SKKN ve BDT

Sau khi tìm được một phương pháp để giải một bài toán nào đó ta cần ghi nhớ phương pháp đó và thử vận dụng phương pháp đó để giải các bài toán khác; Đồng thời ta nên thử xem liệu có thể [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH



TÊN ĐỀ TÀI:

KHAI THÁC VIỆC CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC

TỪ MỘT PHƯƠNG PHÁP CŨ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I MỞ ĐẦU

Nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm kỹ giải dạng tâp

khó kỳ thi là: Dạng tốn chứng minh bất đẳng thức (hay tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất) Để giải tốn việc tìm cách giải phù hợp cần thiết, không nên bỏ qua

phương pháp cũ, biết "Khai thác việc chứng minh bất đẳng thức từ một

phương pháp cũ" giúp học sinh có cách học phù hợp giải dạng toán

II CƠ SỞ LÝ LUẬN

Để chứng minh A B số trường hợp ta nghĩ đến

phương pháp sau: "Tìm C chứng minh A C C B " Nhưng

vấn đề quan trọng tìm C Để tìm C nhiều ta phải mị mẫm, dự đoán, dựa vào số phương pháp biết, Trong viết tơi xin đưa cách tìm C dựa vào phương pháp cũ biết

B NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

Bổ đề "Trong số x ,x , x1 3 tồn hai số x ,xi j(i j thuộc

tập



1;2;3



) cho: i j x a x a     

i j x a x a     

(a số thực bất kỳ)"

Chứng minh: Không tính tổng qt ta giả sử x1 x2 x3

Nếu x2 athì x1 a x2 a, ta có điều phải chứng minh

Nếu x2 athì x2 a x3 a , ta có điều phải chứng minh

Bổ đề "Nếu x a

y a

  





x a y a     

2

xy a(x y) a   ".

Chứng minh: Từ giả thiết ta có (x a)(y a) 0   hay xy a(x y) a2

  

(đpcm)

Vận dụng hai hai bổ đề để chứng minh số bất đẳng thức

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho x, y,z số dương Chứng minh ta có bất đẳng

thức: xyz 2(x2 y2 z ) 5(x y z)2

       Đẳng thức xảy nào?

Chứng minh:

Theo bổ đề vai trò x, y,z bình đẳng nên khơng tính tổng

quát ta giả sử x

y

  





x y    

 Khi theo bổ đề ta có:

xy x y 1    xyz xz yz z (vì z 0)   

xyz 2(x2 y2 z ) xz yz z 2(x2 y2 z ) 82

            (1)

Ta chứng minh: xz yz z 2(x2 y2 z ) 5(x y z)2

         (2)

Thật vậy:

2 2 2

(2) (x y 2)  (x z 2)  3(x 1) 3(y 1) 2(z 1) 0,

Từ (1) (2) suy ra: xyz 2(x2 y2 z ) 5(x y z)2

       (đpcm)

Nhận xét: Trong ví dụ A xyz 2(x2 y2 z ) 82

     ; B 5(x y z)   ; 2

C xz yz z 2(x    y z ) 8

Ví dụ 2 Cho x, y,z số thực không âm Chứng minh ta ln có

bất đẳng thức: 5(x3 y3 z ) 3xyz 9(xy yz zx)3

       Chứng minh:

Theo bổ đề vai trò x, y,z bình đẳng nên khơng tính tổng

qt ta giả sử x

y

  





x y

  



 Khi theo bổ đề ta có:

xy x y 1    3xyz 3xz 3yz 3z (vì z 0)   

5(x3 y3 z ) 3xyz 5(x3 y3 z ) 3xz 3yz 3z 93

            (1)

Ta chứng minh: 5(x3 y3 z ) 3xz 3yz 3z 9(xy yz zx)3

         (2)

Thật vậy:

3 3

(2) 5(x y z ) 9xy 6yz 6zx 3z   

Mà theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

3

3

3z z 1.1 z   1 (3)

3 3 3

3

3xz x z x  z  1 6xz 2x 2z 2 (4)

3 3 3

3

3yz y z y  z  1 6yz 2y 2z 2 (5)

3 3 3

3

3xy x y x  y  1 9xz 3x 3z 3 (6)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều (3), (4), (5) (6) ta có:

3 3

5(x y z ) 9xy 6yz 6zx 3z   

Từ (1) (2) suy 5(x3 y3 z ) 3xyz 9(xy yz zx)3

       (đpcm)

Bài toán: Cho x, y,z số thực khơng âm thỗ mãn x y z 1   .

