DEKHAOSATKIENTHUCTRUOCTHI

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC.. Giải:.[r]

ĐỀ KHẢO SÁT KIẾN THỨC TRƯỚC THI MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm)

Câu I (2 điểm)

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

3

y x  x 

2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x22 xm1  Câu II.(2 điểm)

1. Giải phương trình x log 2x 3log3x 2  x 2. Tính góc tam giác ABC biết  

 

2

2

sin sin osA

sin sin os A-B osC

B C c

B C c c

   

 

  

  Câu III.(1 điểm) Tính tích phân

3

2

2

x x

I dx

x

 





Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a,

10

BC a Gọi O giao điểm AC BD Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt bên SAB tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính cosin góc hai đường thẳng SD BC

Câu V. (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4 16

a b b c c a

P

a b c a b c b c a

  

  

     

II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn hai phần (A B) để làm bài. A- Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2

2 20

x y  x y  điểm A(5;-6) Từ A kẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C tiếp điểm Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC

2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x y z

 

 mặt cầu (S):

2 2

2 19

x y z  x y z  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho mặt phẳng qua M vng góc (d) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi 8.

Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức Z thõa mãn z  z 2 i 2

z i

z



 số ảo B- Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1); đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x y  1 0, đỉnh B, C thuộc đường thẳng   :x2y1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC

2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):

1

2 1

x y z

  , (d1)

1

1 1

x y z

 



và điểm A(1; -1; 2) Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (d1), (d2) cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua A đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vng góc với (d2)

Câu VIIb (1 điểm) Cho số phức z thõa mãn z 2icó acgumen acgumen z 2cộng với

4 

Tìm giá trị lớn biểu thức T   z z i .

-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm)

Câu I (2 điểm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 3x2 4.

  

2).Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x22 xm1  Giải:

1) BBT

x   -2 + y’ + - +

y +  -4  Lưu ý: Đồ thị (C) hàm số cắt trục hồnh điểm A(1; 0) 2)

Ta có x22 xm1  x1x24x4m x( 1) 

Xét hàm số    

 

3

2

3

3

1 4

3

x x khi x

f x x x x

x x khi x

   



    

   

  Dựa đồ thi:

+ m< phương trình vơ nghiệm + m = phương trình có nghiệm + < m < phương trình có nghiệm + m = phương trình có nghiệm + m > phương trình có nghiệm Câu II.(2 điểm)

1) Giải phương trình x log 2x 3log3x 2  x (1) Ta có : (1) 2  3 

1

log log

2

x

x x

x x

 

   



  

  

Đặt:        

   

2

1

log log 0,

3 ln 2 ln

f x x x f x x

x x



         

 

- > Hàm số đồng biến khoảng (3; + ∞)

Đặt    

 2

1

0

2 2

x

g x g x

x x

 



   

  - > Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (3; + ∞) Do phương trình f x  g x có khơng q nghiệm khoảng (3; + ∞).

Cịn có f  5  2 g 5  x5 nghiệm phương trình.

2) Tính góc tam giác ABC biết  

 

2

2

sin sin osA

sin sin os A-B osC

B C c

B C c c

   

 

  

 

Ta có:    

 

2

2 2 osA=0

sin sin osA os2B+cos2C os 2cos

cos B-C osA-2

c

B C c c c A A

c



       

 

osA=0

c

Ta có: sin 2Bsin 2C c os A-B cosC. … cos B-C  sinB. … 2cosB1 B600

Kết luận: A = 900 , B = 600, C = 300.

Câu III.(1 điểm) Tính tích phân

3

2

2

x x

I dx

x

 





Biến đổi  

3

3 3 3 3

2 2

2 2

0 0 0

1

1 1

x x

x x x x

I dx dx dx x x x dx x dx K J

x x x x

 

       

   

    

Tính tích phân K= 58

15; Tính tích phân

J  Kết luận: 26

I 

Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a,

10

BC a Gọi O giao điểm AC BD Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt bên SAB tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính cosin góc hai đường thẳng SD BC

Giải:

+ Gọi H hình chiếu C AB M, N trung điểm AB, CD Ta có HB = ,

2

AB CD

a CH a ON a



    , OAB vng cân O Suy OA = OB = 2a 2, SO = OB = 2a

Khi thể tích

1

3

S ABCD ABCD

V  S SO a

+ Ta có BC // DM  ,   ,  0;

SD BC SD DM   

     

 

Cịn có: DM BC a 10,SD SO2 OD2 a 10

    

2

SM a

  Vậy osSDM

c 

Kết luận: os =2

c 

Câu V. (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4 16

a b b c c a

P

a b c a b c b c a

  

  

     

Giải:

Đặt x = a + b + c, y = b + c + 4a, z = c + a + 16b Khi x, y, z > , , 21

3 15 15

y x z x x y z

a  b  c   Suy

21 21

3 15 15 15 15

y x z x z x x y z x y z y x

P

x y z

       

