BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 05/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VƠ TỶ Chun ngành : Phương Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG, 05/2015 ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚æ✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐ ✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉ ✱ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ P❤❛♥ ❚❤à ❚❤ò② ❚r❛♥❣ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU 1.2 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 10 1.2.1 Hàm phân thức quy thức quy biến 10 1.2.2 Hàm phân thức quy thức quy nhiều biến 12 1.3 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 15 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 15 1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiacovki 15 1.3.3 Bất đẳng thức Holder 16 1.3.4 Bất đẳng thức Mincovski 16 1.3.5 Bất đẳng thức Karamata 17 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỈ 18 2.1 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VỚI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 18 2.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MỘT SỐ LỚP BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC 26 3.1 MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 26 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 38 KẾT LU N 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LU N VĂN (BẢN SAO) ✶ ▼Ð ✣❺❯ ỵ t t tự õ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❤❛② ✈➔ ❦❤â ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❈→❝ ❧♦↕✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤÷í♥❣ ❣➙② r➜t ♥❤✐➲✉ ❦❤â ❦❤➠♥ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❣❛② ❝↔ ❝❤♦ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t➟♣ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ♥➢♠ ✈ú♥❣ ♠ët sè ❦ÿ t❤✉➟t ✤➸ ❣✐↔✐ t❤➻ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ❤➛✉ ♥❤÷ ❧➔ ♥❤✐➺♠ ✈ư ❜➜t ❦❤↔ t❤✐✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà ❧➔ ✤❛ ❞↕♥❣✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ✈➔ t❤÷í♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❦➻ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❜➟❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ tr✉♥❣ ❤å❝ ❤✐➺♥ ♥❛②✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♥❣❛② tø ❝❤÷ì♥❣ tr ợ t ữỡ tr ợ t ợ ởt tớ ữủ ỏ tố ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❝ơ♥❣ ✤÷❛ r❛ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ t➻♠ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ sè ♥❤÷♥❣ ❝❤÷❛ ❝❤➾ r ữợ t tỏ ữỡ ♣❤→♣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝❤ó trå♥❣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ r➧♥ ❧✉②➺♥ ❦ÿ ♥➠♥❣ ♥➔②✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ✈✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ ✿❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝✱❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✈ỉ t➾ ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✸✳✶✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ sè ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✈ỉ t➾ ✳ ✸✳✷✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✷ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tø ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤✱ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚❤✉ t❤➟♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱❝ü❝ trà ✳ ✳ ✳ ❑❤↔♦ s→t✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ tê♥❣ ❤ñ♣ t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➸ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➔ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà✱tr❛♦ ✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ t ỵ ữợ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❝õ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ tø ✤â tr❛♦ ợ t ữợ t q ❝ù✉✳ ✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ t t õ ỵ t ỵ t❤✉②➳t✱ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♥❤÷ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ ✈✐➯♥✱ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▼ð ✤➛✉ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ✶✳✶✳ ❍➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ✶✳✷✳ ❍➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❝❤➼♥❤ q✉②✳ ✶✳✸✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✈ỉ t➾✳ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈ỵ✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✷✳✷✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ♠ët sè ❧ỵ♣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè →♣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✳ ✸✳✶✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝✳ ✸✳✷✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝✳ ✸✳✸✳ tr ữủ t ì ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ tự tự t ỡ ỗ ❧ã♠✱✳ ✳ ✳ ✮ ✈➔ ♠ët sè ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✳ ❚r♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥➔② t❤÷í♥❣ sû ❞ư♥❣ ỵ I(a, b) R ♠ët tr♦♥❣ ❜è♥ t➟♣ ❤ñ♣ (a, b), [a, b)(a, b] ❤♦➦❝ [a, b] ✈ỵ✐ a < b✳ ✶✳✶✳ ❍⑨▼ ✣❒◆ ✣■➏❯ ❚❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❦❤✐ ❤➔♠ sè f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ I(a, b) ⊂ R ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ x1 , x2 ∈ I(a, b)✱ tø x1 < x2 s✉② r❛ f (x1 ) ≤ f (x2 ), t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ I(a, b) ✣➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ x1 , x2 ∈ I(a, b)✱ t❛ ✤➲✉ ❝â f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t tỹ sỹ ỗ tr I(a, b) ữủ ❧↕✐✱ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ x1 , x2 ∈ I(a, b)✱ t❛ ✤➲✉ ❝â tø x1 < x2 s✉② r❛ f (x1 ) ≥ f (x2 ), t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ tr➯♥ I(a, b) ❑❤✐ f (x1 ) > (x2 ) ⇔ x1 < x2 , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ tỹ sỹ tr I(a, b) ỵ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a, b) ✶✳ ◆➳✉ f (x) > ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a, b) t❤➻ ❤➔♠ sè f (x) ỗ tr õ f (x) < ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a, b) t❤➻ ❤➔♠ sè f (x) ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳ ✹ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✤ì♥ ỡ ỵ f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ R+ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ ❜ë sè ❞÷ì♥❣ a1 , a2 , , an ✈➔ x1 , x2 , , xn ✱ t❛ ✤➲✉ ❝â n n ak f (xk ) ≤ ( k=1 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✳ n ak )f ( k=1 xk ) ✭✶✳✶✮ k=1 ❑❤✐ f (x) ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ R+ t❤➻ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ t❛ ❝â n f (xj ) ≤ f ( xk ), j = 1, 