Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi số chính phương đó là abcd. Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương. Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương.. Chứng [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Để cm mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta thử trực tiếp với số tự
nhiên tập hợp số tự nhiên vơ hạn Song ta tiến hành bước kiểm tra sau
Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra mệnh đề với n=0
Bước 2 : Rồi ta chứng : Từ giải thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k 0
bất kì suy với n=k+1
Ví dụ : Chứng minh với số tự nhiên n 2 ta có đẳng thức :
an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +… + bn-1) Chứng minh
Ta chứng minh phương pháp qui nạp * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b)
* Giả sử đẳng thức n=k Tức ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)
Ta cần chứng minh với n=k+1 Tức C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk)
Thật ta có :
VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +…
+ bk-1)
= (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP
Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức với n
Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n =
2 1) n(n
Bài 2: Chứng minh với n N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2 =
1)(2n ) n(n
Bài 3: Chứng minh với n N biểu thức Un=13n -1 chia hết Bài 4 : Chứng minh với số tự nhiên n ta có 2n > 2n+1
Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.32n 2 32n 36 64
Bài 6 : Chứng minh với số tự nhiên n 1 ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n) 1.3.5… (2n-1)
Bài 7 : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: n3+2n 3 Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: 16n 15n 225
TÍNH CHIA HẾT A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN
1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b0) Tồn cặp số nguyên (q, r) cho a = bq + r với 0 r b
(2)* Nếu r phép chia a cho b có dư Tính chất qua hệ chia hết:
a a
a b b a a = b a b b c a c
a m ka m ak m a m, b m ab m
ab m mà a m b m a m, b n ab nm a m an mn
an m, m nguyên tố a m
a m, a n mà (n, m) = a mn
a m, a n, a k; n, m, k ngun tố sánh đơi a mnk a m, b m ab m
* Trong n số nguyên liên tiếp (nN*) có số chia hết cho n
* Trong n+1 số nguyên (nN*) chia cho n có hai số chia cho n có số dư
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố p ta xét trường hợp số dư n chia cho p
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi nguyên tố chứng tỏ A(n) chia hết cho thừa số
* Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho m
PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
1/Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5
n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho
b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia
hết cho
c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia
hết cho
d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia
hết cho
e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia
hết cho
2/Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q
a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q
b/ Nếu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q
(3)4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn a – b ( ab) n bất kỳ.
an – bn a – b ( a- b) n chẵn
an + bn a + b ( a- b) n lẻ. 5/ Chứng minh quy nạp toán học :
Bài Chứng minh :
a) n5 - 5n3 + 4n 120 ; với n Z
b) n3-3n2-n+3 48 ; với n lẻ
c) n4 + 4n3 -4n2 -16n 384 với n chẵn
Bài CMR: a) n4 n 122
b) n(n 2)(25n 21) 24 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5
giống
d) (a b) 6 (a3b ) 63 e) Cho n > (n, 6) = CMR n2 1 24
g) 32n 1 2n 2
f) 32n 2 2 6n 1 11
B, CHIA HẾT ĐA THỨC :
1 Ta sử dụng định lý Bơ zu :
Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a
Từ ta có hệ : Đa thức f(x) ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức
Từ suy :
Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x –
Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ
f(x) ( x + 1)
2.Đa thức bậc trở lên :
Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia
Cách : Xét giá trị riêng
3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác :
Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia
Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x)
+ g(x)g(x) f(x) - g(x)g(x).
(4)BÀI TẬP
Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a (x-3)
b) 2x2 + x + a (x+3)
c) x3 + ax2 - (x2 + 4x + 4)
d) 10x2 - 7x + a (2x - 3)
e) 2x2 + ax + chia cho x - dư 4
g) ax5 + 5x4 - (x-1)
Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x -
dư -5
Bài Tìm n Z để : a/ n2 + 2n – 11
b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n –
c/ n3 – n – 2
d/ n3 - 3n2 + 3n - n2 +n + 1
e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + n4 –
Bài 4: Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + 1
Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + x20 + x10 + 1
b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + 1
c/ x10 - 10x + (x – 1)2
d/ 8x9 - 9x8 + (x – 1)2
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN
1 Dạng 1: Phương trình bậc nhất.
a Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên)
* Cách giải: - Tách cá hệ số tổng số chia hết cho a b (Số có GTTĐ lớn hơn)
- Sử dụng dấu hiệu tính chất chia hết tổng để tìm ẩn Thay nghiệm vừa tìm vào phương trình ban đầu tìm nghiệm cịn lại
- Kết luận nghiệmBài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x + 3y = 11
Giải:
Cách 1: 2x + 3y = 11 y
x y
2
x nguyên y hay y = 2t + t
x = – 3t
(5)x – 3t y 2t
t Z
Cách 2: 2x + 3y = 11 d = (a, b) = (2, 3) = nghiệm riêng: (x0, y0) = (4, 1)
1
1 a a
d b b
d
nghiệm tổng quát
0 1 x x b t
y y a t
Vậy nghiệm phương trình là:
x – 3t y 2t
Ví dụ Giải phương trình: 11x + 18 y = 120
Hướng dẫn giải
11x + 18 y = 120 11x + 22y – 4y = 121 –
11(x + 2y -11 ) = 4y –
1 4y – 11 => 12y – 11
y – 11 => y = 11t + (t Z) x = – 18 t
1 Vậy nghiệm pt là:
6 18 11
x t
y t
(t Z )
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 12x + 7y = 45 (1)
Hướng dẫn giải
Theo cách giải ta tìm nghiệm nguyên phương trình (1)
7 12 27 12
x t
y t
Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có:
7 12 27 12
x t
y t
=> t =
Vậy nghiệm nguyên phương trình
2
x y
b Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên)
Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 6x + 15y + 10 z = (1)
Hướng dẫn giải
2 (1) 3(2x +5y +3 z-1) = - z
=> z3 => z = 3t (t Z) Thay vào phương trình ta có: 2x + 5y + 10t = (t Z)
Giải phương trình với hai ẩn x; y (t tham số) ta được:
Nghiệm phương trình: (5t – 5k – 2; – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý
Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn
(6)5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11
2 3
x x
x x
(Do x nguyên nên 2x + khác 0)
Vì y nguyên => x + 2x + => … 2x + Lập bảng ta có: cặp (x; y) là: 1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại giá trị
Cách 2 Đưa phương trình ước số:
Cách 3: Coi phương trình bậc hai ẩn x, y số biết Đặt ĐK để có x ngun
Ví dụ Tìm nghiẹm nguyên phương trình x 2 + 2y2 +3xy –x – y + =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ ví dụ
3 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn
Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Hướng dẫn giải
Phương trình (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2
Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a 2 (*)
Ta có: a2 – = y2 GiảI phương trình cách đưa phương trình ước số: => nghiệm
phương trình (1)
Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x3 - y3 = xy + (1)
Hướng dẫn giải
Ta có: x y x 2xy y 8 Ta có x khác y x = y => x2 + = Vơ lý.
Vì x; y ngun => x y 1 => x2xy y xy8 => x2 + xy + y2 xy8 (2)
Nếu xy + < 0=> (2) (x + y)2 -8 Vô nghiệm Nếu xy +8 > => (2) x2 + y2
=> x2 , y2 0;1; 4 Từ tìm Hai nghiệm ngun (1) là: (0; - 2); (2; 0) 4 Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình:
1 1 6
x y xy (1)
Hướng dẫn giải
Đặt điều kiên sau đưa phương trình ước số Tìm hai nghiệm (43; 7); (7; 43)
Ví dụ Tìm x nguyên cho
17
x
x bình phương phân số
(7)Giả sử
17
x
x =
2
a
b Với a, b nguyên, b khác (a, b) = 1.
