Vẽ về một phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K... Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường trò[r]
(1)II. PHẦN BÀI TẬP 1 Phương trình bậc hai
Bài 1: Giải phương trình:
1) x2 – 4x + = 0; 2) x2 + 6x + = 0; 3) 3x2 – 4x + = 0 ; 4) x2 – 5x + = 0 5) ( 1)x2 x 2 0
; 6) 2x2 ( 1)x 0 ; 7)
2
x ( 1)x 0
8) x4 – 11x2 + 10 = 0; 9) 3x4 – 11x2 + = 0; 10) 9x4 – 22x2 + 13 = 0 11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0; 12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
13)
2
2
2x x x x x 3x
; 14)
1 1
x 4 x 4 3
15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – = 0 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = 0 Bài 2: Cho phương trình x2 3x 5 0
gọi hai nghiệm phương trình x1,
x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a)
1 1
x x ; b)
2 2
x x ; c) 2 2 1
x x ; d)
3 x x HD: Đưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2.
HD: m = 2, x2 = 2
Bài 4: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1)
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong hai nghiệm có nghiệm −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt m
2
b) m = m = 4
Bài 5: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1)
a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu HD: a) Chứng minh ' > 0
b) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu m < −1 m > 3
Bài 6: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1) a) Giải phương trình (1) m = 1
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c) gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh rằng:
A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m
Bài 7: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = 0
a) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 c) P = (2m 5)2 15 15
4
Dấu "=" xảy m
2
(2)a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị m để ph/trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = x1 = 1, x2 = 5
b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 9: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3
b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3}
Bài 10: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = ; b) ĐS: m = − 20
Bài 11: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − = (*) a) Giải phương trình (*) m =
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt HD: a) Khi m = 1: x
2
; b) ĐS: m 2, m
.
Bài 12: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0 a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm bình phương nghiệm lại.
HD: a) Với m = −1 x1 = 2, x2 = −4 b) m = m = 3
2 Đường tròn
Bài 1: Cho c.ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn
bàng tiếp A , O trung điểm IK
a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O)
c) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) KBI KCI 180
(Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O)
b)
1
1
C OCI C I 90 OC AC AC tiếp tuyến (O) c) AH AC2 HC2 202 122 16
(cm)
2
CH 12
OH
AH 16
(cm)
Vậy: OC = OH2 HC2 92 122 225 15
(cm)
Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
a) Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động cạnh BC điểm H chuyển động đường nào?
HD: a) BHD BCD 90
BHCD nội tiếp
21
H
B C
O A
K I
K H B
C A
D
(3)b) DHC DBC 45 CHK 450
c) KCH KDC (g.g) KC.KD = KH.KB
d) BHD 90
Khi E chuyển động đoạn BC
thì H chuyển động BC
Bài 3: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường trịn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N của đường tròn điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO hình bình hành
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định
HD: a) OMP ONP 90
ONMP nội tiếp
b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO hình bình hành
c) COM CND (g.g) Suy ra:
CM CO
CD CN CM.CN = CO.CD = Const d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90
Suy ra: P chạy đường thẳng cố định Vì M [AB] nên P [EF]
Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By lần lượt E F.
a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác MPOQ hình gì? sao? c) Kẻ MH AB (H AB) Gọi K ≡ MH ∩ EB So sánh MK với KH
HD: a) EOA OME 180
AEMO nội tiếp
b) MPOQ hình chữ nhật có ba góc vng. c) EMK EFB: EM EF
MK BF MF = BF
EM EF MK MF Mặt khác: ABE HBK: EA AB
HK HB Vì:
EF AB
MFHB(Talet)
EM EA
MK KH Vì: EM = AE MK = KH.
Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định Điểm I nằm A O cho
AI AO
Kẻ dây MN AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho
C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh AME ACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2
11 1
P N
E D F
C
O
A M B
x y
K H
Q P
E
F
O
A B
M
O' E
N M
I O
A B
(4)HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180
IECB nội tiếp.
b) Ta có AM AN AME ABM AME ACM (g.g) AM2 = AE.AC (1)
c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) (2) ĐL Pitago: AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB
Bài 6: Cho ABC có góc nhọn, A 45 0 Vẽ đường cao BD CE của ABC Gọi H giao điểm cảu BD CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC
c) Tính tỉ số DE : BC
d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC CM: OA DE.
HD: a) Ta có: AEH ADH 180
đpcm
b) v.AEC có A 45
ACD 45 0DCH vuông cân
tại D HD = HC.
c) ADE ABC (g.g) DE AE AE
BC ACAE .
d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn (O), ta có BAx BCA
mà BCA AED (cùng bù với DEB ) BAx AED DE // Ax OA DE.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB. Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn
b) Khi điểm D di động đường trịn BMD BCD khơng đổi
c) DB.DC = DN.AC
HD: a) CBMD nội tiếp đường trịn đường kính CD b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD là tứ giác nội tiếp BMD BCD 180
c) Ta có: ANB 90
(gt) N (O)
Mặt khác: BDN BAN (Cùng chắn BN ) BAN ACD (So le trong)
Suy ra: BDN ACD
Lại có: DAC DAN DBN (Cùng chắn DN )
Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) đpcm
Bài 8: Cho ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
d)* Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn HD: a) AEHF có ba góc vng AEHF hình chữ nhật
b) B E 1 F1 BEFC nội tiếp
c) AEF ACB (g.g) AE.AB = AF.AC
d)
1 2
E E H H 90 EF tiếp tuyến (O1)
x
O H
D E
A
B
C
M N
C
O
A B
D
2
2 1
1 O2 O1
F E
H C
A
(5)Tương tự: EF tiếp tuyến (O2)
Bài 9 Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q là giao điểm cặp đường thẳng AB CD; AD CE
a) Chứng minh BC // DE
b) Chứng minh tứ giác CODE APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP hình gì?
HD: a) BC DE vng góc với OD BC // DE
b) ODE OCE 180
CODE nội tiếp
Ta có: PAQ PCQ (Do BD CD ) APQC nội tiếp
c) BCQP hình thang Vì:
Ta có: QPC CAQ (Cùng chắn cung QC (APQC)
Lại có: QAC QAP QAP BCP (cùng chắn BD ) BC // PQ
Bài 10 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các tiếp tuyến A của các đường tròn (O) (O’) cắt đường tròn (O’) (O) theo thứ tự C D gọi P và Q trung điểm dây AC AD Chứng minh:
a) ΔABD ΔCBA b) BQD APB
c) Tứ giác APBQ nội tiếp
HD: a) Ta có: DAB ACB (Cùng chắn An 'B )
Lại có: ADB BAC (Cùng chắn AnB )
Suy ra: ΔABD ΔCBA
b) ΔABD ΔCBA AD BD DQ
CA BA AP (Do P, Q trung điểm AC, AD) Và: BDQ BAP Suy ra: ΔBQD ΔAPB BQD APB
c) Do BQD APB suy ra: APBQ nội tiếp
Bài 11: Cho ABC vuông A điểm D nằm A B
Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn cá điểm thứ hai F, G Chứng minh:
a) ABC EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC // FG
d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui
HD: a) ABC EBD (Hai tam giác vng có B 1 chung)
b) Học sinh tự chứng minh c) C1 F ( E )1 1 AC // FG
d) Gọi S ≡ BF ∩ CA BSC có D trực tâm S, D, E thẳng hàng BF, CA, ED đồng qui S.
Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10cm, CB = 40cm Vẽ về một phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) ở E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K)
a) Chứng minh EC = MN
1
1
1 G F
S
E C
A
B
D
Q P
E D
C B
O A
n' n
Q P
D B C
A O
O'
1
4
1 3
2
3 2 1
E
M
N S
K I
(6)b) CmR: MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn HD: a) Chứng minh CMEN hình chữ nhật EC = MN
b) Gọi S ≡ MN ∩ EC:
1 2
M M C C 90 MN MI
Tương tự:
1
N N C C 90 MN NK MN tiếp tuyến chung 2
đường tròn
c) MN = EC = AC.BC 10.40 20(cm); d)
2 2
2 1πAB πAC πBC
S 100π(cm )
2 4
Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H ≠ O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ở ngồi đường trịn MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC
a) Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp
b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng qui I c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh rằng KCOH nội tiếp
HD: a) MCI MDI 90
MCID nội tiếp
b) Chứng minh I trực tâm MAB suy đường cao
MH qua I
c) Xét hai tam giác cân OCA KCM, chứng minh:
1
C C 90 C C 90 , từ suy KCOH nội tiếp.
Bài 14: Cho ABC vuông A Dựng miền ngồi tam giác hình vng ABHK
và ACDE
a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC F, chứng minh rằng FBC vuông cân
c) Cho biết ABC 45
Gọi M giao điểm BP ED,
chứng minh năm điểm B, K, E, M, C thuộc đường tròn d) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (ABC)
HD: a) Từ gt chứng minh: HAB DAC 45
chứng
Minh: HAB BAC DAC 180
H, A, D thẳng hàng
b) Chứng minh FBC 45 , BFC 90
Suy ra
BFC vuông cân
c) Chứng minh BKC BEC BMC 45
, từ đó
suy B, K, E, M, C thuộc đường tròn Chú ý đến FMDC tứ giác nội tiếp
4
I K
D C
O
A B
H M
M
F H
K
D E
C A