Kh«ng lµm trßn ®iÓm.[r]
(1)sở giáo dục đào tạo quảng ninh
- -
kú thi häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2010-2011
Đề thi thức
môn : Toán ( bảng A )
Họ tên, chữ ký giám thị số
Ngày thi : 26/10/2010 ………
Thêi gian lµm bµi : 180 phót
(khơng kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi có 01 trang)
Bi (5 điểm):
1 Giải phương trình: (5 6)2
5
x x
x x
2 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: x3 + 3x2 ≤ m
3
x x
Bài (3 điểm):
Giả sử M điểm tam giác ABC cho MAB=MBC=MCA= Chứng minh : cot cot A cot B cot C
Bài (6 điểm):
Cho điểm O cố định số thực dương a khơng đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi thoả mãn đồng thời điều kiện: OA = OB = OC = a, SA OA, SB OB, SC OC, ASB 900, BSC 600, CSA 1200 Chứng minh:
a) Tam giác ABC tam giác vuông
b) Điểm S cách O khoảng không đổi
Bài (3 điểm):
KÝ hiÖu Ckn tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n), tÝnh tæng sau :
S = C20100 + 2010
2C + 3C22010 + … + 2010C20092010 +
2010 2010
2011C
Bài (3 điểm):
Các số thực dương x, y tháa m·n điều kiện: x + y +1= 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 3x + 3y 12 12
y(x+1) x(y+1) x y
- HÕt -
(2)sở giáo dục đào tạo quảng ninh
h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2010-2011 mơn tốn bảng A đề thức
Bài Sơ l-ợc lời giải Cho
điểm Bài 1.1
2,5 điểm
ĐiỊu kiƯn:
x (*); xÐt hµm sè f(t) = t -2 t-1 với
7
t phương trình cho (1) f(5x-6) = f(x)
có : f '(t) = 2t + 3 > (t-1) với
7 t >
5 => f(t) đồng biến ( ;+ )
5 (1) f(5x-6) = f(x) 5x - = x x =3
2
3
2
x thoả (*) nờn phương trỡnh cho có nghiệm
x
1,0 0,75 0,5 0,25 Bài 1.2
2,5 điểm
ĐK: x≥1; với đ/k thì: x x ≥ nên bất phương trình cho (1) <=> (x3 + 3x2 -1)
3
x x ≤ m (2)
Xét f(x) = x3 + 3x2 -1 ; g(x) =
3
x x h(x)=f(x).g(x) với x≥1 Ch/m f(x) g(x) đồng biến nhận giá trị dương [1; + ) => h(x) đồng biến [1; + ) => [1; + ) h(x) = h(1) =
khi (1) có nghiệm <=> m ≥ h(x) <=> m ≥
0,75
0,75 0,5 0,5 Bài
3 điểm
Trc hết chứng minh được: với MNP ta có: cotM=
2 2
MNP
MN MP NP
4S (*) Thật vậy, áp dụng định lý hàm số cơsin ta có:
2 2
MN MP NP
2MN.MP = cosM => cotM=
2 2
MN MP NP
2MN.MP.sin M =
2 2
MNP
MN MP NP
4S
Gọi S1, S2, S3, S diện tích tam giác AMB, BMC, CMA ABC, áp dụng kết (*) cho tam giác AMB, BMC, CMA ABC ta được: cot =
2 2 2 2 2
1
MA AB MB MB BC MC MC CA MA
4S 4S 4S (1)
cotA=
2 2
AB AC BC
4S ; cotB=
2 2
BA CB AC
4S ; cotC=
2 2
CA CB AB
4S (2) Từ (1), theo t/chất dãy tỷ số =>
2 2
AB AC BC
cot
4S (3)
từ (2) suy ra:
2 2
AB AC BC
cot A cot B cot C
4S (4)
Từ (3), (4) suy ra: cot = cotA + cotB + cotC (đpcm)
1,0
(3)Bài Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài 3a
4 ®iĨm
Hình vẽ:
I S
A
O
C
B
Từ giả thiết: OA=OB=OC=a, SA OA, SB OB, SC OC, ASB 900,
BSC 60 , CSA 1200chứng minh SA=SB=SC tính được: BC = SB = SA;
AB = 2SA; AC = 3SA
=> AC2 = AB2 + BC2 , từ suy tam giác ABC vuông B (đpcm ! )
1,0 0,5 0,75 0,75 1,0 Bµi 3b
2 ®iĨm
Gọi I trung điểm AC, chứng minh được: SI (ABC); OI (ABC) => S, A, O, C đồng phẳng S, I, O thẳng hàng
Tính SO = 2a/ = cosnt (đpcm ! )
1,0 0,5 0,5 Bµi
3 ®iĨm Xét f(x) = x(1+x) 2010
Có: (1+x)2010 =C02010+
1 2010
C x+ 2
2010
C x +… +C20092010x2009 +
2010 2010 2010
C x
=> x(1+x)2010=C02010x+
1 2010
C x +C22010x3+… +C20092010x2010 +
2010 2011 2010
C x
=> f '(x) = [C20100 x+
1 2010
C x +C22010x3+… +C20092010x2010 +
2010 2011 2010
C x ]'
= C02010+2 2010
C x+3C22010x2+… +2010C20092010x2009 +2011
2010 2010 2010
C x
Khi S=C02010+ 2010
2C +
2010
3C +…+ 2010C20092010 +2011C20102010 = f '(1)
Mặt khác, cịn có f '(x) = [x(1+x)2010
]' = … = (1+x)2009.(2011x+1) Từ suy S = f '(1) = … = 503.22011
0,5 0,5
(4)Bµi Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài
3 ®iĨm
Do x, y>0 nên theo BĐT Cơsi có: x y xy, dấu đạt <=> x = y với gi¶ thiÕt => 3xy xy => xy => xy
Khi đỈt t xythì t 1, biến đổi được:
2 2
2
3 3 ( 1) ( 1) 36 27
( 1) ( 1) ( 1)
x y x y y x t t
y x x y xy xy x y t
và
2 2
2 2 2
1 (3 1) 36 32 4
x y t t t t
x y x y t t => M =
5
t t
XÐt hàm số ( ) 21
t f t
t trªn [1;+ ), có
5 '( )
4
t f t
t => f '(t) < t≥1
=> f(t) nghịch biến [1;+ )
=> max M= f(1) =1, đạt <=> t = <=> xy = x = y <=> x = y = Vy giá trị lớn biểu thức M
0,5 0,5
0,5 0,5
0,75 0,25
C¸c chó ý chÊm:
1 H-ớng dẫn chấm trình bày sơ l-ợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đ-ợc ®iÓm tèi ®a
2 Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt số điểm dành cho câu, phần
3 Cã thĨ chia điểm phần nh-ng không d-ới 0,25 đ ph¶i thèng nhÊt c¶ tỉ chÊm