  

   =

6 20 16

15 15 15

x y z x y x z

x y z

    

 

4 1 16 1 4 16

16

5 15 15 15 15 15

y z x x y x z x

x x y z x y x z

   

               

 

 

Dấu đẳng thức xảy  

 

2

2

5

4

4 7

4 16

16

7

a c

b c a a b c

y x y x

z x c a b a b c

z x b c

  

    



   

  

       

     



  

   

  Vây MinP = 16

15 đạt

5

,

7

a c b c

S

A

B

C N

O D

II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn hai phần (A B) để làm bài. A- Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2

2 20

x y  x y  điểm A(5;-6) Từ A kẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C tiếp điểm Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Giải:

+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 5, BC cắt IA tai H Ta có AI = 10

2 5

IB IH

IA

   Do

IH  IA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



1

;0 ; osAIB

2

H  c ABC

       

 

+ Suy tâm đường tròn nội tiếp ABC trùng với trọng tâm G tam giác Ta có: 2; 2

3

AG AH  G 

 

Bán kính r đường trịn nội tiếp là:

r GH  Suy phương trình đường trịn nội tiếp ABC là:  22  22 25

4

x  y 

2). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x y z

 

 mặt cầu (S):

2 2 2 2 4 19 0

x y z  x y z  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho mặt phẳng qua M vng góc (d) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi 8

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2), bán kính R = Từ giả thiết suy phương trình mặt phẳng qua M vng góc (d) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r =

Đường thắng (d) có VTCP u2;1; ;  Md  M3 ; 2 t t;1 2 t

Phương trình (P): 2x 2 t  y 2 t 2z 1 2t  0 2x y  2z 9t 0 Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức Z thõa mãn z  z 2 i

2

z i

z



 số ảo Giải: Đặt z = x+yi

Khi : z  z 2 i  x yi  x 2y 2i  x2y2 x 22y 22  y 2 x (1)

Ta có:      

 

   

 

   

 

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2

x y i x yi

x y i x x y y x y xy

z i

i

z x yi x y x y x y

   

   

       

    

   

        

2

z i

z



 số ảo 

   

 2

2

2

x x y y

x y

  

  =

   

2

2 2

2 (2)

2 0

x y x y

x y

    

 

   



Thay (1) vào (2) ta được:  

1

0, 2

x

x y

x

  



  

    B- Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2 điểm)

1).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1); đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x y  1 0, đỉnh B, C thuộc đường thẳng   :x2y1 0 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC

Tọa độ chân đường cao 3; 5

H 

  Đường thẳng (d) qua G song song BC có phương trình (d) 7;

5

x y  dAH  I I 

  Ta có HA3HI A1;3                            

Suy ra:  

 

2

,

,

ABC

S

d A BC BC

d A BC



    Gọi M trung điểm BC, ta có : MA  3MG. > M(1; 0)

Gọi 1

1 ;

2 x B x  

  Khi  

2

1

3

5 1 4

1 x MB x x          

+ Với x1 = > B(3; -1) - > C(-1; 1) + Với x1= -1 > B(-1; 1) > C(3; -1) > Kết luận 2).Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):

1

2 1

x y z

  , (d1)

1

1 1

x y z

 



và điểm A(1; -1; 2) Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (d1), (d2) cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua A đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vng góc với (d2)

Giải:

+Ta có 1đi qua D(0; 1; 1), có VTCP u2;1;1 

, AD  1;2 1  u AD1,    3;1;5

                                           

Gọi (P) xác định bỡi A đường thẳng 1 - > PT (P) -3x +y +5z -6 =0

2

 cắt (P) C > C(-1; 3; 0)

+B  1 B t2 ;1 ;1t t 2có VTCP u2 1; 1;1 ,  BC   ; 2t  t; 1  t 

 

Vì BC  2 BC u  0 t2 B4; 1;   

 

Câu VIIb (1 điểm) Cho số phức z thõa mãn z 2icó acgumen acgumen z 2cộng với

4 

Tìm giá trị lớn biểu thức T   z z i .

Giải: Đặt z = x+yi Vì z 2i có acgumen acgumen z+ cộng với 

Nên os sin ,

4

2

z i

r c i r

z

 

  

    

  

Ta có:  

 

   

 2

2

2

2 2

x y i x yi

x y i

z i

z x yi x y

                      = =             2 2

2 2

2

x x y y x y xy

i

x y x y

     



   

Từ giả thiết suy    

          2 2 2 2

2 2

0

2

2

x y

x x y y x y xy

x y

x y x y

x y                            Ta có: T=x 1 yi x y 1i x 12 y2 x2 y 12

           = 2 x 2 y

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: T2 2 2 x 2y 2 2 x2 y2 20

      