BGDS1

NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài Giảng Toán 3.. Bài Giảng Toán 3.[r]

Bài Giảng Toán 3

Bài Giảng Tốn 3

NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài Giảng Tốn 3

Bài Giảng Tốn 3

NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

GIỚI THIỆU KHỐ HỌC

• Thời gian: 15 tuần (3 tín chỉ)

• kiểm tra thường kì:tuần thứ 6, thứ 11

• Giáo trình thức: Nhập mơn Đại số tuyến tính (Gilbert Strang)

• Tài liệu tham khảo:

+ Nguyễn Hữu Bảo, Trần An Hải, Bài giảng Tốn 3, http://www.wru.edu.vn

+ Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp tập 1, Nhà xuất Giáo dục, 2007

Tuần 1

• Giới thiệu vectơ

1 GIỚI THIỆU VECTƠ

1.1 Nhắc lại vectơ hình học

• Vectơ hình học đoạn thẳng có định hướng

• Tổng hai vectơ được xác định theo quy

tắc tam giác quy tắc hình bình hành

• Tích vectơ v với số thực x vectơ xv, được xác định bởi:

+ Nếu x ≥ xv cùng hướng với v, x < xv ngược hướng với v + lxvl = lxl lvl

• Tổ hợp tuyến tính vectơ v1, v2,…,vn

là vectơ có dạng x1v1 + …+ xnvn

Ví dụ:

• Tất tổ hợp tuyến tính vectơ v lấp đầy đường thẳng

0

y x

z

V

• Nếu v1, v2 vectơ khơng phương tổ hợp tuyến tính chúng x1v1 +

• Nếu v1, v2, v3 vectơ khơng đồng phẳng tổ hợp tuyến tính chúng x1v1 +

• Tích vơ hướng hai vectơ v w là số thực ký hiệu v.w,

v.w = lvl lw l.cos(v,w)

• Biểu diễn vectơ dạng tọa độ

+ Trong mp Oxy, vectơ v biểu diễn

được dạng: v = xi + yj

Ta đồng vectơ v v iớ cặp số (x, y) viết

+ Tương tự kg Oxyz, vectơ v

1.2 Mở rộng khái niệm vectơ

Một n số thực

là vectơ cột n - thành phần

Nhiều ta viết vectơ dạng (x1, x2,…,xn)

• Tương tự R2 R3 ta có:

Với hai vectơ v = (x1,…,xn) w = (y1,…,yn) thì: v + w = (x1 + y1 , … , xn + yn)

tv = (tx1, … ,txn)

+ Tích vô hướng hai vectơ v = (x1,…,xn)

w = (y1,…,yn)

v.w = x1y1 + … + xnyn

+ Độ dài vectơ v = (x1,…,xn)

lvl = (x12 + … + xn2)1/2

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 Định nghĩa

Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ mxn) hệ có dạng:

• Nếu đặt

hệ (1) cịn viết dạng

x1v1 +x2v2 +…+ xnvn = b (2)

(2) Được gọi dạng cột hệ pttt (hoặc dạng vectơ hệ pttt)

• Nếu đặt

thì hệ viết dạng

, 2 22 21 12 11              mn m m n n a a a a a a a a a A

A gọi ma trận hệ số hệ pttt                           n n b b b b x x x x , 2

a a a  i m hi  i1, i2, , in , 1,2, ,

Ví dụ

Dạng hàng:

                     2 x x                     2 x x        2 x x x x Dạng cột

2.2 Một số hệ pttt đặc biệt cách giải

a) Hệ dạng tam giác là hệ

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1 a22x2 +…+ a2nxn = b2 ………

annxn = bn

trong a11, a22,…,ann ≠

b) Hệ dạng hình thang

Ví dụ: Hệ sau gọi hệ dạng hình thang

4x1 + x2 +3x3 – x4 + x5 =

2x3 + 2x4 – 5x5 =

2x4 + x5 =

TRỤ

Đặc điểm hệ dạng hình thang: Phương trình sau ln có số ẩn phương trình trước

• Cách giải hệ dạng hình thang:

+B1: Chuyển biến tự sang vế phải gán cho chúng giá trị tùy ý

Ví dụ, hệ ta có

4x1 + 3x3 – x4 = – x2 - x5 2x3 + 2x4 = + 5x5

2x4 = -x5

+B2: Hệ cịn lại có dạng tam giác

2.3 Phương pháp Gauss giải hệ

phương trình tuyến tính bất kỳ.

Ý tưởng phép khử Gauss: Dùng phép biến đổi tương đương để đưa hệ hai trường hợp hệ tam giác hệ hình thang Các phép biến đổi tương đương là:

• Đổi chỗ hai hàng hệ.

• Lấy phương trình hệ trừ bội

Ví dụ : Giải hệ pttt sau

2x – 3y = 4x – 5y + z = 2x – y – 3z =

Lời giải:

B1: Dùng trụ hệ để khử

số nằm trụ cách:

Lấy pt trừ lần pt lấy pt trừ lần pt ta thu hệ:

2x – 3y =

B2: Dùng trụ thứ hai để khử số bên dưới cách:

Lấy pt trừ lần pt ta hệ 2x – 3y =

y + z = - z =

B3 : Q trình khử kết thúc khơng cịn số nào bên trụ thứ Hệ thu hệ tam giác nên giải ngược từ lên ta được: z = 0, y = 1, x =

Chú ý: Trong q trình thực phép khử Gauss ta gặp số tình huống sau:

• Nếu pt khơng có trụ ta đổi pt lên

• Nếu gặp pt có dạng = ta bỏ pt

Ví dụ Giải hệ pttt sau

x1 – x2 = 160

x2 – x3 = - 40

x3 – x4 = 210

- x1 + x4 = -330

Lời giải:

B1: Lấy pt4 trừ -1 lần pt1 x1 – x2 = 160

x2 – x3 = - 40

x3 – x4 = 210

B2: Lấy pt trừ -1 lần pt

B3: Lấy pt trừ -1 lần pt

x1 – x2 = 160

x2 – x3 = - 40

x3 – x4 = 210

=

B4: Bỏ qua pt cuối, hệ có dạng hình thang với biến trụ x1, x2, x3 biến tự x4

Chuyến biến tự sang bên phải ta nghiệm hệ là:

x1 = x4 + 330, x2 = x4 + 170, x3 = x4 + 210,

Chú ý: Để cho đỡ cồng kềnh trình bày, người ta dùng ma trận để ghi lại biến đổi bước

Trong Ví dụ trên, ta trình bày sau:

Ví dụ Giải hệ pttt sau

Lời giải

Bỏ qua pt cuối, khôi phục hệ giải ngược từ lên ta nghiệm: x3 = 1, x2 = 2, x1 =

Minh họa cách giải hệ phần mềm Matlab

B1 Nhập ma trận rộng M hệ

B2 Dùng lệnh rref (M) để rút gọn ma trận M dạng hình thang thu gọn

B3 Khôi phục hệ giải theo phương pháp

TỔNG KẾT CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA TUẦN 1

1 Không gian Rn phép tốn

2 Hệ phương trình tuyến tính

• Ba cách diễn đạt hệ pttt: Dạng hàng, dạng cột, dạng ma trận

• Cách giải hai hệ pttt đặc biệt: Hệ tam giác, Hệ hình thang

http://www.wru.edu.vn