Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của trường THPT Đồng Đậu có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

Trang | TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 MƠN: TỐN

Thời gian: 180 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Câu (2,0 điểm)

a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số



1



3



2



2019

y mx  m x  m x đồng biến



2;



b) Cho hàm số

1

mx m

y

x   

 có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng

:

d y x cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA, OB 45

Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác sau











cos 2sin

3 sin 2sin

x x

x x

 

 

b) Giải hệ phương trình sau





2

2

4 3

,

3 2

x y x y y

x y

x x y x

     

 



     



Câu (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABa, AC2a,

2

a

AA  góc

60

BAC  Gọi M điểm cạnh CC cho CM 2MC a) Chứng minh AM B M

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng



AB M



Câu (1,0 điểm) Cho dãy số

 

un có số hạng tổng quát





2



*



1

1 ,

1

n

u n

n

  



Tính lim



u u u1 3 un



Câu (1,0 điểm) Cho đa giác lồi

 

H có n đỉnh (n ,n4) Biết số tam giác có ba đỉnh đỉnh

 

H khơng có cạnh cạnh

 

H gấp lần số tam giác có ba đỉnh đỉnh

 

H có cạnh cạnh

 

H Xác định n

Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC x  y 0, điểm G

 

1; trọng tâm tam giác ABC, điểm E



0; 3



thuộc đường cao kẻ từ D tam giác ACD Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành cho, biết diện tích tứ giác AGCD 32 đỉnh A có tung độ dương

Trang |

2 2

1 1

1

a  b cb  c ac  a b 

-HẾT -

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm

1 a)Tìm tất giá trị tham số m để hàm số









3

1

1 2019

3

y mx  m x  m x đồng biến



2;



1

Ycbt













2 0, 2;

y mx m x m x

          0,25

 





 

 

2 2;

2

, 2; max

2

x

m f x x m f x

x x 

 

       

 

0,25

Ta có:

 









 

 

 

2

2 3

;

3

2

x x x tm

f x f x

x ktm

x x



   

    

  

  

0,25

0,25

b) Cho hàm số

1

mx m y

x   

 có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số

m để đường thẳng d y: 2x1 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA, OB 45

1

Phương trình hồnh độ:











2

2 1 0, 3

1

2

x mx m

x x x m x m

x x

 

           

 

 



0,25

Đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B m  1 m Khi đó,

 

1;1 , 3;

2

m

A B  m 

 

Trang |

Điều kiện để OA, OB tạo với góc 45 là:





2

2

3

.cos 45

2 2

m m

OA OB OA OB      m     m

 

0,25

 

2

7 12

4

m

m m tm

m           0,25

a) Giải phương trình lượng giác sau











cos 2sin

3 sin 2sin

x x x x     ĐKXĐ: sin 1 sin x x      

 Phương trình cho biến đổi thành:





sin 2xcosx 2sin xsinx1





sin 2x cosx sinx cos 2x

   

0,25

sin cos sin cos sin sin

3

x x x x  x  x  

          

   

0,25

 

 

2 2

3

5 2 18 3

x x k x k ktm

x k tm

x x k

                                   0,25

Vậy nghiệm phương trình là: ,





18

x  k  k 0,25

b) Giải hệ phương trình sau





2

2

4 3

,

3 2

x y x y y

x y

x x y x

               

ĐK: 2

3

y

x x y

  

   

 Biến đổi phương trình đầu dạng:

 

2 2

4 3

3 1

3

y

y y x

y x

x x y

l x                     0,5

Trang |

2x 3 3x 2 Vế trái pt hàm đồng biến 2;

 



  mà x2

nghiệm nên nghiệm Suy ra:

2

2 31

3

3

y    

  (tm)

Vậy, nghiệm hệ là:



;



31;

x y   

 

0,25

3

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABa, AC2a,

2

a

AA  góc

60

BAC  Gọi M điểm cạnh CC cho CM 2MC a) Chứng minh AM B M

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng



AB M



2

a) Chứng minh

AM B M

Từ giả thiết CM 2MC

suy ra:

