De thi va dap an thi KS HS kha gioi toan 10 lan 2 nam2011 2012

Dưới đây chỉ là hướng dẫn chấm, nếu học sinh làm cách khác đúng thì các đồng chí vận dụng hướng dẫn chấm này để cho điểm. Yêu cầu các đồng chí chấm đúng, chấm đủ bài của học sinh để trả[r]

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số 1

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 Năm học: 2011 – 2012

Mơn: Tốn lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2   x x

y có đồ thị parabol (P) 1) Tìm TXĐ, xét SBT, lập BBT vẽ đồ thị (P) hàm số

2) Tìm m để đường thẳng (d) y x m  cắt đồ thị (P) điểm A, B phân biệt có hồnh độ

dương

Câu II: (2 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình

(Thí sinh khối B, D khơng phải làm ý Thí sinh khối A khơng phải làm ý 3.) 1) x 3 x12 2x1 2) 3

1

( )(2 4) 36

x y

x y

x y x y



   



    



3)

  

    



  

 

x x y

x x x y

2

2 52 3 18

Câu III: (1 điểm) Giải bất phương trình: x1 x  5 x Câu IV: (Khối A:1 điểm; Khối B, D: điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho A1;3; B1;2; C2; 2 

1 Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm toạ độ trực tâm H ABC Tìm toạ độ điểm M cho 3MA  7MB 5MC 0

Câu V: (1 điểm) Thí sinh khối B, D khơng phải làm câu này.

Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng:

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y 

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm phần phần 2. 1 Theo chương trình chuẩn

Câu VIa: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, BC 4x + 3y – = 0; x – y – = Phân giác góc A nằm đường thẳng x + 2y – = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

2) Khơng sử dụng MTĐT, tính

9 cos cos cos

cos   

 A

Câu VIIa: (1 điểm) Chứng minh rằng: A x x  x x sin 2x

1 sin cos

2 sin

cos6 4

 

 

 không phụ thuộc

vào x

2 Theo chương trình nâng cao Câu VIb: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) trung điểm cạnh BC, hai cạnh AB, AC nằm hai đường thẳng d1: x y  0 d2: 2x6y 3 0. Tìm toạ độ đỉnh A, B, C

2) Khơng sử dụng MTĐT, tính

30 13 sin 30 11 sin 30 sin 30

sin    

 A

Câu VIIb: (1 điểm) Chứng minh rằng: Acos4xsin4x 2cos6xsin6x sin22x không phụ thuộc

vào x

- HẾT - Họ tên thí sinh: SBD: CHÚ Ý: + Học sinh không sử dụng tài liệu trao đổi làm bài.

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT LẦN MƠN TỐN - LỚP 10.

Lưu ý:

Dưới hướng dẫn chấm, học sinh làm cách khác đồng chí vận dụng hướng dẫn chấm điểm.

Yêu cầu đồng chí chấm đúng, chấm đủ học sinh để trả cho học sinh CÂ

U Ý NỘI DUNG ĐIỂM

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

I 1

.

+ Tập xác định (TXĐ) + Sự biến thiên: + Bảng biến thiên: + Đồ thị:

Mỗi ý cho 0.25 điểm

1đ

2 .

+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm

x2 2x 3 x m x2 3x m 3 0

         (1)

+ Đường thăng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ dương  (1) có nghiệm dương phân biệt

0 0

4 21

3

21

21

4

4

P S m m m

m m

      

  

  

   

   

  

      



+ Kết luận:

0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ II

1 .

+ Điều kiện: x3

+ Biến đổi phương trình dạng x 3 2x 1 x12

   

     

2

3 2 12

3 x

9 52

4 13

x x x x x

x x x

x x

x x

        

     

    

   



+ Kết luận: x4 nghiệm phương trình

0.25đ

0.5đ

0.25đ 2

. +) ĐK : x y, 0

+)

2

2

3 3

3

1 ( )( )

( )

1

x y

y x y xy x

x y x y y xy x

x y x y

x y

 

   

         

 

+) Trường hợp x = y thay vào phương trình: (x 4 )(2y x y 4) 36

0.25đ 0.25đ

ta phương trình: 4 12 0 6

2

x

x x

x

 

    

 

Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2) +) Trường hợp

2

3

y xy x

x y

 



Do y2 xy y2 0

   với x y, 0 nên ( ; )x y nghiệm xy 0

Mặt khác (x 4 )(2y x y 4) 36 2x2 4y2 9xy 4x 16y 36

         

2(x 1)2 4(y 2)2 9xy 18

      (*)

Do xy0 nên PT(*) vơ nghiệm

Vậy hệ cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)

0.25đ

3

+ Ta có HPT    

  

    

  

  

 

x x x y

x x x y

2

2

2 18

+ Đặt

2 2

3

x x a

x y b

  



  

Khi hệ phương trình trở thành

6 3 9

18 3

6

a b a b

ab a

b

  

 

  

 



 

  



     

+ Với 6

3

a b

  



 ta có

2

1 7 6 7

2 6 2 6 0

3 3 3 3 1 7

6 7

x y

x x x x

x y x y x

y

   

 

   

       

  

 

    

     

 

  

  

+ Với 3

6

a b

  



 ta có

2

1 3

2 3 2 3 0

3 6 3 6 3

9

x y

x x x x

x y x y x

y

  

 



       

 

  

     

 

     

Kết luận:

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

III + Điều kiện: x1

+ BPT  2 x1 x5 2  x1 x5x 2 x1 x5  3x 3  x 2 x1 x5 (2) + TH1: 1 x

(2)  x1 x5 3  x1 x5  8 5x (3) *

5x (3) Vậy

3

5x nghiệm BPT *

5

x

   3  x216x16 0 8 3 x 8 3 Vậy (3) có tập nghiệm là: 8

5

x

  

0.25đ

+ TH2: x3

(2)  x1 x 5 3 x1 x5  8 5x vô nghiệm với x3 Vậy BPT cho có tập nghiệm là: 3 x3

0.25đ 0.25đ

IV 1

+ Ta có:  

 

2; 2 1 , 1; AB AB AC AC                   

 không phương

Vậy A, B, C đỉnh tam giác

+ Gọi H x y 0; 0 trực tâm ABC Ta có

    0 0 1; 2;

BH x y

CH x y

            

H trực tâm ABC

   

   

0

0 0

0

0

0

1

1 5 11

11 24;

2 24 11 11

2 2

11 x

x y x y

BH AC

H

x y

x y

CH AB y

                                                                              0.25đ (0.5đ) 0.25đ (0.5đ) 2

Ta có: 3MA  7MB 5MC0

   

 

 

3

7

19;18 20; 15

MA MA AB MA AC

MA AB AC

MA M                                                                                                      

Vậy M20; 15  điểm cần tìm

0.5đ (1đ)

V

Đặt a 1;b 1;c

x y z



  



 ta có :

 

3 3

3 3

2 2 2a 2a 2a

( ) ( ) ( )

bc b c bc

x y z  y z x z x y b c  a c  b a

Do xyz = nên abc = Ta (4)

2 2

3 3

2 2 2a 2

( ) ( ) ( )

b c

x y z y z x z x y b c a c b a

     

     

Cũng áp dụng bất đẳng thức Cô si ta

a b c a b c    

b a c

b a c    

c a b

c b a    

2 2

a

2

b c a b c

b c a c b a

 

   

  

mà

a b c  33 abc 3

Vậy

2 2

3 3

2 2 2a 2

3

( ) ( ) ( )

b c

x y z y z x z x y b c a c b a   

Điều cần chứng minh

0.5đ

1 Theo chương trình chuẩn

VIa 1

.

+ Ta có:

AB: 4x3y 0 ; BC x y:  1 0

d x: 2y 0 phương trình đường phân giác góc A +  A  d AB Toạ độ A nghiệm hệ phương trình

4  2; 4

2

x y x

A

x y y

  

 

  

 

  

 

+  B ABBC Toạ độ B nghiệm hệ phương trình

4 1;0

1

x y x

B

x y y

  

 

 

 

  

 

+ Gọi B' điểm đối xứng với B qua d  B'AC Tìm B'

 xác định B d

qua

 

 

 Tìm phương trình :

2x y  0 .

