Bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC ĐÀ NẮNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— TRẦN THỊ NGỌC HUYỀN BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN THỊ NGỌC HUYỀN BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Đà Nẵng - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tồn nội dung trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS.Huỳnh Thế Phùng Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy, rõ nguồn gốc trích dẫn Đóng góp tơi tổng hợp tài liệu, trình bày thêm hình ảnh, ví dụ minh hoạ Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Trần Thị Ngọc Huyền LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Huỳnh Thế Phùng tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp TGTK34 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Tác giả Trần Thị Ngọc Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG Bài toán tối ưu tổng quát 1.1 Phát biểu toán, định lý tồn 1.2 Bài toán đối ngẫu 1.3 Điều kiện tối ưu CHƯƠNG Bài tốn quy hoạch tồn phương 13 2.1 Phát biểu tốn, tính chất 13 2.2 Điều kiện tối ưu toán (QP) 18 2.3 Bài toán đối ngẫu 23 CHƯƠNG Các phương pháp số giải (QP) 26 3.1 Phương pháp khử biến số 3.2 Phương pháp khử suy rộng 26 29 3.3 Phương pháp nhân tử Lagrange 3.4 Phương pháp đối ngẫu 34 36 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Rn Khơng gian vectơ n chiều Rn×n Khơng gian ma trận cấp n × n Rn×n Khơng gian ma trận đối xứng cấp n × n S xT Vectơ chuyển vị vectơ x (x ma trận cột tọa độ) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch toàn phương (QP) toán quy hoạch phi tuyến đơn giản Đó tốn tìm cực tiểu hàm bậc hai với ràng buộc tuyến tính Nếu dạng toàn phương xác định dương hay nửa xác định dương ta có tốn quy hoạch tồn phương lồi, cịn dạng tồn phương khơng xác định ta có tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi Các toán quan trọng quan tâm nghiên cứu nhiều vấn đề nảy sinh kinh tế, tài chính, cơng nghiệp kỹ thuật diễn đạt tốn quy hoạch tồn phương Rất nhiều tốn thực tế có sử dụng lý thuyết thống kê đưa dạng tốn quy hoạch tồn phương Vì phạm vi áp dụng toán dạng rộng lớn, bao trùm lĩnh vực đời sống kinh tế, kĩ thuật, nông nghiệp, công nghiệp, ngành khoa học thực nghiệm sinh học, hoá học Mặc dù toán kinh điển, phương pháp giải thường xuyên cải tiến để nâng cao hiệu việc ứng dụng giải toán thực tế Để cải tiến thuật toán người ta trước hết phải nghiên cứu vấn đề định tính thiết lập lại điều kiện tối ưu (cần đủ), khảo sát lý thuyết đối ngẫu quy hoạch tồn phương lồi từ đề cập tới phương pháp giải toán quy hoạch tồn phương Việc tìm hiểu chủ đề cần thiết hữu ích, giúp hiểu vận dụng phương pháp quy hoạch toàn phương vào tốn tối ưu khác Vì vậy, đồng ý hướng dẫn PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề tài : “BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG” cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu đề tài Nghiên cứu toán tối ưu, hạn chế quy hoạch toàn phương, xây dựng phương pháp giải dựa đặc điểm toán Phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp: - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo mới, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan - Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Đóng góp đề tài - Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ Bài toán quy hoạch toàn phương, đặc trưng lý thuyết phương pháp giải - Bổ sung ví dụ, hình ảnh chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Bài tốn tối ưu tổng qt Chương trình bày khái niệm, định lý tồn bản, điều kiện tối ưu toán đối ngẫu toán tổng quát Chương 2: Bài toán quy hoạch tồn phương Chương nội dung luận văn, trình bày vấn đề liên quan đến tốn quy hoạch tồn phương Chương 3: Các phương pháp số giải tốn quy hoạch tồn phương Chương trình bày số phương pháp số để giải tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc đẳng thức ràng buộc bất đẳng thức 37 Trong G ma trận đối xứng xác định dương Chúng ta biết mục (2.2) toán đối ngẫu minm − (b + AT G−1 g)T λ + λT (AT G−1 A)λ, λ∈R λi ≥ 0, i ∈ I (3.37) (3.38) Chúng ta có tập chấp nhận (3.37),(3.38) Ta giải ràng buộc đẳng thức phương pháp lặp minm − (b + AT G−1 g)T λ + λT (AT G−1 A)λ λ∈R λi = 0, i ∈ S k , (3.39) (3.40) Trong S k ⊆ I tập hoạt động toán đối ngẫu (3.37), (3.38) Giả sử λk điểm chấp nhận đượ toán (3.39), (3.40) Thì xk = −G−1 (g − Aλk ), Gxk + g = Aλk , Và từ Chúng ta có (b + AT G−1 g − AT G−1 Aλk )i = 0, ∀i ∈ / Sk (3.41) (AT xk − b)i = 0, ∀i ∈ / Sk, Do đó, xk điểm chấp nhận toán minm g T x + xT Gx λ∈R aTi x = bi , i ∈ / Sk (3.42) (3.43) Ta viết Sk = {I ∪ E} \ S k Nó khơng khó để tìm nhân tử Lagrange toán đối ngẫu (3.37),(3.38) thỏa mãn (AT G−1 Aλk − b − AT G−1 g)i =(AT xk − b)i = aTi xk − bi , i ∈ S k (3.44) Chúng ta nói λk điểm chấp nhận (3.37), (3.38) Nếu nhân tử Lagrange (3.44) tốn đối ngẫu (3.39), (3.40) khơng âm, xk điểm KKT toán gốc (3.34), (3.35), (3.36) Giả sử Ak ma trận cột 38 (i ∈ Sk ), λk vecto cấu thành λk ứng với i ∈ Sk Từ (3.41) ta có bi + aTi G−1 g − aTi G−1 Ak λk = 0, i ∈ Sk Nghĩa b(k) + ATk G−1 g − ATk G−1 Ak λk = 0, (3.45) λk = (ATk G−1 Ak )−1 [b(k) + ATk G−1 g] (3.46) b(k) phận cấu thành b ứng với i ∈ Sk (3.45) cho: Khi nhân tử Lagrange (3.41) không âm, ta nên sử dụng phương pháp tập chấp nhận được, ứng với số ik ∈ S k thêm ik vào Sk Để thuận tiện, ta viết ik p Thì có Sk+1 = Sk ∪ {p} Giả sử λk+1     λk δλk =   +   βk Từ (3.46) ta có      T −1 T −1 A G Ak Ak G ap δλ  k   k =   T −1 T −1 T ap G Ak ap G ap βk bp − ap xk suy     T −1 −1 T −1 λk −(Ak G Ak ) Ak G ap  λk+1 =   + βk  thế,   λk xk+1 = xk + G−1 Ak+1 (λk+1 −  ) Giả sử = xk βk G−1 (I − Ak (ATk G−1 Ak )−1 ATk G−1 )ap (3.47) (3.48) (3.49) (3.50) (3.51) A∗k = (ATk G−1 Ak )−1 ATk G−1 , (3.52) yk = A∗k ap Từ λk+1 thỏa mãn λk+1 ≥ từ (3.49) (3.52) cho ≤ βk ≤ (λk )j i∈Sk ,(yk )j >0 (yk )j 39 Nếu yk ≤ G−1 (I − Ak A∗k )ap = 0, (3.53)   −yk  = (−yk , 1)T (ATk+1 G−1 Ak+1 )  (3.54) (−yk , 1)T (b(k+1) + ATk+1 G−1 g) = bp − aTp xk > (3.55) Nó chứng tỏ tốn đối ngẫu (3.37), (3.38) không xác định Nên theo lý thuyết tính đối ngẫu tốn ban đầu (3.34)- (3.36) khơng có điểm chấp nhận Bây ta sử dụng thuật tốn mơ tả phương pháp đối ngẫu Goldfarb Idnani sau xét trường hợp me = 0, nghĩa xét với toán với ràng buộc bất đẳng thức sau: Thuật toán Goldfarb - Idnani Bước 1: Cho x1 = −G−1 g, f1 = g T x1 , S1 = φ; k = 1, λ1 = φ, q = Bước 2: Tính ri = bi − aTi xk , i = 1, , m Nếu ri ≤ dừng lại Chọn rp cho rp = max1≤i≤m ri ;   λk λk :=   (3.56) Bước 3: dk := Gk ap = G−1 (I − Ak A∗k )ap ; yk = A∗k ap Nếu {j|(yk )j > 0, j ∈ Sk } không rỗng, tập (λk )l (λk )j = αk = i∈Sk ,(yk )j >0 (yk )j (yk )l Ngược lại tập αk = ∞ (3.57) Bước 4: Nếu dk = chuyển qua bước 5; Nếu αk = ∞ dừng thuật tốn (bài tốn gốc khơng có điểm chấp nhận được); S := Sk \ {l}; q := q − 40  λk := λk + αk  hoán đổi A∗k Gk ; quay lại bước −yk  ; (3.58) Bước 5: αk := min{αk , α}; fk+1 xk+1 := fk + αk dk : := fk + αk aTp dk ( αk + (λk )q+1 );   −yk  λk+1 := λk + αk  (3.59) Bước 6: Nếu αk < α chuyển tới bước Sk+1 := Sk ∪ {p}; q := q + 1; Tính Gk+1 A∗k+1 , k := k + quay lại bước Bước 7: Sk := Sk \ {l}; q := q + 1; Khử l từ phân tích λk nhận a λk Tính A∗k Gk ; quay lại bước Ví dụ 3.3 Xét tốn quy hoạch tồn phương: 1 x21 + x22 + x23 − 3x2 − 3x3 2 − x1 − x2 − x3 ≥ −1, x3 − x2 ≥ −1 (3.60) (3.61) (3.62) Biến đổi tốn theo ví dụ (3.1) Ngiệm toán (−1, , )T sử dụng thuật toán Thuật toán Goldfarb - Idnani, ta có: 2      x1 = −G− 1g =   , 41 r1 = > 0, r2 = > Thì ta có p = chuyển qua bước  −1     d1 = G−1 ap =  −1 −1 từ S1 rỗng, α1 = ∞ bước Trong bước 5, có tập α = −r1 /aTp d1 = 1, và:   −1    α1 = 1, x2 = x1 + α1 dk =   , λ2 = (1), S2 = {1} Do đó, sau vịng lặp, x2 nghiệm tốn 1 x21 + x22 + x23 − 3x2 − 3x3 2 − x1 − x2 − x3 = −1, (3.63) (3.64) Trrong vòng lặp 2, có r1 = 0, r2 = từ bược p = 2,       0        −1 = −1 d2 = G−1 (I −  1 1  3     1 từ y2 = aT2 a1 = bước ta có α = ∞ bước ta có α = −r2 /aT2 d2 = α2 := α = ,       −1 −1        3      x3 = x2 + α d =  −1 + −1 = −  ,   −1 T λ = (1 ) Vì thế, x3 nghiệm tốn gốc λ nhân tử Lagrange 42 tương ứng 43 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày tổng quan tốn quy hoạch tồn phương, mà tập trung vào số nội dung là: Phát biểu tốn, xác định tốn đối ngẫu, phát biểu điều kiện cần/đủ tối ưu, trình bày số phương pháp số giải tốn Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn sinh viên để luận văn hoàn thiện 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, 2016, Bài giảng: Tối ưu phi tuyến, Đại học Huế [2] Vũ Thị Đào, 2011, Phương pháp giải quy hoạch toàn phương, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [3] Frederick S Hillier, Gerald J Lieberman, 1990, Introduction to Operations Research, 5th −edition, McGraw-Hill [4] Wenzu Sun, Ya-Xiang Yuan, 2006, Optimization Theory and Methods – Nonlinear Programming, Springer [5] Zdenek Dostal, 2009 Optimal Quadratic Programming Algorithms, Springer ... vấn đề liên quan đến tốn quy hoạch toàn phương Chương 3: Các phương pháp số giải tốn quy hoạch tồn phương Chương trình bày số phương pháp số để giải toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc đẳng... lớp tốn quy hoạch tuyến tính lớp lớp tốn quy hoạch tồn phương • Nếu f hàm lồi tốn min{f (x)|x ∈ ∆} gọi quy hoạch toàn phương lồi Nếu f khơng hàm lồi toán min{f (x)|x ∈ ∆} gọi quy hoạch tồn phương. .. chọn đề tài : “BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG” cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu đề tài Nghiên cứu toán tối ưu, hạn chế quy hoạch toàn phương, xây dựng phương pháp giải dựa đặc điểm toán Phương pháp nghiên