6 6,

2

a

CM a MC

Áp dụng định lí cosin tam giác ABC

3

BC a

 

0,5

Sử dụng Pitago, dễ dàng tính được:

2

2 29 2

, AM 10

a

AB   a

và

2

B M

a

 

0,25

Từ suy ra:

2 2

AB  AM B M hay tam giác AB M vuông M

0,25

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng



AB M



Đặt N AMA C , gọi K hình chiếu vng góc A lên B N H hình chiếu vng góc

Trang | A lên AK Ta có B N AK B N A H A H



AB M



A H AK

     

    

  



Do NC M ACM theo tỉ số

k  nên dễ dàng suy ra: C N a theo định lí cosin suy ra: B N a

0,25

1

2 .3 sin 60

2 2 21

14

A B N

a a

S a

A K

B N a

  

   



0,25

Trong tam giác vng AA K ta có: 2 2 2 10

10

a A H

A H  AA  A K   

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng



AB M



10

10

a

0,25

4

Cho dãy số

 

un có số hạng tổng quát





2



*



1

1 ,

1

n

u n

n

  



Tính lim



u u u1 un



1

Ta có:





2







2



*

2

1 ,

1

n

n n

u n

n n



    

 

0,25

Suy ra:









1 2 2

2

1.3 2.4 3.5 4.6

2

n

n n n

u u u u

n n

 

 





0,5

Do đó, lim



1 3



n

u u u u  0,25

5 Cho đa giác lồi

 

H có n đỉnh (n ,n4) Biết số tam giác có ba đỉnh đỉnh

 

H khơng có cạnh cạnh

 

H gấp lần số tam giác có ba đỉnh đỉnh

 

H có cạnh cạnh

 

H Xác định n

1

Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) là: n

C 0,25

Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) là: n 0,25 Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) là:



4



n n

0,25

Trang |









 

 

3

4 39 140

35

n

n ktm

C n n n n n n n

n tm

 

          





Vậy đa giác (H) có 35 đỉnh

6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC x  y 0, điểm G

 

1; trọng tâm tam giác ABC, điểm



0; 3



E  thuộc đường cao kẻ từ D tam giác ACD Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành cho, biết diện tích tứ giác AGCD 32 đỉnh A có tung độ dương

1

Vì DE AC nên





: ;

DE x   y D t  t

Ta có,





















1

, , ,

3

1 1;

2

3 5;

d G AC d B AC d D AC

t D

t

t D

 

  

 

   

   



0,25

Vì D G nằm khác phía so với AC nên D



1; 4 



B

 

1;8 B x: 1 0,25 Vì AACA a a



; 1



Từ gt SAGCD 32SABD24 nên





  

5;6



 

1

, 24

2 3;

a A tm

d A B DB a

a A l

  

     

    



0,25

Từ ADBCC



 3; 2



Vậy tọa độ đỉnh hình bình hành là:

    

5;6 , 1;8 , 3; ,

 

1; 4



A B C   D 

0,25

7 Cho a b c, , 0 a b c  3 Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

1 1

1

a  b cb  c ac  a b 

1

Đưa bất đẳng thức dạng: 2 2 2 1

3 3

a  a b  b c  c 

Ta chứng minh BĐT phụ: 2 4,

 

0;3

3

x

x x x

 

  

 

Thật vậy, ta có: BĐT phụ tương đương với:



x1

 

2 x 3



đúng,

 

0;3

x

 

Trang |

Dấu xảy x1

Vì a, b, c ba số dương có tổng nên: 0a b, , c3 Áp dụng BĐT phụ cho số a, b, c:

2 2

1 4

; ;

3 9

a b c

a a b b c c

     

  

     

0,25

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức , ta có:





2 2

12

1 1

1

3 3

a b c

a a b b c c

   

   

      (đpcm)

0,25

Dấu xảy a  b c 0,25

Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia