[r]
(1)Hệ phơng trình
I Hệ phơng trình dạng hoán vị vòng quanh " Bài ( Đề thi HSG quốc gia năm 1994 )
Giải hệ phơng trình :
( )
( )
( )
3
3
3
3 ln
3 ln
3 ln
x x x x y
y y y y z
z z z z x
⎧ + − + − + =
⎪⎪ + − + − + =
⎨ ⎪
+ − + − + =
⎪⎩ Gi¶i :
XÐt hµm sè : f( )t = + − +t3 3t ln(t2− +t 1) Ta cã : ( )
2
2
2
f' 0, R
1 t
t t x
t t −
= + + > ∀ ∈
− +
Vậy hàm số f( )t đồng biến R Ta viết lại hệ ph−ơng trình nh− sau : ( )
( ) ( ) f
f f
x y y z z x
⎧ =
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
Khơng tính tổng qt, giả sử : x=min{x y z, , } Lúc :
x≤ ⇒y f( )x ≤ f( )y ⇒ ≤ ⇒y z f( )y ≤ f( )z ⇒ ≤z x Hay : x≤ ≤ ≤y z x ⇒ = =x y z
Với : x= =y z , xét phơng trình : x3+2x− +3 ln(x2 − + =x 1)
Do hàm số : ϕ( )x =x3+2x− +3 ln(x2− +x 1) đồng biến R nên pt có nghiệm : x=1 Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm : x= = =y z
" Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
f g
f g
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =
⎪ =
⎪⎪ ⎨
⎪ =
⎪
= ⎪⎩
Nếu hai hàm số f g tăng tập A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n x1=x2 = = xn
Chứng minh :
Không tính tổng quát gi¶ sư : x1=min{x x1, 2 ,xn}
Lúc ta có : fx1≤x2⇒ ( )x1 ≤ f( )x2 ⇒g( ) ( )x2 ≤g x3 ⇒x2 ≤x3 ⇒xn ≤x1 Vậy : x1≤x2 ≤ ≤xn ≤x1
(2)" Bµi
Giải hệ phơng trình :
3
3
3
2
2
2
1 4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
⎧⎛ ⎞
⎪⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
⎪ ⎪
⎪⎛ ⎞ = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠
⎪ ⎪
⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ = ⎪⎝ ⎠ ⎩ Gi¶i:
Vì vế trái ph−ơng trình hệ d−ơng nên hệ có nghiệm : x y z, , >0 Xét hàm số : ( )
3
2
1 f
4
t t
t
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta cã : ( ) ( )( )
3
2
2
f' ln 0,
4
t t
t t t t
+
⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟ < ∀ >
⎝ ⎠
Vậy hàm số f( )t nghịch biến kho¶ng (0; + ∞)
Khơng tính tổng qt, giả sử : x=min{x y z, , } Lúc :
x≤ ⇒y f( )x ≥ f( )y ⇒ ≥ ⇒y z f( )y ≤ f z( )⇒ ≤z x ⇒ = ⇒x z f( )x = f z( ) =y x Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt :
2 x= = =y z
" Bài toán tổng quát Xét hệ phơng trình có dạng (với n lẻ ): ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
f g
f g
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =
⎪ =
⎪⎪ ⎨
⎪ =
⎪
= ⎪⎩
Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n x1=x2 = = xn với n lẻ
Chøng minh :
Khơng tính tổng quát giả sử : x1=min{x x1, 2 ,xn} Lúc ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 f f g g 3 n f n f 1
x ≤x ⇒ x ≥ x ⇒ x ≥ x ⇒x ≥x ⇒x ≤x ⇒ x ≥ x ⇒x ≥x ⇒ x1 =x2
Từ suy : x1=x2 = = xn " Bài
Giải hệ phơng trình :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
1
1
1
x y
y z
z t
t x
⎧ − =
⎪
⎪ − =
⎪ ⎨
− =
⎪ ⎪
− =
(3)Gi¶i :
Vì vế trái ph−ơng trình hệ khơng âm nên ph−ơng có nghiệm : , , ,x y z t≥0 Xét hàm số : f( ) (s = −s 1)2, ta có : f'( ) (s =2 s−1) Do hàm số tăng khoảng (1;+ ∞) giảm [ ]0; ( Do f(s) liên tục R )
Không tính tổng quát, giả sử : x=min{x y z t, , , }
+ Nếu x∈(1;+ ∞ ⇒) x y z t, , , ∈(1;+ ∞), theo tốn tổng qt 1, hệ có nghiệm : x= = = = +y z t
