Hàm lõm lồi

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Đề tài: HÀM LÕM - LỒI Giáo viên hướng dẫn : TS Nguyễn Duy Thái Sơn Sinh viên thực : Nguyễn Hiền Thảo Lớp : 12ST Chuyên ngành : Sư phạm Tốn SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn LỜI CẢM ƠN Em xin dành trang để gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp 12ST trường ĐHSP Đà Nẵng toàn thể q thầy khoa Tốn trường ĐHSP Đà Nẵng, người cho em kiến thức, kinh nghiệm quý báu, quan tâm động viên nhiệt tình giúp đỡ em suốt trình học tập thời gian thực đề tài Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Duy Thái Sơn, người gợi ý hướng dẫn em thực đề tài '' Hàm lõm – lồi '' Thầy nhiệt tình hết lịng giúp đỡ suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Cuối cùng, cho phép em cảm ơn đến thầy chủ tịch hội đồng, thầy cô phản biện ủy viên hội đồng dành thời gian để đọc, nhận xét, đánh giá tham gia hội đồng chấm khóa luận SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT HÀM LỒI 1.1 Hàm lồi n (hàm lồi nhiều biến số) .2 1.2 Các phép toán đại số 1.3 Khái niệm nửa liên tục trên/dưới 1.4 Hàm lồi (hàm lồi biến số) 1.5 Liên hợp hàm lồi 11 1.6 Định lý đối ngẫu Fenchel 20 CHƯƠNG 2: HÀM LÕM – LỒI 29 2.1 Hàm yên 29 2.2 Liên hiệp hàm lõm – lồi .36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn LỜI MỞ ĐẦU Hàm lõm – lồi kết tảng giải tích lồi Nó sở để đạt nhiều kết quan trọng khác Việc tìm hiểu sâu hàm lõm – lồi kết thực cần thiết giúp cho hiểu sâu nhiều vấn đề giải tích lồi Khóa luận bao gồm nội dung sau: Chương 1: Lý thuyết hàm lồi Mục đích Chương nêu lại định nghĩa, định lý, hệ có liên quan đến hàm lồi quan trọng giới thiệu định nghĩa, nêu định lý, hệ liên hiệp hàm lồi định lý đối ngẫu Fenchel Chương 2: Hàm lõm – lồi Trong chương này, ta trình bày định nghĩa, định lý, hệ có liên quan đến hàm yên liên hiệp hàm lõm – lồi SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT HÀM LỒI n 1.1 Hàm lồi (hàm lồi nhiều biến số) Trong suốt chương này, cho  ,     gọi tập số thực mở rộng Mỗi     gọi số thực mở rộng mở rộng từ quan hệ thứ tự “  ” Quan hệ thứ tự bổ sung thêm bất đẳng thức:              Cho S  n    (n  * ) hàm f : S  (f hàm n biến nhận giá trị thực mở rộng) Định nghĩa 1.1.1 “Trên đồ thị” hàm f nói định nghĩa là: epi f  Chú ý: epi f  n1  x,   | x  S    ,   n  , f  x   Định nghĩa 1.1.2 “Trên đồ thị ngặt” hàm f định nghĩa là: epis f = {( x,  ) | x  S ,   : f ( x)  } Định nghĩa 1.1.3 “Dưới đồ thị” hàm f định nghĩa là: hyp f = {( x,  ) | x  S ,   , f ( x)   } Định nghĩa 1.1.4 “Dưới đồ thị ngặt” f định nghĩa là: hyps f = {( x,  ) | x  S ,   , f ( x)   } Định nghĩa 1.1.5 Hàm f gọi hàm lồi epi f tập lồi (trong không gian n ) SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Miền hữu hiệu hàm lồi f : S  dom f   x  n (S  n ) định nghĩa là: |   ,( x,  )  epi f  cách tương đương dom f   x  S | f ( x)   Ghi 1.1.5.1 dom f ảnh epi f qua phép chiếu (vng góc) từ không gian n1 prRn : ( x, p) n   n n+1 xuống  {0} : n ( x,0)  x Phép chiếu ánh xạ tuyến tính Vậy epi f lồi => dom f lồi Định nghĩa 1.1.6 Hàm lồi f : S ( n ) gọi hàm lồi thường epi f không rỗng không chứa đường thẳng đứng Ghi 1.1.6.1 epi f    prRn (epi f )    dom f    x0  S , f ( x0 )   Nói cách khác: epi f :   x  S , f  x    Vậy hàm lồi có đồ thị rỗng hàm đồng  (chỉ nhận giá trị  ) Ghi 1.1.6.2 Trên đồ thị hàm f : S  có chứa phương trình đường thẳng đứng thẳng nếu: x0  S , f ( x0 )   Nói cách khác: epi f chứa đường thẳng đứng để hàm f nhận giá trị -  điểm SVTH: Nguyễn Hiền Thảo Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Vậy hàm lồi f có đồ thị khơng chứa đường thẳng f không nhận giá trị -  tức x  S , f ( x)   Ghi 1.1.6.3 Hàm lồi f : S ( n ) hàm lồi thường nếu: x0  S , f ( x0 )    x  S , f ( x)   Định nghĩa 1.1.7 Cho C  n tập lồi Phần tương đối C kí hiệu ri C gọi phần xét aff C (thay xét khơng gian n ) n (int C phần C xét không gian ri C phần C xét không gian mẹ aff C) Ghi 1.1.7.1 Với hàm f : n  , có hai loại hàm lồi khơng thường: Loại 1: x  n , f ( x)   Loại 2: x  n , f ( x)  (dom f  ) x  n , f ( x)   Ghi 1.1.7.2 Đảo lại, cho g : C  n hàm lồi hữu hạn tập lồi C khơng rỗng cách mở rộng g lên toàn n thành hàm f : n  công thức:   f ( x)     g ( x) , x n \C , x  C 1.2 Các phép tốn đại số Ngồi quan hệ thứ tự “  ”, “