2, n k=1 ❙✉② r❛ n aj f (xj ) ≤ aj f xk , j = 1, 2, n ✭✶✳✷✮ k=1 ▲➜② tê♥❣ t❤❡♦ j (j = 1, 2, n)✱ tø ✭✶✳✷✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ✭✶✳✶✮ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐ ✈ỵ✐ n = 2✱ tø ✭✶✳✶✮✱ t❛ ❝â f (x) + f (h) ≤ (1 + )f (x + h), ∀ , h > ✭✶✳✸✮ ❑❤✐ → t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ f (x + h) ≥ f (x) ❤❛② f (x) ởt ỡ t ỵ ✶✳✸✳ ✣➸ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ n n f (xk ) ≤ f ( ✭✶✳✹✮ xk ) k=1 k=1 ✤÷đ❝ t❤ä❛ ợ số ữỡ x1 , x2 , xn ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❧➔ ❤➔♠ sè f (x) g(x) := ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ R+ ✳ x ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ t❛ ❝â ❤➔♠ sè ❢✭①✮= xg(x) ✈➔ ✭✶✳✹✮ s➩ ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈ỵ✐ aj = xj (j = 1, 2, , n) n n xk g(xk ) ≤ ( k=1 n xk )g( k=1 xk ) k=1 ✭✶✳✺✮ ✺ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ữủ tọ ự ợ g(x) ởt ỡ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ R+ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr♦♥❣ x [0, +∞)✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❣✐↔♠ x1 , x2 , xn ✱ t❛ ✤➲✉ ❝â ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû g(x) = n−1 f (x1 − xn ) ≥ f (xk xk+1 ) k=1 ỵ f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ R+ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ ❜ë sè ❞÷ì♥❣ a1 , a2 , an ✈➔ x1 , x2 , xn ✱ t❛ ✤➲✉ ❝â n n ak f (xk ) ≥ ( k=1 n ak )f ( k=1 xk ) k=1 ỵ t tự n n f (xk ) ≥ f ( k=1 xk ) k=1 ữủ tọ ợ số ữỡ x1 , x2 , xn ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❧➔ ❤➔♠ sè f (x) ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ tr➯♥ R+ ✳ g(x) := x ỵ tt r ợ ♠å✐ ❝➦♣ ❜ë sè ❞÷ì♥❣ a1 , a2 , an ❀ x1 , x2 , xn t❛ ✤➲✉ ❝â n n ak f (xk ) ≥ f ( k=1 ak x k ) k=1 t❤➻ f (x) = ax✱ tr♦♥❣ ✤â a ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✳✻✮ ▲➜② n = ✈➔ ❝❤å♥ x1 = x, x2 = y; a1 = tø ✭✶✳✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ y , a2 = ✱ 2x f (x) f (y) ≤ ✱ ∀x, y ∈ R+ x y f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❤➡♥❣ tr➯♥ R+ ✳ x ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥➯✉ ♠ët sè t➼♥❤ t ỡ ữợ ữủ ởt số tê♥❣ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ❙✉② r❛ g(x) := ✸✶ ❉↕♥❣ ✹✳ ✣÷❛ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✻ ✭✣➲ t❤✐ ✈➔♦ ❧ỵ♣ ✶✵ ❦❤è✐ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥✱ ✣❍❑❍❚◆✲✣❍◗● ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✽ ✲ ✷✵✵✾✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ (2x + 7) 2x + = x2 + 9x + ✭✸✳✷✸✮ −7 ✳ ❚❛ ❝â ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ x ≥ √ (3.23) ⇔ (2x + 7) − (2x + 7) 2x + + x(x + 7) = √ √ ⇔ ( 2x + − x)( 2x + − x − 7) = √ 2x + = x ⇔ √ 2x + = x + x≥0 2x + = x2 ⇔ x≥0 2x + = x2 √ ⇔x=1+2 √ ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = + 2 ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✼✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ √ 2x x + + 15 = x + + 10x ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ x ≥ −2✳ ❚❛ ❝â √ √ (3.24) ⇔ 2x x + − 10x − x + + 15 = √ √ ⇔ 2x( x + − 5) − 3( x + − 5) = √ ⇔ ( x + − 5)(2x − 3) = √ √ x+2−5=0 x+2=5 ⇔ ⇔ 2x − = 2x − = x + = 25 x = 23 3 ⇔ ⇔ x= x= 2 ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = , 23 ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✭✸✳✷✹✮ ✸✷ ❉↕♥❣ ✺✳ ✣➦t ➞♥ ♣❤ö ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✽ ✭✣➲ t ợ t trữớ Pờ ổ ❑❤✐➳✉✱ ✷✵✶✵ ✲ ✷✵✶✶✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ (2x − 1)2 = 12 x2 − x − + ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ 4x2 − 4x + = 12 x2 − x − + ⇔ x2 − x − − x2 − x − + = ✣➦t y = √ x2 − x − 2, y ≥ 0✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ trð t❤➔♥❤ y − 3y + = ⇔ y = ∨ y = 2( ✈➻ a + b + c = 0) ❱ỵ✐ y = 1, t❛ ❝â x2 − x − = ⇔ x2 − x − = ❱ỵ✐ y = 2, t❛ ❝â ⇔ x2 − x − = √ ± 13 ⇔x= 2 x2 − x − = ⇔ x − x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ∨ x = −2 ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ ✿ √ √ + 13 − 13 S= , , 3, −2 2 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✾ ồ s ọ ợ Pỗ ✷✵✵✻ ✲ ✷✵✵✼✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 √ + x − = − x2 ❇➔✐ ❣✐↔✐ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x2 − ≥ ⇔ x ≥ ∨ x ≤ −2 √ ✣➦t y = x2 − 4, y ≥ 0, t❛ ❝â x2 = y + ❉♦ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ trð t❤➔♥❤ ✸✸ y2 + (y + 2)2 + y = − (y + 4) ⇔ = − y2 4 y+2 ⇔ = (2 − y)(2 + y) ⇔ = − y ⇔ y = 2 ❱ỵ✐ y = ✱ t❛ ❝â √ 25 ⇔x=± x2 − = ⇔ x2 − = ⇔ x2 = 4 −5 ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ S = , 2 ❉↕♥❣ ✻✳ ❱➟♥ ❞ư♥❣ ❧÷đ♥❣ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✵ ✭✣➲ t❤✐ ❧ỵ♣ ✶✵ ❝❤✉②➯♥ ❚♦→♥ ✲❚✐♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✶✲✷✵✵✷✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ 3x2 − 7x + − ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ √ x2 − = √ 3x2 − 5x − − √ x2 − 3x + ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ 3x2 − 3x + ≥ 0(1) x −2≥0 (2) 3x − 5x − ≥ 0(3) x − 3x + ≥ (4) ❉➜✉ ❜➡♥❣ ð ✭✶✮ ✈➔ ổ ỗ tớ r ❉♦ ✤â √ √ √ √ 3x2 − 7x + − x2 − = 3x2 − 5x − − x2 − 3x + √ √ √ √ ⇔ 3x2 − 7x + − 3x2 − 5x − = x2 − − x2 − 3x + (3x2 − 7x + 3) − (3x2 − 5x − 1) (x2 − 2) − (x2 − 3x + 4) √ √ =√ ⇔√ 3x2 − 7x + + 3x2 − 5x − x2 − + x2 − 3x + 4 − 2x 3x − √ √ ⇔√ =√ 3x2 − 7x + + 3x2 − 5x − x2 − + x2 − 3x + √ ⇔ (2 − x) √ 3x2 − 7x + + 3x2 − 5x − √ +√ =0 x2 − + x2 − 3x + ⇔ − x = ⇔ x = ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = {2} ✸✹ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✶✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ 5x + + x = √ 3x + 10 + −6 ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ x ≥ ✳ ❚ø ✤➙② t❛ ❝â ✿ √ √ 5x + + 3x + 10 > ❉♦ ✤â √ √ 5x + + x = 3x + 10 + √ √ ⇔ 5x + − 3x + 10 = − x (5x + 6) − (3x + 10) √ ⇔√ =2−x 5x + + 3x + 10 (2x − 4) √ ⇔√ =2−x 5x + + 3x + 10 √ ⇔ (x − 2) √ +1 =0 5x + + 3x + 10 ⇔x−2=0 ⇔ x = ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = {2} ❉↕♥❣ ✼✳ ✣÷❛ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✷✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ +x+ − x = ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ x ≤ 1 ✣➦t u = + x, v = − x, v ≥ 0✱ t❛ ❝â 2 1 u3 + v = + x + − x = 2 ❉♦ ✈➟② t❛ ❝â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ u+v =1 ⇔ u3 + v = u=1−v (1 − v)3 + v = ✸✺ u=1−v u=1−v v=0 ⇔ v(v − 4v + 3) = v − 4v + = ⇔ u=1−v v=0 ⇔ v = ∨ v = 3( ✈➻ ❛ ✰ ❜ ✰ ❝ ❂ ✵) u=1∧v =0 ⇔ u=0∧v =1 u = −2 ∧ v = 1 +x=1⇔x= 2 −17 ❱ỵ✐ u = −2✱ t❛ ❝â + x = −2 ⇔ x = 2 −1 ❱ỵ✐ u = 0✱ t❛ ❝â + x = ⇔ x = 2 ❱ỵ✐ u = 1✱ t❛ ❝â −17 −1 , , 2 ú ỵ ố ợ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣ n a − f (x) + m b + f (x) = c ❚❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ t❛ ✤➦t u = n a − f (x), v = m b + f (x) ✤➸ ✤÷❛ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ u+v =c u3 + v = a + b ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ = ●✐↔✐ ❤➺ ♥➔② ✤➸ t➻♠ u, v ✳ ❚ø ✤â t➻♠ ✤÷đ❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝➛♥ ❣✐↔✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✸ ✭❚❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ t♦→♥ ❧ỵ♣ Pỗ ữỡ tr x+ √ 17 − x2 + x 17 − x2 = ❇➔✐ ❣✐↔✐ ✣➦t y = √ 17 − x2 , y ≥ 0✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x + y + xy = x2 + y = 17 ✣➦t S = x + y, P = xy(S ≥ 4P )✳ ❚❛ ❝â ✸✻ S+P =9 ⇔ S − 2P = 17 ⇔ ⇔ ⇔ P =9−S S − 2(9 − S) = 17 P =9−S S + 2S − 35 = P =9−S S = ∨ S = −7 S =5∧P =4 S = −7 ∧ P = 16 ◆❣❤✐➺♠ (S, P ) = (−7, 16) ❜à ❧♦↕✐ ✈➻ ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ S ≥ 4P ✳ ❱➟② t❛ ❝â S = ✈➔ P = 4✱s✉② r❛ (x, y) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ X − 5X + = P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ X1 = 1, X2 = 4✳▼➦t ❦❤→❝ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ x = 1, x = ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✳ ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = {1, 4} ❉↕♥❣ ✽✳ ❱➟♥ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✹ ✭❚❤✐ ồ s ọ t ợ ữ Pỗ ữỡ tr x2 + 9x + 20 = 3x + 10 −10 ❚❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ √ (x2 + 6x + 9) + (3x + 10 − 3x + 10 + 1) = ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x ≥ √ (x + 3)2 + ( 3x + 10 + 1)2 = ⇔ x √+ = 3x + 10 − = ⇔ x = −3 ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = {−3} ✸✼ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✺ ✭✣➲ t❤✐ ✈➔♦ ❧ỵ♣ ✶✵ ❈❤✉②➯♥ ❚♦→♥✱ ✣❍❑❍❚◆ ✲ ✣❍◗● ❍➔ ◆ë✐✱ ✶✾✾✾✲✷✵✵✵✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ x+7 + = 2x2 + 2x − x+1 ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x ≥ ✳❚❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ 1+ √ + = 2x2 + 2x − x+1 ✭✸✳✷✺✮ ❉➵ t❤➜② x = ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✸✳✷✺✮✱ ✈➻ 1+ √ + = 2.22 + 2.2 − 2+1 ◆➳✉ x > t❤➻✱ 1+ √ √ + < + < 2x2 + 2x − x+1 ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ x > ◆➳✉ ≤ x < 2✱ t❤➻ √ √ + > + > 2x2 + 2x − 1+ x+1 ≤ x < 2 ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = {2} ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✻ ✭❚❤✐ ồ s ọ t ợ Pỗ ✷✵✵✼✲✷✵✵✽✮✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ √ ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ x + x2 + x − x2 = x + ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛ ✿ x + x2 ≥ x − x2 ≥ ⇔ ≤ x ≤ 1+x≥0 ✭✸✳✷✻✮ ✸✽ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ❤❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ t❛ ❝â √ x + x2 + x − x2 = (x + x2 ).1 + (x − x2 ).1 (x + x2 ) + (x − x2 ) + ≤ + =x+1 2 ❉♦ ✭✸✳✷✻✮ ♥➯♥ t❛ ♣❤↔✐ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛✱ tù❝ x + x2 = ⇔x∈∅ x − x2 = ❱➟② t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ S = ∅ ✸✳✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱➋ ❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❈❍Ù❆ ❈❿◆ ❚❍Ù❈ ❉↕♥❣ ✶✳ ❈→❝ ➞♥ ❤♦→♥ ✈à ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✼✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ √ √ √ x√ y + 2y x = 3x√ 2x − √ y x + 2x y = 3y 2y − 1 ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x, y ≥ ❚❛ ❝â √ √ √ x√ y + 2y x = 3x√ 2x − √ y x + 2x y = 3y 2y − √ √ √ √ xy( x + 2√ y) = 3x√ 2x − ⇔ √ √ xy( y + x) = 3y 2y − √ √ ◆➳✉ x > y t❤➻ t❛ ❝â 3x 2x − > 3y 2y − 1✱s✉② r❛ √ √ √ √ √ √ xy( x + y) > xy( y + x) ▼➙✉ t❤✉➝♥ ✈➻ ❧✉æ♥ ❝â √ √ √ √ √ √ xy( x + y) < xy( y + x) ✈ỵ✐ x > y > ỵ tữỡ tỹ ụ ổ ①↔② r❛ ❦❤✐ y > x✳ ❉♦ ✈➟② ♣❤↔✐ ❝â x = y ✳❚❤❛② ✈➔♦ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ t❛ ✤÷đ❝ √ √ √ √ √ √ √ √ xy( x + y) = xy( y + x) ⇔ x = 2x − ⇔ x = ❱➟② ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t (x, y) = (1, 1) ✸✾ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✽✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ 2x + 3x2 − 18 = y + y 2y + 3y − 18 = z + z 2z + 3z − 18 = x2 + x ❇➔✐ ❣✐↔✐ ✣➦t f (t) = 2t3 + 3t2 − 18 ✈➔ g(t) = t3 + t✳ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ f (x) = g(y) f (y) = g(z) f (z) = g(x) ●✐↔ sỷ x = max {x, y, z} ỗ ♥➯♥ t❛ ❝â g(x) ≥ g(y) ⇒ g(x) ≥ g(z) ⇔ ⇔ ⇔ g(x) ≥❢✭①✮ g(x) ≤ f (z) x2 + x ≥ 2x3 + 3x2 − z + z ≤ 2z + 3z − (x − 2)(x2 + 5x + 9) ≤ (z − 2)(z + 5z + 9) ≥ x≤2 z≥2 11 > ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ R ❱➻ t2 + 5t + = (t + )2 + ◆❤÷ ✈➟② ≤ z ≤ x ≤ ⇒ x = z = 2✳ ❚❤❛② ✈➔♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❛ ✤÷đ❝ y = ❚❤û ❧↕✐ t❛ t❤➜② x = y = z = t❤ä❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ❑➳t ❧✉➟♥✿ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t (x, y, z) = (2, 2, 2) ❉↕♥❣ ✷✳ ❱➟♥ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✾✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ √ √ √ √ x + y + z = 2010 1 = 3x + 2y x + 2y + 2z ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x, y, z ≥ ✈➔ x2 + y + z = ✹✵ ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â ✿ 1 2(2x + 2y + z) + = 3x + 2y x + 2y + 2z (3x + 2y)(x + 2y + 2z) 2(2x + 2y + z) ≥ 2(2x + 2y + z)2 1 ⇒ + ≥ 3x + 2y x + 2y + 2z x + 2y + 2z ỵ tữỡ tỹ t ữủ + ≥ 3y + 2z y + 2z + 2x z + 2x + 2y 1 + ≥ 3z + 2x z + 2x + 2y y + 2z + 2x ❙✉② r❛ ✿ 1 + + 3x + 2y 3y + 2z 3z + 2x 2 + ≥ x + 2y + 2z z + 2x + 2y y + 2z + 2x ❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ x = y = z ❚❤❛② ✈➔♦ ❤➺✱ t❛ ❝â √ √ 2010 670 x = 2010 ⇔ x = = 670 670 670 ❱➟② ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ (x, y, x) = , , 3 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✵✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ √ 6x2 + x3 − 6x + = (x2 + 2x − 6)(x3 + 4) 2 x+ =1+ x y ❇➔✐ ❣✐↔✐ >0 x ⇒x>0 ❚ø (3.27) ⇒ x + ⇒ x3 + ✭✸✳✷✼✮ ✹✶ √ ❉♦ ✤â x2 + 2x − ≥ ⇔ x > − 1✳ ❑➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x3 − 6x + ≥ t❛ ✤÷đ❝ √ 21 − x≥ ✭✸✳✷✽✮ ❇➙② ❣✐í sû ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â x3 − 6x + = (x − 1)(x2 + x − 5) (x − 1) + (x2 + x − 5) x2 + 2x − ≤ = 2 ❱➔ x2 = √ x6 = x3 x3 + + x3 + x3 x3 ≤ = 2 3 ❙✉② r❛ √ 6x2 x3 − 6x + ≤ (x2 + 2x − 6)(x3 + 4) tữỡ ữỡ ợ x = x2 + x − ⇔ x = 2( t❤ä❛ (3.28)) x3 =4 ❚❤❛② x = ✈➔♦ ✭✷✮ t❛ ✤÷đ❝ y = ⇔ y = ±1 ❱➟② ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠ (x, y) = (2, 1), (2, −1) ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✶✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✿ √ √ √ x+a+ y+a+ z+a=3 √ √ √ a−x+ a−y+ a−z =3 a2 + a a −1 a tr♦♥❣ ✤â ❛ ❃ ✶ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ x, y, z ≤ a✳ √ √ √ √ √ √ ✣➦t A = x + a+ y + a+ z + a, B = a − x+ a − y+ a − z ✹✷ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✲❙❝❤✇❛r③✱ t❛ ❝â A2 ≤ 3(3a + x + y + z) ✭✸✳✷✾✮ B ≤ 3(3a − x − y − z) ✭✸✳✸✵✮ ❈ë♥❣ ✈➳ t❤❡♦ ✈➳ t❛ ✤÷đ❝ A2 + B ≤ 18a ✭✸✳✸✶✮ ▼➦t ❦❤→❝ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❤➻ a2 + a2 − 2 A + B = 9( + ) = 18a a a ❉♦ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✸✶✮ ①↔② r❛ ⇔ ✭✸✳✷✾✮ ✈➔ ✭✸✳✸✵✮ ❧➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ √ √ √ x+a= y+a= z+a= a2 + 1 a ⇔ x = y = z = √ √ a √ a−x+ a−y+ a−z = a −1 a 1 ❱➟② ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t (x, y, z) = , , a a a ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✷✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ √ √ √ 2011 + x1 + + x2 + + + x2010 = 2010 2010 √ √ √ 2009 − x1 + − x2 + + − x2010 = 2010 2010 ❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤➽❛✿ −1 ≤ xi ≤ 1(i = 1, 2, , 2010) ❚❛ ❝â ✿ 20102 √ √ √ 2011 = ( + x1 + + x2 + + + x2010 )2 2010 ≤ 2010(2010 + x1 + x2 + + x2010 ) ❙✉② r❛ x1 + x2 + + x2010 ≥ ▲↕✐ ❝â ✿ √ √ √ 2009 20102 = ( − x1 + − x2 + + − x2010 )2 2010 ✭✸✳✸✷✮ ✹✸ ≤ 2010(2010 − x1 − x2 − − x2010 ) ♥➯♥ x1 + x2 + + x2010 ≤ ✭✸✳✸✸✮ ❚ø ✭✸✳✸✷✮✮ ✈➔ ✭✸✳✸✸✮✮ s✉② r❛ x1 + x2 + + x2010 = ✈➔ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ + x1 = + x2 = = + x2010 − x1 = − x2 = = − x2010 x + x + + x 2010 = ⇔ x1 = x2 = = x2010 = 2010 ✹✹ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✈ỉ t➾ ✤➣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ✣÷❛ r❛ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝✳ ✷✳ ✣÷❛ r❛ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝✳ ✸✳ ❳➨t ♠ët sè →♣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❦❤↔♦ s→t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✳ ✹✺ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✶❪ ❚r➛♥ ◆❛♠ ❉ơ♥❣ ✭✷✵✶✶✮✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤ì♥ t ỳ ố ỗ ự ỗ ữỡ ♣❤→♣ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ t♦→♥ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✱◆❳❇ ❚r➫✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ✣➳ ✲ ❱ơ ❍♦➔♥❣ ▲➙♠ ✭✷✵✵✶✮✱ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤❛② ✈➔ ❦❤â✱◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❬✹❪ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ▲✐➯♠ ✭✷✵✵✽✮✱ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✶✾✾✸✮✱ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✻❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✷✵✵✷✮✱ ✣❛ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ✈➔ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❤ú✉ t✛✱◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❬✼❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✷✵✵✹✮✱ ❇➜t tự ỵ ◆❣✉②➵♥ ❱ô ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✵✵✮✱ ✷✻✸ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ồ ố ố ỗ ▼✐♥❤✳ ... Bất đẳng thức Karamata 17 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỈ 18 2.1 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VỚI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 18 2.2 CÁC BÀI...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỶ Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13... ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 15 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 15 1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiacovki 15 1.3.3 Bất đẳng thức Holder 16 1.3.4 Bất đẳng thức Mincovski 16 1.3.5 Bất