De thi Hsg 12 Tinh Bang A Toan 2010

Kh«ng lµm trßn ®iÓm.[r]

(1)

sở giáo dục đào tạo quảng ninh

- -

kú thi häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2010-2011

Đề thi thức

môn : Toán

Họ tên, chữ ký giám thị số

Ngày thi : 26/10/2010 ………

Thêi gian lµm bµi : 180 phót

(khơng kể thời gian giao đề) ………

(Đề thi có 01 trang)

Bi (5 điểm):

1 Giải phương trình: (5 6)2

5

x x

2 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: x3 + 3x2 ≤ m

3

x x

Bài (3 điểm):

Giả sử M điểm tam giác ABC cho MAB=MBC=MCA= Chứng minh : cot cot A cot B cot C

Cho điểm O cố định số thực dương a khơng đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi thoả mãn đồng thời điều kiện: OA = OB = OC = a, SA OA, SB OB, SC OC, ASB 900, BSC 600, CSA 1200 Chứng minh:

a) Tam giác ABC tam giác vuông

b) Điểm S cách O khoảng không đổi

KÝ hiÖu Ckn tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n), tÝnh tæng sau :

S = C20100 + 2010

2C

2010C

2010 2010

2011C

Các số thực dương x, y tháa m·n điều kiện: x + y +1= 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 3x + 3y 12 12

y(x+1) x(y+1) x y

- HÕt -

(2)

sở giáo dục đào tạo quảng ninh

h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2010-2011 mơn tốn bảng A đề thức

Bài Sơ l-ợc lời giải Cho

điểm Bài 1.1

2,5 điểm

ĐiỊu kiƯn:

x (*); xÐt hµm sè f(t) = t -2 t-1 với

7

t phương trình cho (1) f(5x-6) = f(x)

có : f '(t) = 2t + 3 > (t-1) với

7 t >

5 => f(t) đồng biến ( ;+ )

5 (1) f(5x-6) = f(x) 5x - = x x =3

2

3

2

x thoả (*) nờn phương trỡnh cho có nghiệm

x

1,0 0,75 0,5 0,25 Bài 1.2

2,5 điểm

ĐK: x≥1; với đ/k thì: x x ≥ nên bất phương trình cho (1) <=> (x3 + 3x2 -1)

3

x x ≤ m (2)

Xét f(x) = x3 + 3x2 -1 ; g(x) =

3

x x h(x)=f(x).g(x) với x≥1 Ch/m f(x) g(x) đồng biến nhận giá trị dương [1; + ) => h(x) đồng biến [1; + ) => [1; + ) h(x) = h(1) =

khi (1) có nghiệm <=> m ≥ h(x) <=> m ≥

0,75

0,75 0,5 0,5 Bài

3 điểm

Trc hết chứng minh được: với MNP ta có: cotM=

2 2

MNP

MN MP NP

4S (*) Thật vậy, áp dụng định lý hàm số cơsin ta có:

2 2

MN MP NP

2MN.MP = cosM => cotM=

2 2

MN MP NP

2MN.MP.sin M =

2 2

MNP

MN MP NP

4S

Gọi S1, S2, S3, S diện tích tam giác AMB, BMC, CMA ABC, áp dụng kết (*) cho tam giác AMB, BMC, CMA ABC ta được: cot =

2 2 2 2 2

1

MA AB MB MB BC MC MC CA MA

4S 4S 4S (1)

cotA=

2 2

AB AC BC

4S ; cotB=

2 2

BA CB AC

4S ; cotC=

2 2

CA CB AB

4S (2) Từ (1), theo t/chất dãy tỷ số =>

2 2

AB AC BC

cot

4S (3)

từ (2) suy ra:

2 2

AB AC BC

cot A cot B cot C

4S (4)

Từ (3), (4) suy ra: cot = cotA + cotB + cotC (đpcm)

1,0

(3)

Bài Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài 3a

4 ®iĨm

Hình vẽ:

I S

A

O

C

B

Từ giả thiết: OA=OB=OC=a, SA OA, SB OB, SC OC, ASB 900,



BSC 60 , CSA 1200chứng minh SA=SB=SC tính được: BC = SB = SA;

AB = 2SA; AC = 3SA

=> AC2 = AB2 + BC2 , từ suy tam giác ABC vuông B (đpcm ! )

1,0 0,5 0,75 0,75 1,0 Bµi 3b

2 ®iĨm

Gọi I trung điểm AC, chứng minh được: SI (ABC); OI (ABC) => S, A, O, C đồng phẳng S, I, O thẳng hàng

Tính SO = 2a/ = cosnt (đpcm ! )

1,0 0,5 0,5 Bµi

3 ®iĨm Xét f(x) = x(1+x) 2010

Có: (1+x)2010 =C02010+

1 2010

C

x

2010

C

x

C

x

2010 2010 2010

C

x

=> x(1+x)2010=C02010x+

1 2010

C

x

C

x

2010 2011 2010

C

x

=> f '(x) = [C20100 x+

1 2010

C

x

C

x

C

x

2010 2011 2010

C

x

]'

= C02010+2 2010

C

x

C

x

2010 2010 2010

C

x

Khi S=C02010+ 2010

2C

2010

3C

2010C

2011C

Mặt khác, cịn có f '(x) = [x(1+x)2010

]' = … = (1+x)2009.(2011x+1) Từ suy S = f '(1) = … = 503.22011

0,5 0,5

(4)

Bµi Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài

3 ®iĨm

Do x, y>0 nên theo BĐT Cơsi có: x y xy, dấu đạt <=> x = y với gi¶ thiÕt => 3xy xy => xy => xy

Khi đỈt t xythì t 1, biến đổi được:

2 2

2

3 3 ( 1) ( 1) 36 27

( 1) ( 1) ( 1)

x y x y y x t t

y x x y xy xy x y t

và

2 2

2 2 2

1 (3 1) 36 32 4

x y t t t t

x y x y t t => M =

5

t t

XÐt hàm số ( ) 21

t f t

t trªn [1;+ ), có

5 '( )

4

t f t

t => f '(t) < t≥1

=> f(t) nghịch biến [1;+ )

=> max M= f(1) =1, đạt <=> t = <=> xy = x = y <=> x = y = Vy giá trị lớn biểu thức M

0,5 0,5

0,75 0,25

C¸c chó ý chÊm:

1 H-ớng dẫn chấm trình bày sơ l-ợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đ-ợc ®iÓm tèi ®a

2 Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt số điểm dành cho câu, phần

3 Cã thĨ chia điểm phần nh-ng không d-ới 0,25 đ ph¶i thèng nhÊt c¶ tỉ chÊm