Nếu a = => x = 17
Nếu a khác Ta có (a2, b2) = => x – 17 = a2.k; x – = b2.k (k nguyên)
Từ ta có: = (a + b).(b – a).k
Lập bảng tìm nghiệm phương trình x =17; 18;
5 Dạng 5: Phương trình dạng mũ. Ví dụ Tìm số tự nhiên x, y cho: 2x + = y2 (1)
Hướng dẫn giải
3 Nếu x = => y2 = => y = y = -2.
4 Nếu x = => y2 = Vô nghiệm nguyên.
5 Nếu x 2 => 2x Do vế tráI chia cho dư mà y lẻ (Do 1) => y2 chia dư => Vô lý
6 Vậy nghiệm nguyên (1) là: (0; 2); (0; -2)
II BÀI TẬP:
1 Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + 3y = 11
b) 3x + 5y = 10
2 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: 4x + 5y = 65
3 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên số chia hết cho 7, số chia hết cho 11 Tìm số nguyên dương bé chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11
5 Có 37 táo có số nhau, 17 hỏng, số cịn lại chia cho 79 người Hỏi có quả?
BẤT ĐẲNG THỨC
I. Tính chất BĐT:
a) a < b, b < c a < c b) a < b a +c < b+ c. c) a< b a.c < b.c (với c > 0) a< b a.c > b.c (với c < 0) d) a < b c < d a+c < b + d.
e) < a < b < c < d a.c < b.d f) a b a2n1b2n1 n
(8)0a b 2na2nb n
II BĐT Cauchy: (Cô–si) a,b
a b
ab
Đẳng thức
a b ab
xảy a = b
a, b, c
a b c
abc Hệ quả:
1 a +
a , a 0 III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a)|x| 0,|x| x, |x| -x
b) |x| a -a x a ( với a > 0) |x| a x -a x a
c) |a|-|b| |a+b| |a| + |b|
II BĐT Bunhinacôpxki
Cho a, b, x, y số thực, ta có:
)( )
(a2 b2 x2 y2
(ax + by)2
Đẳng thức xảy khi:
a b x y
Tổng quát: Cho 2n số thực: a a1, , , ; , , ,2 a b bn bn
Ta có:
1 2
|a b a b a bn n| 2 2 2
1 2
(a a an)(b b bn)
Dấu “=” xảy khi:
1 2
n n
a a a
b b b
III. BĐT Becnuli
Cho a > -1, n N* : (1+ + a)n + na
Đẳng thức xảy a = n =
2 Bất đẳng thức Cô-si mở rộng:
Cho n số không âm: a1; a2; …; an Ta có:
1 2
a a
n n
a a n a a a
Dấu “=” xảy
1
a a an
Bài 1:
Cho hai số dương a b Chứng minh : (a+b)( b
1 a
)
Giải:
(9)(a+b) ab 1
+ a b ab
1 1
(a+b) 2 =4 a b ab ab
Dấu “=” xảy v khi:a= b
Bài 2: Với a, b,x,y, thuộc
Chứng minh rằng:
2 2
|ax by| a b x y
Áp dụng :
1. Cho x2 + y2 =1 , chứng minh - 2 x+y
2. Cho x+2y = , chứng minh x2 + y2
4
Bài 3
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a b c 1
a b c
Bài 4: Cho
3
ab+bc+ca , , C/m:
3
a b c abc
Bài 5: Cho a,b,c >0 C/m:
ab bc ca
a b c c a b Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1
Chứng minh rằng:
1 1 1 64
a b c
Bài 7: CMR với số a, b, x, y ta có:
)( )
(a2 b2 x2 y2
(ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào?
Bài 8: Cho a, b, c, d > Cm:
a cb d
cd
ab
Bài 9: CM bất đẳng thức:
2 2
2
2 b c d a c b d
a
Bài 10: Cho a, b, c số dương cm BĐT
2
2 a b c
b a
c a c
b c b
a
Bài11: CM với n nguyên dương thì:
2
1 1
n n
n
Bài 12: Cho a3 + b3 = Cmr: a + b 2.
(10)CMR số a, b, c thuộc đoạn
0 ;
4
Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 5.
Bài 15: Cho a, b hai số thỏa mãn đi: a + 4b = CM: a2 + 4b2 5
1
Dấu “=” xảy nào?
Bài 16: CM:
1
2 2
2 2 2
Bài 17: Chứng minh:
a) (a2 b2)(x2 y2) (ax + by)2
b) 0 x 2 4 x2
Bài 18: Cho a, b, c > Cm:
3
a b
c a c
b c b
a
Bài 19: Cho 100
1
1
S
CMR: S không số tự nhiên
Bài 20: a) Cho x, y dương CMR: x y xy
4 1
Dấu xảy nào?
b) Tam giác ABC có chu vi
c b a P
a p b p c a b c p
1 1 1
1
Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 21: a) CM x > ta có: x 12
x
b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: 1
2
a b b
a P
Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR a, b, c > a + b + c =
1 1
c b
a .
