Đang tải... (xem toàn văn)
Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P.. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q.[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI : TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu (4 điểm)
1) Cho a, b, c số hữu tỷ
Chứng minh
2 2
1 1
a b b c c a số hữu tỷ. 2) Rút gọn:
S =
1 1
2 1 2 3 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000 Câu (4 điểm).
1) Tìm số dư phép chia S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4
2) Tìm số nguyên n n + chia hết cho n – Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình :
9
1 1
1 27
x y z x y z xy yz zx
Câu (2 điểm) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c độ dài ba cạnh) Chứng minh rằng:
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Dấu đẳng thức xảy lúc tam giác ABC có đặc điểm gì? Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài P Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài Q BP cắt CQ I
1) Cho CM = Tính BI, CI ?
2) Khi M di động đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I
………Hết………
(2)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI : TỐN
Câu (4 điểm)
1) Cho a, b, c số hữu tỷ
Chứng minh
2 2
1 1
a b b c c a
số hữu tỷ
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Đặt x = a – b, y = b – c, z = c – a x + y + z = 0 0,5 Ta có: 2
1 1
x y z =
2
1 1
x y z
-
1 1
2
xy yz zx
0,5 =
1 1
x y z
-
2 x y z xyz
=
2
1 1
x y z
0,5
2
1 1 1
x y z xyz
Vậy :
2 2
1 1
a b b c c a
số hữu tỷ
0,5
2) Rút gọn: S =
1 1
2 1 2 3 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Xét k N, k
Ta có :
2 2
1
1
1 1
k k k k k k k k k k k k
1 1
1
k k k k
k k k k
0,5
Cho k = 1, 2, 3, … , 1999, 2000, ta có:
1 1
2 1 2 1
1 1
3 2 3
………
1
2000 1999 1999 2000
(3) P =
1 2000 20
1 2000 2000 20
0,5
Câu (4 điểm).
1) Tìm số dư phép chia S = 1n + 2n + 3n + 4n cho
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
* Nếu n lẻ, n = 2k + 1, k N, ta có: 4n 4
1n + 3n = (3n-1 – 3n-2 + … - 1) 4
2n = 2.4k
+ Với k = Sn = 4p +2 + Với k > Sn = 4q
1
* Nếu n chẵn, n = 2k , k N, ta có: 4n 4
2n 4
3n = 9k = (2.4 + 1)k = 4t + 1
1n = 1
Sn = 4h +2
Vậy: Khi chia S = 1n + 2n + 3n + 4n cho , ta có dư 0,
hoặc có dư
1
2) Tìm số nguyên n n + chia hết cho n -
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Ta có
4
1
1
n
n
n n
, muốn n + chia hết cho n –
5
n Z
n – 5; 1;1;5
0,5
Khi n – = - n = ; thỏa mãn Khi n – = n = 2; thỏa mãn Khi n – = -5 n = - ; thỏa mãn
Khi n – = n = ; thỏa mãn
1
Vậy với n = 0; 2; -4; (n + 4) (n - 1) 0,5 Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình :
9
1 1
1 27
x y z x y z xy yz zx
(4)Từ x + y + z = 81 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) 1
81 = x2 + y2 + z2 + 2.27 x2 + y2 + z2 = 27 1
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = x = y = z
1
Do đó:
9
3
1 1
x y z x
x y z y
z x y z
1
Câu (2 điểm) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c độ dài ba cạnh) Chứng minh rằng:
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Dấu đẳng thức xảy lúc tam giác ABC có đặc điểm gì?
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Ta có: p – a = 2
a b c b c a a
> Tương tự: p – b > 0, p – c >
0,5
áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
(p – a) + (p – b) (p a p b )( )
1
p a p b
2
(p a p b )( ) p a p b
1
( )
p a p b 4
1 4
( )( )
p a p b p a p b p a b c
0,5
Tương tự
1
1
p b p c a p c p a b
Cộng vế ta có:
1 1 1
2
p a p b p c a b c
0,5
Ta có:
1 1 1
2
p a p b p c a b c
2 2 1
2
2 2
a b c a a b c b a b c c a b c
(5)
1 1 1
b c a a c b a b c a b c
Dấu “=” xảy a = b = c ABC tam giác đều.
Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài P Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài Q BP cắt CQ I
1).Cho CM = Tính BI, CI ?
2) Khi M di động đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I
ĐÁP ÁN 6 ĐIỂM
A B
D C
Q
P M
I
0,5
1) Ta có: CM = BM = 2
CMD
BMQ (g g)
MC CD
BQ MB BQ
0,5
ABM
CPM (g g)
3
MC CP CP MB AB
0,5
Xét BCQ CPBcó: QBC = BCP = 900, BQ CB BC CP
0,5 BCQ CPB(c g c) BQC CBP , BCQ CPB 0,5 Mà CBP PBQ 902 BQC PBQ 902 0,5 BIQ 902 BIC vuông I 0,5 BIC CIP(g.g)
IB BC IC CP
0,5
Do đó: BC2 BI2CI2 5CI2
3
CI
6
BI 0,5
2) Trong trương hợp tổng quát, đặt CM = x BM = – x 0,5 Tương tự cách chứng minh (ý 1), ta có BIC vuông I
BIC 902
I thuộc đường trịn đường kính BC
1
(6)