+ Nếu x∈[ ]0; ⇒ ≤0 f( )x ≤ ⇒ ≤1 2y≤1, hay y∈[ ]0;1 , t−ơng tự ⇒z t, ∈[ ]0; Vậy x y z t, , , ∈[ ]0; Do ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
f f f f z
x≤ ⇒y x ≥ y ⇒ ≥ ⇒y z y ≤ ⇒ ≤z x ⇒ =x z Víi x=z ⇒f( )x = f z( )⇒ =y t
Lúc hệ ph−ơng trình trở thành : ( ) ( )
( )2
2
1
1
1
x y
x y
x y
y x
x y
⎧ − =
⎧ − = ⎪
⎪ ⇔
⎨ ⎨ ⎡ =
− =
⎪ ⎪ ⎢
⎩ ⎩ ⎣ = −
2
x y ⇔ = = −
Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm : x= = = = +y z t x= = −y " Bài toán tổng quát Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n chẵn ):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
f g
f g
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =
⎪ =
⎪⎪ ⎨
⎪ =
⎪
= ⎪⎩
Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A (x x1, 2 ,xn) nghiệm hệ ph−ơng trình , đó xi∈A, ∀ =i 1, 2, ,n
2
n n
x x x
x x x
−
= = = ⎡
⎢ = = =
⎣ víi n ch½n
Chøng minh :
Khơng tính tổng quát giả sử : x1=min{x x1, 2 ,xn} Lúc ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
1 3
2
f f g g
x x x x x x
x x
≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
⇒ ≥
( )2 ( )4 ( ) ( )3
3
f f g g
x x x x
x x
⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ ≤
( 2) ( ) ( 1) ( )1
1
f f g g
n n n
n
x x x x
x x
− −
−
⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ ≤
( 1) ( )1 ( ) ( )2
f xn− f x g xn g x xn x
⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
(4)PhÇn bμi tËp øng dụng phơng pháp
) Giải hệ phơng tr×nh :
3
3
3
2
2
2
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ − + − =
⎪ − + − =
⎨
⎪ − + − =
⎩
) Chøng minh với aR, hệ phơng trình :
2
2
2
x y y a
y z z a
z x x a
⎧ = + + ⎪ = + + ⎨
⎪ = + + ⎩
cã mét nghiÖm nhÊt
) Cho hệ phơng trình :
2 2
x y a y z a z x a ⎧ = + ⎪ = + ⎨
⎪ = + ⎩
Tìm a để hệ ph−ơng trình có nghiệm với dạng x= =y z
) Giải hệ phơng trình :
3
1
3
2
3
99 99 100
3
100 100
3 2
3 2
3 2
3 2
x x x
x x x
x x x
x x x
⎧ − + =
⎪ − + =
⎪⎪ ⎨
⎪ − + =
⎪
⎪ − + =
⎩
) Cho n số nguyên lớn Tìm a để hệ ph−ơng trình :
2
1 2
2
2 3
2
1
2
1 1
4
4
n n n n
n
x x x ax
x x x ax
x x x ax
x x x ax
−
⎧ = − +
⎪ = − +
⎪⎪ ⎨
⎪ = − +
⎪
⎪ = − +
⎩
cã mét nghiÖm
) Cho n số nguyên lớn a0 Chứng minh hệ phơng trình :
2
1 2
2
2 3
2
1
2
1 1
4
4
n n n n
n
x x x ax
x x x ax
x x x ax
x x x ax
−
⎧ = − +
⎪ = − +
⎪⎪ ⎨
⎪ = − +
⎪
⎪ = − +
⎩
cã nghiÖm nhÊt
) Chứng minh với aR, hệ phơng tr×nh :
2
2
2
x y y y a
y z z z a
z x x x a
⎧ = + + +
⎪ = + + +
⎨
⎪ = + + + ⎩
(5)Ii Hệ phơng trình giải đợc phơng pháp lợng giác hoá " 1 Giải hệ phơng trình :
( )( )
2
1 1 (1)
1 (2)
x y y x
x y
⎧ − + − =
⎪ ⎨
− + =
Giải. ĐK :
2
1
1
1
1
x x
y y
⎧ ≤ ⎧ − ≥ ⇔⎪
⎨ ⎨ ≤
− ≥ ⎪
⎩ ⎩
Đặt x=cos ; y=cosα β với α β, ∈[0;π], hệ ph−ơng trình :
( )( )
cos sin cos sin =1
2
1 cos cos
sin cos sin cos
π
α β β α α β
α β α α α α
⎧ +
⎧ ⎪ + =
⇔⎨ ⇔⎨
− + =
⎩ ⎪⎩ − − =
Đặt
2
1 sin cos , t sin cos
2 t
t= α− α ≤ ⇒ α α = −
Khi ta có :
2
2
1
1
2 t
t− − − = ⇔ + − ⇒ =t t t
Víi t=1, ta cã : 2sin 0
4
x y
π π
α α β ⎧ =
⎛ − ⎞
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎨
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⎩
Nếu : x ≤a a( >0), ta đặt x=acosα, với α∈[0;π]
" 2 Giải hệ phơng trình : ( )( ) ( ) ( )
2
2
1
x y xy
x y
⎧ − + =
⎪ ⎨
+ = ⎪⎩
Gi¶i Do 2 [ ]
1 , 1;
x +y = ⇒x y∈ − Đặt x=sin , yα =cosα với α∈[0; 2π] Khi (1) ⇔ sin( α−cosα)(1 2sin2+ α)=
1
2 2sin sin2
4
π
α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4sin sin2 sin6
π π
α α
⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟=
⎝ ⎠⎝ ⎠
8sin sin cos
4 12 12
π π π
α α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4cos 12 cos3 cos
π π π
α ⎡ α ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ + ⎟⎢ − ⎜ − ⎟⎥=
⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦
2cos 4cos cos
12 12
π π π
α α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟− ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2cos cos cos
12 12
π π π
α ⎡ α α ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟− ⎢ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟⎥=
⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 2cos
π α
⎛ ⎞
⇔ − ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
( )
0
0
35 120
3 cos
4 65 120
k
k R k
α π
α
α
⎡ = − +
⎛ − ⎞= − ⇔ ∈
⎢
⎜ ⎟ = +
⎝ ⎠ ⎣
Từ suy hệ có nghiệm (x y, )={ sin65 , cos65 ,( 0) (−sin35 , cos35 , sin85 , cos850 0) ( 0),
( 0) ( 0) ( 0)
sin5 , cos5 , -sin25 , cos25 , sin305 , cos305 }
(6)Nếu : x2+y2 =a a( >0), ta đặt x= asin ,α y= acosα, với α∈[0; 2π]
" 3 Gi¶i hƯ phơng trình :
2 2
2 2
x x y y y y z z z z x x
⎧ + =
⎪ + =
⎨
⎪ + =
⎩
Giải : Từ ph−ơng trình hệ , suy : , ,x y z≠ ±1 Do ta có :
2
2
2
2
(1)
2
(2)
2
(3)
x y
x y z
y z x
z ⎧
=
⎪ −
⎪ ⎪ =
⎨ −
⎪ ⎪
= ⎪
− ⎩
Đặt Đặt x=tg với ; 2
π α∈ −⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ (4) vµ cho tg , tg2 , tg4α α α ≠ ±1 (5)
Tơng tự Hệ phơng trình có nghiÖm , , , 0, 1, ,
7 7
k k k
x tg π y tg π z tg π k
⎛ = = = ⎞ = ± ±
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi ;
2
π π α∈ −⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ chox=tgα
" 4 Gi¶i hƯ phơng trình :
2
2
2
3
3
3
x z x z z y x y x x z y z y y
⎧ − − + =
⎪ − − + =
⎨
⎪ − − + =
Giải Viết lại hệ phơng trình dới dạng :
( )
( )
( )
2
2
2
1 3
1 3
1 3
x z z z
y x x x
z y y y
⎧ − = −
⎪⎪ − = −
⎨ ⎪
− = −
⎪⎩
(I)
Từ đó, dễ thấy (x y z, , ) nghiệm hệ cho phải có x, y, z
≠ ± Bëi thÕ :
(I) ⇔
3 3
3
(1)
3
(2)
3
(3)
z z x
z x x y
x y y z
y ⎧ = −
⎪ −
⎪
⎪ = −
⎨ −
⎪
⎪ = −
⎪ −
⎩
(II)
Đặt x=tg với ; 2
−⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ (4) vµ cho
1 tg , tg3 , tg9
3
α α α ≠ ± (5)
(7)Từ dễ dàng suy (x y z, , ) nghiệm (II) y=tg3 ,α z=tg9α, x=tgα , với α đ−ợc xác định (4), (5) tgα =tg27α (6)
L¹i cã : ( )6 ⇔26α =kπ(k∈Z)
Vì α thoả mãn đồng thời (4) (6)
26 k
= với k nguyên thoả mÃn :
12 k 12
− ≤ ≤ Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng, tất giá trị α đ−ợc xác định nh− vừa nêu thoả mãn (5)
Vậy tóm lại hệ ph−ơng trình cho có tất 25 nghiệm, :
3
, , , 0, 1, 12
26 26 26
k k k
x tg π y tg π z tg π k
⎛ = = = ⎞ = ± ±
⎜ ⎟
" 5 Giải hệ phơng trình :
1 1
3
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎨ ⎝ ⎠
