Viết phương trình đường thẳng: có 2 dạng là viết phương trình tham số (PTTS) và phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng d1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.[r]
(1)CÁC VẤN ĐỀ ƠN TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 CB KÌ 2 A Những kiến thức cần nhớ
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Viết phương trình đường thẳng: có dạng viết phương trình tham số (PTTS) phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng d Sau trường hợp
- TH1: { điqua M(xo , yo) vecter chỉphương(a , b) +) PTTS d: {x=xo+at
y=yo+bt +) PTTQ d: b(x - xo) - a(y – yo) = - TH2: { đi qua M(xo , yo)
vecter pháp tuyến(a , b) +) PTTS d: {x=xo+bt
y=yo−at +) PTTQ d: a(x - xo) + b(y – yo) = - TH3: {đ iqua M(xo , yo)
hệsốg ó c k
+) PTTQ d: y = k(x – xo¿ + yo - TH4: Đi qua điểm A(xA ,yA) B(xB,yB)
+) Khi ta có d: {điqua A(x A , y A)
vecter chỉphương quay lại TH1
- TH5: Đi qua điểm A(xA ,yA) song song với đường thẳng d’: ax + by + c = +) d // d’ nên vecter pháp tuyến d’ vecter pháp tuyến d +) mà vecter pháp tuyến d’ n'
(a,b) d: {vecter pháp nđi qua A(x A , y Aế (a , b)) quay lại TH2 - TH6: Đi qua điểm A(xA ,yA) vng góc với đường thẳng d’: ax + by + c =
+) d d’ nên vecter pháp tuyến d’ vecter phương d +) mà vecter pháp tuyến d’ n'
(a,b) d: {vecter chđi qua Aỉph(x A , y Aương(a ,b)) quay lại TH1
2. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng
- TH1: cho đường thẳng dạng PTTQ Cho đường thẳng d1 d2 có PTTQ d1: a1x + b1y + c = d2: a2x + b2y + c2 = Để xét vị trí tương đối ta làm sau
+) lập tỉ số a a ,
1 b b ,
(2)+) a a b b thì d
1 d2 cắt giao điểm nghiệm hpt {
a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0
+) a a = b b c c thì d
1 // d2
+) a a = b b = c c d
1 d2
- TH2: Cho đường thẳng dạng PTTS Cho đường thẳng d1 d2 có PTTS d1: {x=x1+a1t
y=y1+b1t d2: {
x=x2+a2t '
y=y2+b2t ' Để xét vị trí tương đối ta làm sau +) chuyển phương trình d1 d2 từ dạng tham số sang dạng tổng quát cách rút t từ phương trình đầu vào phương trình sau Khi ta có PTTQ
+) có PTTQ cách làm giống TH1 Xác định góc hai đường thẳng
- Bước 1: Xác định vecter pháp tuyến hai đường thẳng n1
1
( , )a b và n 2 ( , )a b2 2 Nếu đề cho PTTQ d: ax + by + c = n
= (a,b) Nếu đề cho PTTS d: {x=xo+at
y=yo+bt n
= (b,-a)
- Bước 2: Tính
1 2
2 2
1 1 1 2 2
| | | |
os
| || |
n n a a b b c
n n a b a b
*) ý: để chứng minh hai đừng thẳng vng góc với ta chứng minh n1
.n2
= 0 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
- TH1: cho đường thẳng dạng PTTQ d:ax + by + c =
Khi khoảng cách từ điểm MO(xo,yo) đến d d(d, MO) =
0
2 | x + bya c |
a b - TH2: Cho đường thẳng dạng PTTS d: {x=xo+at
y=yo+bt
Khi để tính khoảng cách từ điểm đến d ta cần chuyển d sang PTTQ Sau áp dụng TH1
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Lập phương trình đường trịn
- TH1: Có tâm I(a, b) bán kính R
(3)- TH2: biết tâm I(a, b) qua điểm M(x0, y0) +) bước 1: tính bán kính R2 = IM2 = (x0 a)2(y0 b)2 +) bước 2: pt đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 =
2
0
(x a) (y b) - TH3: biết đường kính AB với A(xA ,yA) B(xB,yB)
+) bước 1: tâm trung điểm I AB: ( , )
A B A B
x x y y
I
+) bước 2: bán kính R =
AB
Suy R2 = AB = 2 ( ) ( )
A B A B
x x y y
+) bước 3: pt đường tròn là:
2
2 ( ) ( )
( ) ( )
2
A B A B A B A B
x x y y x x y y
x y
- TH4: biết tâm I(x0,y0) tiếp xúc với đường thẳng ax + by + c =
+) bước 1: bán kính R = d(I,d) =
0
2 | x + bya c |
a b
Suy R2 =
2
0
2 ( x + bya c)
a b
+) bước 2: pt đường tròn là: (x x 0)2(y y 0)2