Bài 24: CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
(11)CMR: 8 2
a b
Dấu xảy nào?
Bài 28: CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT:
2 1
b a b a Bài 29: CMR nếu:
a) 1a5 3 a 14 5 a 10
b) a + b 0;b10;ab2 a1 b12
Bài 30: Cho biểu thức
4
5
3
1
4
1
P
x x x x x x
x x x x x
CMR:
32 0P
với x1.
Bài 31: a) Cho a, b, k số dương
a b
:
a a k Cmr
b b k
b) Cmr a, b, c độ dài cạnh tam giác thì: a b
c a c
b c b
a
< 2.
Bài 32: Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = CMR :
1 1
1
b a
Bài 33: CM B ĐT sau với x, y số thực khác 0:
x y y x x
y y x
3
2 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG , NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
1) Định nghĩa: Là số có dạng n n2, .
2) Tính chất:
1 Số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho dư
2 Nếu a=3k
2 0 mod 9
a ; Nếu a3k a2 1 mod 3
3 Giữa bình phương hai số nguyên liên tiếp khơng có số phương
4 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; có
chữ số tận 2, 3, 7,
5 Nếu hiệu hai số nguyên 2n tích chúng thêm n2 số phương
6 Nếu ab phương, (a,b)=1 a phương b phương
HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy a=a
1d; c=c1d, (c1, d1)=1do ab=c12d
+ Do a d c1 12 bc12vi a c 1, 1 1
+ Do
2
2 2
1 , , 1 ;
c c d b c b vi b d b a b c a d
b
(12)7 Nếu số phương chia hết cho p, p- nguyên tố số phương chia
hết cho p2 Do số a chia hết cho số nguyên tố p số a không chia
hết cho p2 a khơng số phương.
2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số
phương có dạng 4n + 4n + (n N).
4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số
phương có dạng 3n + (n N).
5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục
Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho
Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A số phương
Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương.
Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2
= (n2 + 3n + 1)2
(13)Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương
Ta có k(k+1)(k+2) =
1
k(k+1)(k+2).4 =
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] =
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
S =4
1
.1.2.3.4 -4
.0.1.2.3 +
.2.3.4.5 -4
.1.2.3.4 +…+4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
1
k(k+1)
(k+2)(k-1) =
1
k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) +
Theo kết k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số =
1 10n
10n + 9
1 10n
+
=
9 10 10 10
n n
n
=
1 10 10
n
n
=
3 10 n
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho
n-1 chữ số
3 10 n
Z hay số có dạng 44…488…89 số phương.
Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 +
2n chữ số n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 6
Kết quả: A =
3 10n
; B =
3 10n
;
Bài 6: Chứng minh số sau số phương:
(14)a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số 0
b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số 5
a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n – 90.10n + 9
= ( 15.10n – ) 2
A số phương
B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )
c 13n + d n2 + n + 1589
Giải
a Vì n2 + 2n + 12là số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
k – n - = n =
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3)2
- 4a2 = 9
(2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết
(2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n = 1
2n + – 2a = a = c Đặt 13n + = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
(y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y – 13
y = 13k (Với k N)
13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8)
n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + (Với k N) 13n + số phương.
a Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(15)Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28
Bài 2: Tìm a để số sau số phương: a. a2 + a + 43
b. a2 + 81
c. a2 + 31a + 1984
Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40
c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương
Với n = 1! = = 12 số phương
Với n = 1! + 2! = khơng số phương
Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương
Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương
Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n =
Bài 4: Tìm n N để số sau số phương:
a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c n2 + 4n + 97 d 2n + 15
Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương
Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006
Như số m n phải có số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn
(m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai
Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương.
(16)Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số A đơn vị ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N 32 < k < m < 100
a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ Ta có A = abcd = k2
B = abcd + 1111 = m2
m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do m – k == 11 m = 56 A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k N, 32 ≤ k < 100
Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 k-10 101
Mà (k-10; 101) = k +10 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91
abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nhau.
Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11
Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn b = 4
(17)Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương.
Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y số phương
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 y phương y = 16
abcd = 4096
Bài tập
1 Chứng minh tổng hai số chẵn liên tiếp khơng phương HD: 2n(2n2) 4 n 2 mod 4
2 Chứng minh tổng bình phương số ngun lẻ khơng phương
HD:
2
2 2
2 2 mod
2 2 mod8
n k
n k l
3 Chứng minh số chẵn khơng phải bội khơng thể phân tích thành hiệu số phương
HD: 2 k1 a2 b2 a b a b
Do vế trái chẵn nên hai số a b có tính chẵn lẻ suy (a-b) (a+b) chẵn Khi vế phải chia hết cho
4 Chứng minh phương trình 13x2 +2 =y2 khơng có nghiệm ngun.
HD: + x y tính chẵn lẻ
+ Khi y chẵn: VP mod ;VT mod ; + Khi y lẻ : VP mod ; VT mod ;
5 Tìm n để 2n 8n5 phương. HD: + n 3 2n8n 5 mod 8
+ n=2: 25 phương + n=0 khơng thoả mãn
6 Chứng minh không tồn n để 24n+41 phương.
HD: G/s 24n+41=t2
+ Nếu t chia hết cho 24n+41=3(8n+13)+2 khơng chia hết cho + Nếu t khơng chia hết cho t2 1 mod 3 8 n13 2 mod 3
7 Chứng minh không tồn n để 7.10n+4 phương.
HD: 7.10n 4 mod 3
8 Chứng minh tích số tự nhiên khác khơng liên tiếp khơng phương HD: có n2 < n(n+1) < n2+2n+1 = (n+1)2
9 Tìm n n2 + 3n phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1
(18)10.Tìm n để n2 + chia hết cho 5.
11 Tìm n để n! + 97 phương.
HD: Nếu n5 n!+97 có tận nên khơng phương.
Nếu n = 24+97 = 121= n2
Nếu 0 n 3 khơng thoả mãn.
12 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp thêm số phương 13.Tổng chữ số số phương 1994 1995 hay
không?
HD: a) N S N( ) mod 3 Vì 1994 mod 3 nên S(N)=1994 N 2 mod 3
b) 1995 chia hết cho 3, 1995 không chia hết tổng chữ số số phương khơng thể 1995
14 Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng phương
HD:
2 2 2 2
2 1 5
n n n n n n
không chia hết cho 25
15 Chứng minh không tồn n để n2+n+2 chia hết cho 3.
HD: G/s n để n2+n+2=3k n2+n+2-3k = có nghiệm nguyên dương
Có 3 4 k 32 số phương Điều vơ lí 2 mod 3
16 Gọi N=2.3.4…Pn tích n số nguyên tố Chứng minh số N,
N-1, N+1 khơng số phương
HD: Nếu N chẵn không chia hết N khơng phương Nếu N+1=k2 k lẻ N=(k-1)(k+1) 4!
Nếu N1 mod 3 th ì N-1 khơng phương
17.Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phương
18.Chứng minh số phương có chứa chữ số lẻ hàng chục chữ số hàng đơn vị
HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Với b9chữ số hàng chục 20n(5n+b) chẵn
đó chữ số hàng chục b2 lẻ nên b=4; 6.
19 Chứng minh số phương lẻ có chữ số hàng chục chẵn HD: Xét (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 với b lẻ, b 9 b1;3;5;7;9 b2 01;09; 25; 49;81
ĐPCM
20 Chứng minh số phương lớn 100 có tận chữ số hàng trăm chẵn
HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25 Vì a(a+1) chẵn Ta có ĐPCM.
21 Tìm x y, để 2x + 5y phương.
HD: G/s 225y k k2
+ Nếu x=0 1+5y=k2 suy k chẵn 1 5y 2 mod 4
+ Nếu x 0 k lẻ k không chia hết cho 5.
1 y=0:
2
2x k 2m 2x 4m m m 1,x 3,y
2 y0, k không chia hết
2 1 mod 5
(19)Và từ giả thiết suy
2
5 ( ) , ; ,
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k
1
2n 5b a b 5b 1, 2n 5y
b hay a y
+ Nếu y=2t 2n+1=25t-1 chia hết cho 3
+ Nếu y lẻ 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1)
y>1 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ.
Vậy y=1 suy x=2 Đáp số x=1; y=2 22.Tìm số có chữ số biết:
a) Tổng số số viết theo thứ tự ngược lại số phương
b) Hiệu bình phương số số viết theo thứ tự ngược lại số phương HD:a) ab ba 11a b 11, số phương chia hết cho 11 chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11 a+b chia hết cho 11
+)
2 2 2 2
10 10 99 11
ab ba a b b a a b
Vì 0<(a-b)<8, 2 a b 18 a b 11 ab2 ba2 9.11.11.(a b ) phương hay (a-b) phương, suy a-b=1 a-b=4
ĐS: số 65
23 Tìm số phương abcd biết ab cd 1
HD:n2 abcd 100ab cd 100(1cd)cd 100 101 cd n10 n10 101cd. Vì n<100 101 nguyên tố nên n+10=101 suy n=91
24.(VĐ Balan) Chứng minh a, b số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2+a = 3b2
+ b a - b 2a + 2b+ số phương HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy (a-b)(2a+2b+1) =b2.
Gọi d ước dương a-b 2a+2b+1 d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1) Mặt khác (1)(1) d2\b2 d b\ d \1 d1.
Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1 Từ ta ĐPCM
* Lưu ý: Từ gt suy (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) phương
25.(HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố cho tổng tất ước tự nhiên p4 số
chính phương
HD: G/s 1+p+p2+p3+p4=n2 Dễ thấy 4p4+4p3p2<4n2<4p4+p2+4+4p3+4p+8p2 hay
(2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2 suy 2n =2p+p+1 suy p=3.
26 Chứng minh số nguyên p, q tổng hai số phương tích pq tổng số phương
27 Chứng minh số nguyên m, n tổng số phương tích m.n tổng số phương
HD: (a2+b2+c2+d2)(m2+n2+p2+p2)=(am-bm-cp-dq)2+
+(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2.
28 Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng phương
(20)30 Tìm a để a2+a+1589 phương.
31 Chứng minh 8n+1 24n+1 phương 8n+3 hợp số
32 Chứng minh n3+1 khơng phương với n lẻ n>1.
33 Tìm abcd biết bội 11 v b+c = a, bc phương.
34 Chứng minh
1
ab cd
abcd khơng phương
35 Tìm tất số phương có dạng A1985ab
ĐS: 198025 198916
36 Tìm tấ số tự nhiên a để số n=26a+17 số phương
ĐS: a=26m2+22m+4 a=26m2+30m+8
37 Chứng minh số phương có số ước số lẻ ngược lại
38 Chứng minh gấp đôi số tự nhiên tổng số phương số tự nhiên tổng số phương
RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: Cho biểu thức P = a3 2 a a
1 a
1
1
a) Rút gọn P b) Tìm Min P
Bài 2: Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức : P = xy -1 xy y x
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x y
y -x
Biết x2 -2y2 = xy x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức P = x
3 x x -1
2 x 3 x x
11 x 15
a) Tìm giá trị x cho P =
1
b) Chứng minh P ≤
2
Bài 5: Cho biểu thức
P = a
2 a a
1 a a a
3 9a 3a
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên
Bài 6: Cho biểu thức
a a - a a - 16
1-a 1-a
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên
(21)P =
a
2 a : a a 1 a a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P a = + 2
c) T ìm giá trị a cho P <
Bài 8: Cho biểu thức
P =
x x x x : x 8x x x
a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =
xy y x x xy y y xy x : y x xy -y x
a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị P với x = 3, y = +
Bài 10: Cho biểu thức
P = x
2007 x x 4x x x -x x x 2
a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên
Bài 11: Rút gọn P
P =
2 2 2 2 2 b b a a : b a a b a a b a a b a a
Với | a | >| b | >
Bài 12: Cho biểu thức P = 2 x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P
Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức
P = x x
10 x x x x x x 2x
(22)Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức
P = x
x x
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 15: Cho biểu thức
P = x x x
x x x x x
x2
Rút gọn P với ≤ x ≤
Bài 16: Cho biểu thức
P = x
) 2(x x x 2x x x x x2
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN P
c) Tìm x để b thức Q = 2Px nhận g trị số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P = x
x x 2x x x x x x x x x x 2x
a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P = 10
5 10
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A = 4 7 4
b) B = 4 102 4 102
c) C = 4 15 4 15 3
Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = x247 2x 1 x4 2x
Với
≤ x ≤
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
48 13
số nguyên
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1 3 1
(23)Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24: Cho E = x y
xy y x xy
Tính giá trị E biết:
x = 4 2 2 2 2
y = 18 27 45
20 12
Bài 25: Tính P = 2008
2007 2008 2007 2007
1
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P =
1
+
1
+ +
1 2005 2009 Bài 27: Tính giá rẹi biểu thức:
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 332 233 2
y = 31712 231712
Bài 28: Cho biểu thức
A = a a a a a a a 1 1
a) Rút gọn A
b) Tính A với a = (4 + 15)( 10- 6) 4 15
Bài 29: Cho biểu thức
A = 1 1 4
2 x x
x
x x x