⎪ + + = ⎩
Gi¶i. NhËn xÐt : xyz≠0; , ,x y z cïng dÊu NÕu (x y z, , ) nghiệm hệ
( x, y, z) nghiệm hệ, nên tìm nghiệm , ,x y z dơng Đặt x=tg ;α y=tg ;β z=tgγ (0<α β λ, , <900)
HÖ ( )
( )
1 1
3 tg tg tg
tg tg tg
tg tg tg tg tg tg
α β γ
α β γ
α β β γ γ α
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + = +
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎪ + + =
⎩ (1)
2 2
1 tg tg tg
3
tg tg tg
α β γ
α β γ
⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞
⇔ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
sin2α sin2β sin2γ
⇔ = =
Tõ (2) suy : tgγ(tgα+tgβ)= −1 tg tgβ α tg (tg tg ) tg( ) tg tg
co γ α β α β
β α +
⇒ = = +
−
( )
tg tg
2
π γ α β α β γ π
⎛ ⎞
⇒ ⎜ − ⎟= + ⇔ + + =
⎝ ⎠
Do
⎧ = =
⎪⎪ ⎨
⎪ < < + + = ⎪⎩
3
sin2 sin2 sin2
0 , , ;
2
α β γ
π π
α β γ α β γ
nên ,2 ,2 góc tam giác có số đo cạnh 3,4,5
Do tam giác có cạnh 3,4,5 tam giác vuông nên 0
2 =90 =45 ⇒ = γ =z tg
2
2tg 2x
tg2 x
1 tg x α
α = = ⇔ = ⇒ =
− α −
2
2tg 2y
tg2 y
1 tg y β
β = = ⇔ = ⇒ =
(8)Tun tËp c¸c bμi to¸n hay
II Hệ phơng trình ẩn " 1 Giải hệ phơng trình :
4
2
698
(1) 81
3 4 (2) x y
x y xy x y
⎧ + =
⎪ ⎨
⎪ + + − − + = ⎩
Gi¶i : Gi¶ sư hƯ phơng trình có nghiệm Ta thấy (2) tơng đơng víi :
( ) ( )2
3
x + y− x+ y− =
Để ph−ơng trình có nghiệm x ta phải có :
( )2 ( )2
3
3
y y y
Δ = − − − ≥ ⇔ (3)
Mặt khác phơng trình (2) tơng đơng với : y2+(x4)y+x2 3x+ =4
Để ph−ơng trình có nghiệm y ta phải có :
( )2 ( 2 )
4 4 0
3
x x x x
Δ = − − − + ≥ ⇔ ≤ ≤ (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã : 256 49 697 698
81 81 81
x +y ≤ + = < , không thoả mãn (1) Vậy hệ ph−ơng trình cho vơ nghiệm
) 2 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A )
Giải hệ phơng trình :
1
3
1
7
x
x y y
x y
⎧ ⎛ ⎞
+ =
⎪ ⎜ + ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞
⎪ − =
⎜ ⎟
⎪ ⎝ + ⎠
⎩
" 3 ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A )
HÃy biện luận số nghiệm thực hệ phơng trình với ẩn x, y :
3
2
2
x y y a
x y xy y b
⎧ − =
+ + =
Giải Điều kiƯn cã nghÜa cđa hƯ : x, y ∈R
ViÕt l¹i hƯ d−íi d¹ng :
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
y x y a
y x y b
⎧ − =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩ Xét trờng hợp sau :
ố Trng hp : b=0 Khi :
( )
2 y
y x
= ⎧ ⇔ ⎨ = −
⎩ : Hệ cho ⎡ ⇔ ⎢ ⎣
( ) ( )
( ) ( )
3
3
0
y
I
y x y a
y x
II
y x y a
= ⎧⎪
⎨ − =
⎪⎩ = − ⎧⎪
⎨ − =
(9)Cã (II) 4 2
y x
x a = − ⎧
⇔ ⎨− = ⎩
Từ : + Nếu a≠0 (I) (II) vơ nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm
+ Nếu a=0 (I) có vơ số nghiệm dạng (x∈R y, =0), cịn (II) có nghiệm (x=0, y=0) Vì hệ cho có vơ số nghiệm
è Tr−ờng hợp : b≠0 Khi đó, từ (1) (2) dễ thấy , (x y, ) nghiệm hệ cho phải có x, y >0 Vì ( )2 x b y ( )3
y
⇔ = −
ThÕ (3) vào (1) ta đợc :
3
3
b
y y y a
y
⎡⎛ ⎞ ⎤
⎢⎜ − ⎟ − ⎥=
⎜ ⎟
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Đặt y = >t Từ (4) ta có phơng trình sau :
( ) ( )
3
3
2
0 b
t t t a t b t a t
t
⎡⎛ ⎞ ⎤
⎢⎜ − ⎟ − ⎥= ⇔ − − + =
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Xét hàm số : f( )t = −t9 (b −t3)3+a t2 xác định [0;+ ∞) có : ( ) 8 ( 3)2 2 2 [ )