Chứng minh rằng: 4(xy yz zx) 9xyz    Đẳng thức xảy nào?

Chứng minh:

Theo bổ đề vai trị x, y,z bình đẳng nên khơng tính tổng

quát ta giả sử

1 x y          x y         

Khi theo bổ đề ta có:

9xy 3x 3y 1    9xyz 3xz 3yz z (vì z 0)   

 1 9xyz 3xz 3yz z    (1)

Ta chứng minh: 3xz 3yz z 4(xy yz zx)      (2)

Thật vậy:

(2) z z(x y) 4xy

1 z z(1 z) 4xy (Vì x y z 1)

    

       

2

(1 z) 4xy

  

(x y) 4xy (Vì x y z 1)

     

(x y)2 0

   ,

Từ (1) (2) suy 4(xy yz zx) 9xyz    (đpcm).

Đẳng thức xảy x y z

3

   x y 1,z

2

  

1

x z , y

2

   y z 1, x

2

   Nhận xét:

1) Trong ví dụ thay x, y,z a b c, ,

k k k (k la số thực dương), ta có

bất đẳng thức: "Nếu a,b,c số thực khơng âm thỗ mãn a b c k  

thì 4k(ab bc ca) k3 9abc

2) Từ ví dụ kết hợp với bất đẳng thức Cô si ta tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ biểu thức: A mxyz xy yz zx    , với x, y,z là

các số thực khơng âm thỗ mãn x y z 1   (m số thực cho trước) như

sau:

 Theo ví dụ ta có:

9

xy yz zx xyz

4

   

Suy

9 9

A xy yz zx xyz (m )xyz (m )xyz

4 4

        

Nếu m

4

  hay m

4



3

9 x y z m

(m )xyz (m )

4 12 27

 

 

      

 

Do A m

27



 Đẳng thức xảy chẳng hạn x y z

3

  

Nếu m

4

  hay m

4

  (m 9)xyz

4

 

Do A

4

 Đẳng thức xảy chẳng thạn x y 1,z

2

  

 Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

3

xy yz zx (x y z)(xy yz zx) xyz3 xyyzzx 9xyz        

xy yz zx 9xyz

    

Suy

A xy yz zx 9xyz (m 9)xyz (m 9)xyz       

Nếu m 0  hay m9 (m 9)xyz 0 

Nếu m 0  hay m 9

3

x y z m

(m 9)xyz (m 9)

3 27

  

 

     

 

Do A m

27



 Đẳng thức xảy chẳng hạn x y z

3

  

* Từ ta có bất đẳng thức:

"Nếu x, y,z số thực không âm thỗ mãn x y z 1   thì:

a) m mxyz xy yz zx

27



     (Trong m số thực cho trước,

m 9)

b) mxyz xy yz zx

4

     (Trong m số thực cho trước,

9 m

4

   )

c) mxyz xy yz zx m

27



     (Trong m số thực cho trước,

9 m

4

 )"

* Áp dụng nhận xét ta có toán:

Bài Cho x, y,z số thực khơng âm thỗ mãn x y z 1   , chứng

minh xy yz zx

27

   

Bài Cho x, y,z số thực khơng âm thỗ mãn x y z 1   , chứng

minh x3 y3 z3 3xyz 1

9     

Bài Nếu a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi

1

ab bc ca 2abc

Bài Cho tam giác ABC có chu vi Chứng minh rằng:

3 3

2

a b c 3abc

9    4

Bài Cho tam giác ABC có chu vi Chứng minh rằng:

2 2

52

a b c 2abc

27     

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho x, y,z số thực khơng âm thỗ mãnxy yz zx xyz 4    .

Chứng minh rằng: x y z xy yz zx     Đẳng thức xảy khi

nào?

Bài 2 Chứng minh x, y,z số thực khơng âm thỗ mãn điều

kiện:x2 y2 z2 xyz 4

    ta có xy yz zx xyz 2     .

Bài 3 Cho x, y,z



0;1



thoả mãn xyz (1 x)(1 y)(1 z)    Chứng minh

rằng: x2 y2 z2

4

  

Bài 4 Cho ba số thực x, y,z thoả mãn xyz 1 Chứng minh rằng: 2 2 2

x y y z z x  3 2(x y z) 

Bài 5 Cho ba số thực x, y,z Chứng minh rằng:

2 2

(x 2)(y 2)(z 2) 3(x y z)  

C KẾT LUẬN

giải toán Nhưng biết vận dụng linh hoạt giải nhiều tốn phương pháp Nếu nắm "chìa khố tốn" giải tốn cách quen thuộc, từ ta xây dựng toán

Rất mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện