Suy nghi ve cach day va hoc Toan Nguyen Tien Minh

§µnh r»ng muèn cã häc sinh giái th× ThÇy ph¶i ®äc nhiÒu,lµm nhiÒu, trang bÞ nhiÒu kiÕn thøc kü n¨ng cho häc sinh.Trong khi trß ( thËm chÝ c¶ ThÇy ) cha t×m ®îc lêi gi¶i cña mét bµi t[r]

C NG C C BÙ Á ẠN TRẺ DẠY TỐN THCS BÌNH THỊNH!

-*** -I

Dạy cho học sinh tập đến tập khác ý đến số lợng mà thiếu dạy t nhiều vơ ích Đành muốn có học sinh giỏi Thầy phải đọc nhiều,làm nhiều, trang bị nhiều kiến thức kỹ cho học sinh.Trong trò ( chí Thầy ) cha tìm đợc lời giải tốn việc hớng dẫn cho trị nghiên cứu lời giải thơng qua tài liệu điều cần làm Điều có ý nghĩa hiểu đựơc khâu “ chốt ” có tính định lời giải Kèm theo phải có thái độ nhận xét , phê phán khơng thỗ mãn điều cịn hạn chế theo nhiều nghĩa : ví dụ nh lời giải cịn cha đợc tự nhiên, cha có tính tổng qt, vv Để từ tìm cách khắc phục, tìm lời giải tốt đến toán tổng quát Sau ví dụ nhằm minh hoạ cho ý tởng nhằm góp phần rền luyện lực giải toán cho hoc sinh

II C¸c vÝ dơ.

Bài tốn sau bạn gặp với nhiều cách giải : Bài toán I. Cho số thực a, b , c thoã mãn:

  

  

 

2 , ,

c b a

c b a

Chøng minh P=a2 b2 c2  

5 

Trc hÕt chóng ta xÐt mét lêi gi¶i sau toán Lời giải1.

Do vai trị bình đẳng nh a, b, c nên ta giả sử: abc Từ ta có :

2

3abc a a (1)

  (3 ) )

0 (

2 2 2

2 2 2

          

     

 P a b c a b c bc bc a b c a a a a

9 2

  

 P a a =2a2  6a952(a2 3a2)5 (do (1) )

Dễ thấy dấu “ = ‘’ toán xẩy ( a; b; c ) = ( 2;1; ) ( có số 2, số số ) Rõ ràng lời giải ngắn gọn! Đọc kỹ lời giải ta rút đợc số nhận xét sau

Nhận xét 1: - Khâu chốt định lời giải là: 2) Sử dụng tính bình đẳng biến.

1) đa đợc đánh giá : b2 c2 b c2  

 (*)

dÊu ‘ = ‘’ ë (*)   

  

0 c b

3) Với b c không lúc (*) khơng xây đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài toán sao? ta xét bi toỏn sau õy.

Bài toán II Cho sè thùc x, y , z tho· m·n:   

  

 

12

5 ; ;

z y x

z y x

Chøng minh P = x2 y2 z2



 50

Ta tìm cách đa giả thiết đoạn có cận trái để sủ dụng (*) với lời giải sau Lời giải: Đặt:

    

 

 

 

3 3

z c

y b

x a

Do 3x , y , z5  0a;b;c2 a+ b + c = Theo toán ta sÏ cã:

 3  3  3 6  27

5 2 2 2

2 2

                

b c x y z x y z x y z

a

50 2

  

 x y z Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có số 5, số số )

Nhận xét 2 Theo dõi qua trình giải tốn ta thấy bất đẳng thức tổng quát cho mở rộng (*) là: xk a1k a2k  ank xa1a2 ankx0;ai 0.(kN;) Dấu “ = ” 

 

   

  

0

0

3

2 n

i

a a

a

a

(**)

Bất đẳng thức chứng minh dễ dàng Từ ta đề xt tốn tổng qt sau:

Cho n+1 sè x;a1;a2; an ( n> 2)·tho· m·n:                     a n b a b b a a a x n i a a x n i ) ; ( ; ;

1 > a>

HÃy tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P = xk a1k a2k ank với k số tự nhiên ;

2  k

Với giả thiết toán nhng thay P biểu thức khác mà biến có vai trị bình đẳng ta đợc lớp tốn tơng tự nhng đầy tính sáng tạo giải

Bài toán III. Cho phơng trình:

x c bx

ax2    (*) vµ aax2bxc2bax2bxccx (**) Chøng minh r»ng:

1) PT (*) cã nghiệm PT (**) có nghiêm

Lời giải:

Thật giả sử (*) có nghiệm tức tồn t¹i x0:ax02 bx0cx0 Suy ra:

aax02bx0cb(ax02bx0c)cax02 bx0cx0nghĩa PT(**) có nghiệm x0.Từ ta có mệnh đề 1) đợc chứng minh

B©y giê cã thĨ cho häc sinh c©u hái sau:

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện a,b, c để phơng trình (**) có nghiệm? Câu hỏi 2: Tìm điều kiện a,b, c để phơng trình (**) vơ nghiệm?

- Sai lầm học sinh trả lời câu hỏi : “ Điều kiện để (**) có nghiệm phơng trình (*) có nghiệm

- Sai lầm học sinh trả lời câu hỏi là: “ Điều kiện để (**) vơ nghiệm phơng trình (*) vơ nghiệm

 Thực mệnh đề 1)  mệnh đề: “ Phơng trình (**) vơ nghiệm  PT (*) vơ nghim

Nh việc trả lời câu hỏi cha có sở

Vi câu hỏi thực chất tìm đk cần đủ a, b, c để phơng trình (**) vơ nghiệm ( có nghiệm)

Nh lời giải khơng có hiệu lực để trả lời câu hỏi 1) 2) Ta phải tìm h-ớng khác để giải

Để giải (**) ta đa (**) hệ đối xứng cách đặt : y ax2 bx c  

 Khi (**) tơng

đơng với:                                              ) ( ) ( ) )( ( 2 2 y c bx ax b ay ax y c bx ax y x b ay ax y x y c bx ax y c bx ax x c by ay

VËy (**) v« nghiÖm     vn vn ) ( ) ( (1)          ) ( ) (

2 x b c

ax y x V« nghiÖm ) ( ) ( 0 ; ; 0 ) ( 2 I ac b a c b a vn c b x ax                                                  4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; )

( 2 2 2 2 2

ac b ac b a vn a b a x a ab x a b a vn

    

 

  

) (

0 ; ;

2 ac

b

c b a

Chú ý điều kiện cần đủ để (*) vô nghiêm Nhng kết luận học sinh “ hú hoạ “ mà thơi

Từ ta có mệnh đề sau : “ pT (**)  PT (* ) ” “ PT (**) cú nghim (*)cú nghiờm.

Từ kết ta sáng taọ nhiều toán giải phơng trình hấp dẫn II Các ví dụ áp dụng.

Ví dụ Giải phơng trình: x2 x 22 x2 x 2 2 x.      

 (1) cã d¹ng (**)

Ta xét phơng trình : x x 2 x.

(2) có dạng (*) a=1; b = -1; c=2 Do (2) x2 2x20v« nghiƯm vËy (1) vô nghiệm.

Ví dụ Giải phơng trình : 2 4 4 4 0.    

 x x x

x (3)

Tríc hÕt ta viÕt x4 2x3 4x24x40 x4 2x3 4x2 5x4x.Bây ta tìm số m vµ n cho: x4 2x3 4x25x4x2mxn2mx2 mxnn.

Bằng cách đồng hệ số đa thức vế ta có hệ:

  

 

   

     

  

 

   

 

2

5

4

2

2

2

n m n

mn n

m mn

n m m

m

x  x   x  x  x



 (3) 2 2 2

Do phơng trình x2 x 2x x2 2x 20 Đây nghiệm (3) Từ đó: ( 3)  x2 2x 2x2 20 x1 1 3;x2 1 3;x3  2;x4 

Ví dụ Phơng trình sau có nghiƯm hay kh«ng:

x2 x122x2 x11 x

Đkiện x0

Đặt ( 0) 2

      

t t x x t t

x Phơng trình cho có dạng:

.(*) ) ( )

(t2 t t2 t t

Xét phơng trình: t2 2t1t ( 1 0   

 t t ) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm Vậy ph-ơng trình cho vơ nghiệm

III Kết luận Trên câu chuyện dạy học tốn theo lối suy nghĩ tơi làm Hiện tài liệu toán thật nhiều Nhng ý tởng dạy rèn luyện t phải thực theo đờng theo kiểu chạy tìm biển ,bởi tốn mênh mơng nh bin c

Bài viết dừng lại

Sau số tập tự giải mà trình hình thành trình suy luận Một số tập.

1 Cho sè thùc a, b , c tho· m·n:   

 

  

 ; , ,

c b a

c b a

Chøng minh: 4 17  

b c

a

Cho sè thùc a, b, c tho· m·n:   

  

 

6 ; ;

c b a

c b a

Chøng minh r»ng 3 36.  

b c

a

3 Cho sè thùc a, b, c, d tho· m·n :   

   

 

8 , , ,

d c b a

d c b a

Chøng minh: a) 2 2 32.   

b c d

b) 3 3 128.   

b c d

a

4.Cho sè thùc a,b , c tho· m·n :   

 

  

 ; , ,

c b a

c b a

Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc

      ( §s: MaxP = )

5.Cho sè thùc a, b , c ,d tho· m·n:   

 

   

 ; ; ; ;

d c b a

d c b a

Tìm giá trị lín nhÊt cđa P =

) (

2 ) (

) (

) (

)

( 2

2 b c d b c d a c d a b d a b c abc bcd cda dab

a               

(§s: Max P = 128) Giải phơng trình sau:

9  x  x   x

7 Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm:  42 2( 1) 4       

mx mx m x m

x

(NguyÔn TiÕn Minh THPT Hång Lam )