f' t =9t +9 b −t t +a ≥0, ∀ ∈t 0;+ ∞
Suy hàm số f( )t đồng biến [0;+ ∞), ph−ơng trình (5) có tối đa nghiệm [0;+ ∞) Mà f 0( )= −b3 <0 f( )3 b = b3+ b a2 >0, nên ph−ơng trình (5) có
nghiƯm, kÝ hiƯu lµ t0 (0; + ∞) Suy hÖ cã nhÊt nghiÖm 02 02
0
, b
x t y t
t
⎛ ⎞
= − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Vậy tóm lại : + Nếu a= =b hệ cho có vơ số nghiệm
` + Nếu a tuỳ ý , b≠0 hệ cho có nghiệm + Nếu a≠0,b=0 hệ cho vơ nghiệm
" 4 Tìm tất giá trị m để hệ ph−ơng trình :
2
2
2x xy y
x xy y m
⎧ + − =
⎨
+ + =
⎩ (1) cã nghiƯm
Gi¶i + Víi y=0 hƯ trë thµnh
2
2x
x m
⎧ = ⎨
=
⎩ Hệ có nghiệm m= + Với y≠0, đặt x t
y = , hÖ trë thµnh
2
2
2
1
2
1 t t
y m t t
y ⎧ + − = ⎪⎪
⎨
⎪ + + = ⎪⎩
⇔
( )
2
2
2
1
2
(2)
1
t t
y
t t m t t
⎧ + − = ⎪
⎨
⎪ + + = + −
⎩
(10)XÐt hÖ (2), tõ 2t2 t 12 y
+ − = suy
1
2 1
2 t t t
t < − ⎡ ⎢ + − > ⇔
⎢ > ⎢⎣
Do hệ (2) có nghiệm ( )t y,
2
1
2
t t m
t t + + ⇔ =
+ − cã nghiÖm ( )
, ,
2 t∈ −∞ − ∪⎛⎜ + ∞⎞⎟
⎝ ⎠ XÐt hµm sè ( )
2
1 f
2
t t t
t t + + =
+ khoảng
( )
, ,
2
⎛ ⎞
−∞ − ∪⎜ + ∞⎟
⎝ ⎠ Ta cã : ( ) ( )
2
2
6
f'
2
t t t
t t + + = −
+ − , ( )
3
f'
3
t t
t
⎡ = − − = ⇔ ⎢
= − + ⎢⎣
LËp b¶ng biÕn thiªn :
t −∞ − −3 − −3
−∞ f’(t) - + + -
f(t)
2 +∞
14 28 11
+ +
−∞ −∞
+∞
1
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ có nghiệm : 14 28 11 m≥ +
+
" 5 Giải hệ phơng trình : ( ) ( )
( ) ( )
3
2 1
2
x y
x y
⎧ + =
⎪
⎨ − =
⎪⎩
Gi¶i Râ rµng nÕu
2
y= hƯ v« nghiƯm Víi
2
y≠ , tõ (2) suy 33 x
y =
− , thay vµo (1) ta cã :
( )
( 3 )3
27
y y
+ =
− (3) XÐt hµm sè : ( )
( )
( 3 )3
27
f
2 y y
y +
= −
− , ta cã : ( )
( )
( )
3
3
81
f'
2
y y
y
y
+ +
= −
− Suy : f'( )y = ⇔ = −0 y
Ta cã bảng biến thiên :
y -1 +
f’(y) + - -
f (y)
−∞ −∞
+∞
−∞
-1
2
3
(11)Nhìn vào bảng biến thiên suy pt(3) nghiệm khoảng ( ; 1) ( )
1;
−
Ph−¬ng trình có nghiệm y= nghiệm khoảng (3 )
2,+ Dễ thấy y=2 nghiƯm thc kho¶ng (3 )
2,+ ∞
Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm : (− −1; 1) 1; 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
) 6 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 Bảng B )
Giải hệ phơng trình sau :
3
2
3 49
8 17
x xy
x xy y y x
⎧ + = − ⎨
− + = −
⎩
" 7 ( §Ị thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 Bảng A ) Giải hệ phơng trình : ( )
( )
2 2
3
1
4 ln
x y x y x y
y x y x
− − + − +
⎧ + = +
⎪ ⎨
+ + + + =
Giải ĐK: y2+2x>0
Đặt t=2xy phơng trình thứ hệ trë thµnh :
( )
1 1
1
5
t t t t t
t
+
− + + +
+ = + ⇔ = (1)
Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến nên t=1 nghiệm (1)
VËy 1
2 y
x− = ⇒ =y x + vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc :
( ) ( )
3
2 ln
y + y+ + y + + =y
Vế trái hàm đồng biến y =-1 nghiệm (2) Đáp số : x=0, y= −1
" 8 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2000-2001 Bảng B )
Giải hệ phơng trình :
2
x y x y
x y x y
⎧ + + + =
⎪ ⎨
+ + − =
Giải : ĐK có nghĩa hệ phơng trình : , 2{ x x} y
Đặt : 7x+ =y a 2x+ =y b Từ hệ ph−ơng trình cho ta có hệ : ( )
( )
5
2
a b b x y ⎧ + = ⎪
⎨ + − = ⎪⎩
NhËn thÊy : a2−b2 =5x KÕt hỵp víi (1) suy : (5 )
x
b= , vào (2) ta đợc : ( )
5
2
2 x
x y x y
− + − = ⇔ = −
ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 2 11 77 y− + − = ⇒ =y y −
(12)) 9 Cho hệ phơng trình ẩn x, y :
( )
( ) ( )
2
8 2 4
3 3
1
1
k x x x yx
k x x x k x y x
⎧ + + + =
⎪ ⎨
⎪ + + + + − =
⎩
1 Xác định k để hệ ph−ơng trình có nghiệm Giải hệ ph−ơng trình với k = 16
" 10 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996 Bảng A )
Giải hệ phơng trình :
1
3
1
7
x
x y y
x y
⎧ ⎛ ⎞
+ =
⎪ ⎜ + ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞
⎪ − =
⎜ ⎟
⎪ ⎝ + ⎠
⎩
Gi¶i §K cã nghÜa cđa hƯ : x≥0, y≥0 vµ x2+y2 ≠0
Dễ thấy , ( )x y, nghiệm hệ cho phải có x >0, y>0 Do :
Hệ cho
1
1
3
1
1
7
x y x
x y y
⎧⎛ + ⎞= ⎪⎜ + ⎟
⎝ ⎠
⎪ ⇔ ⎨
⎛ ⎞
⎪ −⎜ ⎟= ⎪⎝ + ⎠ ⎩
⇔
( ) ( )
1 2
1
3
1 2
1
3
x y x y
x y
⎧
= −
⎪ + ⎪ ⎨
⎪ = +
⎪ ⎩ Nh©n (1) với (2) theo vế ta đợc :
( )( ) ( )( )
1
21 7
3 xy x y y x y x y x y x
x+y = x− y ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ = ( v× x >0, y>0) Thay vào (2) giải ta đợc : 11 7, 22
21
x= + y= + Thử lại ta thấy thoả mÃn yêu cầu bt
Iii Hệ phơng trình Èn
) 1 ( §Ị thi HSG TØnh Quảng NgÃi 1995-1996) Giải hệ phơng trình :
3
3
3
6 12
6 12
6 12
y x x
z y y
x z z
⎧ − + − =
⎪ − + − = ⎨
⎪ − + − =
⎩
) 4 Giải hệ phơng trình :
2
2
2
12 48 64
12 48 64
12 48 64
x x y
y y z
z z x
⎧ − + =
⎪ − + =
⎨
⎪ − + =
⎩ " 5 Giải hệ phơng trình :
19 2001
19 2001
19 2001
1890 1890 1890
x y z z
y z x x
z x y y
⎧ + = +
⎪ + = +
⎨
⎪ + = +
⎩
(13)Giả sử (x y z, , ) nghiệm hệ ph−ơng trình (− − −x, y, z) nghiệm hệ ph−ơng trình , nên khơng tính tổng qt ta giả thiết : có hai ba số , ,x y z khơng âm Ví dụ x≥0, y≥0 Từ ph−ơng trình thứ ta suy z0
Mặt khác 0< u 1890+u2000> ≥2 u18+u4
NÕu u>1 th× 1890+u2000 > +1 u2000>2 u2000 =2.u1000 >u18+u4
Do 1890u u+ 2001>u19 +u5 với u>0
Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy x= = =y z 0.®pcm
) 6 Tìm điều kiện cần đủ m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
x m y y my
y m z z mz
z m x x mx
⎧ = + − +
⎪ = + − +
⎨
⎪ = + − +
⎩
" 7. ( §Ị thi HSG Qc Gia năm 2004 Bảng A )
Giải hệ phơng trình sau :
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 30 16 x x y z y y z x z z x y
⎧ + − =
⎪⎪ + − =
⎨ ⎪
+ − =
" 8 Giải hệ phơng trình :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1
1
1
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ + = − +
⎪⎪ + = − +
⎨ ⎪
+ = − +
⎪⎩
Giải Viết lại hệ cho d−ới dạng :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3
2 f
2 f
2 f
x x x y x g y
y y y z hay y g z
z z z x z g x
⎧ + + = + ⎧ =
⎪ + + = + ⎪ =
⎨ ⎨
⎪ + + = + ⎪ =
⎩ ⎩
Trong f( )t = + +t3 t2 2t g( )t =2t3+1 Nhận xét g(t), f(t) hàm đồng biến R : f'( )t =3t2+ + >2t 0,g( )t =6t2 ≥0, ∀ ∈t R
Suy hệ cho t−ơng đ−ơng với hệ :
( ) ( )4
h
x y z x
= = ⎧
⎨ =
⎩
Trong h( )t = − − +t3 t2 2t Nhận xét h( )t liên tục R : h( )− <2 0, h 0( )>0,
( ) ( )
h <0, h >0 nên ph−ơng trình h( )t =0 có nghiệm phân biệt nằm (−2; 2)
Đặt x=2cos ,u u∈(0;π) Khi sinu≠0 (4) có dạng : ( )
3
2cos , 0;
8cos 4cos 4cos
x y z u u
u u u
π
⎧ = = = ∈
⎨ − − + =
⎩ hay
