� � �là ma trận đối xứng cấp � 1� � � � Ma trận A  � � � � 4� � 1 � �là ma trận đối xứng cấp 1  � 3� � Nếu ma trận vuông A thỏa AT   A A ma trận phản đối xứng Nếu A ma trận phản xứng aij  a ji , i, j  1, n , từ suy aii  (các phần tử đường chéo 0) Ví dụ �0 � 2 � Ma trận B  � 3 � �4 � 4 � � 5 � �là ma trận phản đối xứng 3� 3 � � Nếu A ma trận đối xứng aij  a ji , i, j  1, n 1.2 Các tính chất phép toán ma trận Với A, B, C �M mxn ( K )  ,  �K ta có: A+B=B+A (A + B) +C = A + (B + C)   A A  A A + (-A) = (-A) + A =  ( A  B)T  AT  BT  ( A  B)  A   B (   )A   A   A A(B  C)  AB  AC A(BC)  ( AB)C ( AB)T  BT AT  ( AB)  ( A)B A( B) ( AT )T  A AT  BT � A B (aA)T  a(A)T 1.3 Ma trận bậc cao Định nghĩa Cho ma trận A, lũy thừa bậc k ma trận A là: Ak  A.2 A 3A k l� n Cụ thể, A0  I n ; A1  A; A2  A A; ; Ak  Ak 1 A Nhận xét Có ma trận khác ma trận không lũy thừa k lần với k ��sẽ thành ma trận không Một ma trận A�M(n, K ) thỏa tính chất tồn số k�� , cho Ak  ma trận A gọi ma trận lũy linh Một ma trận A �M (n; K ) thỏa tính chất A  ma trận A gọi ma trận lũy đẳng Tính chất Cho A �M (n; K ) r , s ��, đó:  0 r  0;  In  r  In Ar  s  A r A s Ars   Ar  s 1.4 Chéo hóa ma trận Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij ) cấp n gọi ma trận chéo aij  với i �j; tức có dạng a11 0 � � �0 a � 0 22 � � � � � � 0 ann � �0 Ta nói ma trận A chéo hóa đồng dạng với ma trận chéo Nhận xét Ma trận vuông A chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo B để A = PB P 1 Định lí Ma trận vng A chéo hóa A ma trận phép biến đổi tuyến tính có hệ vectơ riêng sở khơng gian Chứng minh Coi A ma trận phép biến đổi tuyến tính f : V � V sở (  ) A chéo hóa có ma trận P cho k1 0 � � �0 k 0 � 1 � B  P AP  � � � � � �0 0 kn � Điều xảy có sở (  ' ) V mà P ma trận chuyển từ (  ) sang (  ' ) B ma trận f sở (  ' ) Khi vectơ uur  i ' sở (  ' ) thỏa mãn đẳng thức uuu r uur f ( i ')  ki  i ', i  1, , n ; tức hệ sở (  ' ) gồm vectơ riêng f Hệ Nếu đa thức đặc trưng A  kI có n nghiệm phân biệt ma trận A chéo hóa Định lí Cho A ma trận vng cấp n K Giả sử 1, 2 , , n giá trị riêng phân biệt A Si sở không gian vecto riêng E A  i  với i=1,2,…,n S  S1 �S2 � �Sr độc lập tuyến tính K n A chéo hóa S chứa n vecto 10 Ta có: �degR( ) �n1 n n Giả sử R( )  bn1  bn 2   b1  b0 Các hệ số b0,b1, ,bn1 nghiệm hệ phương trình sau � f (i )  R(i ), i 1,r �j j �f (i )  R (i ), j1 1,1 1 � � �f jr ( )  Rjr ( ), j 1, 1 � r r r r Lưu ý Cách tìm Ak trường hợp đặc biệt tính f  A k k Với f      � A  f (A) 5 2� � � � Ví dụ Cho A �5 7 3�, tính f  A biết � 9 4� � � f (x)  2009x2009  2008x2008   x Giải Đa thức đặc trưng A: PA (x)   x2(x1) Lấy f (x) chia cho P( A) (x) giả sử thương Q(x) dư R(x) Khi f  x  P( A) (x)Q(x) R(x) Giả sử R(x)  ax2  bx  c , với a,b,c�� Ta có �f (0)  R(0) � c a1004 � � � � a b c 1005 � � b1 � f (1)  R(1) � � �f '(0)  R'(0) � � c b1 � � � Suy R(x) 1004x2  x Theo định lí Caley-Hamilton P( A) (A)  3016 3017 1006� � � � 3017 3019 1007� Do f ( A)  R( A) 1004A  A � � 3018 3021 1008� � � 31 �1 �  n Ví dụ Cho A  � �3 � � Tính A với n �� � � Giải Đa thức đặc trưng A: P( A) (t ) = (t  2) Xét f  t  = t n Giả sử, f  t  = P( A) (t ) S (t )  at  b (1) Khi đó, An  aA  bI Từ (1) thay t = -2, ta (2) n   2a  b (2) Đạo hàm vế (1) thay t = -2, ta n(2) n1  a (3) Từ (2),(3) � b  (1  n)(2) n 3� 0� � n n 1 �1  (1  n)(2) n � Vậy A  n(2) � � 3 � 1� � � � �2 � � � Ví dụ Cho A  �1 1 � , tính An với n �N  � 1 1� � � Giải Đa thức đặc trưng A: P( A) (t ) = (2  t )3 Xét f  t  = t n với n �3 Giả sử, f (t )  P( A) (t ) S (t )  at  bt  c (1) Khi f ( A)  An  aA2  bA  cI Từ (1), thay t = � 2n  4a  2b  c (2) Đạo hàm vế (1), thay t = � n2n1  4a  b (3) Đạo hàm vế (1) thêm lần nữa, thay t = ta được: n(n  1)2n1  2a (4) Từ (2), (3) (4) 32 � a  n(n  1)2n2 � � � b  n(3  2n)2n1 � n c   2n(2  n)2n1 � 0� �2 � �2 � � � � n n2 � n 1 � n n 1 � A  n( n  1) �1 1 � n (3  2n) �1 1 �  n (2  n)2 � 0� � �1 1� �1 1� � 0 1� � � � � � � Trường hợp đặc biệt Đối với ma trận vng cấp Định lí Cho A ma trận vuông cấp n Đa thức đặc trưng A bậc n định thức f     A   E (E ma trận đơn vị cấp 2) Khi A ma trận vuông cấp 2, ta thu kết sau �a b � Mệnh đề: Cho A  � �c d � � Khi ta có � � A2  (a  d ) A  (ab  bc) E  (1) Chứng minh: Theo định lí Caley-Hamilton ta có fA     A  E   a  b  (  a )(  d )  (  b)(  c)  c  d    (a  d )  (ad  bc) Thay   A  E , ta được: f A     A   E  A2  (a  d ) A  (ab  bc ) E (đpcm) Phương pháp Từ (1) � A2  (a  d ) A  (ab  bc) E (*) Từ ta thu A3  AA2  A �  a  d  A  (ad  bc) E � � � ( a  d ) A  (ad  bc) A A4  AA3  A �  a  d  A2  (ad  bc) A� � � (a  d ) A  (ad  bc) A Từ đây, phép tính lũy thừa bậc n ma trận đưa tính lũy thừa bậc (n – 1) chuyển dần phép nhân số với ma trận 33 �1 � Ví dụ Cho A  � �1 � �, tính A , A � � Giải Áp dụng công thức (*), ta được: � �1 10 � �1 � � A2  A  E  �  � � 1 � 1� 5 14 � � � � �� � �1 10 � �1 � �11 38 � A3  A2  A  � � �1 � �19 46 �  14 � � � �� � Từ nhận xét ta nghĩ đến việc tính An (n=1,2,…) Khi gặp loại toán này, phương pháp quen thuộc mà ta nghĩ đến phương pháp quy nạp tốn học Nội dung phương pháp tính số hạng ban đầu, dự đoán số hạng tổng quát chứng minh dự đốn quy nạp �a � n Ví dụ Cho A  � �0 b � � Tính A � � Giải Áp dụng cơng thức (*) , ta : � a2 A  ( a  b) A  abE  � �0 0� � b2 � � a3 � A  ( a  b) A  abA  � 3� �0 b � �a n � Dự đoán: A  � n� �0 b � n Ta có: A n 1 �a n  A A� �0 n 0� �a � �a n1 � � �0 b � � n 1 � bn � � � �0 b � Vậy dự đoán n �� Nhận xét Trong ví dụ A ma trận đặc biệt nên ta dự đốn An Trong sơ trường hợp để dự đốn An khó Phương pháp 34 Ta thấy đa thức đặc trưng A đa thức bậc 2, phân tích (1) thành dạng ( A   E )( A   E )  Trường hợp  � (2 nghiệm phân biệt) Khi từ ( A   E )( A   E )  � ( A   E ) A  ( A   E ) Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh ( A   E ) An  ( A   E )  n (i) Hoàn tồn tương tự, ta có: ( A   E ) An  ( A   E ) n (ii) Lấy (ii) - (i): (   ) An  ( n   n ) A  ( n    n ) E n  n  ( n1   n1 ) �A  A E     n � n (  a )   n (a   ) �   n Hay A  � � c( n   n ) �   � b( n   n )   � � � n n  (  d )   (d   ) � �   � 2 � � Ví dụ Cho A  � , Tính An � 1 � � Giải Theo định lí Caley-Hamilton, ta có: A2  A  E  � ( A  E )( A  3E )  � A( A  E )  3( A  E ) Bằng quy nạp toán học ta dễ dàng chứng minh An ( A  E )  3n ( A  E ) � An1  An  3n ( A  E ) (1) Mặt khác ( A  2E )( A  3E )  � A( A  3E )  2( A  3E ) Lập luận tương tự, ta có: An ( A  E )  n ( A  E ) 35 � An1  An  2n ( A  3E ) (2) Lấy (1) - (2), ta được: An  (3n  2n ) A  (2.3n  3.2n ) E � 2.3n  3.2n Hay A  � n n �3 2 n 2(3n  2n ) � � 3  2n1 � Trường hợp    (nghiệm kép) Phương trình đặc trưng trở thành ( A   E )  Đặt A   E  B � A   E  B với B  Áp dụng khai triển nhị thức Newton An  ( E )n  Cn1 ( E )n 1 B  Cn2 ( E )n 2 B   B n Do B  � An   n E   n1EB =  n E  n n1 ( A   E ) � An  n n 1 A  (1  n) n E � n n1 A  (1  n) n Hay A  � n n1c � n n n1b � � n n1d  (1  n) n � 1 � � Ví dụ Cho A  � , tính An � 1 � � Giải Theo định lí Caley-Hamilton, ta có A2  A  E  � ( A  E ) =0 Áp dụng công thức với  = 2, ta được: An  n2n1 A  (n  1)2 n E � 3n2n1  (1  n)2 n Hay A  � n 2n1 � n �  n2 n1 n 1 n� n  (1  n)2 � Trường hợp đa thức đặc trưng có nghiệm phức liên hợp x   x   � x n  ( x   )( x   )q ( x)  p( x )  q 36 � n  n �p     �x   � �� Thay �  n   n  �x   � q �   � � n (  a )   n (a   ) �   n Vậy A  � � c( n   n ) �   � b( n   n )   � � � n n  (  d )   (d   ) � �   � 1� � Ví dụ Cho A  � Tính An � 0� � Giải Đa thức đặc trưng A:    �  i ��   i � � (i )n  ( i ) n p � � 2i Áp dụng công thức � � n n �q  (i )(i )  (i) (i) � 2i � �(i ) n i  (i) n i � n Vậy A  � n 2i n �(i )  (i) � � 2i � 1 � (i) n  (i )n � � �� 2i � n n (i ) i  (i ) i � � 2i � Ví dụ Tồn hay không ma trận vuông cấp thỏa mãn 1 � � A2010  � � �0 1  e � Trong e số dương (Đề thi Olympic 2009) Giải Gọi đa thức đặc trưng A P( A) (t ) P( A) (t ) đa thức bậc Khi chia t 2010 Cho P( A) (t ) ta thương Q(t ) dư đa thức bậc cao Kí hiệu qt  q (p,q số thực) 37 2010  P( A) (t )Q(t )  qt  q Tức t Theo định lí Caley-Hamilton, ta có P( A) ( A)  , nên A2010  pA  qI Với I ma trận đơn vị cấp a b� � Giả sử A  � � �c d � 1 � � Từ pA  qI  � �, �0 1  e � � pa  q  1 �pd  q  1  e � �� � pc  � � pd  (1) (2) (3) (4) Từ (1), (2)  p Từ (3), (4) � b  c  a 0� a 2010 � 2010 � A� � �� A d � � �0 � � d 2010 � 1 � � 2010 Theo giả thiết A  � � �0 1  e � � a 2010  1 � � 2010 (vơ lí) d    e � Vậy ma trận cho có dạng khơng tồn 50 �1 � Ví dụ Cho ma trận A  � , tính An � 1 � � Giải Đa thức đặc trưng A f ( x )  x  x  Giải đa thức đặc trưng ta f ( x)  � x  (nghiệm kép) � f ( x )  ( x  2) Áp dụng định lí Caley-Hamilton � � 50.249  (49).250 50.2 49 � A � 49 49 50 � 50.2  (49).2 � � 50.2 n 38 25 � n 50 �24 Hay A  � 25 26 � � � 2.6 Đưa dạng chuẩn Jordan Thuật tốn tìm dạng chuẩn Jordan ma trận vng A Bước 1: Tính đa thức đặc trưng phân tích nhân tử bất khả qui Giả sử: fA ( )  g1m1 grmr Bước 2: Tìm đa thức cực tiểu dạng gA ( ) g1p1 grpr Trong 1�p1 �m1, ,1�pr �mr Bước 3: Với nhân tử gi sử dụng định lí để tính số khối Jordan liên kết với gik Bước 4: Lập khối Jordan liên kết với tất đa thức gik có Sik > 0, ghép chúng lại với nhau, khối xuất Sik lần, để ma trận đường chéo khối Đó dạng chuẩn tắc Jordan cần tìm Trong số trường hợp, không cần thực bước mà cần dựa vào ý sau ta tìm số khối Jordan i) Với I = 1, 2, …, r có khối Jordan liên kết với gipi ii) Với I = 1, 2, …, r tổng cấp khối Jordan liên kết với gipi mi Phương pháp V không gian vectơ hữu hạn chiều trường K Giả sử A�Mn (K ), f �EndK (V), S' sở tắc V  f  S'  A Bước 1: Tìm ma trận J dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A Bước 2: Tìm sở S V cho  f  S  J Bước 3: Gọi P ma trận chuyển từ sở S' sang S Suy cột ma trận P vectơ cở sở S Khi đó, J  P 1AP � A PJ P 1 � An  PJ nP 1 Ví dụ Cho ma trận 17 25 � � � A� 9 16 � , tính An � � 5 � � � Giải Giả sử S' sở tắc �3 , f �End (�3 )  f  S'  A Đa thức đặc trưng A: f A ( )  ( 1)(  2) Đa thức cực tiểu A: g A ( )  ( 1)(  2)  g1 g 22 39 rankI  2rank ( A  I )  rank ( A  I ) � 1 + g1   1� S11  � � � 1 rank ( A  I )  2rank ( A  I )  rank ( A  I )3 � 1 + g    � S2  � � � 1 0� � � 1� Khi dạng chuẩn tắc Jordan A là: J  � � � � 0 � � Gọi S  u1, u2, u3 sở �3 cho  f  S  J � f (u1 )  u1 � � � f (u2 )  2u2 �f (u )  u  2u � � u1,u2 vectơ riêng ứng với giá trị riêng u  (11, 7, 3) � 1 1, 2  � �1 �u2  (3, 2, 1) Giả sử u3  (a, b, c) với a, b, c�� Ta có  f  S'  A , (ui ) s '  ui , i 1, f (u3 )  u2  2u3 3a 17b  25c  � a 1 5c � � � Au3  u2  2u3 � �2a 11b 16c  � � �b  2c � a  5b  7c 1 � Chọn c  � u3  (1, 0, 0) 11 � � � � Gọi P ma trận chuyển từ cở sở S' sang sở S � P  �7 � �3 � � � 1 n n 1 Do A PJ P � A  PJ P 0 � � n � n n.2n 1 � Ta tính J  � � n � � 0 � � �4  3.2n  3n.2n 1 19 15.2 n  n.2n 1 26  24.2 n  3n.2 n 1 � � n � 4  2.2n  2n.2n 1 15 10.2n  n.2n 1 18 16.2n  2n.2n 1 � Vậy A  � � 2  2n  n.2n 1  5.2n  2n.2n 1 8  8.2 n  n.2n 1 � � � U  U  U 1 � U ,  n � � Ví dụ Tính n biết � n��,U n   45U n  39U n 1 11U n  � Giải 40 �U n � 0� �0 �� � � � � �� �và X n  �U n 1 � � X  �� Đặt A  �0 � �� � 45 39 11� Un2 � � � �� � � n Theo giả thiết ta có Xn  AXn � Xn  AXn  A Xn   A X0 Giả sử S' sở tắc �3 , f �End(�3)  f  S'  A Đa thức đặc trưng A: f A ( )  (  5)(  3)  g1 g 22 Với g1  (  5), g  (  3) rankI3  2rank ( A  5I )  rank ( A  I ) � 1 + g1  (  5) � S11  � � � 1 rank ( A  3I )  2rank ( A  3I )  rank ( A  3I ) � 1 + g  (  3) � S22  � � � 0� � � 1� Khi dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A là: J  � � � 0 3� � � Gọi S  u1, u2, u3 sở �3 cho  f  S  J Khi u1, u2 vectơ riêng ứng với giá trị riêng   5,   u1  (1, 5, 25) � � f (u3 )  u2  2u3 � �u2  (1, 3, 9) �u  (0, 1,6) �3 �1 � � � Gọi P ma trận chuyển sở từ sở S'sang sở S � P  �5 � � 25 � � � 1 n n 1 Khi A PJ P � A  PJ P � 5n n � Ta tính J  �0 �0 � 3n 0 � � n.3n 1 � 3n � � � � 5n  4n3n 1 � � n 1 n 1 n n �U n  5n  4n3n 1 Vậy X n  PJ P X  �  4.3  4n3 � � 25.5n 1  24.3n  12n3n � � � 41 C PHẦN KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài giải vấn đề đặt cụ thể là: Hệ thống lại kiến thức ma trận Hệ thống số phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận vng bao gồm phương pháp 2.1 Phương pháp tính trực tiếp 2.2 Phương pháp quy nạp toán học 2.3 Sử dụng nhị thức Newton 2.4 Chéo hóa ma trận 2.5 Sử dụng định lí Caley-Hamilton 2.6 Đưa dạng chuẩn Jordan Ở phương pháp tơi có tập minh họa cụ thể cách giải chi tiết Hi vọng đề tài tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên chuyên ngành Toán sinh viên chuyên ngành khác quan tâm đến chuyên đề Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến cô Lê Thị Thu Hằng hướng dẫn, đọc thảo cho ý kiến đóng góp q báu Chân thành cảm ơn Cô! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà nội, 2001 Hoàng Kỳ, Trần Văn Hạo, Bài tập đại số, NXB ĐH THCN, 1980 Nguyễn Duy Thuận, Toán cao cấp A1, NXB GD,2000 http://ngobaochau.wordpress.com/tag/hamilton http://en.wikipedia.org/wiki/Caley%E2%80%93Hamilton_theorem 43 MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .1 Nội dung nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 1.2 Các tính chất phép tốn ma trận 1.3 Ma trận bậc cao 1.4 Chéo hóa ma trận 1.5 Dạng chuẩn tắc Jordan 11 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA BẬC CAO .13 CỦA MA TRẬN VUÔNG 13 2.1 Phương pháp tính trực tiếp .13 2.2 Phương pháp quy nạp toán học 16 2.3 Sử dụng nhị thức Newton .20 2.4 Chéo hóa ma trận 23 2.5 Sử dụng định lí Caley-Hamilton .28 2.6 Đưa dạng chuẩn Jordan 38 C PHẦN KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 44 LỜI CẢM ƠN Trong sống thành cơng mà khơng dựa nổ lực, tâm cá nhân với giúp đỡ hổ trợ người Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ mơn Tốn nói riêng, Khoa Sư Phạm nói chung lời cảm ơn chân thành tạo điều kiện để em học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức tạo hội để em thực hoàn thành đề tài Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Thu Hằng tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực hoàn thành đề tài Mặc dù cố gắng để hồn thành đề tài Song củng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu từ quý Thầy Cô bạn đọc đề đề tài em hoàn thiện Cuối lời, em xin kính chúc q Thầy Cơ dồi sức khỏe, thành công công tác giảng dạy sống Hà Tĩnh, tháng năm 2016 SINH VIÊN THỰC HIỆN Trương Thị Lan Hương 45 ... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA BẬC CAO CỦA MA TRẬN VNG 2.1 Phương pháp tính trực tiếp Phân tích ma trận ma trận đặc biệt ma trận đơn vị, ma trận không Cho ma trận A �M (m, K ) Mệnh đề Với số. .. thành ma trận không Một ma trận A�M(n, K ) thỏa tính chất tồn số k�� , cho Ak  ma trận A gọi ma trận lũy linh Một ma trận A �M (n; K ) thỏa tính chất A  ma trận A gọi ma trận lũy đẳng Tính chất... thể là: Hệ thống lại kiến thức ma trận Hệ thống số phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận vuông bao gồm phương pháp 2.1 Phương pháp tính trực tiếp 2.2 Phương pháp quy nạp toán học 2.3 Sử dụng