+ Gọi H hình chiếu B d  H   d , toạ độ H nghiệm hệ

2 2; 2

2

x y x

H

x y y

  

 

 

 

  

 

+ Toạ độ B' 3; 4 , AB'5;0 + AC xác định A

B'

qua qua

 

 Tìm phương trình

2 :

4

x t

AC y

  

  

+ Tìm toạ độ C5; 4

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

2

+ Ta có cos49

9 cos cos

cos   

 A

2

.sin sin cos cos cos cos

9 9 9

1 2

= sin cos cos cos

2 9 9

1 4

= sin cos cos

4 9

1

= sin cos

8 9

1 = sin

16

1 = sin

16

A      

   

  

 

   

 



 

 

Vậy:

16

A

1đ

VIIa

+ Ta có: sin6 cos6 3sin 22

x x  x

sin4 cos4 1sin 22

x x  x

+ Do đó: A x x  x x sin 2x

2 sin

cos sin

cos6 4

 

 



2 2

3 1

1 sin sin sin

4 2

1

x  x x

     

 



Vậy

2

A

0.5đ

2 Theo chương trình nâng cao

VIb 1

+ Ta có :  A ABAC Toạ độ A nghiệm hệ phương trình

15

2 15;

2 4

4

x x y

A

x y

y

    

   

  

   

   

  

 

+ Gọi  

1

; ; ;

3

B B C C

B x  x d C x  x  d

 

Lại có M1;1 trung điểm BC, nên ta có:

 

1

2

4

1

9

3 1

4

B C

B

B C

C

x x

x

x x

x

 

 

 



 



   

    

  

  

  



Vậy 7; ; 1;

4 4

B  C 

   

0.25đ

0.5đ

0.25đ

2

Ta có: sin1330

30 11 sin 30 sin 30

sin    

 A

sin cos2 cos4 cos8

30 30 30 30

   



2

.cos sin cos cos cos cos

30 30 30 30 30 30

1 2

= sin cos cos cos

2 30 30 30 30

1 4

= sin cos cos

4 30 30 30

1 8

= sin cos

8 30 30

1 16

= sin

16 30

1 = s

16

A      

   

  

 

 

in

2 30

= cos

16 30

 



 



 

 

Vậy:

16

A

1đ

VIIb

+ Ta có: sin6 cos6 3sin 22

sin4 cos4 1sin 22

x x  x

+ Do đó: A cos4 x sin4 x 2cos6x sin6x sin22x 

 

 

2 2

1

1 sin 2 sin sin

2

1

x  x x

     

 



Vậy A1

ĐK : x y, 0

2

2

3 3

3

1 ( )( )

( )

1

x y

y x y xy x

x y x y y xy x

x y x y

x y

 

   

         

 

Trường hợp x = y thay vào phương trình: (x 4 )(2y x y 4)36

ta phương trình: 4 12 0 6

2

x

x x

x

 

    

 

Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2) Trường hợp

2

3

y xy x

x y

 



Do y2 xy y2 0

   với x y, 0 nên ( ; )x y nghiệm xy 0

Mặt khác (x 4 )(2y x y 4) 36 2x2 4y2 9xy 4x 16y 36

         

2(x 1)2 4(y 2)2 9xy 18

      (*)

Do xy0 nên PT(*) vô nghiệm

Vậy hệ cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)

Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz = CMR: 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y 

Đặt

1 1

; ;

a b c

x y z

  

ta có :

3 3

3 3

2 2 2a 2a 2a

( ) ( ) ( )

bc b c bc

x y z y z x z x y b c  a c  b a (1)

Do xyz = nên abc = Ta (1) 

2 2

3 3

2 2 2a 2

( ) ( ) ( )

b c

x y z y z x z x y b c a c b a   Cũng áp dụng bất đẳng thức Cô si ta

a

4 b c

a b c

   

2

4

b a c

b a c

  



2

4

c a b

c b a

   

2 2

a

2

b c a b c

b c a c b a

 

   

   mà a b c  33abc 3

2 2

3 3

2 2 2a 2

3

( ) ( ) ( )

b c

http://toanhocmuonmau.violet.vn