( )
( )
2cos , 0;
sin 8cos 4cos 4cos
x y z u u
u u u u
π
⎧ = = = ∈
⎪
⎨ − − + =
⎪⎩
Hay 2cos , (0; )
sin4 sin3
x y z u u
u u
π
⎧ = = = ∈
⎨
=
(14)Giải hệ phơng trình (5) ta thu đợc ; ;
7 7
u∈ ⎨⎧π π π⎫⎬
⎩ ⎭ vµ
( )
2cos , 0;
3
; ;
7 7
x y z u u
u
π
π π π
⎧ = = = ∈
⎪
⎨ ∈ ⎨⎧ ⎫ ⎬
⎪ ⎩ ⎭
⎩
" 9 Tìm tất ba số dơng (x y z, , ) thoả mÃn hệ phơng tr×nh :
2004 6
2004 6
2004 6
2 2
x y z
y z x
z x y
⎧ = +
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩
Gi¶i :
Giả sử (x y z, , ) ba số d−ơng thoả mãn hệ PT cho Khơng tính tổng qt , giả sử 0< ≤ ≤x y z Nh− :
2004 6 6
2004 6 6
2
x y z x x
z x y z z
⎧ = + ≥ +
⎨
= + ≤ + ⎩
2004 2004
1
1
x
x x
x y z z
z z
≥
⎧ ≥ ⎧
⇒⎨ ⇒⎨ ≤ ⇒ = = =
≤ ⎩
⎩
Đảo lại, dễ thấy x= = =y z ba số dơng thoả mÃn yêu cầu to¸n
) 10 Tìm điều kiện m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :
2 2
2
2
1
x y z xy yz zx y z yz
x z xz m
⎧ + − + − − =
⎪ + + = ⎨
⎪ + + = ⎩
) 11 Giải hệ phơng trình :
5
5
5
2
2
2
x x x y
y y y z z z z x
⎧ − + =
⎪ − + =
⎨
⎪ − +⎩ =
) 12 Giải hệ phơng trình :
( )
( )
( )
3 2
3 2
3 2
3 3
3 3
3 3
x y y y
y z z z
z x x x
⎧ + + =
⎪⎪ + + =
⎨ ⎪
+ + =
" 13 Tìm tất số thực a cho hệ phơng trình sau có nghiệm thùc x, y, z :
1 1
1 1
x y z a
x y z a
⎧ − + − + − = − ⎪
⎨
+ + + + + = + ⎪⎩
Gi¶i ĐK: x1, y1, z1
Hệ phơng trình tơng đơng với hệ phơng trình :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
x x y y z z a
x x y y z z
⎧ − + + + − + + + − + + =
⎪ ⎨
+ − − + + − − + + =
Đặt u= x +1 x+1 ; v= y− +1 y+1 ; s= z− +1 z+1
Do x≥1, y≥1, z≥1 nªn u≥ 2,v≥ 2,s≥ Ngợc lại u 2,v 2,s 2, ta cã :
1 2
1
x x
u
x x
+ − − = =
+ + −
2
1
1
2
x u x u
u u
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ + = ⎜ + ⎟⇒ = ⎜ + ⎟≥
(15)Do tốn ta đ−a tốn t−ơng đ−ơng : Tìm tất số thực a cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm u≥ 2, v≥ 2, s≥ :
( )
2
1
1 1
1 u v s a
u v s + + = ⎧
⎪ ⎨
+ + = ⎪⎩
+ Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhia ta có :
( ) 1
2
2
a u v s a
u v s
⎛ ⎞
= + + ⎜ + + ⎟≥ ⇒ ≥
⎝ ⎠
+ Điều kiện đủ : Giả sử
2
a≥ Chúng ta chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm Lấy s=3 ( thoả mãn s≥ 2) Khi (1) t−ơng đ−ơng với : ( )
2
3
2 u v a
a u v
+ = − ⎧
⎪
⎨ −
= ⎪⎩
,
u v
⇔ lµ hai nghiƯm cđa tam thøc bËc hai : 2 2( 3) 2( 3) a t − a− t+ −
( )( )
2 3
,
2
a a a
u v − ±
=
Chú ý : Đặt ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
h= a− ≥ ⇒ h+ − > h+ >h h+ Tøc lµ : (2a− −3) 2 > (2a−3 2)( a−9) ⇒ >u 2,v>
Nh− vËy hÖ phơng trình (1) có nghiệm u 2,v 2,s Tóm lại số thực a cần tìm tất c¸c sè thùc
2 a≥ " 14 Giải hệ phơng trình :
1 1
20 11 2007
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎨ ⎝ ⎠
⎪ + + = ⎩
" 15 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 Bảng A )
Giải hệ phơng trình :
( ) ( ) ( )
2
3
3
3
2 6.log 6 log 6 log
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ − + − =
⎪⎪ − + − =
⎨ ⎪
− + − =
⎪⎩
Giải ĐK xác định , ,x y z<6 Hệ cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
3 2
log
2
log
2
log
2
x y
x x
y z
y y
z x
z z
⎧
− = ⎪
⎪ − +
⎪⎪ − =
⎨
− + ⎪
⎪
⎪ − =
⎪ − +