2
0
2 ( x + bya c)
a b
TH5: qua điểm A(xA ,yA), B(xB,yB) C(xC,yC)
Gọi phương trình đường trịn cần tìm x2 + y2 + 2ax + 2by + c = (*) đường trịn qua điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình:
¿ ¿ ¿ ¿
giải hệ tìm a, b, c thay vào (*)
2. Xác định tâm bán kính đường trịn: - TH1:
2 2
0
(x x ) (y y ) R tâm I(x
0;y0) bán kính R
- TH2: x2y22ax2by c 0 tâm I(-a;-b) bán kính R = a2b2 c
(Nếu a2b2 c < kết luận khơng phải phương trình đường trịn)
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Cho phương trình elip
2
2
x y
a b Có c2 a2 b2
(E) Công thức
Phương trình tắc 2
2
x y
a b
(4)Độ dài trục nhỏ 2b
Tiêu cự 2c
Tọa độ tiêu điểm
1( ,0); ( , 0) F c F c Tọa độ đỉnh
1( ,0); 2( ,0); (0,1 ); 2(0, ) A a A a B b B b Lập phương trình elip
- TH1: Biết độ dài trục lớn độ dài trục nhỏ (tức biết 2a 2b) việc lắp vào phương trình tắc elip
Ví dụ: lập phương trình elip biết độ dài trục lớn độ dài trục nhỏ
Giải: theo giả thiết ta có: 2a = a = 3, 2b = b = Pt elip
2
2
3
x y
- TH2: Biết độ dài trục lớn (hoặc độ dài trục nhỏ) tiêu cự (tức biết 2a 2c) từ 2a 2c ta
tính b = a2 c2 Pt elip
2
2 2
x y
a a c
- TH3: Biết elip qua điểm A x y( ;A A), ( ;B x yB B)
b1: Gọi phương trình elip cần tìm
2
2
x y
a b .
b2: elip qua A B nên ta có hệ pt {¿ (Tức thay tạo độ A, B vào elip) b3: giải hệ phương trình tìm a, b suy pt elip
- TH4: biết tiêu điểm F1(hoặc F2) qua M(x0;y0)
b1: Gọi phương trình elip cần tìm
2
2
x y
a b .
b2: theo giả thiết biết c suy elip có dạng
2
2 2
x y
a a c
b3: elip qua điểm M nên
2
0
2 2
x y
a a c Giải phương trình tìm a
(5)B BÀI TẬP
Bài 1: Viết PTTS PTTQ đường thẳng biết: a) qua điểm A(1, 2) có vecter phương u
(2, 3) b) qua điểm A(1, 2) có vecter pháp tuyến n
(2, 3) c) qua điểm A((1, 2) có hệ số góc k =
d) qua hai điểm A(1, 2) B(2, 5)
e) qua điểm A(1, 2) song song với đường thẳng d: 2x – y + = f) qua điểm A(1, 2) vuống góc với đường thẳng d: 2x – y + = Bài 2: hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1, 2), B(2, 3), C(3, 2) a) viết PTTQ PTTS đường thẳng chứa AB, AC, BC
b) viết PTTS PTTQ đường cao AH c) xác định tọa độ điểm H
d) tính khoảng cách từ điểm H tới BC
e) viết PTTS PTTQ đường trung tuyến AM tam giác ABC f) tính diện tích tam giác ABC
Bài 3: Cho điểm A(1, 2) đường thẳng d: -4x + 3y – =
a) viết PTTS PTTQ đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng d b) viết PTTS PTTQ đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng d c) tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d
Bài 4: Cho hai điểm A(1, 2), B(2, 4)
a) viết PTTS PTTQ đường thẳng qua điểm A B
b) viết PTTS PTTQ đường thẳng qua A vng góc với AB
c) viết PTTS PTTQ đường trung trực đoạn thẳng AB (HD: đường trung trực AB đường đi qua trung điểm AB vng góc với AB)
Bài 5*: Cho đường thẳng d: x – 2y + =
a) tìm điểm M d cách điểm A(0, 1) khoảng b) tìm giao điểm d với d’: x + y + =
c) tìm M d cho AM ngắn
Bài 6*: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = Tìm PTTQ chứa cạnh AC, BC
(6)Bài 8: xét vị trí tương đơi cặp đường thẳng sau:
a) d: x – 2y + = d’: 2x – y + = b) d: x + 2y – = d’: {x=1+4t y=2−2t c) d: : {x=−1−t
y=2−3t d’: : {
x=−2+2t ' y=−1+6t ' Bài 9*: tính góc cặp đường thẳng sau
a) d: x + 2y + = d’: 2x –y + = b) d: x + 2y + = d’: 2x + 3y – =
c) d: -x + 2y – = d’: -4x + y – = d) d: x – 5y + = d’: -3x + y + = Bài 10*: lập phương trình đường thẳng cách đường thẳng: d: 5x + 3y – = d’: 5x + 3y + = Bài 11*: lập phương trình đường thẳng qua điểm M(2,5) cách điểm A(-1, 2) B(5,4)