x
a) x = ? A có nghĩa b) Rút gọn A
Bài 30: Cho biểu thức
P = x x x
x x x x 1 1 1 1 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với
2
Bài 31: Cho biểu thức
P =
2 1
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: ≤ P ≤
(24)P = a a a a a a a 2
a) Rút gọn P b) a = ? P <
c) Với giá trị nguyên a P nguyên
Bài 33: Cho biểu thức
P = x
x y xy x x x y xy x 1 2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = 0.
Bài 34: Cho biểu thức
P = x
x y xy x x x y xy x 1 2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = 0.
Bài 35: Cho biểu thức
P = xy x y
y y x x y x y x y x y
x 3
3 : 1 1
a) Rút gọn P
b) Cho xy = 16 Tìm Min P
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1)
a) Giải phương trình m =
b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m
c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn
điều kiện x12 + 2
x 10.
Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện:
ac bc ab a c c 2
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac <
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai nghiệm x
1,
x2 thỏa mãn: 35 3 x x x x
Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình
(25)Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0
( a 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm
2
a c a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn: x12 -2 x = 9
5
Bài 10: Cho phương trình:
x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c
giá trị biểu thức: S = 23
3
1
x x
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3x + = Có hai nghiệm x
1,x2 Khơng giải phương
trình tính giá trị biểu thức:
A =
3
2 2
4
3
3
x x x x
x x x x
Bài 13: Cho pt: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1)
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a
2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 =
3 Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < <
x2
Bài 14: Cho phương trình:
x2 – 2(m - 1)x + m – = (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình (1)
Tìm GTNN M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2 1
b a
CMR hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình:
x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1)
a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m
b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN
(26)sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (2)
Bài 18: Cho phương trình:
x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1)
a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình:
x2 – 2(m - 1)x – - m = (1)
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m
2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 10
3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2:
x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương
CMR: a2 + b2 hợp số.
PT BẬC CAO, PT CHỨA ẨN Ở MẪU, PT VÔ TỈ.
Giải phương trình:
Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2.
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = 0
c) x4 - 3x3 + 3x + = 0
Bài 9: a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + = 0
Bài 10: x 85 x 93 1
Bài 11:
7
3
2
2
x x
x x
x x
Bài 12: x2 + 2 12
4
2
x
x
Bài 13: 20
4 48
2
2 2
2
x x x
x x
(27)Bài 14: a) 3
2
x x
x x
x x
b) 12 15
4 15 15 10 2 x x x x x x x
c)
1 5 5 2 2 x x x x x x x x
Bài 15: a) x2 + 9 40
81 2 x x
b) x2 + 12 15
2
x
x
Bài 16: a)
40
1 2
x x x x
b)
4 2 2 2 x x x x x x
c) x 15
8 x x x x x
Bài 17: x2 +
2 x x
= 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18: x 1 5x 1 3x
Bài 19: x13 7 x 2
Bài 20: x2 x 1 x x1 2
Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 x27x7 2
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + =
c) x4 + 10x3 + 26x2 + =
Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
Bài 25: a) x3 - 6x + = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - =
Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 =
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 =
Bài 27:
4 10 48 2 x x x x
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3 1
(28)Bài 29:
14
5
x x x
Bài 30: x4 - 4 3x -5 = ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31:
4
2
x x
x
( Đề thi HSG V2 2003) Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 =
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 =
Bài 33: (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x2 + 4x + = 2 2x3
b) x3 8 = 2x2 - 6x + 4
c)
4
2
x x
Bài 35: x13 x23 x3 0
Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Giải phương trình m =
b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương
trình có nghiệm
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - =
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2 3x10
Bài 41: x2 + 3x+ = (x + 3) x21
Bài 42: x2 + x2006=2006
BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.
Tính giá trị biểu thức: P = a b
b a
Bài 2: Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá trị biểu thức E = x y
y x
Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức:
M = 2 z2
xy y
xz x yz
(29)P = a c c b b a 1
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3
b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 =
Tính giá trị biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007
Bài 8: Cho b 1
y a x
ab 2
xy
Tính
3 3 b y a x
Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức
P = 2 2 2 2
1 1 c b a b c a a c
b
Bài 10: Cho b a b
y a x 4
; x2 + y2 = Chứng minh rằng:
a) bx2 = ay2;
b) 1004 1004
2008 1004 2008 ) ( b a b y a x
Bài 11: Chứng minh xyz = thì:
xxy yyz 1zxz
1 1 1 = Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đơi khác Tính giá trị biểu thức:
P = ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 a c b c c a b c b b c a b a a
Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì:
c a c b a b b c c a
b a a b c b b c c a b a c b
2
) )( ( ) )( ( ) )( (
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng: ( )( )( )
1 1 c p b p a p p abc p c p b p a
p
Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh :
3 ) (
1 2
a b
ab a
b b
(30)Bài 18: Cho c 1 z b y a x
z 0
c y b x a
Tính giá trị biểu thức A =
2 2 2 c z b y a x
Bài 19: Cho a, b, c đôi khác a b 0
c a c b c b a
Tính giá trị P = ( )2 ( )2 (a c)2
c a c b c b a
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d
Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.
Tính giá trị biểu thức: A = x y
y x
Bài 24: Cho x, y số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy.
Tính giá trị phân thức A = 2
2 y xy x xy
Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007
Tính giá trị biểu thức: P = 2
2 2 ) ( ) ( )
(y z ac x z ab x y bc cz by ax
Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức:
P = ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 x z y z z z y x y y z x y x x
Bài 27: Cho
1 3 2 z y x z y x z y x
Tính giá trị biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: P =
2
2 ) ( ) ( ) ( ) ( b c a c b a c b a c b a
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2.
(31)
15
z x zx
z y yz
z y xy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z
Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
1
3 3
2 2
z y x
z y x
Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
4
b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y
y x
Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.
a) So sánh a b + c
b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
2) Tính A = 2014 3 2014 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
CỰC TRỊ
Bài1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN GTNN biểu
thức A = x + y
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN
P = 2
1 1
x y
Bài 3) Cho P =
2
2
1
x x x
Tìm GTNN, GTLN P giá trị tương ứng x.
(32)Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức P =
2
1
x x x x
Bài 8) Tìm GTLN A = x + 2 x
Bài 9)Tìm GTLN P =
x y z
y z x với x, y, z > 0. Bài 10) Tìm GTLN
P = (x1990)2 (x1991)2
Bài 11) Cho M = a 3 a1 a15 8 a1 a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1 1x1y1z
Tìm GTNN P = x.y.z
Bài 13) Tìm GTNN P =
2 1 xx
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN
GTNN biểu thức P = x + 2y
Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y =
Tìm GTNN E = x2 + 2y2.
Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức
P = 2
1
x y +
2
xy + 4xy
Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P =
2
1
x x x
Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức
A = 2
1
x y xy
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =
2
1
x y
x y
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) +
1 4xy Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =
1 1
x y
Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn:
(33)Tìm GTNN biểu thức P =
2
1
x y
y x
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: E =
2 2
1 1
a b c
a b c
Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = Tìm GTNN P =
1 1
a b
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P =
2 x y
x y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN
P = 8(x4 + y4) +
1
xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y +
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức
S = x x + y y biết x + y =
Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P = x2 2x22008
x