(16)NhËn thÊy f( )x =
2
2
x x x+
hàm tăng, g( )x =log 63( x) hàm giảm với x<6 NÕu (x y z, , ) lµ mét nghiệm hệ phơng trình ta chứng minh x=y=z.Không tính tổng quát giả sử x=max{x y z, , } có hai trờng hợp :
1) x y z Do g( )x hàm giảm, suy : log 63( −y)≥log 63( − ≥z) log 63( −x)
⇒ ≥ ≥x z y Do y≥z nên z=y Từ (1) (2) suy : x=y=z 2) x≥ ≥z y
T−¬ng tù log 63( −y)≥log 63( −x)≥log 63( −z)
⇒ ≥ z x y Do xz nên z=x Từ (1) (3) suy : x=y=z Phơng trình f( ) ( )x =g x cã nghiÖm nhÊt x=3
Vậy hệ cho có nghiệm : x=y=z=3 " 16 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 Bng B )
Giải hệ phơng trình :
3
3
3
3
3
3
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ + + − =
⎪ + + − = ⎨
⎪ + + − =
⎩
Gi¶i Gi¶ sư x=max{x y z, , } XÐt hai tr−êng hỵp :
1) x≥ ≥y z
Tõ hƯ trªn ta cã :
3
3
3
3
x x x x
z z z z
⎧ + + − ≤ ⎨
+ + − ≥ ⎩
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
1
1
x x x
z
z z
⎧ − ⎡ + + ⎤≤ ≤ ⎧
⎪ ⎣ ⎦
⇒⎨ ⇒⎨ ≤
⎡ ⎤ ⎩
⎪ − ⎣ + + ⎦≥ ⎩
2) x≥ ≥z y
Tõ hƯ trªn ta cã :
3
3
3
3
x x x x
y y y y
⎧ + + − ≤ ⎨
+ + − ≥ ⎩
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
1
1
x x x
y
y y
⎧ − ⎡ + + ⎤≤
≤ ⎧
⎪ ⎣ ⎦
⇒⎨ ⇒⎨ ≤
⎡ ⎤ ⎩
⎪ − ⎣ + + ≥⎦ ⎩
Cả hai tr−ờng hợp cho x= = =z y Thử lại ta thấy x= = =z y nghiệm hệ ph−ơng trình Tóm lại hệ cho có nghiệm : x= = =z y
) 17 Giải hệ phơng trình :
⎧
+ + − − − = ⎪
⎪
⎪⎪ + + + + + = ⎨
⎪ ⎪
+ + − − − =
⎪
1 1 1 118
9
1 1 728
x y z
x y z x y z
(17)" 18 Giải hệ phơng tr×nh :
( )
2
2
2
2
3 8
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
⎧ + = − +
⎪ + + = − ⎨
⎪ + + + = + +
⎩ Giải Hệ cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( )2 ( ) (2 ) (2 )2
0
1
4
x x y y y z
x x y z
x y y z x z
⎧ + + + =
⎪⎪ + + + =
⎨ ⎪
+ + + = + + +
⎪⎩
XÐt : aG=(x y; ), bG =(x+y y; +z),cG=(x+1; 2z+1) ⇒a bG G =0, a cG G=0, 4bG2 =Gc2 + NÕu aG=0G th× 0,
2 x= =y z= −
+ Nếu aG≠0G bG cG cộng tuyến nên : cG= ±2bG, từ ta có : 0, x= y= =z Tóm lại hệ có hai nghiệm : 0; 0; , 0; 1;
2 2
⎛ − ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
iV Hệ phơng trình n ẩn ( n >3, nN ) " 1 Giải hệ phơng trình :
1996
1
1996
2
1996 1995 1996
1996
1996
x x x
x x x
x x x
x x x
⎧ + = ⎪ + = ⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪
⎪ + =
⎩
Gi¶i : Gäi X giá trị lớn nghiệm xi,i=1, 1996 Y giá trị bé chúng
Thế từ phơng trình đầu ta có : 2X ≥x1+x2 =x31996
Từ ph−ơng trình hệ ta có : 2X ≥xk1996 ,∀ =k 1, 2, ,1996 Hay ta có : 2X ≥X1996 suy : 2≥ X1995 ( X >0 ) (1)
Lập luận cách t−ơng tự ta đến : 2≤ Y1995 (2) Từ (1) (2) suy X1995 =Y1995 =2
NghÜa lµ ta cã : 1995
1 1996
x =x = =x =
" 2 Gi¶i hƯ phơng trình :
1 2
1
1
n n n n
x a
x a x a
b b b
x x x c
−
− −
⎧ = = =
⎪ ⎨
⎪ + + + = ⎩
víi 1, 2, , 0,
n
n i
(18)Giải Đặt : 1 2
1
n n
n
x a
x a x a
t
b b b
−
− −
= = = =
Ta cã :
1 1
n n n
i i i i i i
i i i
x tb a x a t b
= = =
= + ⇒∑ =∑ + ∑
1
1 n
i
n n
i
i i n
i i
i i
c a
c a t b t
b
=
= =
=
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ =∑ + ∑ ⇒ = ∑
∑
1
1 n
i i i i i n
i i
c a
x a b
b
=
=
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ = + ∑